4. Folgen und Grenzwerte 4.2 Grenzwertsätze für Folgen Rechenregeln für konvergente Folgen Satz 4.11 Die Folgen (a n ) und (b n ) seien konvergent mit dem Grenzwert a bzw. b. Dann gilt: 1 lim (a n + b n ) = a + b 2 lim (a n b n ) = a b ( ) an = a b, falls b 0 und b n 0 für n n 0 3 lim b n Beispiel 4.12 Wir bestimmen den Grenzwert von (a n ) mit a n = n2 n 2n 2 + 1.
Zwei Beispiele Eine Folge (a n b n ) kann konvergieren, obwohl (a n ) und (b n ) divergent sind, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel 4.13 a n = n 2 + n, b n = n. (a n ) und (b n ) sind bestimmt divergent gegen. Wir betrachten (a n b n ). Wir betrachten noch folgendes wichtige Beispiel: Beispiel 4.14 Wir betrachten (a n ) mit a n = q n für ein q C. Ein Satz über Nullfolgen Satz 4.15 Sei (a n ) eine Folge und (b n ) eine Nullfolge. 1 Gilt a n b n ab einem n 0 N, so ist auch (a n ) Nullfolge. 2 Ist (a n ) beschränkt, so ist (a n b n ) eine Nullfolge. Beispiel 4.16 Wir betrachten a n = in n, n N.
Rechenregel für reelle Folgen Für den Rest dieses Abschnitts betrachten wir reelle Folgen. Satz 4.17 Die Folgen (a n ) und (b n ) seien konvergent mit dem Grenzwert a bzw. b. Dann gilt: Aus a n b n für n n 0 folgt a b. Vorsicht! Aus a n < b n für alle n folgt nicht a < b! Beispiel 4.18 Wir betrachten a n = 1 + 1 n und b n = 1 + 2 n, n N. Monotone Folgen Da reelle Folgen spezielle reelle Funktionen sind, überträgt sich der Monotoniebegriff. Z.B. heißt (a n ) streng monoton wachsend, falls a n < a n+1 für alle n N gilt. Beispiel 4.19 1 (a n ) mit a n = 1 n ist streng monoton fallend. 2 (a n ) mit a n = 2 n ist streng monoton wachsend. 3 Die Folge der Fibonacci-Zahlen (Bsp. 4.2.8) ist monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend. 4 (a n ) mit a n = ( 1) n ist nicht monoton. Die reelle Folge (a n ) heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn es ein M > 0 gibt, so dass a n M (a n M) für alle n N gilt.
Grenzwertsatz für monotone Folgen Satz 4.20 Es sei (a n ) eine reelle Folge. 1 Ist (a n ) monoton wachsend und nach oben beschränkt, dann ist (a n ) konvergent. 2 Ist (a n ) monoton fallend und nach unten beschränkt, dann ist (a n ) konvergent. Der Satz gilt auch, wenn (a n ) erst ab einem bestimmten Index n 0 N monoton ist. Beispiel 4.21 Wir betrachten die Folge (a n ) n 0 mit a 0 = 1, a n+1 = 1 ) (a n + 2an 2 für n 0. Anhang: Beweis von Satz 4.15 Sei ε > 0. Da (b n ) eine Nullfolge ist, existiert n ε N, so dass b n ε für alle n n ε. 1 Es folgt a n b n ε für alle n n ε, d.h. (a n ) ist eine Nullfolge. 2 Da (a n ) beschränkt ist, gibt es eine Schranke S > 0 mit a n S für alle n N. Damit folgt a n b n S b n = Sb n. Da (Sb n ) nach Satz 4.11 eine Nullfolge ist, folgt die Behauptung mit Teil 1.
Anhang: Beweis von Satz 4.20 1 Sei ε > 0. Da (a n ) nach oben beschränkt ist, gibt es eine kleinste obere Schranke S für (a n ). Dann ist S ε keine obere Schranke für (a n ), d.h. es gibt n ɛ N mit S ε < a nε. Da (a n ) monoton wachsend ist, folgt S ε < a nε a n S für alle n n ε und damit a n S = S a n < ε für alle n n ε. Also konvergiert (a n ) gegen S. 2 wird ähnlich bewiesen.