Lösungen der Aufgaben ClC2 1. C=-- Cl + C2 oder 1 1 1 - = -+-. C Cl C2 3. Wo = /EA. ml 4 X" + {1 jg x = 0' {1L ' 2 {1jg Wo = (1L' a A 5. x = 2; b) x* = ~ + x' 2 ' 7. x= Wo = j2iä. L 8. S = (1, = ;;-;) = 0,289L., v 12 9. WOR = /f; Wos= ~. 10. T = 84,3 Minuten. 11. T = 4 Im arccos _1_.. V ~ 1+7f 12. T = 2 V Im [TI + ~.] ~ X-Xt 13. D = 0,378. 14. X m = 0,955 rnrn; A = 0,826; D = 0,131.
388 Lösungen der Aufgaben 15. A = 0,4; D = 0,0635. 16. D = 0,075; (xmaxh = 78,7%. 17. Xo = -V9; X4 = -1; 4,5 Halbschwingungen. 2)' 2 A 19. X.. - ( a - 43ß x 2 W x + Wox =, w ~ W O ; 20. x ~ ~ Ifi o 21. x - x: (8; _ ßX) i: + w5 (1 + 3:x 2 ) x = 0; W ~ w o A 8a x ~ - 3ß' 22. a) TiD x = acoth. 2Vl- D2' b) A 2a x TiD' ~ 23. Wo Vkrit = b sin 'Ij;. 24. ~ T 1 (. X r. x r ) -- - arcsln -A T Ti X - X r x +xr - = - arcsln -A -- ; 5,5s. 25. ~ T 1 2,;xx; - = 'f- arctan -A--' T Ti X - X r = 5560s/d. ~ T Fall a): Minus-Zeichen, Fall b): Plus-Zeichen. T = 4h2to. 26. h2 - h6' x = hto; X m = hoto. 27. Die Schwingung ist stabil wegen und LlED < LlE für ~ < o ~ o * 3mhL1 (Li + L 1L2 + Ln ~ = o 4 q (Li L ~ + L ~ ) ~ E> D ~ für E ~ > o ~ o,
n 28. 0,99792 < - < 1,00042; Wo 29. n:::: 14,14wo. n 1,83 < - < 2,24. Wo Lösungen der Aufgaben 389 30. 1 ( ßC) - co+- J 2' 31. Durch Einsetzen von y = al cos ~ + b1 sin ~ +... in (4.38) folgt a l c o[ s - ~ ~ + A + + b l~ s] i[ n - ~ ~ + + A... - =0. ~ ] Nullsetzen der eckigen Klammern ergibt Gi. (4.43). 32. vü=xo(d+k)=xo(d+)d2_1). 1 Dopt = "2..;J:"+k. 34. a) D = 1; b) Kriterium versagt, da FI = Vo von D unabhängig ist; c) Kriterium versagt ebenfalls, da F2 für D < 1 monoton und für D ::::: 1 konstant ist; v d) 2 F3 = 4;; Dopt ~ 00. 35. x(t)=n[t-2+(t+2)e-r] für O:::;T:::;TO; X(T) = n [TO - (2 + T - To)e-(r-ro) + (T + 2)e-r] für T:::: TO. 36. K7]4 v-. - )(1-7]2)2 + 4D27]2' 7]extr = J ~ -2D2) ( 1 ± )1-36D2(1 - D2); D :::; 0,1691. 37. 38. 1-7]2 B) u = 2D7] ; 1 C) u = 2" - 1; 7] v = 1; 2D V--' - 7], Gerade parallel zur u-achse im Abstand v = 1. Parabel wie im Falle A, nur mit reziprokem 7]-Maßstab.
390 Lösungen der Aufgaben 39. a) XR ;::; -xc; b) XR ;::; -Xc; 2 40. 6T = --' 1 + 1]2 ' 4,36 < 1] < 00; o < 1] < 0,229. fj = 0,040 entsprechend 4%. 41. 1] = 4,58; 1 Wo = 22,8-; s 10 = 1,88cm. 42. X max = 1,26 m. 43. Aus der Bedingung für eine 3 fache Wurzel der G l. (5.123) folgt \I 4Xo *. / 9ax*2 D* 3V3 ax*2 A * x = ~ ; 1] = VI + -8-; = 161]* 44. 45. da nur ein reeller Wert für i; existiert, können Sprünge nicht vorkommen. A X max ;::; V 37rxo sq' 47. 1-61] :s; 1] :s; 1 + 61] mit 48. a = w o V O, 1 ~ 5 J. = C ('PI - JO,5 'P2 ) ; 1] = C ( v2 'PI + 'P2), 49. ~ mit beliebigem konstanten Faktor c. 50... (2 2).. ( 2) ga 82 0 'PI 8 2 + (! + 'P2 81 8 2 - (! + ~ ' = P, l.. ( 2)" (2 2) ga 81 'PI 0 81 8 2 - (! + 'P2 8 1 + (! + ~ ' = P. 2
51. W1 = I!; W2 = J 9 ~ ~ ~ 28182 ; = g2; a diese Werte sind nur reell für g < 2". 2. Lösungen der Aufgaben 391 8 1 } -- _ a±0 --g, 82 2 4 52. ( '1'10) - 1. '1'20 Wj ( '1'10 ) '1'20 W2 parallele Pendelschwingung der Stange, Drehschwingung um eine vertikale Achse durch den Schwerpunkt. 53. 54.. w6 - w 2 y = J.lW 2 x = 25mm. WI = )/2-1 Wo = 0,5412wo mit Wo = J! ~, )/2+ 1 W2 = Wo, W3 = /2 Wo = 1,3065wo, 55. W1 = 1,082wo; W2 = 1,414wo; W3 = 2,613wo mit Wo = J!;,. 2 56. TJ = J 4 _ TJ*2 57. (i = 1,2,3); für Wi =0 (i = 1); für Wi =1= (i = 2,3). CP3 = [ - 1 ' ~ 7 1 1 0,035
392 Lösungen der Aufgaben 59. c.pi = c.pd Ni, i = 1,2,3, NI = 31,63Vkgm 2, N2 = 29,64Vkgm 2, N3 = 23,18Vkgm 2. 60. n = 2; 61.. TIff Wj = (2J - 1) 2" m' j = 1,2,... 62. JTIr2 G Wj = jti Lm' j = 1,2,3; j = 1: x/l = 1/2; j = 2: x/l = 1/4, 3/4; j = 3: x/l = 1/6, 1/2, 5/6. 63. h = 1,0122' hfp -; h* = 0,247/.1L. L p 64. Wj = )..;J ::3' j = 1,2; )..1 = 4,7300; )..2 = 7,8532. ~ W(F 1 = 0) = 0,07%, 67. a) Teilsystem I: Stab ohne Kugel, Teilsystem II: Feder-Kugel-System, nach Dunkerley: 2 1 1 1 E E w1 ;:: 1 1 = 41}L 2 m = -4-- pu = 0,7116 pu' 2 w r + 2" w n TI ~ + E b2e/l 2 TI + 1
Lösungen der Aufgaben 393 68. a) Teilsystem I: Torsionsstab ohne Drehmassen, Teilsystem II: Drehfeder-Drehmassen-System, b) (). 1T X 'PI X =S1ll 2L, Rayleigh- Quotient: 1 4QL2 J1 + 2J2 (7,-) 2 1T2G + Glp/L L!Clp J <P1 2 (x) dx 1 Gd = 0 1389 Gd 64 160 m ' m' 1 0 1 T + ~ 51T 3 Gd ---- 1056 m {Gd {Gd 0,373y --;;-; :<::; Wl :<::; 0,383y --;;-;.
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Sachverzeichnis Abbildung, diskrete 347 -, logistische 347 -, stroboskopische 356 Absolutdämpfung 213 aktive Entstörung 210 Amplitude 14 Amplituden-Frequenzgang 30, 193 Amplituden-Phasen-Charakteristik 194 Amplitudenverzerrung 207 Anfachungsgebiet 109 Anregungsbedingung 137 Anstückelverfahren 71, 201 Arnold-Zungen 380 Attraktor 349, 366 -, chaotischer oder seltsamer 366 Ausgangsfunktion 27 Ausgleichspendel 66 Balken mit Endkörper 321 - - Längskraft 317 -, umlaufender 319 Balkenschwingungen 311 Bequemlichkeitshypothese 279, 326 Bernoulli 307 Bewegung, chaotische 346 Biegepfeil 55 Bifurkationsdiagramm 351 Blindarbeit 190 Blindleistung 188 Chaos 346 chaotische Bewegung 346 charakteristische Gleichung 247 charakteristischer Exponent 159 Coulombsche Reibung 91 d' Alembert 307 Dämpfung, äußere 327 -, durchdringende 277 -, innere 327 -, modale 279, 326 -, proportionale 279 -, vollständige 277 Dämpfungsgebiet 109 Dämpfungskräfte, quadratische 96 Dämpfungsmaß 80 Dämpfungsmatrix 277 Dehnstab 302 Dekrement, logarithmisches 86 Differentialgleichung, Duffingsche 226 -, Hillsche 159 -, Mathieusche 160 -, Meissnersche 168 -, Rayleighsche 145 -, Van der Poische 112, 129, 238 Differentialoperator 322, 324 -, positiv definit oder volldefinit 324 -, symmetrisch oder selbstadjungiert 324 Dimension, fraktale 358, 371 - von Attraktoren 371 Dirac-Funktion 175, 328 Diskretisierungsverfahren 331 Dissipationsfunktion 277, 285 dissipatives System 360 Drehschwinger 41, 49 Drehschwingerkette 286 Duffing 226 Duffing-Schwinger 382 Dunkerley 341 dynamische Versteifung 321 Eigenfunktion 309, 315 Eigenkreisfrequenz 14, 248, 274, 308, 315 Eigenschwingung 245, 249, 250, 310, 316 Eigenschwingungsform 310,316 Eigenvektor 266 Eigenwert 266, 315 Eigenwertaufgabe 266 Eigenwertproblem 323 Eigenzeit 80 Einfluß von Dämpfung 156 Eingangsfunktion 27 Einheitssprung 28 Einschwingvorgang 196 Einzugsbereich 366 elektrische Klingel 105 elektrischer Schwingkreis 49 Elementarfrequenzgang 283 elliptisches Integral 64
398 Sachverzeichnis Endmasse 340 Energie, kinetische 333 -, potentielle 334 Energiediagramm 52 Energiehaushalt 108 Entstörung, aktive 210 -, passive 210 Entwicklungssatz 325 Erregervektor 286 Erregung, harte 111 -, periodische 199 -, überkritische 187 -, unterkritische 187 -, weiche 111 Erschütterungsmesser 208 Exponent, charakteristischer 159 Fadenpendel 49, 151 Feder-Masse-Pendel 35 Feder-Masse-Schwinger 49, 180 Feigenbaumkonstante 351 Fenster, periodisches 351 Festreibung 91 Finite-Elemente-Methode 296 Fixpunkt 349 Frequenz 13 Frequenzfunktion 274 Frequenzgang 27 Frequenzgangmatrix 282 Frequenzgleichung 308, 315, 322 Frequenzreduktion 237 Froudesches Pendel 131 Funktion, zulässige 323, 332 Funktionalmatrix 370 Galerkin-Verfahren 335 Geysir 139 Gleichgewichtslage 14 Gleichrichterwirkung 237 Gleichung, charakteristische 247 Grenzzykel 109 -, stabile (instabile) 110 Hamiltonsches Integralprinzip 312 Harmonische-Balance-Methode 72, 115,218 harte Erregung 111 Hauptachsentransformation 251 Hauptkoordinaten 249, 251, 269 Hauptschwingung 245, 250, 310, 316 Helmholtzsche Kombinationstöne 235 Hillsche Differentialgleichung 159 Hochpaßkette 272 Holzer-Tolle 289 Hüllkurve 21, 84 Huygens-Steinersche Beziehung 65 hydraulischer Kippschwinger 138 - Stoßheber 138 - Widder 139 Hysterese 144 Integral, elliptische 64 Integrierbarkeit 361 Intermittenz 352 inverse Ortskurve 31, 194 Isoklinenmethode 74 Jacobi-Funktionen 63 Jacobimatrix 370 KAM-Theorie 361 Kennlinie bei trockener Reibung 132 Kippschwingungen 107, 137 Klingel, elektrische 105 Knotenpunkt 26 Kombinationsschwingungen 235 Kontinuumsschwingungen 302 Koppelschwingungen 34, 245 Koppelstärke 248 Körperpendel 49 Kreisabbildung 357 Kreiselmatrix 285 Kreisfrequenz 14 Kreuzschubkurbelgetriebe 17 Kupplungsstangen-Antrieb 149 Lagrangesche Gleichungen 246 Leistung 187 Ljapunov-Exponent 353, 368 logarithmisches Dekrement 86 Lösung, chaotische 358 -, periodische 358 -, quasiperiodische oder fastperiodische 358 -, subharmonische 358 Mäanderfunktion 200 Masseneinfluß der Feder 52 Massenmatrix 264 Materialdämpfung 327 Mathieusche Differentialgleichung 160 Meissnersche Differentialgleichung 164, 168 Melnikov-Methode 364 Messung, unterkritische 207 Methode der harmonischen Balance 218 - - kleinen Schwingungen 71 - - langsam veränderlichen Amplitude 121 -, modellgestützte 367 -, signalgestützte 367 Mitnahme-Effekt 242 Mittellage 14
Sachverzeichnis 399 Modalanalyse 317 Modalmatrix 269 Modulationsfrequenz 22 Nachführ-Regler 146 Nachgiebigkeitsmatrix, dynamische 282 Näherungsmethoden 71 nichtlineare Effekte 216 Nullphasenwinkel 18 Oberschwingungen 235 Orbit 349 -, homokliner 364 Orthogonalität 309 Ortskurve 27, 31, 193 -, inverse 31, 194 Oszillographenschleife 205 passive Entstörung 210 Pendellänge, reduzierte 65 Pendeluhr 110 Periode 13 Periodenverdoppelung 351 Pfeifgrenze 131 Phasenebene 22 Phasen-Frequenzgang 30, 193 Phasenfunktion 184 Phaseninstabilität 242 Phasenkurve 22, 368 Phasenporträt 22, 25, 88, 109, 134 Phasenraum 355 Phasenverlauf 183 - eines nichtlinearen Schwingers 229 Phasenverschiebung 19 Phasenverzerrung 207 Poincare-Abbildung 355, 368 Prüffunktion 28 Punkt, heterokliner 364 -, homokliner 364 Punkt-Abbildung 347 quadratische Dämpfungskräfte 96 Rampenfunktion 243 Randbedingungen 313 -, dynamische oder restliche 313, 323 -, geometrische oder wesentliche 313, 323 Rayleigh-Quotient 253, 267, 270, 325, 338 Rayleighsche Differentialgleichung 145 Rayleighsches Prinzip 339 reduzierte Pendellänge 65 Reibungspendel 132 Reibungsschwingungen 105, 131, 373 Relaisregelkreis 141 Relaisschwinger 68 Relativdämpfung 212 Relaxationsschwingungen 137 Resonanz 186, 282 Resonanzerscheinung 283 Resonanzfunktion 186 Resonanzkurven nichtlinearer Systeme 228 Restgrößenverfahren 289 Reversionspendel 66 Ritz-Ansatz 119 Ritz-Verfahren 332 Röhren-Generator 129 Röhrenkennlinie 130 Rollpendel 68 Rollschwinger 46 Rüttelrichtmoment 166 Saite 302 Sattelpunkt 27, 58 Saugkreis 263 Schaukelschwinger 152 Scheinresonanz 282 Schlagschwingungen eines Tragflügels 145 Schranke, obere 338 -, untere 341 Schrankenverfahren 331, 338 Schwebung 22, 198 Schwerependel 43, 148 Schwinger, nichtlinearer 91 Schwingerkette 271 Schwinger-Typ 105 Schwingkreis, elektrischer 38, 49 Schwingung, angefachte 16 -, aufschaukelnde 16 -, autonome 33 -, Differentialgleichung 32 -, Dreieck- 15 - einer Flüssigkeitssäule 40 -, Entstehungsmechanismus 32 -, erzwungene 33, 171 -, fast periodische 14 -, freie 33 -, Freiheitsgrade 32 -, gedämpfte 16 -, gegenphasige 220 -, gleichphasige 220 -, harmonische 15 -, heteronome 33 -, modulierte 22 -, parametererregte 33, 147 -, Rechteck- 15 -, rheonome 147 -, Sägezahn- 15 -, selbsterregte 33, 104
400 Sachverzeichnis Schwingung, Sinus- 15 -, strämungserregte 106 -, Trapez- 15 -, ungedämpte 16 Schwingungen, Klassifikation 31 Schwingungs analyse 286 Schwingungsdauer 13 Schwingungsentstärung 212 Schwingungsisolierung 210 Schwingungsknoten 275 Schwingungsmeßgeräte 204 Schwingungsmesser 244 Schwingungstilger 262 Schwingungstilgung 283 Schwingungsweite 14 Schwingungszeit 13 Separatrix 27, 58 Simulation 367 Sinusschwingung 18 Southwell 341 Speichertyp 106 Sprungeffekt 230, 244 Sprungfunktion 28 Sprung-Übergangsfunktion 29, 174 stabile (instabile) Grenzzykel 110 Stabilität (Instabilität) im Großen 111 - - - Kleinen 111 Stabilitätskarte nach Ince/Strutt 161 Steifigkeitsmatrix 264 -, dynamische 282 Stoßerregung 123, 128 Stoßfunktion (Dirac-Funktion) 28 Stoß-Übergangsfunktion 175 Störungstheorie 361 Strudelpunkt 26, 88 Superpositionsprinzip 49 Synchronisierung 242 System, dissipatives 360 -, konservatives 360 -, nichtglattes 373 -, zeitdiskretes 347 Systemmatrix 286 Temperaturregelung 141 Teufelstreppe 378 Tiefpaßkette 272 Torsionsschwinger 49 Torsionsstab 302 Totzeit 144 Trägerfrequenz 22 Trägheitsradius 46 Trajektorie 349 tropfender Wasserhahn 139 Turbulenzdämpfung 96 Übergangsfunktion 27 Übertragungsfaktor 30 Übertragungsmatrizen-Verfahren 292 Uhrenpendel 123 - mit Festreibung 128 Unterschwingungen 236 Van der Polsehe Gleichung 112, 129, 238 Vektorbild 17 Verfahren der Beschreibungsfunktion 115 - - harmonischen Balance 72, 115 - von Ritz und Galerkin 118 Vergleichsfunktion 323, 336 Vergrößerungsfunktion 30, 183, 185 Versteifung, dynamische 321 Verstimmungseffekt 169 Verzweigungsdiagramm 351 Volumenänderungsrate 365 Wachstum, exponentielles 347 -, logistisches 347 Wasserschlag 140 weiche Erregung 111 Welle, fortschreitende 307 -, stehende 307 Wellengeschwindigkeit 304 Wellengleichung 304 Wellenmesser 210 Windungszahl 358 Wirbelpunkt 25, 58 Wirkarbeit 190 Wirkleistung 188 Zeitkonstante 84 Zeitverlauf 367 Zieh-Erscheinung 242 Zungenfrequenzmesser 210 Zusatzfeder 340 Zusatzmasse 340 Zustandsgleichung 286 Zustandsgrößen 13, 285 Zustandsraum 355 Zustandsvektor 285 Zykloidenpendel 67
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