PN1 - Physik 1 für Cheiker und Biologen Prof. J. Lipfert WS 2016/17 Übungsblatt 11 Lösung zu Übungsblatt 11 Aufgabe 1 Torsionspendel. Henry Cavendish nutzte zur Bestiung der Gravitationskonstante den unten scheatisch gezeigten Aufbau. Hier betrachten wir nur die beiden Testkugeln, it der Masse 0,73 kg und de Radius R 0,10, die durch eine annähernd asselose Stange der Gesatlänge L 2,0 verbunden sind, welche an eine Torsionsdraht aufgehängt ist (d.h. wir betrachten den Fall, dass die großen Kugeln M aus der Apparatur entfernt sind). Der Auslenkungswinkel relativ zur Ruhelage des resultierenden Torsionspendel sei θ. a) Was ist das Trägheitsoent I der beiden Massen für die Rotation u die Achse des Torsionsdrahtes? Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Steiner. Der Satz von Steiner besagt, dass das Trägheitsoent I eines starren Körpers der Masse M bezüglich einer Drehachse i Abstand d von seine Schwerpunkt durch das Trägheitsoent bezüglich seiner Schwerpunktachse I s und d 2 M gegeben ist: I I s + d 2 M. Denach ist das Trägheitsoent einer Kugel (it I s Drehachse, die hier der Torsionsdraht bildet 2 5 R2 ) bezüglich der I I s + ( L 2 ) 2 2 5 R2 + ( L 2 ) 2 2 5 R2 + 1 4 L2. Für das Gesatträgheitsoent des Torsionspendels ergibt sich folglich: 2I 4 5 R2 + 1 2 L2. 1
Setzt an die obigen Werte ein, erhält an 4 5 0,73 kg (0,1 )2 + 1 2 0,73 kg (2 )2 1,5 kg 2. b) Stellen Sie eine Differentialgleichung für den Auslenkungswinkel des Torsionspendels θ als Funktion der Zeit auf. Dabei können Sie davon ausgehen, dass der Torsionsdraht ein zu Auslenkungswinkel proportionales rückstellendes Drehoent T der For T κθ ausübt, wobei κ die Torsionsfederkonstante ist. Hinweis: Schreiben Sie das Drehoent L u die Rotationsachse als Funktion von I und einer geeigneten Ableitung von θ. Berechnen Sie die zeitliche Ableitung von L und erinnern Sie sich daran, dass T L. Der Drehipuls des Torsionspendels ist gegeben durch L ω θ. Da das Drehoent allgeein die zeitliche Änderung des Drehipulses ist, erhält an T L θ. Ursache für die Änderung des Drehipulses des Torsionspendels ist das rückstellende Drehoent T κθ des Torsionsdrahtes. Soit können die beiden Drehoente gleichgesetzt werden: θ κθ θ κ θ. c) Geben Sie eine Lösung der in b) aufgestellten Differentialgleichung an. Zur Lösung der Differentialgleichung achen wir folgenden Ansatz: θ(t) A sin(ωt + φ), wobei A, ω und φ noch zu bestiende Konstanten sind. Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung ergibt: ω 2 A sin(ωt + φ) κ A sin(ωt + φ) ω 2 κ κ ω. Der Ansatz war also sinnvoll gewählt, da er die Differentialgleichung löst. Soit handelt es sich bei de Torsionspendel (wie der Nae veruten lässt) u einen 2
haronischen Oszillator, der it der Frequenz ω κ schwingt. (Die anderen Konstanten A und ω können nur durch vorgegebene Anfangsbedingungen, wie die anfängliche Auslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit, eindeutig bestit werden.) d) Was ist die Schwingungsperiode des Torsionspendels, wenn die Torsionsfederkonstante κ 4,0 10 5 N beträgt? ω 2π T 2π κ T T 2π κ 1,2 10 3 s 20 in Aufgabe 2 Federschaltungen bei haronischen Oszillatoren. I Folgenden seien zwei verschiedene Oszillatorsystee it der Masse und den Federkonstanten c 1, c 2, c 3 und c 4 gegeben. Sie können davon ausgehen, dass die Bewegung nur entlang der vertikalen Achse erfolgt (d.h. eine eindiensionale Bewegung stattfindet). Beerkung: In beiden Fällen haben die Federn eine bestite (geeinsae) Ruhelänge, u die die zugehörige Masse oszilliert. Da die Bewegung hier entlang der vertikalen Achse erfolgt, uss die Gewichtskraft der Masse berücksichtigt werden. Diese führt allerdings nur dazu, dass die Federn eine neue (nach unten verschobene) Ruhelänge einnehen. Bedenkt an dies von vornherein, so taucht die Gewichtskraft in den Bewegungsgleichungen nicht ehr auf (sie wird aber trotzde nicht vernachlässigt). a) Es sei die Masse it den Federn c 1 und c 2 so verbunden, dass diese in Reihe geschalten sind. Das Syste führt nach einer anfänglichen Anregung Oszillationen aus (Reibungseffekte werden vernachlässigt). Leiten Sie zunächst eine Forel für die Gesatfederkonstante c ges (in Abhängigkeit von c 1 und c 2 ) her. Stellen Sie anschließend die Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) für das beschriebene Syste auf und bestien Sie dessen Eigenfrequenz. 3
Gehen wir zunächst von de Fall aus, das das Syste noch nicht in Schwingung versetzt wurde. Wird von oben an der Masse it einer Kraft F gezogen, so überträgt sich die Kraft zunächst auf die obere Feder c 1, die dadurch u x 1 nach oben ausgelenkt wird. Dadurch wird die Kraft F auf die darunterliegende Feder c 2 übertragen, die dann ihrerseits u x 2 ausgelenkt wird. Die Federn erzeugen wiederu eine (zu F ) gleichgroße, aber entgegengesetzte Rückstellkraft F c1 c 1 x 1 bzw. F c2 c 2 x 2. Da beide Federn die selbe Kraft F spüren ergibt sich folgende Gesatauslenkung: Da andererseits x ges x 1 + x 2 F c 1 c 1 F c 2 c 2 F c 1 + F c 2 ( 1 c 1 + 1 c 2 ) F. F cges c ges x ges und F F cges gelten soll, ergibt sich für die Gesatfederkonstante der Reihenschaltung: 1 c ges 1 c 1 + 1 c 2. Das Syste sei nun zu Schwingen angeregt worden. Bewegt sich die Masse beispielsweise gerade von der Ruhelage aus gesehen nach oben, so erfährt sie durch die Federn eine Rückstellkraft F c ges x ges nach unten. Andererseits ist eine Kraft allgeein durch F a ẍ ges gegeben. Daher erhält an folgende Bewegungsgleichung: ẍ ges c ges x ges ẍ ges c ges x ges. 4
Macht an den Ansatz x ges (t) A sin(ωt + φ), und setzt diesen in die Differentialgleichung ein, so erhält an die Eigenfrequenz ω: ω 2 A sin(ωt + φ) c ges A sin(ωt + φ) ω 2 c ges ω cges b) Nun seien die Federn c 3 und c 4 it der Masse durch eine Parallelschaltung, syetrisch zu Schwerpunkt (so dass kein Drehoent entsteht), verbunden. Das Syste wird in Schwingung versetzt (Reibungseffekte werden vernachlässigt). Bestien Sie zunächst wieder die Gesatfederkonstante c ges und stellen Sie anschließend die Differentialgleichung für das Syste auf. Eritteln Sie auch dessen Eigenfrequenz. Zunächst sei das Syste in Ruhe. Wird nun wieder it einer Kraft F von oben an de Syste gezogen, verteilt sich diese auf beide Federn. Beide werden u x nach oben ausgelenkt. Dabei üben die Federn ihrerseits eine Rückstellkraft von F c1 + F c2 aus. Dait ergibt sich sofort: Andererseits gilt wiederu: Dait ist F F c1 + F c2 c 1 x c 2 x (c 1 + c 2 ) x F cges c ges x und F F cges. c ges c 1 + c 2 die Gesatfederkonstante der Parallelschaltung. Analog zur Teilaufgabe b) erhält an die Bewegungsgleichung für das oszillierende Syste, ẍ c ges x ẍ c ges x, und it Hilfe des Ansatzes x(t) A sin(ωt + φ) die zugehörige Eigenfrequenz cges ω. 5
c) Bestien Sie zu den Anfangsbedingungen x(t 0) 0 und ẋ(t 0) v 0 die eindeutige Lösung der Differentialgleichung aus Teilaufgabe b); d.h. in der Lösung dürfen keine unbekannten Konstanten ehr auftauchen. x(t 0) 0 A sin(ω 0 + φ) 0 A sin(φ) 0 φ 0 ẋ(t 0) v 0 Aω cos(0) v 0 A v 0 ω Daher ist die eindeutige Lösung der Differentialgleichung aus Teilaufgabe b) x(t) v ( ) 0 cges sin cges t. Aufgabe 3 Klingende Orgelpfeifen. Eine einzelne Orgelpfeife kann als langer, schaler Zylinder genähert werden. Die Länge einer Orgelpfeife betrage L 1,8. Nehen Sie an, dass die Orgelpfeife a unteren Ende offen und a oberen Ende geschlossen ist. Durch Reflexion einer einlaufenden Welle a geschlossenen Ende und anschließender Überlagerung der reflektierten Welle it der einlaufenden Welle, entsteht in der Orgelpfeife eine stehende Welle. Dabei bildet sich ier an eine geschlossenen Ende ein,,knoten der Schwingung und an eine offenen Ende ein,,schwingungsbauch. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt c Luft 340 s 1. a) Welche Wellenlänge λ 0 und Frequenz f 0 besitzt der Grundton der Orgelpfeife? Der tiefste Ton eines Musikinstruents wird Grundton genannt. Daher ist der Grundton derjenige Ton, welcher die größtögliche Wellenlänge besitzt. In unsere Fall uss sich a geschlossenen Ende der Orgelpfeife ein Schwingungsknoten und a offenen ein Schwingungsbauch bilden. Die größtögliche Wellenlänge ist denach derart, dass sich a offenen Ende der erste Schwingungsbauch der Welle befindet. Daher ist die Wellenlänge des Grundtons und soit die zugehörige Frequenz λ 0 4L 4 1,8 7,2 f 0 c Luft λ 0 340 s 1 7,2 47 s 1. b) Welche Wellenlänge λ 1 und Frequenz f 1 besitzt der erste Oberton? Der erste Oberton ist der nächst höhere Ton, also derjenige Ton it der zweitgrößten Wellenlänge. Dafür uss sich a offenen Ende der zweite Schwingungsbauch befinden. Soit folgt für die Wellenlänge λ 1 4 3 L 4 1,8 2,4 3 6
und die Frequenz f 1 c Luft λ 1 340 s 1 2,4 14 101 s 1. c) Wie ändert sich die stehende Welle in der Orgelpfeife, wenn das obere Ende ebenfalls offen ist? Sind beide Enden der Orgelpfeife offen, so üssen sich auch an beiden Enden Schwingungsbäuche bilden. Dadurch uss sich indestens ein Schwingungsknoten zwischen den Enden befinden. Folglich verändert sich sowohl die Wellenlänge als auch die Frequenz des Grundtons und aller weiteren Obertöne. d) Welche Wellenlänge λ 0 und Frequenz f 0 ergibt sich in diese Fall (oberes Ende ebenfalls offen) für den Grundton? Ist das obere Ende der Orgelpfeife geöffnet, so erhält an für den Grundton: λ 0 2L 2 1,8 3,6 f 0 c Luft λ 0 340 s 1 3,6 94 s 1. 7