6. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main
Letzte Woche: Letzte Woche: 1.) Erweiterung von Fourier- zu Laplace-Transformation 2.) Eigenschaften von Laplace-Transformation 3.) Konvergenzverhalten 4.) Stabilität 6. Vorlesung Systemtheorie 1
Heute: Heute: 1.) Zeitdiskrete Fourier-Transformation 2.) z-transformation 6. Vorlesung Systemtheorie 2
Betrachtung zeitdiskreter Systeme H(jω) bzw. H(s) hat sich als für die Beschreibung von DESS (zeitkontinuierliche, durch DGL spezifizierte Systeme) als äußerst sinnvoll erwiesen! Jetzt: Betrachtung zeitdiskreter Systeme (DTSS). Grund: Rechner/digitale Steuerungen arbeiten zeitdiskret. Signale werden digital gespeichert und verarbeitet. Zeitbasis: T = {n T n Z, t R}. 6. Vorlesung Systemtheorie 3
Zeitdiskrete Signale und Systeme (DTSS) Beispiel Beispiel: Compact Disc (Philips, Sony 1982) Signale werden als diskrete Folgen modelliert. CD: 2 Kanäle (rechts, links). Jeder Kanal mit 44.1kHz abgetastet Zeitbasis T = {n T } mit T = 1 44.1 msec. Jeder Abtastwert wird mit 16 bit quantisiert in k2-darstellung gespeichert. 6. Vorlesung Systemtheorie 4
Zeitdiskrete Signale komplexe Exponentialfolge j e j!nt!nt 1 1T 2T 3T 4T t 6. Vorlesung Systemtheorie 5
Komplexe Exponentialfolge (2) Komplexe Exponentialfolge: f[n] = f[nt ] = e jω nt. ω die Kreisfrequenz der Folge. n T sind die Stellen, an denen Werte eingegeben/ausgegeben werden (Zeitbasis). Komplexe Exponentialfolge nicht bijektiv zu komplexer Exponentialfunktion!!! Ein- und dieselbe komplexe Exponentialfolge kann durch unterschiedliche komplexe Exponentialfunktionen erzeugt werden! 6. Vorlesung Systemtheorie 6
Komplexe Exponentialfolge (3) Spektrum komplexer Exponentialfolge periodisch mit der Periode 2π/T! 4¼=T 2¼=T! 0 2¼=T 4¼=T! Spektrum einer diskreten Exponentialfolge der Frequenz ω 0. 6. Vorlesung Systemtheorie 7
Eingabe: Exponentialfolge, Ausgabe:? Sei zeitdiskretes System mit Impulsantwort h[n] bekannt, und sei die Eingabe: jω nt u[n] = ce So ergibt sich die Ausgabe durch Anwendung der Faltungssumme zu: y[n] = u[n ν]h[ν] = c e jω(n ν)t h[ν] ν= ν= Der von ν unabhängige Teil e jω nt kann vor die Summe geschrieben werden: y[n] = ce jωnt }{{} u[n] ν= e jνωt h[ν]. } {{ } H(e jωt ) 6. Vorlesung Systemtheorie 8
Zeitdiskrete Übertragungsfunktion Periodizität Damit Darstellung der Systemfunktion durch Übertragungsfunktion: H(e jωt ) = y[n] u[n] u[n]=e jnωt Parameter e jωt wegen Periodizität der Übertragungsfunktion! Bequem: Nur Betrachtung der Frequenzen ω ω 0 /2 mit ω 0 = 2π/T. Dann auch Notation: H(jω) = y[n] u[n] u[n]=c e jωnt = Y (jω) U(jω) 6. Vorlesung Systemtheorie 9
Zeitdiskrete Fourier-Transformation Mit Substitution Ω = ωt und dω = dω/t erhalten wir die zeitdiskrete Fourier-Transformation: F (e jω ) = f[n]e jnω f[n] = 1 2π π π F (e jωn )e jωn dω Konvergenz, dann, und nur dann, wenn: f[n] < 6. Vorlesung Systemtheorie 10
Zeitdiskrete Fourier-Transformation: Beispiel Gegeben: Zeitdiskretes System mit der Impulsantwort h[n] = s[n](1/2) n. Mit diskreter Fourier-Transformation erhalten wir H(e jω ): H(e jω ) = Mit Matlab: = n=0 1 2 n(e jω ) n (0.5e jω ) n = n=0 1 1 0.5e jω OMEGA=-10:0.01:10 Y=1./(1-0.5*exp(-j*OMEGA) plot(omega,abs(y)) 6. Vorlesung Systemtheorie 11
Zeitdiskrete Fourier-Transformation: Beispiel 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 15 10 5 0 5 10 15 6. Vorlesung Systemtheorie 12
Zeitdiskrete Laplace-Transformation/z-Transformation Die zeitdiskrete Fourier-Transformierte F (e jω ) eines Signals f[n] wurde definiert als F (e jω ) = n= f[n]e jωn. Notwendig und hinreichend für die Konvergenz ist die absolute Summierbarkeit von f[n]. Idee: Multiplikation von f[n] mit geometrischer Reihe. Dann Konvergenz, wenn: n= f[n] r n < M < 6. Vorlesung Systemtheorie 13
z-transformation Fourier-Transformation der mit r n multiplizierten Folge: f[n] r n f[n]r n e jnω = n= n= f[n](r e jω ) n Wir notieren statt r e jω bequemer ein z C, und definieren die z- Transformation wie folgt: F (z) = n= f[n]z n (z-transformation) 6. Vorlesung Systemtheorie 14
Inverse z-transformation Ohne Herleitung Inverse z-transformation, Rücktransformation: f[n] = 1 2πj C F (z)z n 1 dz (inv. z-transformation) Umlaufintegral: C ist Pfad um Nullpunkt in math. positivem Sinne innerhalb des Konvergenzgebiets. 6. Vorlesung Systemtheorie 15
Inverse z-transformation, Residuensatz Bestimmung der inversen z-transformation mit Residuensatz: f(z)dz = 2πj N Res[f(z,k )] k=1 mit Res[f(z,k )] = (z z,k ) f(z) z=z,k Entsprechend ergibt sich f[n] aus der Summe der Residuen von F (z)z n 1. 6. Vorlesung Systemtheorie 16
z-transformation, Notation Wir verwenden für den Zusammenhang zwischen einer Folge f[n] und ihrer z-transformierten F (z) die folgende Notation: f[n]. F (z) Beziehungsweise: F (z). f[n] 6. Vorlesung Systemtheorie 17
z-transformierte als Systemspezifikation Erinnerung: Impulsantwort h[n] erlaubt Charakterisierung des Verhaltens von LTI-Systemen. Analog zur Charakterisierung von kontinuierlichen Systemen durch H(jω) bzw. H(s): h[n]. H(z) = Y (z) U(z) H(z) ist Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems. 6. Vorlesung Systemtheorie 18
Beispiel Gesucht ist z-transformierte der Sprungfolge s[n], Konvergenzbereich. Einsetzen in z-transformation ergibt: F (z) = f[n]z n = z n = (z 1 ) n n= n=0 n=0 Für z > 1 konvergiert diese Summe (geom. Reihe), und wir erhalten: F (z) = 1 1 z 1 = z z 1, z > 1 6. Vorlesung Systemtheorie 19
Korrespondenzen der z-transformation f[n] F(z) Konvergenz δ[n]. 1 z R δ[n m]. z m z 0 m > 0 oder z m < 0 s[n]. 1 1 z 1 z > 1 s[n] a n. 1 1 a z 1 s[n] n a n. a z 1 (1 az 1 ) 2 s[n] n 2 a n. a z 1 +a 2 z 2 (1 a z 1 ) 3 z > a z > a 6. Vorlesung Systemtheorie 20
Verschiebung im Zeitbereich Bekannt: f[n]. F (z). Gesucht: z-transformierte von f[n k]. f[n k]. = f(n k)z n n= f(m)z m k = z k m= m= z m = z k F (z) 6. Vorlesung Systemtheorie 21
Eigenschaften der z-transformation... Seien die Korrespondenzen bekannt: f[n] F (z), f 1 [n] F 1 (z), f 2 [n] F 2 (z) Dann gelten auch die Korrespondenzen: k 1 f 1 [n] + k 2 f 2 [n] k 1 F 1 (z) + k 2 F 2 (z) (Linearität) f[n k] F (z) z k (Zeitverschiebung) f 1 (t) f 2 (t) F 1 (s) F 2 (s) (Faltung) 6. Vorlesung Systemtheorie 22
Verschiebung im Zeitbereich Bedeutung Besondere Bedeutung: z k F (z). f[n k] d. h. eine Multiplikation mit z 1 entspricht einer Verzögerung! Daraus folgt direkt Realisierung: Schieberegister (Hardware), Wait-Statement in Schleife (Software, HDL) 6. Vorlesung Systemtheorie 23
Zurück zu Beispiel! Wir hatten die folgende Korrespondenz hergeleitet: s[n]. 1 1 z 1 Damit hat ein System mit der Impulsantwort s[n] die Übertragungsfunktion: H(z) = Y (z) U(z) = 1 1 z 1 Y (z) = U(z) 1 z 1 Y (z) Y (z)z 1 = U(z) In den Zeitbereich transformiert erhalten wir: y[n] y[n 1] = x[n] y[n] = x[n] + y[n 1] = n= x[n] 6. Vorlesung Systemtheorie 24
Zusammenfassung Heute kennengelernt: 1.) Zeitdiskrete Fourier-Transformation 2.) z-transformation 3.) Eigenschaften von z-transformation 6. Vorlesung Systemtheorie 25
Ausblick Nächste Woche: 1.) Rationale z-transformierte, Stabilität 2.) Digitale Filter: FIR, IIR-Filter Diese diskreten Transformationen entsprechen eher dem, was wir in Rechnern berechnen können! 6. Vorlesung Systemtheorie 26