Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Theoretischen Physik F SS 4 Prof. Dr. Jörg Schmalian Blatt Dr. Peter Orth and Dr. Una Karahasanovic Besprechung.7.4 3. Dichtematrix für den Spin-/: a Wenn das System nur aus einem reinen Zustand besteht, dann gilt für die Dichtematrix ˆρ = ˆρ. Für einen Spin-/ ˆρ = 4 + ˆPˆσ + ˆPˆσ = + P + 4 ˆPˆσ = ˆρ + P. 4 Es folgt dass wenn der Spin in einem reinen Zustand ist, dann P =. Weiterhin, kann man die Dichtematrix eines reinen Zustandes durch die Wellenfunktion des gleichen Zustandes ausdrücken ρ σσ = Ψ σ Ψ σ. Die allgemeine Wellenfunktion des Spins-/ ist cos θ/ Ψ = e iφ. sin θ/ Es erfolgt cos θ/ cos ΨΨ = θ/ e e iφ sin θ/ iφ sin θ/ cos = θ e iφ sin θ cos θ e iφ sin θ cos θ sin θ = + cos θ sin θcos φ i sin φ sin θcos φ + i sin φ cos θ = [ + cos θ ˆσ z + sin θ cos φ ˆσ x + sin θ sin φ ˆσ y ] = + ˆPˆσ, wobei P = sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ; P =. b Laut definition ρ σσ = Tr ˆρ = σ Ψ S,S zσ, σ Ψ S,S zσ, σ.
Hier Ψ S,S zσ, σ ist die Wellenfunktion des Systems im Zustand S, S z, die in dem Basis ausdrücken wird, das aus Eigenvectoren von s z und s z besteht. Diese Wellenfunktionen sind Ψ = Ψ, = [ ; Ψ, = ± ; ] Nach der einfachen Matrizenmultiplikation bekommen wir ˆρ S =, S z = = = + ˆσ z, ˆρ S =, S z = = = ˆσ z, ˆρ S =, S z = =. 3 In den ersten zwei Zustände S =, S z = ± befindet sich das Teilchen in einem reinen Zustand, weil es aus Gl. und Gl. folgt, dass P =,, ±. Im Gegenteil, werden die Zustände mit S z = sich durch P = ausgezeichnet. c Benutzen wir die Gleichungen,, und 3. Es erfolgt für die Entropie S[ˆρ S =, S z = ] = ln, S[ˆρ S =, S z = ±] =.. Mikroskopische Herleitung der Langevingleichung + + + + = 7 Punkte, schriftlich Betrachten Sie die Dynamik eines schweren Teilchen mit Masse M, das an seine Umgebung gekoppelt ist. Die Umgebung sei durch eine Menge von harmonischen Oszilloren beschrieben, die z.b. Phononen oder andere harmonische Anregungen darstellen können. Das Teilchen sei durch einen Impuls P und einen Ortsvektor X beschrieben und bewege sich in einem Potential V X. Der Hamiltonian lautet H S = P M + V X. 4 Die harmonischen Oszillatoren der Umgebung seien durch Impulse p i und Ortsvektoren x i beschrieben mit i =,..., N, so daß der Hamiltonian der Umgebung des Reservoirs durch H R = i= p i + m i m iωi x i gegeben ist. Hier bezeichnen ω i > die Frequenzen der individuellen Badoszillatoren. Die Kopplung des Teilchen an jede individuelle harmonische Mode sei proportional zum Invervsen des Volumen der Umgebung und daher schwach für eine makroskopische. 5
Umgebung großes N. Die Kopplung zwischen dem Teilchen und den Moden ist daher in sehr guter Näherung linear in den Umgebungskoordinaten x i und gegeben durch H SR = λ i Xx i + i= λ i X i= m i ω i 6 mit Kopplungskonstante λ i >. Hier haben wir zusätzlich angenommen, dass die Kopplung auch linear in X ist. Dieser Fall ist in vielen experimentellen Situationen realisiert. Wir haben außerdem einen x i -unabhängigen Korrekturterm hinzugefügt, der die Renormierung des Potentials V X durch die Kopplung an die Badoszillatoren aufhebt. Das Bad sorgt dann nur für Dissipation, für die wir uns hier interessieren und nicht noch zusätzlich für eine triviale Renormierung des Potentials V X. Der Hamiltonian des Gesamtsystems ist gegeben durch H = H S + H R + H SR = P N M + V X + p i + m i m iωi i= x i λ i m i ω i X Der Einfachheit halber betrachten wir in dieser Aufgabe den klassischen Grenzfall, der bei hohen Temperaturen gültig ist, und nehmen an, dass {X, P, x i, p i } klassische Variablen sind. Bei tiefen Temperaturen ist es notwendig den Operatorcharakter dieser Größen zu beachten. a Stellen Sie, ausgehend von den klassischen Hamiltongleichungen, die gekoppelten Bewegungsgleichungen des Systems auf, und eliminieren Sie die Impulse {P, p i }. Die klassischen Bewegungsgleichungen lauten P = {P, H} = H X = d dx V + N j= λ j x j λ jx Ẋ = {X, H} = H P = P M 9 ṗ j = {p j, H} = x j + λ j X ẋ j = {x j, H} = p j, wobei {A, B} = A B A B die Poissonklammer bezeichnet. X P P X Wir eliminieren die Impulse indem wir die Gleichungen für die Ortskoordinaten erneut nach der Zeit ableiten und erhalten MẌ = d dx V + j λ j x j λ jx 7 8 ẍ j = ω j x j + λ j X. 3 b Lösen Sie die Gleichungen für die Koordinaten x i t mit Hilfe der Methode der Greenschen Funktion. Die Lösung ist eine Superposition der homogenen Lösung mit Anfangsbedingungen x i und p i und der speziellen Lösung, wobei die Inhomogenität von Xt abhängt.
Die homogene Lösung von Gl. 3 lautet x j;h t = x j cosω j t + p j sinω j t, 4 wobei x j und p j die Anfangskoordinaten und -impulse bezeichnet. Die partikuläre Lösung von Gl. 3 kann mit Hilfe der Greenfunktion Gt des harmonischen Oszillators als x j;p t = dt Gt t ft 5 mit Inhomogenität ft = λ j Xt ausgedrückt werden. Die Greenfunktion genügt der Gleichung d dt Gt + ω j Gt = δt. 6 Man erhält die Greenfunktion zum Beispiel mit Hilfe einer Fouriertransformatoin Gω = dtgteiωt von Gl. 6. Die retardierte Greenfunktion im Frequenzraum lautet dann Gω = ω j ω + ω j + i. 7 + ω ω j + i + Wir haben einen infintesimalen positiven Imaginärteil i + hinzuaddiert, da wir an der retardierten Funktion interessiert sind, die in der oberen komplexen Halbebene analytisch ist d.h. dort keine Pole oder Singularitäten besitzt. Als Funktion der Zeit ist eine retardierte Funktion proportional zu θt, d.h. für t < verschwindet sie. Durch eine Rücktransformation in die Zeitdomäne erhalten wir mit Hilfe des Residuensatzes Gt = dω π e iωt ω j ω + ω j + i + ω ω j + i + Die vollständige Lösung der Badkoordinatendynamik lautet also x j t = x j;h t + x j;p t = x j cosω j t + p j sinω j t + λ j = θt sinω jt ω j. 8 dt sin[ω jt t ] ω j Xt. 9 c Setzen Sie Ihre Lösung für x i t in die Bewegungsgleichung für Xt ein und führen Sie eine partielle Integration, um die Gleichung auf die Form der Langevingleichung zu bringen MẌ + d dx V X + M dt γt t Ẋt = ξt. Bestimmen Sie den Dämpfungskern γt und die stochastische Kraft ξt. Setzen wir die Lösung für x j t aus Gl. 9 in die Bewegungsgleichung für die Systemkoordinate X siehe Gl. ein, so nimmt diese die Form { MẌ + V = λ j x j cosω j t + p j sinω j t j= λ jx ω j + dt sin[ω } jt t ] Xt ω j
an. Hier bezeichnet V = d V. Um Gl. auf die Form der Langevingleichung zu dx bringen, führen wir eine partielle Integration durch und erhalten schliesslich MẌ + V λ j + dt cos[ω m j= j ωj j t s]ẋt = [λ j x j λ j X cosω j t + λ jp j ] sinω j t. j= Vergleichen wir mit der generellen Form der Langevingleichung, so können wir den Dämpfungskernel γt t = j= λ j M ω j cos[ω j t t ] 3 und die stochastische Kraft ξt = [λ j x j λ j j= X cosω j t + λ jp j ] sinω j t 4 extrahieren. d Berechnen Sie die statistischen Eigenschaften der stochastischen Kraft ξt, d.h. berechnen Sie die statistischen Momente ξt ρr und ξtξ ρr. Hier bezeichnet A ρr = i dx i i dp iaρ R die Mittelung bezüglich einer klassischen thermischen Gleichgewichtsverteilung der Anfangsimpulse -und koordinaten der Badmoden p i und x i : [ ρ R = Z exp β pi i= m i + m iω i x i λ i m i ω i ] X. 5 Die Größe Z ist die Zustandssumme, die der Normierung von ρ R dient und β = /k B T. Das erst Moment der Zufallskraft verschwindet offensichtlich, da der Faktor vor ρ R linear in x j und p j ist und daher ungerade ξt ρr = Z =. k= N N [ N [ dp k dx i i= j= λ j x j cosω j t + λ jp j sinω j t Hier haben wir die verschobenen Koordinaten x i = x i λ i m i X eingeführt. ωi Zum zweiten Moment werden nur die quadratischen Beiträge in x j und p j betragen, da alle anderen Beiträge ungerade sind unter x i x j, etc.. Wir erhalten also ] ρ R 6 ξtξ ρr = λ j cosω j t x j ρr 7 j=
wobei wir verwendet haben, dass sin = und der Impulsbeitrag daher verschwindet. Führen wir die Gauss sche Integration aus, so erhalten wir x j ρr = β ω j 8 und damit ξtξ ρr = k B T j= λ j ω j cosω j t. 9 e Ihr Resultat sollte von der Form ξtξ ρr = Mk B T ft, wobei ft eine Summation über die Badmoden i enthält. Ersetzen Sie diese Summation durch eine Frequenzintegration dω mit Hilfe der spektralen Funktion Jω = π N λ i i= m i ω i δω ω i. Nehmen Sie an, dass Jω = παω ω s 3 mit Badexponenten s > und Dämpfungsstärke α >. Man erhält die zeitlichen Korrelationseigenschaften der stochastischen Kraft, indem man das Frequenzintegral ausführt. Für welchen Badexponenten s ist die Kraft zeitlich δ-korreliert, d.h. ft δt? Diskutieren Sie qualitativ in Worten welche Korrelationseigenschaften der Kraft man für andere Badexponenten erhält. Schreiben wir das in der Form ξtξ ρr = Mk B T ft so finden wir die Funktion λ j ft = N M j= cosω ωj j t. Wir können die Summation über die Badmoden j durch eine Frequenzintegration ersetzen indem wir die Spektraldichte verwenden ft = M = πm j= λ j ω j cosω j t = M dω Jω ω dω j= λ j cosωt ω δω ω j 3 cosωt. 3 Setzen wir die angenommene Form der Spektraldichte von Gl. 3 ein, so erhalten wir ft = 4α M dω ω s cosωt. 33 Offensichtlich erhalten wir eine zeitlich δ-korrelierte Zufallskraft im Fall s =. Dies wird in der Literatur der Ohm sche Fall bezeichnet, da er dem Fall eines Ohm schen Widerstands entspricht im Rahmen des Caldeira-Leggett Modells, das die elektromagnetischen Moden in einem Widerstandselement als ein bosonisches Bad beschreibt. Im Fall s = erhalten wir also ft = 4α M dω cosωt = 8πα δt. 34 M Falls s wird die Zufallskraft zeitlich länger korreliert sein. Dies wird auch als farbiges Rauschen - im Gegensatz zum weißen Rauschen s = - bezeichnet.