Annahmen über Präferenzen (1)

Einleitung Modell über die Entscheidungen von Haushalten (Konsumenten, Individuen, Wirtschaftssubjekte, Menschen) Gesetz der Nachfrage: Nachfragekurven haben eine negative Steigung, d.h. wenn der Preis steigt, fällt die nachgefragte Menge analytisches Ziel: ein Modellrahmen, der es ermöglicht, diese Beobachtung zu replizieren Beginnen dazu auf der Mikroebene, d.h. bei Individuen Hauptfrage: Wie treffen Individuen Entscheidungen? Anders formuliert: Wovon hängen Entscheidungen ab? Vorhersage von (aggregierten) Entscheidungen, vor allem Nachfrage nach Gütern 1 / 49

Präferenzen Modellierung der Haushaltstheorie auf Basis der Vorlieben eines Individuums eine Alternative besteht aus einer Liste von möglichen Mengen aller Güter, die einer Person zur Auswahl stehen: (Menge an Fischen, Menge an Semmeln,..., Menge an Autos, Quadratmeter der Wohnung,..., Kinobesuche) = (x 1, x 2,..., x m, x m+1,..., x n ) Präferenzen einer Person bestimmen, welches von zwei solchen Güterbündeln eine Person besser findet, für alle Paarkombinationen von möglichen Bündeln, ausgedrückt durch 2 / 49

Annahmen über Präferenzen (1) eine Vergleichbarkeit besteht zwischen allen Güterbündeln x, y X (X ist die Menge der Alternativen), auf Basis der binären Relation, ist mindestens so gut wie ; sie heißt rational, wenn sie vollständig und transitiv ist Annahme 1: Vollständigkeit Zwei Güterbündel lassen sich immer ordnen, durch eine der Relationen: a. x y, x ist besser als (wird bevorzugt gegenüber) y b. x y, x ist mindestens so gut wie y c. x y, es herrscht Indifferenz bei der Wahl zw. x und y 3 / 49

Annahmen über Präferenzen (2) Annahme 2: Transitivität Aus x y und y z folgt x z. Zur Vermeidung solcher Reihungen: x y z x y... Entscheidung wäre nie möglich! Ich nehme y, weil y z; oder nein, x, weil x y, oder noch besser, z, weil z x; warte, ich nehme y, weil y ist besser als z, oder doch... 4 / 49

Wozu Annahmen über Präferenzen? Wozu sind diese Annahmen nötig? Ist das nicht logisch? Problem: hinter menschlichen Entscheidungen läßt sich zwar oft eine Ratio finden, aber nicht immer. Ein kleines Beispiel zur Illustration (Bsp. von Kahnemann & Tversky, 1979; s. Kreps, 1990, S.20): Verantwortlicher Arzt erfährt von Grippeepidemie, die im nächsten Winter bevorsteht. 2 verschiedene Fragestellungen wurden zwei verschiedenen Gruppen vorgelegt: Fragestellung A 600 sterben 2 mögliche Impfprogramme: 1. 400 überleben, oder 2. 0 mit p = 1/3 und 600 mit p = 2/3. Fragestellung B 600 sterben 2 mögliche Impfprogramme: 1. 200 sterben mit Sicherheit, oder 2. 600 sterben mit p = 1/3 und 0 sterben mit p = 2/3. 5 / 49

Wozu Annahmen über Präferenzen? Mehrheitsantwort unter medizinischen Fachleuten: Programm 1 bei Formulierung 1, Programm 2 bei Formulierung 2 obwohl kein Unterschied. (Anm.: Das Problem entsteht dadurch, dass man aus dem Versuch schließt, dass auch ein und die selbe Person unterschiedliche Entscheidungen treffen könnte unter rational betrachtet gleichen Bedingungen.) Die Frage: Wie treffen Menschen ihre Entscheidungen scheint noch nicht geklärt. Prognosen sind oft sehr schlecht möglich. Aktuelles Feld, das sich mit solchen Fragen im Bereich der Ökonomie und Psychologie beschäftigt: Behavioural Economics. Zusammenfassend: Solche Fälle ( Framing ) und andere von Irrationalität schließen wir aus unserer Theorie aus; hoffen, dass sie selten sind. 6 / 49

Weitere Annahmen über Präferenzen (1) Wenn ein Gut gut ist, dann ist es immer besser, mehr davon zu haben. Es gibt keine Sättigung mit einem Gut. Annahme 3: Monotonie Wenn y x, d.h. mindestens ein Element in y ist größer als in x, dann gilt y x. Die Indifferenzmenge eines Güterbündels ist die Menge aller Güterbündel, die gleich gut ist: y X : y x. Dann kann man die Menge aller Güterbündel, die mindestens so gut sind, den Namen Über-Niveau-Menge 1 geben, definiert als y X : y x. 1 upper contour set, upper level set; 7 / 49

Weitere Annahmen über Präferenzen (2) Annahme 4: Konvexität Die Über-Niveau-Menge eines jeden Güterbündels x ist konvex: wenn y x und z x, y z, dann ist, für ein α (0, 1), αy + (1 α)z x. D.h. Mischungen von Güterbündeln werden bevorzugt gegenüber extremen Güterbündeln. 8 / 49

Präferenzen und Nutzenfunktion Wenn diese Annahmen gelten (plus Stetigkeit der Präferenzordnung), dann können die Präferenzen einer Person durch eine Funktion dargestellt werden, die Nutzenfunktion genannt wird. Das ist sehr praktisch für analytische Zwecke, z.b. Herleitung einer Nachfragefunktion x i = x i (p i ) für ein Gut x i. Die Nutzenfunktion u ordnet jedem Güterbündel eine Rangzahl zu: u : X R. Die Rangzahl spiegelt die Präferenzen insofern wider, dass einem besseren Bündel ein höherer Wert zugeschrieben wird: x y u(x) > u(y). 9 / 49

Beispiel Wegen Monotonie ist schon klar, dass Bündel in B schlechter sind als Bündel in A. Die Präferenzen einer Person sagen uns, wie a, b und c in Relation zu e stehen. Z.B. kann die Person solche Präferenzen haben: a c e. Die drei Bündel sind gleich gut, liegen in der gleichen Indifferenzmenge, und haben den gleichen Nutzen, also Wert der Nutzenfunktion. Der Indifferenzmenge entspricht eine Indifferenzkurve: u(x) = ū. 10 / 49

Indifferenzkurve Eine einzelne Indifferenzkurve, die ein konstantes Nutzenniveau aufweist. Für eine Person ist es das beste, wenn sie von allen möglichen Güterbündeln das beste auswählt. Das ist jetzt äquivalent zu dem Ziel, einen möglichst großen Nutzen zu haben, ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen. Welche Bündel sind möglich? 11 / 49

Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (1) Allgemein: U(x, y) = Ax α y β. Spezieller, mit A = 1, α = 1, und β = 1: U(x, y) = x y. Z.B. konstantes Nutzenniveau von U(x, y) = Ū = 100, alle Kombinationen (x, y), die die entsprechende Person gleich gut findet. 12 / 49

Cobb-Douglas-Nutzenfunktion (2) U(x, y) = xy U(x, y) = Ū Ū = 100 100 = xy y = 100 x Z.B. x Nahrungsmittel, y Kleidung; bestimmter Trade-off möglich, aber etwas von beidem nötig. Mischungen immer besser. 13 / 49

Austauschbarkeit (1) Entlang der Indifferenzkurve ist der Nutzen immer gleich hoch (z.b. 100). Eine gewisse Menge von x kann ausgetauscht werden gegen y, ohne dass der Nutzen weniger wird. 14 / 49

Austauschbarkeit (2) Das Verhältnis, zu dem man x und y gegeneinander austauschen kann, ohne dass sich der Nutzen verändert, wird als Marginale Rate der Substitution bezeichnet. Analog zur RTS in der Produktionstheorie gilt auf einer Niveaulinie: U x MRS i,j = j U x i Die MRS entspricht der Relation der Grenznutzen. Grenznutzen steht für die Veränderung des Nutzens bei einer kleinen Veränderung der Menge des Gutes : MU i (x) = U(x) x i. 15 / 49

Bsp.: U(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 1/2 Nutzen werde beschrieben durch die Funktion U(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 1/2. Grenznutzen ist dann: MU 1 = U x 1 = 1/2x 0.5 1 x 1/2 2. Nutzen wenn ein Gut konstant, nämlich x 2 ; abnehmender Grenznutzen von x 1. 16 / 49

Beschränkungen der Konsummenge (1) Die Wahlmöglichkeiten können durch alle Arten von Bedingungen limitiert werden. Dann muss man die Theorie verkomplizieren und anpassen: 17 / 49

Beschränkungen der Konsummenge (2) 18 / 49

Budgetbeschränkung (1) Zurück zum Problem des Wirtschaftens: Mittel sind beschränkt, für den Haushalt das Budget, w. Die Beschränkung ist: w L p i x i. Gesamtausgaben für Bündel x bei Preisen p dürfen Budget (Einkommen) w nicht überschreiten. Solange mehr von einem Gut bevorzugt wird, wird das Budget ausgeschöpft (gilt wegen Monotonieannahme für Präferenzen). Anmerkung: bei intertemporaler Betrachtung (Lebenszeit) sinnvoll. 19 / 49

Budgetbeschränkung (2) Achsen: gesamtes Budget für ein Gut: x 1 = w/p 1. Die Steigung ist wieder eine Austauschrate: wieviel von Gut 2 muss ich aufgeben, um (bei konstantem Einkommen, w) eine Einheit mehr von Gut 1 kaufen zu können; p 1 p 2, Verhältnis der beiden Preise, wird Marginal Rate of Transformation (MRT) genannt. 20 / 49

Budgetbeschränkung (3) Veränderung eines Preises: Bei Verdoppelung p 1 halbiert sich die Menge, die mit w gekauft werden kann; Wirkung auf Steigung. 21 / 49

Budgetbeschränkung (4) Veränderung des Einkommens: Verdoppelung des Ek führt zu Verdoppelung des Leistbaren. Preise gleich Steigung gleich. Was passiert wenn sich Einkommen und alle Preise verdoppeln? 22 / 49

Budgetbeschränkung (5) Auch für die B. gilt: bei Anwendungen muss man an kompliziertere Zusammensetzungen denken. Etwa: Preis des Konsumguts sei 1; Lohnrate für die ersten 8 Stunden ist s 0, steigt bei Überstunden auf s 1, und ab einem Einkommen von M fallen Steuern auf das Einkommen zum Steuersatz t an. 23 / 49

Entscheidung unter Nebenbedingung Wie kann Nutzen u(x) möglichst groß werden, gegeben Güterpreise p und Einkommen w? Budget liegt fest bei w. Alles darauf und darunter ist leistbar. Je weiter ein Nutzenniveau (Indifferenzkurve) weg vom Ursprung, desto besser. Höchstes leistbares Nutzenniveau ist das Optimum. Dort ist MRS = MRT 24 / 49

Analytische Auffindung des Optimalen Bündels Steigung der Nutzenfunktion = Steigung der Budgetbeschränkung MRS = MRT U x i U x j = p i p j MU i = p i MU j p j MU i = MU j p i p j 25 / 49

Analytische Auffindung des Optimalen Bündels Interpretation: sei MU i /p i > MU j /p j ; dann kann man i erhöhen um dx i ; das kostet dx i p i, also muss man von j aufgeben dx j = dx i p i p j ; das erhöht den Nutzen, weil ( MU i dx i + p ) i dx i MU j > 0 p j MU i > p i p j MU j MU i /p i > MU j /p j lose in Worten: die letzte konsumierte Einheit von jedem Gut muss pro Geldeinheit im Optimum gleich viel nutzen ; 26 / 49

Rechenbeispiel Bsp.: Cobb-Douglas Nutzenfkt. U(x, y) = x α y β. Optimales Bündel liegt dort, wo Steigung von Budgetgerade und Nutzenfunktion gleich sind, also wo gilt MRS = MRT. MRS = MU x MU y = αx α 1 y β MRS = p x p y α β y β y β+1 x α x α 1 βx α y β 1 = α β y x = p x p x x = α p y β p y y = α β Die Bedingung für einen Tangentialpunkt ist festgelegt, fehlt nur noch das Niveau, gegeben durch die Einkommenshöhe. Aus der Budgetbeschränkung Y = p x x + p y y wird durch ersetzen von p x x: y x Y = α β p y y + p y y 27 / 49

Rechenbeispiel Y = α β p y y + p y y ( ) α Y = p y y β + 1 y = Y p y β α + β = y = y(y, p x, p y ). Das errechnete y ist die optimal gewählte Menge von Gut y, und da die Individuen rational sind, werden sie diese Menge wählen. Sie hängt im Allgemeinen vom Einkommen und von den Preisen aller Güter ab, und stellt die individuelle Nachfragefunktion dar. (Das bei C-D-Nutzenfunktion die Nachfrage nicht vom Preis des anderen Gutes abhängt, ist ein Spezialfall.) 28 / 49

Graphisches Beispiel Ein Individuum gibt das Budget für 2 Güter aus, Bier und Wein. Bierpreis sei ursprünglich p b0 = 12, p b sinkt dann. Abbildung zeigt, wie sich Optimum wegen Preisänderung ändert. Nachfrage nach Bier steigt, wenn der Preis sinkt. 29 / 49

Veränderung des Einkommens Graphisch Zusammenhang zwischen Einkommen, w, und Konsum von Bier. Nachfragekurve: Zusammenhang zwischen Preis und der Nachfrage. Engelkurve: Zusammenhang zwischen Einkommen und Konsum. 30 / 49

Güterklassifikation Normalerweise gilt für die Nachfrage nach einem Gut wenn das Budget steigt: x i (w, p) 0. w i ist dann ein normales Gut. Kann aber auch sein, dass die Nachfrage sinkt mit steigendem Budget (Einkommen): x i (w, p) w < 0, dann wird i ein inferiores Gut genannt. Zum Beispiel: Kartoffel, öffentliche Verkehrsmittel. Normale Nachfrage macht Sinn bei aggregierten Gütergruppen: Nahrung, Kleidung, Behausung. Auf disaggregierter Ebene ist es aber sehr plausibel, dass Güter mit niedriger Qualität bei höherem Einkommen ersetzt werden. 31 / 49

Mischform Mischung aus Inferiorität und Normalität möglich. Bsp. Hamburger vs. alle anderen Güter. Zuerst ist mehr Hamburger besser, aber wenn das Einkommen einen bestimmten Wert erreicht, dann nimmt die Nachfrage nach Hamburgern ab Substitute für Hamburger werden gekauft. Zshg direkt ablesbar: zuerst steigt x 1 mit w, dann sinkt es. 32 / 49

Einkommens- und Substitutionseffekt (1) Zu interessanter Einsicht führt folgende Fragestellung: Was passiert genau mit der Nachfrage nach einem Gut, etwa x 1, wenn sich sein Preis, p 1, ändert? 2 Effekte: 1. Substitutionseffekt: Gut wird relativ billiger. Bei konstant gehaltenem Nutzen verändert sich die Nachfrage, da sich die optimale Zusammensetzung ändert. Bewegung auf einer Indifferenzkurve U = U. 2. Einkommenseffekt: Kaufkraft steigt. Durch die Verbilligung eines Gutes erweitert sich die Menge der leistbaren Bündel. 33 / 49

Einkommens- und Substitutionseffekt (2) Relativ billigeres Gut wird mehr konsumiert, und reales Einkommen steigt, also wird noch mehr vom (normalen) Gut konsumiert. Anwendung: Konsumentenpreisindex (Inflation). Z.B. bestehe der Warenkorb aus Wohnen und Kleidung. Im Jahr darauf, t = 2, steigt der Preis von Wohnen. Wieviel höher sind die Kosten um nicht schlechter gestellt zu sein bei den neuen Preisen? 34 / 49

Einkommens- und Substitutionseffekt (3) Kosten von Gut 1 sind gestiegen, das ursprüngliche Nutzenniveau ist nicht mehr erreichbar bei konstantem Budget. 35 / 49

Einkommens- und Substitutionseffekt (4) Notwendige Erhöhung des Budgets um das alte Bündel wieder zu erreichen ist die Gerade die durch das ursprünglich konsumierte Bündel geht. 36 / 49

Einkommens- und Substitutionseffekt (5) Aber bei dem neuen Preisverhältnis und dem kompensierten Budget würde man garnicht mehr das alte Bündel kaufen, sondern substituieren und ein höheres Nutzenniveau erreichen. 37 / 49

Einkommens- und Substitutionseffekt (6) Der Ausgabenanstieg, der den Konsumenten kompensiert, ist also niedriger als durch den Konsumentenpreisindex unterstellt. 38 / 49

Rechenbeispiel, Fortsetzung Für die C-D-Nutzenfunktion u(x, y) = x α y β haben wir bereits die Nachfrage nach y für eine Person mit Budget Y = p x x + p y y ausgerechnet: y(y, p x, p y ) = Y β p y α + β Die Nachfrage nach x findet man jetzt z.b. durch Einsetzen in die Einkommens-Konsum-Kurven-Gleichung (entspricht dem Expansionspfad in der Produktionstheorie), s. S. 27: x = α β p y y y x = α p y Y β p x β p x p y α + β x(y, p x, p y ) = Y p x α α + β 39 / 49

Rechenbeispiel, Fortsetzung Sei α = 0, 5, β = 0, 5. Nachfrage nach x, bei Y = 10: Engelkurve für x, bei p x = 1: 40 / 49

Berechnung des individuellen Arbeitsangebots Ziel: ist die Formulierung eines Modells, in dem das Arbeitsangebot eines Individuums hergeleitet werden kann. Mittel: Erklärung der Entscheidung zwischen Konsum, C, und Freizeit, N, zwischen denen das Individuum seine Zeit aufteilen muss. Einkommen und dadurch Konsum entsteht erst, wenn ein Teil der Freizeit als Arbeitszeit verwendet wird. Tag wird aufgeteilt in: 24 = H + N, 41 / 49

Individuelles Arbeitsangebot Der Nutzen kommt entweder durch Freizeit, N, oder ein aggregiertes Konsumgut, C. Die Nutzenfunktion ist also U(C, N). Wie bringt man das mit Arbeit/Einkommen in Zusammenhang? Arbeitszeit bedeutet Einkommen, Y, durch Stundenlohn, w, mal Arbeitszeit, H. Y = wh. Mit dem Einkommen können Konsumgüter gekauft werden. Das aggregierte Gut kostet pro Stück p. Gespart wird nichts (Lebenszeitmodell). Konsum, C, ist somit: C = Y /p. 42 / 49

Individuelles Arbeitsangebot Fassen wir das in einer Budgetbeschränkung zusammen, die, so wie die Nutzenfunktion, von C und N abhängt: dazu ersetzen wir H durch Y /w, und Y durch pc: 24 = C p w + N. Wie ermittelt man die optimale, nutzenmaximierende Kombination aus Arbeitszeit und Freizeit? Graphisch, so: Und rechnerisch: (Tangential-)Bedingung für Maximum, MRS = w/p. 43 / 49

Individuelles Arbeitsangebot Gemeinsam durch Budgetbeschränkung (Zeitkontingent) und Tangentialbedingung können wir alles ausrechnen, wonach wir gefragt haben: Die optimale Menge an Freizeit: N = N(w) Die optimale Menge an Arbeitszeit: H = 24 N, also der Rest des Tages. Beachte: das ist die Arbeitsangebotsfunktion, denn sie drückt aus, wieviel Arbeitsstunden bei einem bestimmten Lohn w gewählt (angeboten) werden. Eine Umformulierung macht das deutlicher: H = H(w) = 24 N(w). Konsumniveau läßt sich vom Einkommen ableiten: C = w H = Y. Diesen Überlegungen folgend, ein Rechenbeispiel. 44 / 49

Beispiel: Individuum mit CD-Nutzenfunktion Verwenden wir wieder eine Cobb-Douglas Nutzenfunktion, diesmal mit den Wahlmöglichkeiten C und N, und mit A = 2, α = 1/2 und β = 1/2: U(C, N) = AC α N β = 2C 1/2 N 1/2 Die Budgetbeschränkung haben wir schon formuliert, und eine Umformung (für unten): 24 = C p w + N C = w p (24 N) 45 / 49

CD-Nutzenfunktion Für die Optimalitätsbedingung brauchen wir: MRS = MU N MU C = 2C 0,5 0, 5N 0,5 2 0, 5C 0,5 N 0,5 = C N MRT = dc dn = w p woraus wir berechnen können: MRS = MRT C N = w p C = N w p. (1) Das ist wiederum die Gleichung für alle Tangentialpunkte. Die Budgetbeschränkung legt das Niveau fest, berechenbar durch Einsetzen von C in die Beschränkung. 46 / 49

CD-Nutzenfunktion N w p = w p (24 N) N = 12 Überraschendes Resultat: N, und wegen H(w) = H = 24 N auch H, hängt nicht vom Lohn ab! Ein Individuum mit einer solchen Nutzenfunktion arbeitet immer gleich viel. Grund: mit mehr Stundenlohn müsste es für das gleiche Konsumniveau weniger arbeiten, aber auch die Erhöhung des Konsums bringt mehr Nutzen, und führt hier dazu, dass mehr konsumiert wird. (Graphik: p = 1.) 47 / 49

Was passiert wenn sich Lohn ändert? Das Ergebnis hängt von der Wahl der Nutzenfunktion (bzw. den Präferenzen) ab. Beobachtbar ist oft ein positiver Zusammenhang zwischen Lohnsatz w und Arbeitsangebot H : 48 / 49

Weitere Erhöhung des Lohns Arbeitsangebot geht möglicherweise schließlich zurück, wenn Lohn weiter steigt. Also: Niedriger Lohn: zusätzliche Konsummöglichkeiten erhöhen Nutzen star, Verzicht auf Freizeit. Höherer Lohn: Freizeit wird rar, und Konsumniveau ist bereits sehr hoch, weniger Arbeitszeit zugunsten mehr Freizeit. 49 / 49