Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Logik und Mengen... 1 1.1 Elementare Logik... 1 1.2 ElementareMengenlehre... 10 1.3 Schaltalgebra... 16 1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen...... 22 1.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 24 1.5 Kontrollfragen... 25 1.6 Übungen..... 30 2 Zahlenmengen und Zahlensysteme... 35 2.1 Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C... 35 2.2 SummenundProdukte... 46 2.3 Vollständige Induktion...... 48 2.4 Stellenwertsysteme... 50 2.5 Maschinenzahlen... 53 2.6 TeilbarkeitundPrimzahlen... 57 2.7 MitdemdigitalenRechenmeister... 60 2.8 Kontrollfragen... 63 2.9 Übungen..... 67 Diskrete Mathematik 3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie... 75 3.1 DaskleineEinmaleinsaufendlichenMengen... 75 3.1.1 Anwendung: Hashfunktionen...... 79 3.2 Gruppen, Ringe und Körper... 81 3.2.1 Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern?... 92 3.3 Der Euklid sche Algorithmus und diophantische Gleichungen... 94 3.3.1 Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus...... 99 3.4 DerChinesischeRestsatz... 104
X Inhaltsverzeichnis 3.4.1 Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen... 106 3.4.2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse... 107 3.5 MitdemdigitalenRechenmeister... 109 3.6 Kontrollfragen... 111 3.7 Übungen..... 114 4 Polynomringe und endliche Körper... 117 4.1 Der Polynomring K[x]... 117 4.2 Der Restklassenring K[x] m(x)... 123 4.2.1 Anwendung: Zyklische Codes..... 128 4.3 Endliche Körper... 129 4.3.1 Anwendung: Der Advanced Encryption Standard... 132 4.3.2 Anwendung: Reed-Solomon-Codes...... 133 4.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 133 4.5 Kontrollfragen... 135 4.6 Übungen..... 138 5 Relationen und Funktionen... 143 5.1 Relationen... 143 5.1.1 Anwendung: Relationales Datenmodell...... 151 5.2 Funktionen... 155 5.3 Kontrollfragen... 168 5.4 Übungen..... 172 6 Folgen und Reihen... 177 6.1 Folgen... 177 6.1.1 Anwendung: Wurzelziehen àlaheron... 187 6.2 Reihen... 188 6.3 MitdemdigitalenRechenmeister... 195 6.4 Kontrollfragen... 197 6.5 Übungen..... 199 7 Kombinatorik... 203 7.1 Grundlegende Abzählverfahren... 203 7.2 PermutationenundKombinationen... 207 7.3 MitdemdigitalenRechenmeister... 214 7.4 Kontrollfragen... 214 7.5 Übungen..... 215 8 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen... 221 8.1 Grundbegriffe... 221 8.1.1 Ausblick:IterationsverfahrenundChaos... 225 8.2 LineareRekursionen... 228 8.2.1 Anwendung: Sparkassenformel... 237 8.3 WachstumvonAlgorithmen... 238 8.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 245 8.5 Kontrollfragen... 247 8.6 Übungen..... 250
Inhaltsverzeichnis XI Lineare Algebra 9 Vektorräume... 253 9.1 Vektoren... 253 9.2 Lineare UnabhängigkeitundBasis... 261 9.3 Teilräume... 266 9.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 271 9.5 Kontrollfragen... 272 9.6 Übungen..... 274 10 Matrizen und Lineare Abbildungen... 279 10.1 Matrizen... 279 10.2 MultiplikationvonMatrizen... 284 10.3 Lineare Abbildungen... 291 10.3.1 Anwendung: Lineare Codes.... 299 10.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 302 10.5 Kontrollfragen... 304 10.6 Übungen..... 307 11 Lineare Gleichungen... 313 11.1 DerGauß-Jordan-Algorithmus... 313 11.1.1 Anwendung: Elektrische Netzwerke...... 321 11.1.2 Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef...... 323 11.2 Rang,Kern,Bild... 324 11.3 Determinante... 329 11.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 334 11.5 Kontrollfragen... 335 11.6 Übungen..... 337 12 Lineare Optimierung... 341 12.1 LineareUngleichungen... 341 12.2 LineareOptimierung... 344 12.3 DerSimplex-Algorithmus... 345 12.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 351 12.5 Kontrollfragen... 353 12.6 Übungen..... 354 13 Skalarprodukt und Orthogonalität... 359 13.1 Skalarprodukt und orthogonale Projektion... 359 13.1.1 Anwendung: Matched-Filter... 369 13.1.2 Anwendung: Lineare Klassifikation..... 370 13.1.3 Anwendung: Ray-Tracing...... 370 13.2 Orthogonalentwicklungen... 372 13.3 Orthogonale Transformationen... 378 13.3.1 Anwendung: QR-Zerlegung..... 382 13.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 383 13.5 Kontrollfragen... 384
XII Inhaltsverzeichnis 13.6 Übungen..... 386 14 Eigenwerte und Eigenvektoren... 389 14.1 Koordinatentransformationen... 389 14.2 EigenwerteundEigenvektoren... 392 14.2.1 Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank... 401 14.3 EigenwertesymmetrischerMatrizen... 404 14.3.1 Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation... 407 14.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 410 14.5 Kontrollfragen... 410 14.6 Übungen..... 412 Graphentheorie 15 Grundlagen der Graphentheorie... 415 15.1 Grundbegriffe... 415 15.2 DarstellungvonGraphenamComputer... 421 15.3 WegeundKreise... 424 15.4 MitdemdigitalenRechenmeister... 431 15.5 Kontrollfragen... 433 15.6 Übungen..... 436 16 Bäume und kürzeste Wege... 443 16.1 Bäume... 443 16.2 DasProblemdesHandlungsreisenden... 449 16.2.1 Ausblick: Die Komplexitätsklassen P und NP... 451 16.3 Minimale aufspannende Bäume... 451 16.4 Kürzeste Wege... 454 16.4.1 Anwendung: Routing im Internet..... 457 16.5 MitdemdigitalenRechenmeister... 458 16.6 Kontrollfragen... 460 16.7 Übungen..... 463 17 Flüsse in Netzwerken und Matchings... 469 17.1 Netzwerke... 469 17.2 Matchings... 477 17.3 MitdemdigitalenRechenmeister... 483 17.4 Kontrollfragen... 484 17.5 Übungen..... 487
Inhaltsverzeichnis XIII Anhang A Einführung in Mathematica... 493 A.1 ErsteSchritte... 493 A.2 Funktionen... 495 A.3 Gleichungen... 497 A.4 Programme... 499 B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben... 501 B.1 Logik und Mengen... 501 B.2 ZahlenmengenundZahlensysteme... 501 B.3 ElementareBegriffederZahlentheorie... 502 B.4 Polynomringe und endliche Körper... 502 B.5 RelationenundFunktionen... 503 B.6 FolgenundReihen... 503 B.7 Kombinatorik... 503 B.8 RekursionenundWachstumvonAlgorithmen... 504 B.9 Vektorräume... 504 B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen...... 505 B.11LineareGleichungen... 505 B.12LineareOptimierung... 505 B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität... 506 B.14EigenwerteundEigenvektoren... 506 B.15 Grundlagen der Graphentheorie... 506 B.16 Bäume und kürzeste Wege... 507 B.17 FlüsseinNetzwerkenundMatchings... 507 Literatur... 509 Verzeichnis der Symbole... 512 Index... 515
http://www.springer.com/978-3-642-37971-0