4 Konvergenz von Folgen und Reihen

4 KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN 4 Konvergenz von Folgen und Reihen 4.1 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge(a n ) n N heißt monoton wachsend streng monoton wachsend nach oben beschränkt n < m :a n a m n < m:a n < a m C R: n:a n C Analog definiert man die Begriffe monoton fallend streng monoton fallend nach unten beschränkt n < m:a n a m n < m:a n > a m C R: n:a n C 89

Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge(a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N}. n Beweis: Sei(a n ) n N nach oben beschränkt. Dann gilt s = sup{a n n N} <. Sei nunε > 0 gegeben. Dann existiert einn = N(ε) mit s ε < a N s Die Folge(a n ) n N ist monoton wachsend, also folgt s ε < a N a n s n N, d.h. s a n < ε n N N(ε) 90

Folgerung (Prinzip der Intervallschachtelung): Sei(a n ) n N eine monoton wachsende reelle Folge und(b n ) n N eine monoton fallende reelle Folge mit a n b n für allen N. Dann sind beide Folgen konvergent. Gilt weiterhin lim (a n b n ) = 0, n so haben(a n ) n N und(b n ) n N denselben Grenzwert, d.h. es gibt einξ R mit ξ = lim n a n = lim n b n. Weiterhin gelten in diesem Fall die Fehlerabschätzungen a n ξ b n a n und b n ξ b n a n. a 1 a 2 a 3 ξ b 3 b 2 b 1 91

Beispiel. Definiere für0 < a < b zwei Folgen(a n ) und(b n ) rekursiv durch a 0 := a b 0 := b a n+1 := a n b n b n+1 := (a n +b n )/2 fürn 0. Die Folgen(a n ) und(b n ) bilden Intervallschachtelung, und es gilt (b n+1 a n+1 ) b n a n 2 Der gemeinsame Grenzwert von(a n ) und(b n ) lim a n = lim b n n n heißt arithmetisch-geometrisches Mittel von a und b. 92

Die Bernoullische Ungleichung. Es gilt x 1, n N:(1+x) n 1+nx, wobei Gleichheit nur fürn = 1 oderx = 0 gilt. Beweis: vollständige Induktion. Die Geometrische Folge. Sei(a n ) n N reelle Folge mita n := q n fürq R. Dann gilt q > 1 : lim n q n = + (q n = (1+(q 1)) n 1+n(q 1)) q = 1 : lim n q n = 1 0 < q < 1 : lim n q n = 0 1 < q 0 : lim n q n = 0 ( q n = q n ) q = 1 : (q n ) beschränkt, aber nicht konvergent ( ) q n 1 1 = (1+(1/q 1)) n 1+n(1/q 1) q < 1 : (q n ) divergent, kein uneigentlicher Grenzwert 93 (q n { 1,1})

Weitere Rechenregeln. Satz: Seien(a n ) n N und(b n ) n N konvergente reelle Folgen. Dann gilt (a) lim n (a n b n ) = (lim n a n ) (lim n b n ) (b) n:b n 0 lim n b n 0 = lim n ( an b n ) = lim n a n lim n b n (c) n:a n 0 m N = lim n m a n = m lim n a n Beweis: Seien(a n ) n N und(b n ) n N zwei konvergente Folgen mit lim a n = a und n lim b n = b n 94

Beweis von (a): Fürε > 0 undn N N(ε) gilt a n b n ab = a n b n a n b+a n b ab a n b n b + b a n a C a b n b + b a n a < (C a + b )ε Beweis von (b): Dab n 0 undb 0 existiert eine KonstanteC b > 0 mit C b b n für allen N. Damit gilt 1 1 b n b = b b n b n b = 1 b n b b n b < 1 C b b ε für hinreichend großen N N(ε). Nun folgt die Aussage in Teil (b) direkt aus Teil (a), denn es gilt1/b n 1/b. 95

Beweis von (c): Wir setzen hierzu folgenden Satz voraus. Satz: Zua > 0 undm N existiert genau eine Zahlw > 0 mitw m = a. Diese Zahl wird mitw = m a bezeichnet. Fall 1: Sei(a n ) eine Nullfolge undε > 0 vorgegeben. a n < ε m n N(ε m ) Daraus folgt 0 m a n < ε und daher m a n 0 fürn. 96

Fall 2: Seia > 0. Verwende die Identität (x y) m x m j y j 1 j=1 = (x y) (x m 1 y 0 +x m 2 y 1 +...+x 0 y m 1) = x m y 0 +x m 1 y 1 +...+x 1 y m 1 x m 1 y 1... x 1 y } {{ m 1 x } 0 y m =0 = x m y m Setze nunx = m a n undy = m a. Dann folgt fürε > 0 undn N(ε): m a n m a = a n a ( m a n ) m 1 +...+( m a) m 1 a n a ( m a) m 1 < C ε 97

Beispiel. Gegeben sei die Folge(a n ) n N mit a n := n 2 +5n+1 n Es gilt woraus folgt ( ) (n 2 +5n+1) n 2 = n2 +5n+1 n)( n2 +5n+1+n, a n = (n2 +5n+1) n 2 n2 +5n+1+n = 5n+1 n2 +5n+1+n = 5+ 1 n 1+ 5 n + 1 n 2 +1 und somit lim a n = n 5+0 1+0+1 = 5 2. 98

Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Satz (Bolzano-Weierstraß): Jede reelle beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beweis: Sei(a n ) n N eine reelle beschränkte Folge. Dann gibt es ein Intervall[A,B] mit n:a n [A,B]. Betrachte nun die folgende Bisektionsmethode. A 1 := A; B 1 := B; FORk = 1,2,3,... C := (A k +B k )/2 IF{n a n [A k,c]} unendlich THEN A k+1 := A k ; B k+1 := C; ELSE A k+1 := C; B k+1 := B k ; 99

Beobachtung: Die Folgen(A k ) und(b k ) bilden eine Intervallschachtelung, d.h. k:a k B k, und es gibt einen gemeinsamen Grenzwert ξ = lim k A k = lim k B k. Definiere nun eine Teilfolge(a nk ) von(a n ) wie folgt. Setzen 1 := 1; FORk = 2,3,4,... wählen k > n k 1 mita nk [A k,b k ]. Wegen A k a nk B k, für allek N, gilt dann lim k a nk = ξ. Definition: Sei{a nk } k N eine konvergente Teilfolge einer Folge(a n ) n N. Dann wird der Grenzwert der Teilfolge{a nk } k N als Häufungspunkte der Folge(a n ) n N bezeichnet. 100

Das Cauchysche Konvergenzkriterium. Satz: Der Körper R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge konvergiert. Beweis: Zeige, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist: Für n und N = N(ǫ) gilt a n = a n a N +a N a n a N + a N < ε+ a N Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt(a n ) einen Häufungspunktξ. Dann gilt für m,n k N(ε/2): a m ξ = a m a nk +a nk ξ a m a nk + a } {{ } nk ξ } {{ } Cauchyfolge Häufungspunkt < ε 2 + ε 2 = ε Notation: lim infa n = kleinster Häufungspunkt, lim supa n = größter Häufungspunkt. 101

4.2 Konvergenz in normierten Vektorräumen Beispiel. Betrachte den Vektorraum C[0, 1] aller stetigen Funktionen auf[0, 1]. Für jedesn 2 liegt die Funktion nx fürx [0,1/n]; f n (x) = 2 nx fürx [1/n,2/n]; 0 fürx [2/n,1]; inc[0,1], d.h.f n C[0,1] für allen 2. 1 f n (x) 0 1/n 2/n 1 Der Graph vonf n (x). Beobachtung:{f n } n 2 bildet eine Folge von Funktionen inc[0,1]. 102

Wie sieht es mit der Konvergenz vonf n inc[0,1] aus? Fall 1. Verwende die Euklidische Norm 2. Dann gilt f n 2 2 = 1 0 f n (x)dx = 1/n 0 nx 2 dx+ 2/n 1/n 2 nx 2 dx+ 1 2/n 0dx =... = 2 3n und somit f n 2 1/ n fürn 2. Die Folge{f n } n 2 ist somit bezüglich der Euklidischen Norm eine Nullfolge inc[0,1], d.h.{f n } n 2 konvergiert gegen Null. Fall 2. Verwende die Maximumnorm. Dann gilt f n = max f n (x) = 1, für allen 2, x [0,1] und es gibt keine stetige Funktionf C[0,1] mit f n f 0 fürn. Somit divergiert die Folge{f n } n 2 inc[0,1] bezüglich der Maximumnorm. Fazit: Die Konvergenz einer Folge(a n ) n ist im Allgemeinen nicht nur abhängig vom zugrunde liegenden Vektorraum V, sondern auch (und vor allem!) von der verwendeten Norm. 103

Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen. Bemerkung: In endlichdimensionalen Vektorräumen ist die Konvergenz (und der Grenzwert) einer Folge jedoch lediglich von dem jeweiligen Vektorraum abhängig, nicht von der zugrunde liegenden Norm. Satz (Normäquivalenzsatz): Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und seien und zwei Normen aufv. Dann gibt es KonstantenC,C > 0 mit C v v C v, für allev V, d.h. die beiden Normen und sind äquivalent aufv. Fazit: Eine Folge(a n ), die in einem endlichdimensionalen VektorraumV bezüglich einer Norm in V gegen einen Grenzwert a V konvergiert, konvergiert ebenso bezüglich jeder anderen Norm inv gegena. Beispiele für endlichdimensionale Vektorräume:R,C,R n,c n. Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum: C[a, b]. 104

Konvergenz von Folgen imr n. Folgerung: Eine Folge(x m ) imr n konvergiert genau dann, wenn allen Koordinatenfolgen(x (m) j ) m N,j = 1,...,n, inrkonvergieren. Der Grenzwert der Folge (x m ) lässt sich komponentenweise berechnen. Beweis: x m x ist äquivalent zu x m x 0 1 j n : x (m) j x j 0, m, und somitx (m) j x j,m, für allej = 1,...,n. Beispiel: Für die Folge(x m ), gegeben durch gilt x m = ( 1 m,1+exp ( 1 m ), m2 +2m+3 2m 2 1 lim x m = (0,2,1/2) T R 3. m ) T R 3 fürm N. 105

Konvergenz in endlichdimensionalen Vektorräumen. Folgerung: In endlichdimensionalen Vektorräumen gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium: a : a m a (m ) ε > 0 N N(ε) : m,n N : a m a n < ε der Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Beispiel: Füra n := z n,z C gegeben, gilt z > 1 = a n = z n unbeschränkt = (a n ) divergent; z < 1 = a n = z n 0 (n ) = lim n zn = 0. 106