Inhlt: 1 Qudrt und Rechteck Prllelogrmm 3 Dreieck 4 Trpez 5 Drchen und Rute 6 Exkurs: Höhen zeichnen 7 heckliste Kopiervorlge: Formeln herleiten 8 Hinweise zur Benutzung 6 10 13 17 0 3 4 Die vorliegenden Folienvorlgen enthlten folgende Elemente: Anhnd von Beispielen werden neue Regeln, Definitionen und Kenntnisse eingeführt Die Aufgen in den Beispielen sind meist so gestellt, dss sie von den Schülerinnen und Schülern uch selstständig ereitet werden können Die Merkekästen stehen meist im Anschluss n ein einführendes Beispiel und fssen wichtige Regeln, Definitionen und Kenntnisse zusmmen Sie sollten von den Schülerinnen und Schülern unedingt geschrieen werden Hier können die Schülerinnen und Schüler die gelernten Regeln und Kenntnisse üen und festigen Im Anschluss n die Üungsufgen finden Sie jeweils die usführlichen Lösungen dzu Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 1
Kpitel 1: Qudrt und Rechteck 1 Qudrt und Rechteck Beispiel: Zeichne ein Rechteck ( = 5 cm; = 3 cm) und ein Qudrt ( = 3 cm) ins Heft Ermittle dnn durch Kästchenzählen jeweils den Flächeninhlt und den Umfng (4 Kästchen entsprechen 1 cm ) Wie könnte mn den Flächeninhlt und den Umfng elegnter estimmen? Ds Rechteck esteht us 60 Kästchen D 4 Kästchen 1 cm sind, eträgt der Flächeninhlt A = (60 : 4) = 15 cm Zum selen Ergenis kommt mn, wenn mn die Länge (5 cm) mit der Breite (3 cm) multipliziert: A = 5 cm 3 cm = 15 cm 3 cm Den Umfng erhält mn, indem mn lle Seitenlängen ddiert: u = 3 cm + 5 cm + 3 cm + 5 cm = 16 cm Oder: u = (3 cm + 5 cm) = 16 cm 5 cm 5 cm 3 cm Ds Qudrt esteht us 36 Kästchen Sein Flächeninhlt ist lso: A = (36 : 4) cm = 9 cm Schneller erhält mn den Flächeninhlt, wenn mn die Seitenlänge 3 cm mit sich selst multipliziert: A = 3 cm 3 cm = 9 cm 3 cm 3 cm 3 cm Den Umfng des Qudrts erhält mn, indem mn lle Seitenlängen ddiert: u = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 4 3 cm = 1 cm Oder: u = 4 3 cm = 1 cm 3 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten!
Kpitel 1: Qudrt und Rechteck Merke: Der Flächeninhlt A eines Rechtecks wird erechnet, indem mn die eiden Seitenlängen und miteinnder multipliziert Es gilt: A = Für den Umfng u eines Rechtecks gilt: u = + + + = ( + ) Der Flächeninhlt A eines Qudrts wird erechnet, indem mn die Seitenlänge mit sich selst multipliziert Es gilt: A = = Für den Umfng u eines Qudrts gilt: u = + + + = 4 Aus dem Flächeninhlt A eines Qudrts knn mn sofort dessen Seitenlänge erechnen Es gilt: = A Üung 1: Skizziere die Rechtecke und Qudrte und erechne jeweils den Flächeninhlt und den Umfng In Figur 4 soll nur der Flächeninhlt der gruen Fläche erechnet werden Figur 1: Figur : 7,5 cm 4, cm 3,5 cm 4, cm Figur 3: Figur 4: 3,7 cm 4,8 m 1 cm 7, m 4 m 8,5 cm Streifenreite = 1 cm 1,5 m 1 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 3
Kpitel 1: Qudrt und Rechteck Figur 1: A = 3,5 cm 7,5 cm = 6,5 cm ; u = (3,5 cm + 7,5 cm) = cm Figur : A = 4, cm 4, cm = 17,64 cm ; u = 4 4, cm = 16,8 cm Figur 3: Es ist: 3, m = 7, m 4 m und 7,7 m = 1,5 m 4,8 m A 1 = 7, m 4,8 m = 34,56 m A = 7,7 m 4 m = 30,8 m A gesmt = A 1 + A = 65,36 m Der Umfng ergit sich durch Addition ller Seitenlängen: U = 1,5m + 4m + 7,7m + 3,m + 4,8m + 7,m = 39,4 m 7, m 4,8 m 3, m A 1 A 7,7 m 1,5 m 4 m Figur 4: Äußeres Rechteck: A 1 = 5,7 cm 8,5 cm = 48,45 cm ; Inneres Rechteck: A = 3,7 cm 6,5 cm = 4,05 cm ; Inhlt der gruen Fläche: A gr = 48,45 cm 4,05 cm = 4,4 cm Merke: Kennt mn zwei der Größen A, u, und eines Rechtecks zw Qudrts, knn mn die fehlenden Größen erechnen Dzu setzt mn die gegeenen Größen in die Formeln für Flächeninhlt und Umfng ein und löst nschließend nch der gesuchten Vrile uf Bechte: Die Einheiten der Größen, die mn in die Formeln einsetzt, müssen ufeinnder gestimmt sein Üung : Berechne die fehlenden Größen Achte uf die Einheiten A u Rechteck 1: 9, mm 138 mm Rechteck : 0,8 dm 96 cm Rechteck 3: 4, dm 1,4 dm Qudrt: ------ 49 m Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 4
Kpitel 1: Qudrt und Rechteck Rechteck 1: Durch Einsetzen der Werte A = 138 mm und = 9, mm in die Gleichung A = erhält mn: 138 mm = 9, mm Durch Auflösen nch folgt: 138 mm = 9, mm : 9, mm 138 mm : 9, mm = 15 mm = zw = 15 mm Mit den Werten = 9, mm und = 15 mm knn mn nun uch den Umfng u = ( + ) erechnen: u = (9, mm + 15 mm) = 48,4 mm Rechteck : Bechte: Bevor mn die Werte A = 96 cm und = 0,8 dm in A = einsetzt, muss mn die Einheiten ufeinnder stimmen Es ist: = 0,8 dm = 8 cm Einsetzen von A = 96 cm und = 8 cm in A = ergit: 96 cm = 8 cm : 8 cm 1 cm = zw = 1 cm Dmit knn nun uch der Umfng u erechnet werden Es ist: u = (1 cm + 8 cm) = 40 cm Rechteck 3: Hier muss mn die gegeenen Werte u = 1,4 dm und = 4, dm zuerst in die Gleichung u = ( + ) einsetzen Anschließend löst mn die Gleichung nch der Vrilen uf: 1,4 dm = ( + 4, dm) 1,4 dm = + 8,4 dm 8,4 dm 4 dm = : dm = zw = dm Dmit knn uch der Flächeninhlt A = erechnet werden: A = dm 4, dm = 8,4 dm Qudrt: Durch Einsetzen von A = 49 m in die Formel A = erhält mn: 49 m = Bechte: Beim Auflösen nch muss mn die Wurzel ziehen! 49 m = 7 m = zw = 7 m Mit = 7 m folgt für den Umfng u = 4: u = 4 7 m = 8 m Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 5
Kpitel : Prllelogrmm Prllelogrmm Beispiel 1: Üertrge die Figur ins Heft und üerlege dir eine Formel für den Flächeninhlt eines Prllelogrmms h Durch Aschneiden und Wiedernsetzen des gruen Dreiecks entsteht us dem Prllelogrmm ein flächengleiches Rechteck mit dem Flächeninhlt A = h Der Flächeninhlt eines Prllelogrmms ist lso A = h h h Merke: Der Flächeninhlt eines Prllelogrmms ist ds Produkt us einer Seite und der dzugehörigen Höhe Es gilt: A = h und A = h h h Für den Umfng gilt: u = ( + ) Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 6
Kpitel : Prllelogrmm Hinweis: Die Formeln A = h und A = h gelten uch dnn, wenn die Höhe nicht vollständig innerhl eines Prllelogrmms verläuft Denn wenn mn ein solches Prllelogrmm in zwei Prllelogrmme unterteilt, gilt für den Flächeninhlt: A = h 1 + h = (h 1 + h ) = h h h 1 h Üung 1: Üertrge die Prllelogrmme skizzenhft ins Heft und erechne den Flächeninhlt A und den Umfng u Figur A: Figur B: 5,1 cm 4, cm 8,4 cm 9,8 cm 1,7 cm 4,6 cm Figur A: Flächeninhlt A = 8,4 cm 4, cm = 35,8 cm Umfng u = (8,4 cm + 5,1 cm) = 7 cm Figur B: Flächeninhlt A = 4,6 cm 9,8 cm = 45,08 cm Umfng u = (4,6 cm + 1,7 cm) = 34,6 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 7
Kpitel : Prllelogrmm Üung : ) Üertrge Prllelogrmm ins Heft und zeichne die Höhe h ein Berechne dnn den Flächeninhlt ) Berechne den Flächeninhlt uch mit der Höhe h und der Seite 45 = 6,3 cm = 3cm ) Es ist: h = 4,5 cm Mit = 3 cm erhält mn: A = 3 cm 4,5 cm = 13,5 cm Bechte: Um die Höhe h einzeichnen zu können, muss die oere Seite des Prllelogrmms verlängert werden ) 45 = 3 cm h h = 6,3 cm Mit der Höhe h =,15 cm erhält mn dssele Ergenis: A = 6,3 cm,15 cm = 13,5 cm Üung 3: Berechne die fehlenden Größen zu folgenden Prllelogrmmen Achte uf die Einheiten h h u A Prllelogrmm 1: 5,9 cm 7, cm 13,9 cm Prllelogrmm : 3,6 dm 1 dm 100,8 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 8
Kpitel : Prllelogrmm Prllelogrmm 1: Einsetzen von A = 13,9 cm und = 5,9 cm in A = h ergit: 13,9 cm = 5,9 cm h : 5,9 cm 13,9 cm : 5,9 cm = h 1 cm = h zw h = 1 cm Einsetzen von h = 7, cm und A = 13,9 cm in A = h ergit: 13,9 cm = 7, cm : 7, cm 17, cm = zw = 17, cm Einsetzen von = 5,9 cm und = 17, cm in u = ( + ) ergit: u = (5,9 cm + 17, cm) = 46, cm Prllelogrmm : Bechte: h = 3,6 dm = 36 cm und u = 1 dm = 10 cm Einsetzen von A = 100,8 cm und h = 36 cm in A = h ergit: 100,8 cm = 36 cm : 36 cm,8 cm = zw =,8 cm Einsetzen von =,8 cm und u = 10 cm in u = ( + ) ergit: 10 cm = (,8 cm + ) 10 cm = 5,6 cm + 5,6 cm 114,4 cm = : 57, cm = zw = 57, cm Einsetzen von A = 100,8 cm und = 57, cm in A = h ergit: 100,8 cm = 57, cm h : 57, cm 1,76 cm = h zw h = 1,76 cm Üersicht: h h u A Prllelogrmm 1: 5,9 cm 1 cm 17, cm 7, cm 46, cm 13,9 cm Prllelogrmm :,8 cm 3,6 dm 57, cm 1,76 cm 1 dm 100,8 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 9
Kpitel 3: Dreieck 3 Dreieck Beispiel: Üerlege dir nhnd der Figur eine Formel für den Flächeninhlt eines Dreiecks Benutze die Flächenformel eines Prllelogrmms c A' A c h c B A c h c B Mn knn ds Dreieck AB zu einem Prllelogrmm ergänzen, indem mn ds dunkelgrue Dreieck BA nfügt Ds Dreieck BA ist kongruent (= deckungsgleich) mit dem Dreieck AB Der Flächeninhlt des Prllelogrmms ist dher doppelt so groß wie der Flächeninhlt des Dreiecks AB Es gilt lso: A Dreieck = A Prll A Dreieck = c h c : A Dreieck = c h c Merke: Der Flächeninhlt eines Dreiecks wird erechnet, indem mn ds Produkt us einer Seitenlänge und der dzugehörigen Höhe hliert Es gilt: A = c h c und A = h und A = h h c h h A c B A B Für den Umfng u gilt: u = + + c A B Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 10
Kpitel 3: Dreieck Üung 1: Üertrge die Dreiecke skizzenhft ins Heft und erechne den Flächeninhlt A und den Umfng u Figur A: 9,7 cm 6, cm 7,5 cm A 1,5 cm B Figur B: Figur : 8 cm 15 cm 3,8 cm 4, cm 8,7 cm A 17 cm B A 6,5 cm B Figur A: Mit der Grundseitenlänge 1,5 cm und der Höhe 6, cm folgt für den Flächeninhlt: 1,5 cm 6, cm A = = 38,75 cm Der Umfng u ist: u = 1,5 cm + 9,7 cm + 7,5 cm = 9,7 cm Figur B: Bechte: Bei rechtwinkligen Dreiecken fllen die Seiten, die den rechten Winkel ufspnnen, mit den entsprechenden Höhen zusmmen Mit der Seitenlänge 8 cm und der Höhe 15 cm 8 cm 15 cm folgt für den Flächeninhlt: A = = 60 cm Der Umfng u ist: u = 8 cm + 15 cm + 17 cm = 40 cm Figur : Bechte: Hier liegt die Höhe ußerhl des Dreiecks Mit der Seitenlänge 6,5 cm und der 6,5 cm 3,8 cm Höhe 3,8 cm folgt für den Flächeninhlt: A = = 1,35 cm Der Umfng u ist: u = 6,5 cm + 4, cm + 8,7 cm = 19,4 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 11
Kpitel 3: Dreieck Üung : Berechne die fehlenden Größen zu folgenden Dreiecken Achte uf die Einheiten h A Dreieck 1: 7,9 cm 45,03 cm Dreieck : 90 cm 6,3 dm Dreieck 1: Durch Einsetzen von A = 45,03 cm und = 7,9 cm in die Formel A = 45,03 cm 7,9 cm h = 90,06 cm = 7,9 cm h : 7,9 cm 11,4 cm = h zw h = 11,4 cm h erhält mn: Dreieck : Hier muss mn erst noch die Einheiten von h = 90 cm und A = 6,3 dm npssen Es ist: h = 90 cm = 9 dm Einsetzen in die Formel A = 6,3 dm = 9 dm 1,6 dm = 9 dm : 9 dm 1,4 dm = zw = 1,4 dm h ergit: Üersicht: h A Dreieck 1: 7,9 cm 11,4 cm 45,03 cm Dreieck : 1,4 dm 90 cm 6,3 dm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 1
Kpitel 4: Trpez 4 Trpez Beispiel: ) Üerlege dir nhnd der Figur eine Formel, wie mn den Flächeninhlt eines Trpezes ABD erechnen knn Benutze für die Formel zunächst die Mittelprllele m A x x D c m h h y y B ) Versuche nun, die Länge der Mittelprllelen m mit den Längen und c zu eschreien Wie lutet dnn die Formel für den Flächeninhlt des Trpezes? Tipp: Drücke zunächst die Länge m uf zwei verschiedene Arten in Ahängigkeit von und c us ) Indem mn links und rechts die dunkelgruen Dreiecke schneidet und oen wieder nfügt, entsteht us dem Trpez ein flächengleiches Rechteck (= schrffierte Fläche) Die Seitenlängen dieses Rechtecks sind die Mittelprllele m und die Höhe h Für den Flächeninhlt des Trpezes gilt somit: A = m h A x x D c m h h y y B ) Für die Mittelprllele m gilt: m = x y Gleichzeitig gilt: m = c + x + y Dmit folgt für m: m = x y + c + x + y m = + c : m = + c Durch Einsetzen in A = m h erhält mn: A = + c h zw A = 1 ( + c) h Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 13
Kpitel 4: Trpez Merke: Für den Flächeninhlt A eines Trpezes gilt: A = + c h zw A = 1 ( + c) h c Die Trpezhöhe h ist immer der Astnd zwischen den eiden prllelen Seiten und c d h Für den Umfng u gilt: u = + + c + d Üung 1: Üertrge die Trpeze skizzenhft ins Heft und erechne jeweils den Flächeninhlt A und den Umfng u Figur A: Figur B: 18 cm 17,5 cm 15, cm 3,5 cm 1,7 cm 7, cm 3,5 cm 5,8 cm 9,8 cm Figur : 7,5 cm 8,5 cm 4, cm 6,9 cm,8 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 14
Kpitel 4: Trpez Figur A: Mit = 3,5 cm; c = 18 cm und h = 15, cm erhält mn für den Flächeninhlt: 1 A = (3,5 cm + 18 cm) 15, cm = 383,8 cm Für den Umfng erhält mn: u = 3,5 cm + 17,5 cm + 18 cm + 1,7 cm = 89,7 cm Figur B: Mit = 8,5 cm; c = 3,5 cm und h = 5,8 cm erhält mn für den Flächeninhlt: 1 A = (8,5 cm + 3,5 cm) 5,8 cm = 34,8 cm Für den Umfng erhält mn: u = 8,5 cm + 7, cm + 3,5 cm + 9,8 cm = 9,0 cm Figur : Bechte: Ds Trpez liegt hier uf der Seite Es sind lso: = 4, cm; c =,8 cm und h = 6,9 cm Der Flächeninhlt ist somit: 1 A = (4, cm +,8 cm) 6,9 cm = 4,15 cm Für den Umfng erhält mn: u = 4, cm + 6,9 cm +,8 cm + 7,5 cm = 1,4 cm Üung : Berechne die fehlenden Größen folgender Trpeze Achte uf die Einheiten c h A Trpez 1: 7,5 cm 45 mm 0,6 dm Trpez : 4 m 1 m 450 m Trpez 3:,5 dm 0,75 dm 41,5 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 15
Kpitel 4: Trpez Trpez 1: Bechte: Die Einheiten müssen gleich sein, evor mn in die Formel einsetzt Mit = 7,5 cm; c = 4,5 cm und h = 6 cm erhält mn für den Flächeninhlt: 1 A = (7,5 cm + 4,5 cm) 6 cm = 36 cm Trpez : Einsetzen von = 4 m, c = 1 m und A = 450 m in die Formel A = 1 ( + c) h ergit: 450 m = 1 (4 m + 1 m) h 450 m = 1 36 m h 450 m = 18 m h :18 m 5 m = h zw h = 5 m Trpez 3: Hier müssen zuerst die Einheiten ngeglichen werden Es ist: c = 5 cm und h = 7,5 cm Einsetzen von A = 41,5 cm ; c = 5 cm und h = 7,5 cm in A = 1 ( + c) h ergit: 41,5 cm 1 = ( + 5 cm) 7,5 cm 85 cm = ( + 5 cm) 7,5 cm 85 cm = 7,5 cm + 187,5 cm 187,5 cm 637,5 cm = 7,5 cm : 7,5 cm 85 cm = zw = 85 cm Üersicht: c h A Trpez 1: 7,5 cm 45 mm 0,6 dm 36 cm Trpez : 4 m 1 m 5 m 450 m Trpez 3: 85 cm,5 dm 0,75 dm 41,5 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 16
Kpitel 5: Drchen und Rute 5 Drchen und Rute Beispiel: G F Üerlege dir nhnd der Figur eine Formel für den Flächeninhlt eines Drchens D M f B Die Digonlen des Drchens sind e = A und f = BD Die Digonle e hliert die Digonle f e H A E Ein Drche knn in 4 rechtwinklige Dreiecke (ABM, MB, MD und AMD) zerlegt werden Wenn mn jeweils ein flächengleiches Dreieck n der entsprechenden Seite nfügt, entsteht ds Rechteck HEFG Es gilt dher: A Drchen = A Rechteck Mit A Rechteck = e f folgt: A Drchen = e f : A Drchen = 1 e f Merke: Mn erechnet den Flächeninhlt A eines Drchens mit den eiden Achsen e und f Es gilt: A = 1 e f Wegen = d und = c gilt für den Umfng: u = + Eine Rute ist ein Drchen, dessen 4 Seiten gleich lng sind Für den Umfng einer Rute gilt somit: u = 4 D d c f e A B Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 17
Kpitel 5: Drchen und Rute Üung 1: Üertrge die Drchen und die Rute skizzenhft ins Heft und erechne jeweils den Flächeninhlt A und Umfng u Figur A: Figur B: (Rute) Figur : 4,8 cm 7 cm,9 cm 9,4 cm 8,5 cm 6,5 cm 5 cm 8, cm 5,9 cm 4,3 cm 3 cm Figur A: 1 Es ist e = 8,5 cm und f = 7 cm Dmit folgt für den Flächeninhlt A = e f: 1 A = 8,5 cm 7 cm = 9,75 cm Mit = 6,5 cm und = 4,8 cm erhält mn für den Umfng: u = 6,5 cm + 4,8 cm =,6 cm Figur B: 1 Es ist e = 5 cm und f = 3 cm Dmit folgt für den Flächeninhlt A = e f: 1 A = 5 cm 3 cm = 7,5 cm Mit =,9 cm erhält mn für den Umfng der Rute: u = 4,9 cm = 11,6 cm Figur : 1 Es ist e = 4,3 cm und f = 8, cm Dmit folgt für den Flächeninhlt A = e f: 1 A = 4,3 cm 8, cm = 17,63 cm Mit = 5,9 cm und = 9,4 cm erhält mn für den Umfng: u = 5,9 cm + 9,4 cm = 30,6 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 18
Kpitel 5: Drchen und Rute Üung : Berechne die fehlenden Größen der Drchen Achte uf die Einheiten e f A Drchen 1: 15,7 cm 10,05 cm Drchen : 5,6 m 1568 dm Drchen 1: Durch Einsetzen der Werte e = 15,7 cm und A = 10,05 cm in A = 1 e f erhält mn: 10,05 cm 1 = 15,7 cm f 10,05 cm = 7,85 cm f : 7,85 cm 13 cm = f zw f = 13 cm Drchen : Zunächst müssen eide Einheiten ngepsst werden: f = 5,6 m = 56 dm Durch Einsetzen von f = 56 dm und A = 1568 dm 1 in A = e f erhält mn: 1568 dm 1 = e 56 dm 1568 dm = 8 dm e : 8 dm 56 dm = e zw e = 56 dm Üersicht: e f A Drchen 1: 15,7 cm 13 cm 10,05 cm Drchen : 56 dm 5,6 m 1568 dm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 19
Kpitel 6: Höhen zeichnen 6 Exkurs: Höhen zeichnen Üung: ) Üertrge die Figuren ins Heft, zeichne lle Höhen ein und messe deren Länge ) Bestimme dnn jeweils den Flächeninhlt der Figur Dreieck 1: Dreieck : 6,4 cm 5,1 cm 30 6 cm 40 8,6 cm Prllelogrmm 1: Prllelogrmm :,5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 50 6 cm 6 cm 5 cm 45,5 cm Trpez 1: Trpez : 4 cm 3,5 cm 5,5 cm cm 6,5 cm 70 4 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 0
Kpitel 6: Höhen zeichnen Dreieck 1: Dreieck : 30 6,4 cm h 6 cm h = 5,9 cm; h = 3,0 cm; h c = 3, cm A 9,6 cm h h c h 5,1 cm h h c 40 8,6 cm h = 5,0 cm; h = 5,5 cm; h c = 3,3 cm A 14,19 cm Prllelogrmm 1: Prllelogrmm : h h 5 cm 3 cm 6 cm h h h = 4,5 cm; h =,3 cm; h = 3,85 cm A 11,5 cm,5 cm h = 1,75 cm; A 10,5 cm Trpez 1: Trpez : 4 cm h = 3,5 cm 5,5 cm h = 3,8 cm cm 6,5 cm A 18,4 cm A 14,5 cm Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 1
heckliste 1) Mit welchen Formeln erechnet mn den Flächeninhlt und den Umfng eines Rechtecks? ) Mit welchen Formeln erechnet mn den Flächeninhlt und den Umfng eines Qudrts? 3) Wie luten die Formeln für den Flächeninhlt eines Prllelogrmms? 4) Wie sind die Höhen eines Prllelogrmms definiert? 5) Mit welcher Formel erechnet mn den Umfng eines Prllelogrmms? 6) Mit welchen Formeln erechnet mn den Flächeninhlt und den Umfng eines llgemeinen Dreiecks? 7) Woruf muss mn eim Zeichnen der Höhen eines stumpfen Dreiecks chten? 8) Welche Besonderheit hen zwei Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks? 9) Wie lutet die Formel zur Berechnung des Flächeninhlts eines Trpezes? 10) Wie ist die Höhe eines Trpezes definiert? 11) Wie werden die eiden Achsen eines Drchens ezeichnet? 1) Mit welchen Formeln erechnet mn den Flächeninhlt und den Umfng eines Drchens? 13) Welche Besonderheit ht eine Rute? 14) Wie geht mn vor, wenn mn fehlende Größen eines Qudrts, Rechtecks, Dreiecks, Prllelogrmms, Trpezes, Drchens mithilfe der entsprechenden Formeln erechnen soll? Beschreie die llgemeine Vorgehensweise Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten!
Antworten zur heckliste: 1) A = ; u = + ) A = ; u = 4 3) A = h zw A = h ; 4) Die eiden Höhen sind jeweils der Astnd zweier gegenüerliegender Seiten 5) Umfng u = + 6) A = 1 h ; A = 1 h ; 1 A = h ; Umfng u = + + c 7) Mn muss die Seiten verlängern, die den stumpfen Winkel ilden, um die entsprechenden Höhen einzeichnen zu können 8) In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die den rechten Winkel ufspnnen, gleichzeitig Höhen des Dreiecks 9) A = 1 ( + c) h 10) Die Höhe eines Trpezes ist der Astnd der eiden prllelen Seiten 11) Mit e und f 1) A = 1 e f ; u = + 13) Eine Rute ist ein Drchen mit vier gleich lngen Seiten 14) Mn setzt die gegeenen Größen in die entsprechenden Formeln für Flächeninhlt und Umfng ein Anschließend löst mn eine Gleichung nch der uneknnten Vrilen uf ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Antworten zur heckliste: 1) A = ; u = + ) A = ; u = 4 3) A = h zw A = h ; 4) Die eiden Höhen sind jeweils der Astnd zweier gegenüerliegender Seiten 5) u = + 6) A = 1 h ; A = 1 h ; 1 A = h ; Umfng u = + + c 7) Mn muss die Seiten verlängern, die den stumpfen Winkel ilden, um die entsprechenden Höhen einzeichnen zu können 8) In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die den rechten Winkel ufspnnen, gleichzeitig Höhen des Dreiecks 9) A = 1 ( + c) h 10) Die Höhe eines Trpezes ist der Astnd der eiden prllelen Seiten 11) Mit e und f 1) A = 1 e f ; u = + 13) Eine Rute ist ein Drchen mit vier gleich lngen Seiten 14) Mn setzt die gegeenen Größen in die entsprechenden Formeln für Flächeninhlt und Umfng ein Anschließend löst mn eine Gleichung nch der uneknnten Vrilen uf Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 3
Kopiervorlge Formeln herleiten 1) Schneide ds Prllelogrmm entlng der Höhe h durch und setze eide Teile zu einem Rechteck zusmmen Ws ergit sich somit für den Flächeninhlt eines Prllelogrmms? h ) Schneide ds rechte Dreieck us und ergänze dmit ds linke Dreieck so, dss ein Prllelogrmm entsteht (Es git mehrere Möglichkeiten) Ws ergit sich somit für den Flächeninhlt eines Dreiecks? h c A c B A c B 3) Schneide die unteren gruen Dreiecke Wie knn mn sie wieder so n die weiße Fläche nfügen, dss us dem Trpez ein Rechteck entsteht? Ws ergit sich somit für den Flächeninhlt eines Trpezes? m h h 4) Schneide die gruen Dreiecke und füge sie so zusmmen, dss der weiße Drchen entsteht Beschreie dnn mit den Achsen e und f den Flächeninhlt des Drchens e f Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 4
8 Hinweise zur Benutzung Sehr geehrte Lehrerinnen und Lehrer, mit diesen Folienvorlgen können Sie Ihren Schülerinnen und Schülern effektiv und kräfteschonend ds Them Flächeninhlt und Umfng vermitteln Alle OHP-Folien sind so konzipiert, dss Ihnen ufwendige Erklärungen n der Tfel ersprt leien Jedes Kpitel eginnt mit einem einführenden Beispiel, mit dessen Hilfe sich die Schüler/innen die Flächenformeln selstständig erreiten können Alle wichtigen Formeln und Regeln sind in Merkekästen hervorgehoen, die Ihre Schüler/innen direkt von der Folie schreien können Im Anschluss drn folgen jeweils Üungsufgen mit usführlichen Lösungen, die eenflls von der Folie ins Schulheft üertrgen werden können Am Ende der Unterrichtseinheit finden Sie eine heckliste, mit der die Schüler/innen den eigenen Kenntnisstnd in kompkter Form üerprüfen und wiederholen können Wie Sie nun die einzelnen Folien optiml im Unterricht einsetzen, zeigen Ihnen folgende Hinweise und Anmerkungen Kpitel 1: Qudrt und Rechteck Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhlts und Umfngs von Rechtecken und Qudrten kennen Aus eknnten Größen (A, u, und ) sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen erechnet werden Hinweise zur Durchführung: In Beispiel 1 der Folie sollen die Schüler/innen die Formeln für Rechteck und Qudrt selstständig herleiten, (uch wenn diese Formeln den meisten Schülerinnen und Schülern vielleicht noch us den unteren Klssenstufen eknnt sein dürften) Der Merkeksten uf Folie 3 fsst diese Formeln zusmmen und sollte von den Schülerinnen und Schülern ins Schulheft üertrgen werden Dss mn durch Wurzelziehen us dem Flächeninhlt eines Qudrts die entsprechende Seitenlänge erechnen knn, sollte erfhrungsgemäß usdrücklich etont werden In Üung 1 der Folie 3 können die Schüler/innen diese Formeln dnn zur Berechnung von Flächeninhlten und Umfängen nwenden Der Merkeksten uf Folie 4 erläutert, wie mn generell vorgehen muss, um us gegeenen Größen mithilfe von Formeln fehlende Größen zu erechnen D hierei die Einheiten der Größen ufeinnder gestimmt werden müssen und viele Schüler/innen erfhrungsgemäß die Umrechnung von Einheiten vergessen hen, muss n dieser Stelle die Umrechnung von Längeneinheiten eventuell wiederholt werden In Üung uf Folie 4 knn die Berechnung fehlender Größen triniert werden Die usführlichen Lösungen dzu finden Sie uf Folie 5 Zeitedrf: c 1- Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Üungen us dem Schuluch uch mehr Kpitel : Prllelogrmm Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhlts und Umfngs von Prllelogrmmen kennen Aus eknnten Größen sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen in Prllelogrmmen erechnet werden Hinweise zur Durchführung: Mit Beispiel 1 uf Folie 6 können die Schüler/innen die Formel zur Flächenerechnung von Prllelogrmmen selstständig herleiten Besonders plstisch wird die Herleitung, wenn die Schüler/innen die Umgestltung eines Prllelogrmms zu einem flächengleichen Rechteck n einem usgeschnittenen Prllelogrmm nchvollziehen Eine entsprechende Kopiervorlge zum Ausschneiden finden Sie uf Seite 3 Mit dem Hinweis uf Folie 7 (oen) können Sie schnell demonstrieren, dss die Flächenformeln uch dnn gelten, wenn die Höhe ußerhl des Prllelogrmms liegt In der Üung 1 uf Folie 7 sollen die Schüler/innen diese Formeln dnn uf zwei Prllelogrmme nwenden In Üung (Folie 8) knn ds Zeichnen von Höhen triniert werden Hier muss gegeenenflls druf hingewiesen werden, dss die oere Seite verlängert werden muss Und in Üung 3 sollen schließlich fehlende Größen zweier Prllelogrmme erechnet werden Zeitedrf: c -3 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Üungen us dem Schuluch uch mehr Kpitel 3: Dreieck Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhlts und des Umfngs von Dreiecken kennen Aus eknnten Dreiecksgrößen sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen erechnet werden Hinweise zur Durchführung: Mit Beispiel 1 uf Folie 10 und der Kopiervorlge uf Seite 3 können die Schüler/innen leicht selst herusfinden, wie sich die Flächenformeln eines Dreiecks mit der Flächenformel eines Prllelogrmms herleiten lssen In Üung 1 uf Folie 11 sollen diese Formeln dnn uf drei verschiedene Dreiecke ngewendet werden Hier ist insesondere druf hinzuweisen, dss ei rechtwinkligen Dreiecken zwei Höhen mit den Ktheten zusmmenfllen und dss ei stumpfwinkligen Dreiecken zwei Höhen ußerhl des Dreiecks liegen In der Telle von Üung (Folie 11) sollen schließlich mit der Flächenformel fehlende Größen erechnet werden Zeitedrf: c -3 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Üungen us dem Schuluch uch mehr Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 5
8 Hinweise zur Benutzung Kpitel 4: Trpez Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhlts und des Umfngs von Trpezen kennen Aus eknnten Größen sollen mithilfe der Flächenformeln fehlende Größen erechnet werden Hinweise zur Durchführung: Auch in diesem Kpitel können die Schüler/innen nhnd des einführenden Beispiels die entsprechende Flächenformel selstständig herleiten Dzu soll ds geildete Trpez, ds Sie uch zum Ausschneiden in der Kopiervorlge uf Seite 3 finden, in ein flächengleiches Rechteck umgewndelt werden Der Flächeninhlt dieses Rechtecks knn dnn leicht mit der Mittelprllelen m und der Höhe h eschrieen werden, ws für die meisten Schüler/innen kein Prolem sein dürfte Schwieriger wird es dnn im Teil ), wenn die Mittelprllele m in Ahängigkeit von den Trpezseiten und c eschrieen werden soll Hier ist sicherlich etws Hilfestellung nötig Die usführliche Herleitung finden Sie uf Folie 13 Der Merkeksten uf Folie 14 fsst lle Formeln zum Trpez zusmmen In der Üung 1 uf Folie 14 können diese Formeln dnn geüt werden Eine kleine Stolperflle luert dei in Figur, d hier die Trpezhöhe wgrecht liegt und mit einer Seite zusmmenfällt Fehlende Größen von Trpezen können schließlich in der Üung uf Folie 15 erechnet werden Die usführlichen Umformungsschritte, die erfhrungsgemäß immer wieder Schwierigkeiten ereiten, sind uf Folie 16 gedruckt Zeitedrf: c -3 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Üungen us dem Schuluch uch mehr Kpitel 5: Drchen und Rute Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen die Formeln zur Berechnung des Flächeninhlts und Umfngs von Drchen und Rute kennen Aus eknnten Größen sollen mithilfe der Formeln fehlende Größen erechnet werden Hinweise zur Durchführung: Die Flächenformel für Drchen können Sie den Schülerinnen und Schülern leicht nhnd der Figur uf Folie 17 und der Kopiervorlge uf Seite 3 vermitteln Wenn die Schüler/innen die gruen Dreiecke der Drchen-Kopiervorlge schneiden, können sie drus den weißen Drchen zusmmensetzen und erkennen dei, dss der Drchen den hlen Flächeninhlt hen muss wie ds umhüllende Rechteck Die leicht verständliche Herleitung der Flächenformel und den entsprechenden Merkeksten finden Sie eenflls uf Folie 17 In Üung 1 (Folie 18) sollen dnn Flächeninhlte und Umfänge von Drchen zw einer Rute erechnet werden Zum Askizzieren ist hier sicherlich ein kurzer Hinweis nötig, wie mn mithilfe der eiden Achsen einen Drchen schnell skizzieren knn In Üung uf Folie 19 sollen schließlich wieder fehlende Größen erechnet werden, ws mit den einfchen Formeln zu Drchen und Rute den meisten Schüler/innen keine Schwierigkeiten ereiten dürfte Zeitedrf: c Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Üungen us dem Schuluch uch mehr Exkurs: Höhen zeichnen Insesondere dnn, wenn eine Höhe ußerhl eines Vielecks verläuft, hen viele Schüler/innen Schwierigkeiten, eine solche Höhe einzuzeichnen In den Aufgen der Folie 0 knn dies dher noch einml gründlich geüt werden Drüer hinus sollen die Schüler/innen die Flächeninhlte der geildeten Dreiecke, Prllelogrmme und Trpeze estimmen Die Lösungen dzu finden Sie uf Folie 1 Zeitedrf: c 1 Schulstunde heckliste ws mn nun wissen sollte Anhnd der Frgen der heckliste uf Folie 3 können Sie die wichtigsten Kenntnisse zum Them Flächeninhlt und Umfng in kompkter Form frgen und wiederholen Auf diese Weise erhlten Ihre Schüler/innen einen guten Üerlick üer den eigenen Kenntnisstnd Die Antworten uf die Frgen finden Sie ls Kopiervorlge in doppelter Ausführung, sodss Sie nur jeweils 1 Bltt für zwei Schüler/innen kopieren müssen Zeitedrf: c 30 min Kopiervorlge Formeln herleiten Mithilfe der Figuren und Aufgestellungen der Kopiervorlge können Ihre Schüler/innen die Flächeninhltsformeln von Prllelogrmmen, Dreiecken, Trpezen und Drchen selstständig herleiten Die Figuren sind zum Ausschneiden gedcht, so dss die Schüler/innen die jeweiligen Vielecke gnz plstisch umgestlten und die entsprechende Flächenformel erkunden können Mthemtik-Verlg, wwwmtheverlgcom Nur zur Ansicht, Downlod veroten! 6