Fachhochschule Offenburg Laboratorium für Digitale Signalverarbeitung Versuch Nr. 4 SS WS SS 00 Versuchstag 15. Mai 2000 Semester EN 7 Gruppe 3 1 Johannes Petri Letzter Abgabetermin Abgabetermin verlängert bis Unterschr. Aufgabe: 29. Mai 2000 13. Juni 2000 Testat 2 Moritz Meyer 3 Multiratenverarbeitung 4 5 Versuchsleiter Moritz Meyer Korrektur siehe Ausarbeitung der Versuchsleiters Zusammenfassung Multiratenverarbeitung ist, wie der Name verrät, die Verarbeitung verschiedener Abtastraten. Multiratenverarbeitung wird dort eingesetzt, wo Abtastraten aufeinander abgestimmt und angepaßt werden müssen. Die Unterbegriffe der Multratenverarbeitung sind Interpolation (Up- Sampling) und Dezimation (Down-Sampling). Neben der Grundsätzlichen Anwendung der Multiratenverarbeitung wird diese auch zur besseren Auslegung von Filtern gebraucht (Kapitel 4) oder sogar zur Verringerung des Quantisierungsrauschens des D/A-Wandlers (Kapitel 5).
1 Inhalt 1 Inhalt 2 2 Multiratenverarbeitung 3 3 Einleitung in die Begriffe der Multiratenverarbeitung 3 3.1 Signal to Noise and Destortion SINAD 3 3.2 Dezimation 4 3.3 Interpolation 5 4 Versuchsdurchführung 6 4.1 Betrachtung im Zeitbereich 6 4.2 Betrachtung im Frequenzbereich 6 5 Anwendung: CD Aufnahme und Wiedergabe 7 5.1 Wiedergabe 7 5.2 Aufnahme 7 6 Rauschfärbung (Noise Shaping) 9 Seite 2
2 Multiratenverarbeitung Multiratenverarbeitung ist, wie der Name verrät, die Verarbeitung verschiedener Abtastraten. Multiratenverarbeitung wird dort eingesetzt, wo Abtastraten aufeinander abgestimmt und angepaßt werden müssen. Die Unterbegriffe der Multratenverarbeitung sind Interpolation (Up- Sampling) und Dezimation (Down-Sampling). Neben der Grundsätzlichen Anwendung der Multiratenverarbeitung wird diese auch zur besseren Auslegung von Filtern gebraucht (Kapitel 4) oder sogar zur Verringerung des Quantisierungsrauschens des D/A-Wandlers (Kapitel 5). 3 Einleitung in die Begriffe der Multiratenverarbeitung 3.1 Signal to Noise and Destortion SINAD Die klassischen Beschreibungen der Störsignale (Klirrfaktor, Signal-to-Noise-Ratio SNR) werden durch den heutig oft angegebenen Faktor Signal-to-Noise-and-Destortion SINAD ersetzt. Die durch einen nichtlinearen Verstärker erzeugten Oberschwingungen werden durch die immer besser werdende Technik kleiner. In modernen Audiosystemen versinken die Oberwellen im Rauschen, so daß die Angabe des Klirrfaktor überflüssig wird. Der Faktor SINAD unterscheidet nicht mehr zwischen Rauschen und Oberschwingungen, sondern vergleicht allgemein die Leistung des Nutzsignals mit der Leistung des Störsignals. Seite 3
3.2 Dezimation Die Dezimation dienen zur Reduktion (Unterabtastung) der Datenmenge digitaler Signale. Hierbei werden die Abtastwerte um den Dezimatinsfaktor M (M N) verringert. Dies geschieht durch verwerfen aller Abtastwerte die zwischen den M-ten Abtastwerten liegen. Wie bei der Analog-Digital-Abtastung muß auch bei der Digital-Digital-Abtastung (Dezimation) Filter zu positionieren, da ansonsten die über der halben Abtastfrequenz F/2 liegenden Frequenzanteile in das Nutzsignal gespiegelt werden. In einer Demonstration unter MathLab wurde das Verhalten des Dezimationsfilter im Zeit Und Frequenzbereich dargestellt (Beiblatt I). Es wurde dabei von folgendem Versuchsaufbau ausgegangen: auf die Aliasfrequenzen aufgepaßt werden. Es ist notwendig vor der Dezimation ein Anti-Alias- x 1 (n 1 ) x Dezimations- 1f (n 1 ) x 2 (n 2 ) Filter M Unterabtastung Auf das Eingangssignal x1(n1) wurde weises Rauschen addiert. Dies entspricht in der späteren Betrachtung dem Quantisierungsrauschen des A/D-Wandlers. Zur Vermeidung der Aliasfrequenzen wird das Eingangssignal einem Dezimations-Filter unterworfen. Das folgende Signal x1f(n1) hat die höherfrequenten Frequenzanteile verloren, wodurch die Rauschleistung zurückgeht und der SINAD besser wird. Nun kann und wird das Signal um Faktor M=4 unterabgetastet. Das resultierende Signal x2(n2) hat eine Abtastfrequenz von F1/4, der SINAD entspricht dem des gefilterten Signals x1f(n1). Seite 4
3.3 Interpolation Die Interpolation dient zur Überabtastung digitaler Signale. Hierbei werden den Abtastwerten L (L N) zusätzliche Abtastwerte zwischengeschoben. Da den zugeschobenen Abtastwerten kein beliebiger Wert zugeordnet werden kann, sondern der Wert dem zu rekonstruierenden Signal entsprechen muß, muß eine Interpolation des Wertes durchgeführt werden. Die logisch einfachste Methode währe, den Wert der Mittelwertbildung der benachbarten Abtastwerte, dem neuen Abtastwert zuzuordnen. Dieses Verfahren nennt sich lineare Interpolation. Ein logisches komplizierteres Verfahren, aber aus der Sicht der Signalverarbeitung optimales Verfahren ist den hinzugefügten Abtastwerten den Wert 0 zuzuschreiben. Das nun neu entstandene Signal wird einem TP-Filter, den sogenannten Interpolationsfilter, zugeführt, der durch seine Funktionsweise den zugefügten Abtastwerten einen entsprechenden Wert zuführt. Wie im vorherigen Kapitel wurde die Interpolation unter MathLab demonstriert (Beiblatt II). Auf folgendem Versuchsaufbau baut die Simulation der Interplation auf. x 1 (n 1 ) x 2 (n2) Interpolationsx 2f (n 2 ) L Übertastung Dem Original-Signal x1(n1) werden Faktor L=2 Abtastwerte mit dem Wert Null zwischen gesetzt. Durch das Einfügen der zusätzlichen Abtastwerte erhöht sich die Abtastfrequenz um den Faktor L, also F2=L*F1. Im Frequenzspektrum von x2(n2) spiegelt sich das, aus dem Spektrum von x1(n1) bekannte Spektrum an F2/2, bzw. F1. Durch die Spiegelung des Sinussignals entsteht ein Störsignal mit dem gleichen Pegel der dazu führt, daß der SINAD schlechter 0dB wird. Die Filterung durch den Interpolations-Filters sorgt für die Wertezuweisung der zwischen eingefügten Abtastwerte. Gleichzeitig filtert der Filter alle über F2/2 liegenden Frequenzanteile weg. Würde der Filter ideal sein, so würde der SINAD des Up-gesampelten Signals x2f(n2) den des Orginal-Signals x1(n1) entsprechen. Filter Seite 5
4 Versuchsdurchführung In dem Versuch Multiraten wurde ein Sinussignal mit Sigam-Delta-Modulatoren abgetastet. Das entstandene digitale Signal wird dezimiert und daraufhin interpoliert. Das Sinussignal besitzt eine Frequenz von 190Hz und wird 20dB unter der Vollaussteuerung des Sigma-Delta-Modulators betrieben. Der Sigma-Delta-Modulator tastet das Signal mit einer Abtastfrequenz von F1= 6,25MHz ab. Der Dezimationsfilter reduziert die Abtastwerte um den Faktor M=128, so daß die neue Abtastfrequenz F2=48,828kHz beträgt. Die dezimierte Abtastfolge wird um Faktor 2 interpoliert, so daß letztendlich die Abtastfrequenz F3=97,656kHz beträgt. 4.1 Betrachtung im Zeitbereich Der Sigma-Delta-Modulator wandelt das kontinuierliche Eingangssignal in einen seriellen Bitstrom (Beiblatt III). Durch die Addition der Bits kann auf den ungefähren Signalverlauf geschlossen werden (Beiblatt IV). Tatsächlich wird jedoch der quantisierte Bitstrom TP-gefiltert, um den Faktor M=128 dezimiert und in ein paralleles Datenformat mit höherer Auflösung umgeformt (kontinuierlich: Beiblatt V; zeitdiskret: Beiblatt IV). Durch einfügen vom Faktor L=2 Abtastwerten mit dem Wert Null und durch folgende TP-Filterung wird das down-gesampelte Signal nun up-gesampelt (diskret: Beiblatt VII; kontinuierlich: VIII). 4.2 Betrachtung im Frequenzbereich Das Spektrum nach der Quantisierung des Sinussignal ist überdeckt vom Quantisierungsrauschen (Beiblatt IX). Im Bereich des Sinussignals geht das Quantisierungsrauschen zurück. Durch Down-Sampling des Signals werden die hochfrequenten Anteile (im Beiblatt gelb) durch einen Tiefpaß abgeschnitten, um Aliasing zu vermeiden. Übrig bleiben die dem Sinussignal naheliegenden aber kleineren Rauschanteile des Quantisierung (Beiblatt X). Dies führt zu einem besseren SINAD. Durch die folgende Interpolation wird die Abtastfrequenz erhöht. Das Spektrum des down-gesampelten Signal bleibt wie der SINAD bestehen. Seite 6
5 Anwendung: CD Aufnahme und Wiedergabe 5.1 Wiedergabe Wendet man bei der CD-Wiedergabe die konventionelle D/A-Wandlung an, so wird man bei der Tiefpaßfilterung des Rekonstruktionsfilters auf Probleme stoßen. Eine CD besitzt eine Abtasfrequenz von F=44,1kHz, wobei die Nutzdaten im Bereich bis 20kHz liegen. Die Auslegung des Rekonstruktionsfilters im Bereich von 20kHz bis F/2=22,01kHz bedarf einer steilen Flanke. Die Realisierung einer solchen Flanke ist aufwendig und führt zu Phasenverzerrungen. Durch Oversampling um den Faktor L=2 vor der D/A-Wandlung wird die Abtstfrequenz auf Fo=88,2kHz gehoben. Das Nutzsignal liegt trotz Oversampling im Bereich von 20kHz. Ein Rekonstruktionsfilter im Bereich von 20kHz bis Fo/2=44,1kHz bedarf keinen großen Aufwand mehr und führt nur zu geringen Phasenverzerrungen. 5.2 Aufnahme Bei der A/D-Wandlung tritt die selbe Problematik wie bei der D/A-Wandlung auf. Der Antialiasfilter zwischen dem Nutzsignal (bis 20kHz) und der halben Abtastfrequenz (22,01kHz) ist zu aufwendig und führt zu Phasenverzerrungen. Die Überabtastung des Nutzsignals mit einem Faktor M größeren Abtastfrequenz sorgt für einer leichteren und besseren Realisierung des Filters. Nach der Filterung muß das Signal um den Faktor M down-gesampelt werden um die standardisierte Abtastfrequenz von 44,1kHz einzuhalten. Ein weitere Vorteil des Downsampeln ist die Verbesserung des Quantisierungsrauschen. Der Zusammenhang des Rauschens zur effektiven Bitauflösung läßt sich mit folgender Formel beschreiben: SINAD( db) 6 b + = eff 1,8 b eff = SINAD( db) 6 1,8 Das bedeutet, daß durch Down-Sampling ein besserer SINAD erreicht wird, oder umgekehrt bei beibehalten des SINAD kann die Bitauflösung zurück genommen werden. Seite 7
Eine weiterer Zusammenhang zwischen Bitauflösungen, Abtastfrequenzen und Dezimationsfaktor läßt sich aus der Formel ableiten: Hieraus ergibt sich folgende Tabelle b = b 2 log 4 ( ) F1 = M F2 1 M b1 F1 / khz M b2 F2 / khz 16 44,1 1 16 44,1 15 176,4 4 16 44,1 14 705,6 16 16 44,1 13 2822,4 64 16 44,1 12 11289,6 256 16 44,1 11 45158,4 1024 16 44,1 10 180633,6 4096 16 44,1 9 722534,4 16384 16 44,1 8 2890137,6 65536 16 44,1 7 11560550,4 262144 16 44,1 6 46242201,6 1048576 16 44,1 5 184968806,4 4194304 16 44,1 4 739875225,6 16777216 16 44,1 3 2959500902 67108864 16 44,1 2 11838003610 268435456 16 44,1 1 47352014438 1073741824 16 44,1 Es ist ersichtlich, daß ein Ein-Bit-Wandler bei einer Abtastfrequenz von 4,74THz für CD- Qualität mit dem heutigen Stand der Technik nicht realisierbar ist. Seite 8
6 Rauschfärbung (Noise Shaping) Eine Verbesserung des Quantisierungsrauschen und den damit verbundenen SINAD wird wie oben beschrieben durch Oversampling, Dämpfung des Anti-Alias-Filter der höheren Frequenzen und die folgende Dezimation erreicht. Dabei wird die Rauschleistung von dem Anti-Alias-Filter geschluckt. Eine Färbung des Rauschsignals, daß heißt eine Verlagerung des Rauschens in den höherfrequenten Bereich, würde dazu führen, daß der Anti-Alias-Filter mehr Rauschleistung unterdrückt und sich hierdurch der SINAD verbessert. Delta-Sigma-Wandler besitzen ein solches Verhalten das Quantisierungsrauschen zu färben. Der Eingang zum Ausgang weist, durch das Integrierglied ein Tiefpaßverhalten auf. Der Quantisierungsfehler der durch den Komperator entsteht liegt hinter dem Integrierglied. Hinter dem Komperator folgt das D-FlipFlop, dessen Ausgang rückgekoppelt wird. Durch diesen Aufbau unterliegt das Quantisierungsrauschen des Komperators einem Hochpaßverhalten, wodurch das Rauschsignal gefärbt wird. Im obigen Versuch (Kapitel 4) kann man die Färbung des Quantisierungsrauschen deutlich im Frequenzspektum nach der A/D-Wandlung sehen (Beiblatt IX). Durch erhöhen der Ordnung des Integrierers, erhöht sich die Ordnung des Tiefpaßes und des Hochpaßes. Dies führt zu einer weiteren Verbesserung des SINAD. In folgender Tabelle ist der Bitgewinn (Kapitel 4.2) gegen der Ordnung des Integrierers dargestellt: Art Gewinn Reines Oversampling 1 Bit / vierfacher Abtastrate Delta-Sigma-Converter 1. Ordnung Delta-Sigma-Converter 2. Ordnung 0,5 Bit / Verdopplung der Abtastrate 1,5 Bit / Verdopplung der Abtastrate 2,5 Bit / Verdopplung der Abtastrate 15 Bit / 6-malige Verdopplung der Abtastrate Seite 9