Grundwissen Mtemtik m eriscen Gmnsium (G8) Ricrd Reindl 00 009 Ds Grundwissen ist zweispltig drgestellt, links die Definitionen, Sätze und eweise, rects ildungen und. Es ndelt sic nict nur um einen Grundwissensktlog, sondern um eine kompkte Drstellung des Stoffes mit den notwendigen Herleitungen und eweisen. Der eignet sic der Tet zur Wiederolung und zum Selsstudium des Stoffes. Die uswl des Stoffes erut uf meinem Unterrict und den von mir gesetzten Scwerpukten, ist lso nict unedingt eine :- Umsetzung des Lerplns. Es wird uc kein nspruc uf Vollständigkeit eroen. Die von mir gesetzten Scwerpunktkpitel sind mit einem gekennzeicnet.
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Zlen Zlenmengen Eine Zusmmenfssung von Zlen nennt mn eine Zlenmenge. Die Elemente einer Menge müssen verscieden sein. ist ein Element von : ist kein Element von : / Die Menge { }, die kein Element entält, eißt leere Menge. Die nzl der Elemente einer Menge nennt mn ire Mäctigkeit. Zl der Elemente von Ist jedes Element von uc ein Element von, dnn ist in entlten oder ist eine Teilmenge von : Jede Menge ist Teilmenge von sic selst: {,,7,8,9} {,,,,,} {,,} / { } oder {,,,6} { } 0, {0} {,8,9} {,,7,8,9} Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge: { } zw. ( elieige Menge) Mengen knn mn durc estimmte Eigenscften der Elemente ngeen: { Eigenscft} Menge ller Zlen mit der Eigenscft lle Elemente, die gleiczeitig in zwei Mengen vorkommen, ilden ire Durcnittsmenge: { und } Eine Zl geört zur Vereinigungsmenge von und, wenn sie entweder Element von oder Element von oder Element von eiden Mengen ist: { oder } one : \ { und / } { gerde und < 0} {,6,8} { durc teilr und < 8} {,6,9,,} { N, durc und durc teilr} {,0,,... } {,,,6,8,9} {,,6,7,9} {,6,9} {,,,7} {,,6,8} { } { } { } zw. {,,} {,,6} {,,,,,6} {,,,6} {,,6} {,,,,6} { } zw. {,,,,,6,7} \ {,,6} {,,,7} {,,,,6,7} \ {,,6,8,0} {,,7} \{ } zw. \ N Menge der ntürlicen Zlen N {,,,,,... } N 0 N {0} N 0 {0,,,,,,... } Z Menge der gnzen Zlen Z {...,,,,,0,,,,,... } Z Menge der negtiven gnzen Zlen Z Z \ N 0
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Grundrecenrten ddition, ddieren:. Summnd +. Summnd Wert der Summe Sutrktion, sutrieren: Minuend Sutrend Wert der Differenz Multipliktion, multiplizieren:. Fktor. Fktor Wert des Produkts + } {{ } Summe 8 } {{ } Differenz }{{} Produkt 8 }{{} Wert der Summe plus gleic 8 }{{} Wert der Differenz 8minus gleic }{{} Wert des Produkts ml gleic + +... + } {{ } Summnden + + Division, dividieren: Dividend : Divisor Wert des Quotienten Teilung: Messung: Potenz, potenzieren: ufteilen in gleice Teile Wie oft entlten sis Eponent Wert der Potenz n... } {{ } n Fktoren Definition: 0 für > 0 0,, 0 n 0 n : } {{ } Quotient }{{} Wert des Quotienten dividiert durc gleic m : 8m m : m 8 }{{} Potenz }{{} Wert der Potenz oc gleic 0, 7 0, 0 0 nict definiert 9 0, 6 6, 0 7 0 8 eißt uc Qudrt. Qudrtzlen von 0 is 0, zusätzlic uswendig! 0 0,,, 9, 6,, 6 6, 7 9, 8 6, 9 8, 0 00,,, 69, 96,, 6 6, 7 89, 8, 9 6, 0 00, 6 Zweierpotenzen von 0 is 0 uswendig! 0,,, 8, 6,, 6 6, 7 8, 8 6, 9, 0 0 Zenerpotenzen: 0 0, 0 0, 0 00 0 n mit n Nullen 0 000, 7 0 700000 0 6 Million 0 9 Millirde 0 illion 0 illirde Jede Zl des Dezimlsstems (Zenersstems) knn ls Summe von Zenerpotenzen gescrieen werden. 0 8 Trillion 0 Qudrillion 0 0 Quintillion 0 6 Setillion 6807 6 0 + 8 0 + 0 0 + 0 + 7 0 0
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Recenregeln Reienfolge einer Recnung: Klmmer Potenz Punkt Stric Klmmern von innen nc ußen! + 0 0 : 0 : 0 0 0 : 0 : 0 und 0 : 0 sind nict definiert!! + + (Kommuttivgesetze, KG) + + c ( + ) + c + ( + c) c ( ) c ( c) (ssozitivgesetze, G) ( + c) + c ( c) c (Distriutivgesetze, DG) + + Der kleine Guß: : : + + +... + n n (n + ) : Teilrkeit Die Vielfcenmenge einer Zl ist die Menge ller Vielfcen von. V() { n mit n N} 8 (7 ) 8 8 8 8 [( 8) ] [7 ] [ 8] 6 6 7 + 0 7 0 7, 7 7 : 7 7 7 0 7 0 : 7 0, 7 : 7 + 7 7 + 0, 7 7 + + 7 ( + ) +7 + ( + 7) } {{ } } {{ } 7 8 (7 + ) 8 0 80 oder 8 (7 + ) 8 7 + 8 6 + 80 7 998 7 (000 ) 7 000 7 7000 6986 + 8 8 7 8 + 8 8 7 7 : 8 9 : 8 7 7 8 6 + + + +...00 00 0 : 00 V(6) {6,,8,,... } V() Menge der gerden Zlen ist Teiler von, wenn ein Vielfces von ist. n mit n N und c ( + c) und ( c) und c c Für jede ntürlice Zl gilt und. Die Teilermenge einer Zl ist die Menge ller Teiler von. T() { } { Teiler von } Für ist T() T() ist ungerde ist Qudrtzl 7 weil 7 9 99 und 9 7 9 (99 + 7) 6 60 und 60 80 80 T(6) {,,,6} { },,,, 6 T(8) 8,, 6,, 8 { },,,, 6 T(6) 6, 8,, 9 T(6), T(8) 0, T(6) 9 Teilung mit Rest: d : s err d s e + r mit r < s 0 : 7 R, weil 0 7 +
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Teilrkeitsregeln ist durc teilr, wenn die letzte Ziffer von durc teilr oder 0 ist. ist durc teilr, wenn die us den letzten eiden Ziffern von geildete Zl durc teilr oder 00 ist. ist durc teilr, wenn die letzte Ziffer von oder 0 ist. ist durc teilr, wenn die letzten eiden Ziffer von 00,, 0 oder 7 sind. Die Quersumme (QS) einer Zl ist die Summe irer Ziffern. Eine Zl ist durc teilr, wenn ire Quersumme durc teilr ist. Eine Zl ist durc 9 teilr, wenn ire Quersumme durc 9 teilr ist. 78, d 8,, d 0, d,, d 00 7, 9970, 08 7, 9900, 0 QS(70) 7 + + 0 + + 6 77 weil QS(77) 8 und 8 0 weil QS(0) 0 und 0 9 877 weil QS(877) 7 und 9 7 9 987 weil QS(987) und 9 Primzlen Eine ntürlice Zl eißt Primzl oder kurz prim, wenn ire Teilermenge genu zwei Elemente entält, d.. wenn sie nur durc eins und sic selst one Rest teilr ist. prim T() Es git unendlic viele Primzlen. Jede ntürlice Zl größer ls eins lässt sic eindeutig ls Produkt von Primzlen screien (Primfktorenzerlegung). Menge der gemeinsmen Teiler von und : T(,) T() T() Ds größte Element von T(,) ist der größte gemeinsme Teiler (ggt) von und. Prktisc findet mn den ggt(,) mit Hilfe der Primfktorenzerlegung von und oder mit der Kettendivision: Mn teilt die größere durc die kleinere Zl. Mn teilt immer wieder den Divisor durc den Rest, is der Rest null eruskommt. Der letzte Divisor ist der gesucte ggt. T(7) {, 7} 7 ist prim T(87) {,, 9, 87} 87 ist nict prim Menge der Primzlen: P {,,,7,,,7,9,,9,,7,,,7,,9,6,67,7,7,79,8,89,97,0,0,... }, 7 8, 00 7 000 7 T(,8) {,,, 6, } {,, 8, 9, 6 } {,,, 6 } ggt(,8) 6 6 6 : 70 R6 70 : 6 R } ggt(6,) 8 6 : R 0 ggt(6,70) Menge der gemeinsmen Vielfcen von und : V(,) V() V() Ds kleinste Element von V(, ) ist ds kleinste gemeinsme Vielfce (kgv) von und. V(6,8) {6,,8,,0,6,,8,,...} {8,6,,,0,8,6,...} {,8,...} kgv(6,8)
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Prktisc findet mn ds kgv(,) mit Hilfe der Primfktorenzerlegung von und oder mit folgendem Zusmmenng, woei mn den ggt(,) mit der Kettendivision ermittelt: ggt(,) kgv(,) 6 } kgv(6,) } {{ } 08 kgv(6,) } 6 {{ } : ggt(6, ) 08 } {{ } 9 8 Gnze Zlen Die Spiegelzl von ist, die Spiegelzl von ist : ( ). > 0 < 0 < 0 > 0 <, wenn uf der Zlengerden links von. Der etrg einer Zl ist ir stnd vom Nullpunkt uf der Zlengerden: { + wenn 0 wenn < 0 0 Recenregeln für gnze Zlen: +(+) + + ( ) ( ) + (+) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( : ) ( ) : ( ) : Kommuttivgesetze ssozitivgesetze Distriutivgesetz ( ), ( ), ( ) ( ) n { für gerdes n für ungerdes n 8 7 6 0 6 7 8 (+) ( 6) +6 6 ( 7) < ( ) ( ) < < 6 6 6 ( 6) 6 + ( ) ( ) 7 + ( ) ( + ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) + 0 : ( ) ( 0) : 6 ( 0) : ( ) +6 6 +( ) ( )+ ( ) + [( 7) + ] } {{ } } ( ) {{ } (+) 8 ( ) [( 7) + ] } {{ } } ( ) {{ } 6 ( 9)+( 7) ( 7)+( 9) [( ) + ( 7)] + } {{ } (+7) } {{ } ( ) 8 ( ) ( 7) } {{ } +8 +( ) } {{ } ( ) } {{ } 8 6 ( ), ( ) 7, ( ) 00 ( ), ( ) 8, ( ) 9 zälen von Möglickeiten Pltz knn mit z, Pltz mit z,... und Pltz n mit z n versciedenen Gegenständen esetzt werden. Dnn können lle n Plätze uf z z z... z n versciedene rten elegt werden. n versciedene Gegenstände knn mn uf n!... n versciedene rten uf n Plätze verteilen. Hüte, 7 T-Sirts und Hosen knn mn uf 7 8 versciedene rten miteinnder kominieren. Personen knn mn uf! 0 versciedene rten in einer Reie ufstellen. 6
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Zlenssteme Die sis des Zenersstems (Dezimlsstems) ist 0, die Stufenzlen sind die Zenerpotenzen, es git zen Ziffern. Stufenzlen: 0 0,0 0,0 00,... Ziffern: 0,,,,,,6,7,8,9 Jede ntürlice Zl knn ls sis eines Zlensstems verwendet werden. Die Stufenzlen sind dnn die Potenzen von, es git Ziffern von 0 is. Stufenzlen: 0,,,,,... Ziffern: 0,,,... Die sis des Zweiersstems (Dulsstems) ist, die Stufenzlen sind die Zweierpotenzen, es git nur zwei Ziffern (0,). Stufenzlen: 0,,,... Ziffern: 0, oder O, L Die sis des Seczenersstems (Hedezimlsstems) ist 6, die Stufenzlen sind die Potenzen von 6, es git 6 Ziffern. Stufenzlen: 6 0,6 6,6 6,... Ziffern: 0 is 9 C D E F 0 78 }{{} 0 +7 }{{} 0 +8 }{{} 0 + }{{} 0 0 000 00 0 00700 0 6 }{{} 000000 +7 0 }{{} 000 + 0 0 }{{} (90) + 9 + 0 + 0 LOL (0) }{{} +0 }{{} + }{{} 0 dul L LO LL LOO LOL LLO LLL deziml 6 7 dul LOOO LOOL LOLO LOLL LLOO deziml 8 9 0 LOLL 8 + 0 + + LOLLOLL 6 + 0 + 6 + 8 + 0 + + 9 In der Computerlitertur werden Hezlen oft mit einem Dollrzeicen gescrieen: (0) 6 $0 $FF }{{} 6 + }{{} 6 0 6 $00 6 +0 6 }{{} 6 $FF 0 6 }{{} 6 }{{} 6 + 6 +0 }{{} 6 0 6 }{{} 6 + }{{} 6 0 8 Größen Vorsilen Nme k. Wert Hekto 00 Kilo k 000 Meg M 0 6 Gig G 0 9 Ter T 0 Dezi d : 0 Zenti c : 00 Milli m : 000 Mikro µ : 0 6 Nno n : 0 9 Piko p : 0 Femto f : 0 enennungen m g Ct l Meter Grmm Euro Cent Liter s min d Sekunde Minute Stunde Tg Jr Länge Zeit km 000m m 0dm 00cm 000mm mm 000µm 0 6 nm µm µ 000nm 0 6 pm nm 000pm 60min 600s min 60s s 000ms 0 6 µs ms 000µs 0 6 ns µs 000ns 0 6 ps ns 000ps 7
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe ei der Kommscreiweise von Größen eziet sic die Eineit (enennung) uf die Stelle vor dem Komm: Kommscreiweise gemiscte Screiweise { }} { { }} {,6789 m km m67mm 890 µ Kommscreiweise gemiscte Screiweise { }} { { }} {,6789 kg tkg 67g890mg Msse t Tonne 000kg 0 6 g Ztr Zentner 0kg kg 000g 0 6 mg g 000mg 0 6 µg mg 000µg 0 6 ng µg 000ng 0 6 pg ng 000pg Geometrie Elemente der Geometrie Die Geometrie ndelt von Punkten (keine usdenung, nulldimensionl), Linien (eindimensionl), Fläcen (zweidimensionl) und räumlicen Körpern (dreidimensionl). Eine Gerde ist eine nc eiden Seiten unendlic lnge, gerde Linie. g Durc zwei Punkte und läßt sic genu eine Gerde g zeicnen. C [CD] Sind C und D zwei Punkte, dnn ist die Strecke [CD] der Teil der Gerden CD zwiscen den Punkten C und D. Die Rndpunkte C und D geören zur Strecke [CD]. Zwei Gerden eißen prllel, wenn sie keinen Scnittpunkt en (g und sind prllel). D CD Länge der Strecke [CD] Gerden und Strecken sind Punktmengen. Geometrisce Figuren Drei Punkte, und C, die nict uf einer Gerden liegen, ilden ds Dreieck C ( C)., und C sind die Ecken, [], [C] und [C] die Seiten des Dreiecks. Ein Dreieck t lso drei Ecken und drei Seiten. Ein Viereck t vier Ecken und vier Seiten usw. Ein Recteck ist ein Viereck, in dem je zwei encrte Seiten einen recten Winkel ilden (senkrect ufeinnder steen). D C Dreieck CD C D C Viereck Zwei gegenüerliegende Seiten im Recteck sind gleic lng. Recteck Qudrt Ein Recteck mit vier gleic lngen Seiten eißt Qudrt. Ist M Q die Menge ller Qudrte, M R die Menge ller Rectecke und M V die Menge ller Vierecke, dnn gilt M Q M R M V Prllelogrmm: Je zwei gegenüerliegende Seiten sind prllel Rute: lle vier Seiten sind gleic lng Trpez: Ein gegenüerliegendes Seitenpr ist prllel oder in Worten: Jedes Qudrt ist ein Recteck und jedes Recteck ist ein Viereck. 8
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe Koordinten Ds (krtesisce) Koordintensstem estet us zwei zueinnder senkrecten csen. Die wgrecte cse eißt szissencse oder kurz szisse (wird oft uc ls -cse ezeicnet), die senkrecte cse ist die Ordintencse, kurz Ordinte (oder oft -cse). Der Scnittpunkt der eiden csen ist der Ursprung des Koordintensstems. Ein Punkt wird durc seinen Nmen und die eiden Koordinten, die szisse und die Ordinte, ngegeen: (szisse Ordinte) Mn findet den Punkt, wenn mn vom Ursprung us um den Wert der szisse nc rects und um den Wert der Ordinte nc oen get. Die Eineiten des Koordintensstems geen n, wie weit die Eins uf den csen vom Ursprung entfernt ist. Die Eineiten uf der szisse und der Ordinten können verscieden sein. Ds folgende Koordintensstem t gleice Eineiten uf eiden csen. 8 0 7 6 C( 8 ) ( 6 ) 7 6 6 7 D( 6) 6 (7 6) 7 8 Der Punkt (6 7) t die szisse 7 und die Ordinte 6. Fläcenmße Ein Qudrt mit der Seitenlänge m t den Fläceninlt (kurz: die Fläce ) m. m m m Ein Recteck mit den Seitenlängen und t die Fläce Ein Qudrt mit der Seitenlänge t die Fläce 0m 00m r 00m Hektr 00 0000m km 00 0000 0 6 m m 00dm 0000cm 0 6 mm dm 00cm 0000mm cm 00mm mm (000µ) 0 6 µ µ (000nm) 0 6 nm nm (000pm) 0 6 pm,6789km km 67m 89dm,6789m m dm 67cm 89mm 0,6789m dm cm 6mm 789000µ 0,06789cm mm 67µ 890000nm 0, }{{} }{{} }{{} 6 }{{} 78 }{{} 90 }{{} km m dm cm mm 0, 6 } {{ } 789 } {{ } 6789 } {{ } mm µ nm pm 0m 00m 9
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Zlen rüce und ructeile Teilt mn die Zl in gleic große Teile, dnn t ein Teil die Größe :. Diesen Quotienten screit mn uc in Form eines ruces: : Zäler Wert des ruces Nenner : ( ) : ( : ) von c von von c c : ( c) : c von c c c D mn durc null nict teilen drf, drf uc der Nenner eines ruces niemls null sein!,, 0 0 :, : 7 7, 8 6 8 : 6 0 : 0 :, von 8 7 7 von 8 8 7 7 von 8 8 7 7 0cm von,m 0cm cm 0 0 0 7 7, 8 8, 0 0 Wird ds Gnze in gleice Teile zerlegt, dnn ilden dieser Teile den ructeil vom Gnzen (ds -fce des Gnzen). Ds Gnze (7 Teile) 8 vom Gnzen 7 Die Menge der rtionlen Zlen N {,,,,...} (ntürlice Zlen) Z {,,,0,,,,...} (gnze Zlen) Mit Q ezeicnet mn die Menge ller rüce, woei die Zäler eine elieige gnze Zl und die Nenner eine gnze Zl ußer null sein dürfen: { } Q Z und Z und 0 0 0,, 6 8, Jede gnze Zl z kn mn ls ruc screien, z.. z z. Die Menge Z der gnzen Zlen ist lso in der Menge Q der rtionlen Zlen entlten (Z ist eine Teilmenge von Q): N Z Q Q eißt uc Menge der rtionlen Zlen. 0
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Erweitern und Vergleicen Ein ruc ändert seinen Wert nict, wenn Zäler und Nenner mit der gleicen Zl multipliziert werden (Erweitern): c c Zwei rüce eißen gleicnmig, wenn sie den gleicen Nenner esitzen. Zwei rüce und c d knn mn durc gescicktes Erweitern immer gleicnmig mcen: d d, c d c d d ist ein gemeinsmer Nenner der rüce und c d (ein gemeinsmes Vielfces der Nenner und d). Der kleinste gemeinsme Nenner (Huptnenner, HN) von mereren rücen ist ds kleinste gemeinsme Vielfce (kgv) irer Nennern. In diesem Teil üer ds Vergleicen von rücen sind lle Zäler und Nenner positiv! Für gleicnmige rüce gilt: < c < c Wenn mn kg Zucker uf 7 Kinder verteilt erält jedes Kind weniger ls wenn mn kg Zucker uf 6 Kinder verteilt, d.. 7 < 6. Für rüce mit gleicem Zäler gilt: Kürzen < c > c Ein ruc ändert seinen Wert nict, wenn mn Zäler und Nenner durc die gleice Zl dividiert (Kürzen): : c : c Zum Kürzen zerlegt mn den Zäler und den Nenner in Primfktoren und streict die gemeinsmen Fktoren. 7 7 ( 7) 7 ( 7) 9 Um den ruc uf den Nenner 08 zu ringen, muss er mit 08 : 9 erweitert werden: 9 9 08 Gleicnmigmcen von 7 und : 7 7 77, 7 7 8 77 Gleicnmigmcen von 9 6, und 9 : 6,, HN 6 Die Erweiterungsfktoren findet mn m scnellsten, wenn mn us der Primfktorzerlegung des Huptnenners die Primfktoren des jeweiligen Nenners streict. 9 6 9 6 6 6 6, 9 9 7 6 9 9 6 6 7 < 9, weil 7 < 9, 7 >, weil 7 < 9 9 Nictgleicnmige rüce vergleict mn, indem mn sie gleicnmig mct oder uf den gleicen Zäler ringt (je ncdem, ws einfcer ist): 9 }{{} 6 6 7 }{{} 7 < 9 }{{} 6 6 < 8 }{{} 69 < }{{} 7 6 < 6 7 }{{} 68 8 6 8 : 8 6 : 8 6 7 8 7 7 7 8 00 7 7, weil < 6 < 7, weil 7 > 69 > 68
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Ein ruc eißt vollständig gekürzt, wenn Zäler und Nenner keinen gemeinsmen Primfktor mer entlten. Die vollständig gekürzte Version eines ruces ist seine Grundform. Gelingt die Primfktorenzerlegung nict, dnn estimmt mn den ggt us Zäler und Nenner mit der Kettendivision: : ggt(,) : ggt(,) } {{ } vollst. gekürzt Produkte im Zäler und im Nenner vor dem Kürzen uf keinen Fll usmultiplizieren, sondern gleic weiter zerlegen: 6 7 7 9 Die Primfktoren des Zälers und Nenners von sind nict leict zu finden: 06 89 89 : 06 R80 06 : 80 6R8 80 : 8 0R 0 ggt(89,06) 8 06 06 : 8 89 89 : 8 6 7 Neenei t mn uc die Primfktoren von Zäler und Nenner gefunden: 06 6 8, 89 7 8 Recnen mit rücen Gleicnmige rüce, ddition und Sutrktion: + c + c c c Ungleicnmige rüce müssen vor dem ddieren zw. Sutrieren gleicnmig gemct werden! Wenn mn den HN nict findet, nimmt mn ds Produkt der Nenner ls gemeinsmen Nenner: + c d d + c d 8 + 8 + 7 8 8 7 7 6 0 0 0 6 6, 8 7 7 8 6 6 6 + 6 9 + 9 6 8 + 7 7 + 8 7 8 7 6 Oft ist es vorteilft, vor dem ddieren zw. Sutrieren zu kürzen. Wenn die Nenner scon fst gleicnmig sind, ist es esser, nict zu kürzen. Multipliktion von rücen: c d c d ( c c ) ( ) n n n 8 9 8 6 6 9 6 + 9 + 6 6 8 7 7 8 8 8 0 6 6 ( ) 6 8 ( ) 7
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 : eißt Kerwert von. : c d ( : c ) d d c d c Durc einen ruc wird dividiert, indem mn mit seinem Kerwert multipliziert: : c d d c d c : c c 8 ist der Kerwert von 8. ist der Kerwert von 7. 7 ist der Kerwert von. 8 : 7 8 7 6, 7 : 6 7 6 7 : 77 78 78 77 7 7 ( ) : 9 9 9 Einteilung der positiven rüce Stmmrüce: Zäler Ecte rüce: Unecte rüce: Sceinrüce: Zäler < Nenner Zäler > Nenner Zäler n Nenner mit n N Stmmrüce sind ecte rüce. Ecte rüce sind kleiner ls. Unecte rüce sind größer ls. Sceinrüce sind ntürlice Zlen. Stmmrüce: ecte rüce: unecte rüce: Sceinrüce:,,,,..., 7 8,, 0,..., 9 8,, 7 0,..., 9, 6 000 8, 7 0 0 Gemiscte Zlen Um die Größe eines unecten ruces esser zu erkennen, screit mn in ls gemiscte Zl. Die gemiscte Zl c die Summe + c. c + c c c ist eine kürzung für + c c + c z : n g R r z n g r n eim ddieren und Sutrieren gemiscter Zlen werden die Gnzen und die ructeile getrennt erecnet. Vorsict: c ist nict + c, sondern ( c + ) c + c c c Zum Multiplizieren und Dividieren verwndelt mn gemiscte Zlen in unecte rüce. 7 + 7 7 + 8 7 7 68 soll ls gemiscte Zl gescrieen werden: 9 68 : 9 7R 68 7 9 + 68 9 7 9 + 7 9 9 9 + 9 7 + 9 7 9 + 6 ( ( + 6) + + 8 6 ( (8 6)+ ) ) 7 6 0 0 ecte ei dem folgenden eispiel den Trick 8 0 7 + + 0 7 + 0 0 + 0 7 0 : 8 8 0 0 7 0 0 9 0 7 : 7 8 0 7 : 0 8 8 7 8
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Doppelrüce ei Doppelrücen screit mn den Huptrucstric uf Höe des Gleiceitszeicens. Huptrucstric c d : c d d c Die Zäler der Teilrüce leien uf der gleicen Seite des Huptrucstrics, die Nenner der Teilrüce springen üer den Huptrucstric. Dezimlrüce Definition der Dezimlrüce Ds Komm in einem Dezimlruc trennt die Einerstelle von der Zentelstelle.,6 0 + + 0 + 00 + 6 000 6 000 6 7 000 9 Sclussnullen nc dem Komm drf mn ei einem Dezimlruc elieig nängen oder streicen (Erweitern oder Kürzen). Recnen mit Dezimlrücen Zum ddieren und Sutrieren werden Dezimlrüce durc ds nängen von Sclussnullen gleicnmig gemct. Dezimlruc 0 n : Komm um n Stellen nc rects Dezimlruc : 0 n : Komm um n Stellen nc links 8 7 9 6 6 7 : 9 8 6 8 7 9 8,6 9 0 7 8 9 8 7 7 8 7 0, 0, 0,0 00, 0,00 000 0,, 0,, 0, 0, 8 0,7,,,, 0, 0000, 0,000 000 0000 0,0000 0000 0000000 000 0,, +,, +,000, 0,987,000 0,987 0,0, 000,, : 000 0,00 0,000 0 7 0, : 0 6 0,000 Multipliktion zweier Dezimlrüce mit d und d Dezimlen: eide Komms weglssen Multiplizieren Komm so setzen, dss ds Ergenis d + d Dezimlen t 0,006, 6 : 00000 8 : 00000 0,08,6, 6 : 000 900 : 000 9,00 9, 0,0007 0,00 7 : 0 7 : 0 7 0,00000
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Zur Division zweier Dezimlrüce versciet mn ds Komm eim Dividenden und eim Divisor um die gleice Stellenzl soweit nc rects, is der Divisor gnzzlig ist. 6, : 0,8 6, 6, 000 0,8 0,8 000 600 8 600 : 8 0, : 0,000 000 : 000,00 : 0, 00, : 7,7 Endlice und periodisce Dezimlrüce Jeder Dezimlruc mit n Dezimlen (Stellen nc dem Komm) lässt sic ls ruc mit dem Nenner 0 n n n screien. Die Grundform (vollständig gekürzte Form) dieses ruces t im Nenner nur die Primfktoren und. Ein vollständig gekürzter ruc, dessen Nenner ndere Primfktoren ls oder entält, ist periodisc unendlic oder kurz periodisc. Die Länge der Periode ist kleiner ls der Nenner. Ein periodiscer Dezimlruc eißt reinperiodisc, wenn die Periode direkt nc dem Komm eginnt. Ein periodiscer Dezimlruc eißt gemisctperiodisc, wenn zwiscen Komm und Periode noc weitere Ziffern steen. Einen ruc verwndelt mn in einen Dezimlruc durc Erweitern uf eine Zenerpotenz im Nenner oder einfc durc scriftlices Dividieren: 7 7 68 00 0,68 In folgender Telle edeutet PFN Primfktoren des Nenners, e endlic, rp rein periodisc, gp gemisct periodisc und p die Periodenlänge. ruc PFN Tp p 0,00 0, e 0 0, rp 0,87 7 7 rp 6 0,0, rp 0,0 0,, gp 0,6 6, gp 6 0, 90,,, gp 0, 0,... 0, 0,... 0,00 0,0000... Reinperiodiscer Dezimlruc in ruc: 0,Periode } {{ } Länge p Periode 999...9 } {{ } p ml die 9 Gemisctperiodiscer Dezimlruc in ruc: Ist z die Zl der Ziffern zwiscen Komm und Periode, dnn multipliziert mn mit 0 z, erält dmit einen reinperiodiscen Dezimlruc, wndelt diesen in einen ruc um und dividiert nscließend wieder durc 0 z. Zum Recnen verwndelt mn periodisce Dezimlrüce zweckmäßigerweise in rüce. 0,7 7 9 0,69 69 99 0,09 9 99999 0,7,7 : 0 7 9 : 0 9 : 0 90 7 0,6,6 : 000 6 999 : 000 999 : 000 999000 000 0, : 0,8 99 : 8 99 8 0,7 : 0,07 7 9 : 7 99 99 9
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Prozentrecnung rüce in der Prozentscreiweise Ein Hundertstel nennt mn uc ein Prozent, in Zeicen %. % 00, % 00, 00% 00 00 % von g % g 00 g g 00 Jede Zl knn mn in die Prozentscreiweise umwndeln: 00% ( 00)% % 00 00 0,0, 00% 0 00 % 0, %, % 0, 0% 0 0%, %, 0%, 7% % von 00 00 00,, 00% 0% 00 00% % % 0,7 0,7 00% 77,7% 77 7 9 % Grundufgen der Prozentrecnung Prozentstz } {{ } % } vom {{ } ml Prozentstz gesuct: Grundwert gesuct: Grundwert } {{ } g % g w % w g w g 00% g w % w 00 Prozentwert } {{ } w Zu werden % von ddiert ( wird um % vergrößert): ( + % ( + %) + ) 00 Von werden % von sutriert ( wird um % verkleinert): ( % ( %) ) 00 Ein etrg wird ei einer nk einezlt und järlic mit % verzinst. Nc n Jren ist der Wert des Kpitls ( + %) n Grundwert: 0, Prozentstz: % Prozentwert: w % 0 0 00 Wieviel Prozent von 80 sind 0? % 80 0 % 0 80 0 80 00% } {{ } 6 % Prozent eines etrges sind. etrg? % % 00 80 00 Preis mit 6% MWSt ist,. Preis one MWSt? ( + 6%),6,,,6 Ein Flugzeug verliert 0% seiner Höe und fliegt dnc noc 0 m oc. Ursprünglice Höe? ( 0%) 0,7 0m 0m 0,7 00m Ein etrg wäcst ei %-iger Verzinsung in drei Jren uf 60,0 n. ( + %),0 60, 60,,0 60,,76 000 6
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Reltive Häufigkeit Ein Eperiment mit versciedenen möglicen Ergenissen (z.. ds Werfen eines Würfels) nennt mn ein Zufllseperiment. Wird ein Zufllseperiment n-ml usgefürt und tritt ein estimmtes Ergenis dei z-ml ein (Trefferzl), dnn nennt mn den Quotienten z n die reltive Häufigkeit für ds uftreten des Ergenisses: reltive Häufigkeit Zl der Treffer Gesmtzl der Versuce Ein Würfel wird 00-ml geworfen. In folgender Telle edeuten T die Trefferzl und rh die reltive Häufigkeit: 6 T 7 8 9 rh 0, 0,8 0,6 0,9 0, 0,6 rh,% 8,% 6,% 9%,% 6% Geometrie Der Quder Ein Quder wird von secs Rectecken egrenzt. Ein Quder t ct Ecken (,, C,...), zwölf Knten ([], [C], [CD],...) und secs Fläcen. Je zwei gegenüerliegende Rectecke des Quders sind gleic. Je vier Knten des Quders sind gleic lng: CD EF GH C DE FG HE c E F CG DH E H D F G c C Ein Quder mit luter gleic lngen Knten eißt Würfel. Ein Würfel wird von secs gleicen Qudrten egrenzt. cm cm Rummße Der Ruminlt (ds Volumen) eines Würfels mit der Kntenlänge cm ist ein Kuikzentimeter (cm ). Ein Würfel mit der Kntenlänge 0 cm estet us 0 0 0 000 Würfeln mit cm Kntenlänge, d.. dm 000cm. cm km (000m) 0 9 m m 000dm 0 6 cm 0 9 mm dm 000cm 0 6 mm cm 000mm mm (000µ) 0 9 µ µ (000nm) 0 9 nm nm (000pm) 0 9 pm 0 cm cm dm 7
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 6 Einer Stelle ei den Längeneineiten entsprecen zwei Stellen ei den Fläceneineiten und drei Stellen ei den Volumeneineiten. {}}{ km {}}{ {}}{ m {}}{ m {}}{ m dm {}}{ dm {}}{ dm {}}{ {}}{ cm {}}{ mm {}}{ cm {}}{ mm {}}{ cm {}}{ mm {}}{ µ {}}{ µ { }} { µ { }} { m {}}{, dm {}}{ 6 cm {}}{ 789 mm {}}{ m m 6dm 789cm mm 6,789dm 6789,cm 6789mm 0,08000m 80dm cm 00mm 0,00007mm 07000µ Liter l dm Hektoliter l 00dm Milliliter ml cm Zentiliter cl 0cm m 000l 0l l 00cl 000ml cl 0ml 0cm ml cm 000mm Volumen und Oerfläce des Quders Ein Quder mit den Kntenlängen, und c t ds Volumen V c die Oerfläce ( + c + c) und die Gesmtkntenlänge k ( + + c) Ein Würfel mit der Kntenlänge t ds Volumen V die Oerfläce 6 und die Gesmtkntenlänge k Ein Quder mit den Kntenlängen m, 7cm und c mm t ds Volumen V 000mm 70mm mm 0000mm 0cm, die Oerfläce (000mm 70mm + 000mm mm+ +70mm mm) 80mm dm cm 80mm, und die Gesmtkntenlänge k (000mm + 70mm + mm) 88mm mdm 8cm 8mm. Ein Würfel t ds Volumen 7088cm, wie lng sind seine Knten? Primfktorenzerlegung von 7 088: V 7 cm ( 7cm) (cm) cm 8
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 lger Terme Ein Term ist ein Recenusdruck. Ein Term estet us Zlen, Recenzeicen und gegeenenflls us enennungen. Einen Term erecnen eißt, in soweit zu vereinfcen, is nur noc eine Zl ürig leit; diese Zl ist der Wert des Terms. Die letzte Recenopertion ei der erecnung eines Terms git dem Term seinen Nmen (Summe, Differenz, Produkt, Qoutient oder Potenz). Einem Term git mn oft einen Kurznmen, der meistens us nur einem ucsten estet und möglicst ussgekräftig ist, z.. V für ein Volumen. Vrile Eine Vrile ist ein Pltzlter für eine Zl, d.. sttt der Vrilen knn mn eine elieige Zl us einer vorgegeenen Grundmenge G screien (ds Wort Vrile edeutet Veränderlice). Kommt die gleice Vrile mermls in einem Term vor, muss sie jedes ml mit der gleicen Zl elegt werden. Einen Term mit dem Nmen T, der die Vrile entält, screit mn so: T() edeutet: T() (mn sprict T von ). Ersetze jedes im Term T() durc. Die Werte des Terms T() stellt mn üersictlic in Form einer Wertetelle dr: usgewälte -Werte us der Grundmenge G screit mn in die erste Zeile und die entsprecenden Termwerte T() in die zweite Zeile. Ein Term T() t eine Nullstelle ei, wenn T( ) 0. Den Mlpunkt vor einer Vrilen oder vor einer Klmmer drf mn weglssen:, ( ) ( ) T 8 9 T ist eine Differenz, deren Minuend und Sutrend jeweils Potenzen sind. (7 ) : ( ) ( ) : ( ) ist ein Quotient. (6 7) ( 7) ( ) ist eine Potenz. V ist ds Volumen eines Quders mit den Kntenlängen cm, cm und cm: V cm cm cm cm T() T() 6 T( ) ( ) ( ) + 6 0 T(0) 0 0 0 0 0 Wertetelle für T(): 0 T() 0 0 0 Wegen T(0) 0 und T() 0 t T ei 0 und ei Nullstellen. f(,) f(,) 8, 6, f(,) ( ) f(,0) 0 f(0,) 0 0 8 + 7, 0, nict definiert, d Division durc 0 V ist ds Volumen eines Quders mit den Kntenlängen, und c: V (,,c) c 9
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Definitionsmenge eines Terms Ein Term T(), der rüce oder Quotienten entält, ist für diejenigen Werte von nict definiert, für die ein Nenner oder Divisor den Wert null nnimmt. Die Definitionsmenge D T eines Terms T() ist die Menge ller Zlen us der Grundmenge G one die Nullstellen der Nenner zw. Divisoren. Ist nicts nderes ngegeen, dnn verwenden wir ls Grundmenge die Menge Q der rtionlen Zlen. Nullstellen der Nenner: T() + + + 0 + 0, D T G \ {,;} Wie die Definitionsmenge wirklic ussiet, ängt von der Grundmenge : G Q D T Q \ {,;} G Z D T Z \ {} ufstellen von Termen Um einen Term zur erecnung einer estimmten mtemtiscen Größe zu finden, stellt mn folgende Üerlegungen n: Welce Vrilen ruct mn? Welce Nmen git mn den Vrilen? Welce Zlenereice sind für die Vrilen sinnvoll? Wie erecnet mn us den Vrilen die gesucte Größe? Wenn mn den Term gefunden t, muss mn die Informtion, die in im steckt, verdeutlicen. Dzu erstellt mn eine Wertetelle und vernsculict diese Werte in einer Grfik (lkendigrmm, Koordintensstem). Ncfolgende Grfik zeigt den effektiven Steuerstz des neensteenden eispiels für eine, zwei, drei und vier Personen pro Fmilie: % 0% % 0% % 0 0 e(, n) 000 000 6000 8000 0000 n n n n Ds Steuermodell von Kircoff (00) Vom gesmten Jreseinkommen einer Fmilie werden pro Person 8000 Freietrg gezogen, vom Rest sind % Steuern zu zlen. Der effektive Steuerstz git n, wieviel Prozent des Einkommens die Steuern usmcen. Gesuct ist ein Term, der den effektiven Steuerstz us dem Montseinkommen erecnet. : Montseinkommen : Jreseinkommen n : Zl der Personen in der Fmilie s : zu zlende Steuern pro Jr e : effektiver Steuerstz s % ( n 8000) e s 8000n % % ( 000n ) Diese Formel gilt nur, wenn > 8000n ist, für 8000n zlt mn keine Steuern: e(,n) { % ( 8000n ) für > 000n 0 für 000n Die folgende Wertetelle git den effektiven Steuerstz in Prozent n: 000 000 000 6000 8000 0000 n 8, 6,7 0,8,,9, n 0 8, 6,7 9, 0,8,7 n 0 0, 6,7 8,8 0,0 n 0 0 8,,9 6,7 8, 0
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Termumformungen Äquivlente Terme Zwei Terme mit Vrilen eißen äquivlent, wenn sie für jede Ersetzung der Vrilen den gleicen Wert ergeen. T() und F() sind lso äquivlent, wenn für jedes us der gemeinsmen Definitionsmenge T() F() gilt. Zur Üerprüfung der Äquivlenz zweier Terme muss wirklic jedes Element der gemeinsmen Definitionsmenge der eiden Terme eingesetzt werden. D die Definitionsmenge meistens us unendlic vielen Elementen estet, ist diese rt der Üerprüfung in der Pris nict möglic. In den folgenden Kpiteln lernen wir Metoden kennen, wie mn Terme in äquivlente Terme umrecnet (Äquivlenzumformungen). Zusmmenfssen von Termen Zwei Terme eißen gleicrtig, wenn sie sic nur in einem Zlenfktor (dem Koeffizienten) untersceiden. Zwei gleicrtige Terme fsst mn zusmmen, indem mn den gemeinsmen Fktor mit Hilfe des Distriutivgesetzes (DG) usklmmert. Trick für viele Terme: Den felenden Fktor dzuscreien, z.. Multipliktion und Division ssozitivgesetz : c ()c (c) Kommuttivgesetz : : c c ( : c) c n m n+m () n n n { ( ) n + für gerdes n für ungerdes n T(), F() T( ) ( ) ( ) F( ) ( ), lso T( ) F( ) T(0) 0 0 0 F(0) 0 0, lso T(0) F(0) T() 8 F(), lso T() F() er: T() 0 F(), lso T() F() T() ist lso nict äquivlent zu F(). (,) +, (,) (;) + (;), lso (;) (;) lle weiteren Ersetzungen ergeen eenflls (;) (;), d. die eiden Terme sind äquivlent (ekter eweis folgt später)., und sind gleicrtig, die Koeffizienten luten, und. Die Terme und sind nict gleicrtig. + ( + ) 7 ( ) 8 + (8 +) ( ) z z ( )z+( )z [( )+( )]z 9z +7 ( )+(7 ) + + 8 7 ( ) ( ) Vorsict: ( ) ( ) u 0 u ( u u ) 6 u 0 : ( : ) 8 () 8 7 7 ( ) 7 0 7 ( ) 9, ( ) ( ) 9 [( ) ] 9 ( ) 9 9
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 usmultiplizieren Grundlge für ds usmultiplizieren sind ds Distriutivgesetz: ( + c) + c und die Vorzeicenregeln (+) (+) (+) (+) ( ) ( ) (+) ( ) ( ) ( ) (+) ( c) ( )( + ( c)) ( ) + ( )( c) + c ( + ) + 0 ( + ) + ( )(s r) ( ) s + ( ) ( r) ( + c d) 6 + c + d ( + ) 8 +0 ( r s 9 rs ) 6 r s 6 r s 8 r s ( + c) ( )( + c) + c Ein Minuszeicen vor einer Klmer öndert ds Vorzeicen jedes Summnden in der Klmmer. u v v (u v v ) u v v u v+v v usmultiplizieren von zwei Summen: ( + )(c + d) ( + )c + ( + )d c + c + d + d Jeder Summnd der ersten Klmmer wird, unter erücksictigung der Vorzeicen, mit jedem Summnden der zweiten Klmmer multipliziert. ( )(+) + + ( )( z) + z + z ( )( z) + + z + z ( ) ( ) + 9 ( )( + )( z) ( + )( z) + z + z z + z inomisce Formeln Ein inom ist eine Summe mit zwei Summnden, z.. + oder. ( + ) + + ( ) + ( + )( ) (s + r) s + sr + 9r ( ) [( )( + )] ( ) ( + ) ( + ) + + ( ) + 9 00 (000 + ) 000 + 000 + 000000 + 000 + 0000 999 (000 ) 000 000 + 000000 000 + 99800 ( )( + ) usklmmern Ds usklmmern ist eine nwendung des Distriutivgesetzes. ( + c k k k + c ) k + c (k k + kc) k + ( + ) 8 + 7 + ( + + ) ( 6 8 ( ) 7 + (6 + ) )
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Gleicungen Eine Gleicung für die Vrile estet us zwei Termen T() und R(), die durc ds Gleiceitszeicen verunden sind: T() R() Von der sprclicen Struktur er ist eine Gleicung eine euptung (ussge), nämlic die, dss die linke Seite T() gleic der recten Seite R() ist. Diese euptung knn wr oder flsc sein, je ncdem, welcen Wert die Vrile nnimmt. Die Lösungsmenge L der Gleicung T() R() zur Grundmenge G estet us llen Zlen G, für die T() R() eine wre ussge ist. eispiel: }{{} + 0, G { ;0;;;;6} } {{ } T() R() wr 0 T() R() Grundmenge 8 flsc 9 0 6 T() 0 6 R() 0 6 8 7 - fll Der Telle entnimmt mn, dss T() R() für und eine wre ussge ist, für die nderen Werte us G dgegen nict L { ;} ei mncen Gleicungen sind die vorkommenden Terme für einige -Werte nict definiert (Nullstellen im Nenner). Die Grundmenge one diese nicterluten Werte eißt Definitionsmenge (D) der Gleicung. D ist der Durcscnitt von G und den Definitionsmengen der einzelnen Terme (siee S. 0). Ist eine Gleicung für kein erfüllt, dnn ist die Lösungsmenge gleic der leeren Menge. Ist eine Gleicung für jedes wr, dnn ist die Lösungsmenge gleic der Definitionsmenge. Ist ei einer Gleicung keine Grundmenge ngegeen, dnn nimmt mn die größtmöglice Grundmenge n (ei uns Q). Lösungsmenge, G Q L {0;}, G N L {}, G {;;7} L {}, G Q L {}, G Z L G Z 0 0, G Q L G Q 0 7, G Q L {}, G Q L D Q\{0} 6, G Q L D Q\{;} und seien zwei ussgen (ussgesätze, die wr oder flsc sein können). : : : Wenn, dnn oder genuer Wenn wr ist, dnn ist uc wr Wenn, dnn genu dnn wenn und sind gleicwertig ist äquivlent zu sei eine ntürlice Zl. ist Teiler von ist Teiler von C ist Teiler von und ist Teiler von D 6 ist Teiler von D D D C C D C D rictig D D D D flsc
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Äquivlenzumformungen von Gleicungen Zwei Gleicungen mit gleicer Grundmenge eißen äquivlent, wenn sie die gleice Lösungsmenge esitzen. Eine Äquivlenzumformung verwndelt eine Gleicung in eine äquivlente Gleicung. Zwiscen äquivlenten Gleicungen screit mn. Eine Gleicung get in eine äquivlente Gleicung üer, wenn mn uf eiden Seiten den gleicen Term ddiert oder von eiden Seiten den gleicen Term sutriert: T() R() T() + S() R() + S() T() S() R() S() Eine Gleicung get in eine äquivlente Gleicung üer, wenn mn eide Seiten mit dem gleicen Term ( 0) multipliziert oder eiden Seiten durc den gleicen Term ( 0) dividiert. Für S() 0 gilt lso: Für 0 gilt: T() R() T() S() R() S() T() S() R() S() + +, G Q D Q 0 0, 0 0, 0 { } L L {} L Q Jede Gleicung der Form T() R() knn in der Form G() 0 gescrieen werden, denn T() R() T() R() R() R() T() R() 0 } {{ } G() R() Ds Umstellen von Gleicungen ist die konsequente nwendung von Äquivlenzumformungen: + + : : : : Für die folgenden sei D Q: + 9 7 7 9 L { } + L { } 8 8 6 L {6} 7 7 L {} Für 0 und 0 gilt:, G Q D Q\{0} 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 n o L L {} L {} L Q\{0} Linere Gleicungen Eine Gleicung eißt liner, wenn die Uneknnte nur in Termen der Form vorkommt. Es dürfen keine Produkte von Termen uftreten, die eide entlten, es dürfen keine Potenzen n mit n dei sein und drf nict in Nennern oder Divisoren steen. linere Gleicungen 9 8 nictlinere Gleic. ( 7) 9( 8) 8
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Strtegie zum Lösen linerer Gleicungen Wenn erforderlic, eide Gleicungsseiten vereinfcen (usmultiplizieren, Zusmmenfssen). lle Terme mit der Uneknnten nc links, lle nderen Terme nc rects. Zusmmenfssen, is die Form erreict ist. Mnce nictlineren Gleicungen können durc Äquivlenzumformungen uf linere Gleicungen zurücgefürt werden. Für die folgenden ist G Q: 8 + 8 : ( 8) 8 8 9 ( ) 8 6 + + 8 9 9 ( )( + ) ( )( ) + 7 + + 7 + 8 8 7 Tetufgen Vrilen definieren (inscreien, welce edeutung die Vrilen en). Gleicung ufstellen, die dem ngentet entsprict (noc nicts umstellen oder scon usrecnen). Gleicung lösen. Lösungen interpretieren, Proe. Eine Mutter sgt zu irer Tocter: Heute in ic genu vierml so lt wie du, vor zwei Jren wr ic noc fünfml so lt wie du es dmls wrst. Wie lt sind Mutter und Tocter eute? Festlegung der Vrilen: lter der Tocter eute : t lter der Mutter eute : m t lter der Tocter vor : t lter der Mutter vor : m t t (t ) t t 0 t + 0 t 8 Die Tocter ist eute 8 Jre lt, die Mutter. Proe: Vor zwei Jren: Tocter 6, Mutter 0 6 0 Mittelwerte Ds ritmetisce Mittel (Durcscnitt) der Größen,,..., n ist + +... + n n estet eine nsmmlung von Dten us z ml dem Wert, z ml dem Wert,..., z n ml dem Wert n, dnn ist ds ritmetisce Mittel z + z +... + z n n z + z +... + z n Notenverteilung einer Sculufge: 6 7 8 6 Die Durcscnittsnote ist N + + 7 + 8 + 6 + 6 + + 7 + 8 + 6 + 0 9,79
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Geometrie Elemente der Geometrie Eine Gerde ist eine nc eiden Seiten unendlic lnge, gerde Linie. [EF Durc zwei Punkte und läßt sic genu eine Gerde g zeicnen. Die Hlgerde [EF estet us llen Punkten der Gerden EF, die uf der gleicen Seite von E liegen wie F. Der Rndpunkt E geört zu [EF. Sind C und D zwei Punkte, dnn ist die Strecke [CD] der Teil der Gerden CD zwiscen den Punkten C und D. Die Rndpunkte C und D geören zur Strecke [CD]. E F C [CD] D g CD Länge der Strecke [CD] e Gerden und Strecken sind Punktmengen. S P ist ein Punkt der Gerden g: P g Der Scnittpunkt der Gerden e und f ist S: f e f {S} [CD] [CD [DC Der Kreis Der Kreis (die Kreislinie) um den Mittelpunkt M mit Rdius r ist die Menge ller Punkte P mit MP r: M r k(m;r) {P MP r} k i(m;r) Kreisinneres : k i (M;r) {P MP < r} Kreisäußeres : k (M;r) {P MP > r} Winkel Ein Winkel ist ein geordnetes Pr von Hlgerden mit dem gleicen nfngspunkt. Die Hlgerden sind die Scenkel, der gemeinsme Punkt ist der Sceitel des Winkels. k eispiel: [S, k [S Winkelfeld von <) S <) S <) (,k), <) S <) (k,) <) S <) S Dret mn die erste Hlgerde eines Winkels im Gegenurzeigersinn um den Sceitel is zur zweiten Hlgerden, dnn üerstreict sie ds Winkelfeld dieses Winkels. S 6
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Winkelmße In der 0. Klsse wird ewiesen: Die Kreislinie mit Rdius r t die Länge U πr mit π,9 U eißt Umfng des Kreises. Definition: π 80 π 80, π 60, U 60 r Ein Kreis mit dem Rdius r (wir verzicten ier uf eine Längeneineit) eißt Eineitskreis. r S α <) S k ogenlänge Der Eineitskreis t den Umfng U π 60. Ds Winkelfeld eines Winkels scneidet us dem Eineitskreis um den Sceitel einen ogen der Länge erus. Diese ogenlänge verwenden wir ls Mß des Winkels. Dem vollen Winkel entsprict der gnze Umfng ls ogenlänge, d.. der volle Winkel t ds Mß 60. Winkel werden mit kleinen grieciscen ucsten ezeicnet. Dei setzt mn meistens (etws sclmpig!) den Winkel (ds geordnete Pr von Hlgerden) und ds Winkelmß (eine Zl) gleic, z.. α <) S 0. 60 70 Voller Winkel 80 gestreckter Winkel recter Winkel (90 ) Winkelnme spitzer Winkel recter Winkel stumpfer Winkel gestreckter Winkel üerstumpfer Winkel voller Winkel ereic 0 < α < 90 α 90 90 < α < 80 α 80 80 < α < 60 α 60 Die wictigsten grieciscen ucsten: α lp ϕ Pi β et ψ Psi γ Gmm π Pi δ Delt σ Sigm ε Epsilon Ro λ Lmd µ Mu ω Omeg ϑ Tet η Et τ Tu Verfeinerung des Winkelmßes: Winkelminute: 60 Winkelsekunde: 60 600 60 600 Zeicnen eines 0 -Winkels n die Gerde g im Punkt S S 8 8 6 8 + 8 60 + 6 600 8,8 g 79, 79 + 0, 60 79 +, 79 + 0, 60 79 7
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Winkel n einer Gerdenkreuzung Zwei gegenüerliegende Winkel n einer Gerdenkreuzung eißen Sceitelwinkel, zwei encrte Winkel eißen Neenwinkel. In neensteender ildung sind die Pre (α,γ) und (β,δ) Sceitelwinkel, die Pre (α,β), (β,γ), (γ,δ) und (δ,α) sind Neenwinkel. Zwei Neenwinkel ilden zusmmen einen gestreckten Winkel: g γ β δ α Neenwinkel ergänzen sic zu 80. α + β 80 α 80 β γ + β 80 γ 80 β Sceitelwinkel sind gleic. } α γ α + β β + γ γ + δ δ + α 80 α γ, β δ Kongruente Dreiecke Stndrdezeicnungen m Dreieck C C Die Ecken werden mit Großucsten, die gegenüerliegenden Seiten mit dem entsprecenden Kleinucsten ezeicnet. Den Winkel (genuer Innenwinkel) n einer Ecke ezeicnet mn, wenn möglic, mit dem entsprecenden grieciscen ucsten. α γ c β Kongruente Figuren Zwei Figuren eißen kongruent oder deckungsgleic, wenn mn sie pssgenu ufeinnder legen knn. Kongruente Figuren knn mn durc eine ewegung ineinnder üerfüren. Zwei kongruente Figuren: Zwiscen kongruente Figuren screit mn ds Zeicen. ei der Screiweise ist zu ecten, dss einnder entsprecende Punkte der kongruenten Figuren n entsprecenden Stellen steen. C F C DEF γ d ϕ e edeutet: D, E, C F d, e, c f α δ, β ε und γ ϕ. α c β E ε f δ D Kongruenziome Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in C. drei Seiten (sss). einer Seite und den nliegenden Winkeln (wsw). zwei Seiten und dem Zwiscenwinkel (sws) α C c. zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite (ssw) üereinstimmen. Die eiden Dreiecke C und C stimmen in cm, c 6cm und in α 0 üerein, sind er trotzdem nict kongruent (α ist der Gegenwinkel der kleineren Seite, d < c). 8
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Konstruktionen Winkelüertrgung Gegeen ist der Winkel α <) (e,f) mit dem Sceitel S und die Hlgerde g mit dem Endpunkt P. α soll so n g ngetrgen werden, dss P der Sceitel und g ein Scenkel des Winkels ist: k k(s;r) (r elieig) {} e k, {} f k k k(p;r), {C} g k k k(;r ), k k(c;r ) {D} k k, [PD ist der gesucte Scenkel. Winkellierende Gegeen ist der Winkel α <) (e,f) mit dem Sceitel S. Gesuct ist eine Gerde w α durc S, die α in zwei gleice Winkel zerlegt: k k(s;r) (r elieig) {} e k, {} f k k k(;r ) (r genügend groß) k k(;r ) {C} k k w α SC ist die gesucte Winkellierende. Die folgende Konstruktion erut uf der Kongruenz S PCD (sss). S α k e f k Die folgende Konstruktion erut uf der Kongruenz SC SC (sss). S α α k P e f α C D k k g k k w α C Lotkonstruktionen Konstruktion der Mittelsenkrecten m der Strecke []: k k(;r) (r >, sonst elieig) k k(;r), k k {P,Q} m PQ {M} m ist der Mittelpunkt von []. Senkrecte uf g in P g erricten: Ein Kreis um P mit elieigem Rdius scneidet g in und in. Dnn Mittelsenkrecte uf []. Lot von P / g uf g fällen: Ein Kreis um P mit genügend großem Rdius scneidet g in und in. Dnn Mittelsenkrecte uf []. Q k k α γ β δ M m P eweis für die Rictigkeit der Konstruktion: Q P (sss) α β MQ MP (sws) γ δ Neenwinkel: γ + δ γ 80, γ 90 P P 9
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Prllelen Winkel n einer Doppelkreuzung In neensteender ildung eißen: Stufenwinkel α und ε, β und ϕ γ und µ, δ und σ Ncrwinkel α und σ, β und µ Wecselwinkel α und µ, β und σ oder Z-Winkel Zwei Gerden g und einer Eene eißen prllel, wenn sie keinen Scnittpunkt en oder gleic sind. β γ δ α ϕ ε µ σ g g {} oder g β Mit den Kongruenzsätzen knn mn eweisen: Werden zwei versciedene Gerden g und von einer dritten Gerden gescnitten und sind zwei Stufenwinkel gleic, dnn ist g prllel zu. Die Umkerung dieses Stzes ist mit den iserigen iomen nict eweisr. Der postulierte scon Euklid (6-00v.Cr.) ds iom: Werden zwei versciedene prllele Gerden g und von einer dritten Gerden gescnitten, dnn sind Stufenwinkel gleic. (Prlleleniom) us dem Prlleleniom folgt: Zu P / g git es genu eine Gerde mit g und P Werden zwei versciedene Gerden g und von einer dritten Gerden gescnitten, dnn gilt: g und sind prllel genu dnn, wenn Stufenwinkel gleic sind Z-Winkel (Wecselwinkel) gleic sind Ncrwinkel sic zu 80 ergänzen. eweisr: Nict eweisr: Zusmmenfssend: α α β g g α β g (Prlleleniom) α β g β γ δ α ϕ ε µ σ g α ε oder γ µ oder... α µ oder β σ α + σ 80 oder β + µ 80 Konstruktion der Prllelen zu g durc P: Prllelen konstruiert mn durc Winkelüertrgung unter usnutzung des Z-Winkel- oder Stufenwinkelstzes. α P f Spezilfll des Stufenwinkelstzes: Zwei Gerden sind prllel, wenn eide uf einer dritten Gerden senkrect steen. α g 0
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Dreiecke Winkelsumme im Dreieck us dem Z-Winkelstz folgt, dss α, β und γ zusmmen einen gestreckten Winkel ergeen: g α C γ β g Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist 80. Die Neenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks eißen ußenwinkel. α β In neensteender ildung sind α, β und γ ußenwinkel. γ γ C Ein ußenwinkel im Dreieck ist gleic der Summe der nictnliegenden Innenwinkel. (ußenwinkelstz) α β + γ, β α + γ, γ α + β Die Summe der Innenwinkel eines n- Ecks ist S n (n ) 80. Kennt mn in einem Dreieck eine Seite und zwei elieige Winkel, dnn kennt mn wegen der Winkelsumme uc den dritten Winkel. Somit sind die eiden der Seite nliegenden Winkel eknnt. Es gilt lso ein weiterer Kongruenzstz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und zwei entsprecenden Winkeln üereinstimmen. (wws) esondere Linien im Dreieck Ds Lot von einer Ecke eines Dreiecks uf die gegenüerligende Seite eißt Höe. Ist F C der Fusspunkt des Lotes von C uf, dnn ist c [CF C ] die zu C geörende Höe. [F ], [F ], c [CF C ] Die Höen (zw. ire Verlängerungen) scneiden sic in einem Punkt. M, M und M C sind die Mittelpunkte der Dreiecksseiten. Seitenlierende: s [M ], s [M ], s c [CM C ] Die Seitenlierenden scneiden sic in einem Punkt. Die Mittelsenkrecten m, m und m c scneiden sic in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Winkellierende: w α [W ], w β [W ], w γ [CW C ], α α β β n 00 S n 80 60 0 800 760 f α ϕ β δ M α C s γ c β C FDE F M C c C s c C F C s F M W α w β α w γ γ W C C F e F C M ϕ D γ w α W β β δ c M C d F C m c ε f C m m E F M
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Ds gleicscenklige Dreieck Spitze C Ein Dreieck mit zwei gleic lngen Seiten eißt gleicscenklig. Die eiden gleic lngen Seiten sind die Scenkel, die dritte Seite ist die sis. Die der sis gegenüerliegende Ecke eißt Spitze des gleicscenkligen Dreiecks. Im gleicscenkigen Dreieck sind die siswinkel gleic. Scenkel α sis Scenkel β α s c c w γ M β Es gilt uc die Umkerung: Ein Dreieck mit zwei gleicen Winkeln ist gleicscenklig. Zusmmengefsst: α β Im gleicscenkligen Dreieck fllen die Höe zur sis, die Seitenlierende der sis und die Winkellierende des Winkels n der Spitze zusmmen. c s c w γ Ds gleicseitige Dreieck Ein Dreieck mit drei gleic lngen Seiten eißt gleicseitig. Im gleicseitigen Dreieck ist jede Seite sis eines gleicscenkligen Dreiecks, d.. je zwei Winkel sind gleic. Somit sind lle drei Winkel gleic. Im gleicseitigen Dreieck sind lle Innenwinkel gleic 60. Im gleicseitigen Dreieck fllen lle entsprecenden Höen, Seiten- und Winkellierenden zusmmen. Durc Konstruktion eines gleicseitigen Dreiecks knn mn einen 60 -Winkel konstruieren. Durc fortgesetzte Winkellierung und Winkelüertrgungen ergit sic: Jeder Winkel der Form α m n 60 α C γ c β 60 60 60 c α β γ 60 Konstruktion eines gleicseitigen Dreiecks C, wenn [] gegeen ist: k k(;r ) k k(;r ) für konstruierre Winkel: k C C k mit gnzen Zlen m und n ist konstruierr. Spezilfll: 90 60 Sind α und β konstruierr, dnn ist uc γ m n α + r s β mit gnzen Zlen m, n, r und s konstruierr. Mit Metoden, die wir später kennen lernen, knn mn uc den 7 -Winkel und viele ndere Winkel konstruieren. 0 60, 60, 7, 60 7 60 + 60 60 97, 90 + 60 60, 7 60 7 Nict konstruierr sind z.. die folgenden Winkel:, 0, 0, 0 und 80.
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Lgeezieungen im Dreieck In einem Dreieck liegt dem größeren Winkel die gröëre Seite gegenüer und umgekert. < c β < γ D im rectwinkligen Dreieck der recte Winkel der gröte Winkel ist, folgt: Im rectwinkligen Dreieck liegt dem recten Winkel die größte Seite gegenüer. D < und D < c }{{} D + }{{} D < < c < + In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer ls die dritte Seite. In einem Dreieck ist der etrg der Differenz zweier Seiten kleiner ls die dritte Seite. Die Strecke [] ist die kürzeste Verindung zwiscen und. C D C mit < c: D δ δ ußenwinkelstz δ β + ε D β δ ε δ ε (γ ε) ε γ ε < γ Dmit ist ewiesen: < c β < γ Jetzt sei β < γ gegeen. Es git drei Möglickeiten:. > c β > γ (Widerspruc). c β > γ (Widerspruc). < c β < γ (kein Widerspruc) Dmit ist ewiesen: β < γ < c eispiel: C mit α 70, β 80, γ 0 Im C gilt: α γ < α < β c < < + c > > c + c > > c δ C γ δ ε c β } < c eispiel: Es git kein Dreieck C mit 0, 7 und c, d > c. Der stnd P ist ein Punkt, der nict uf der Gerden g liegt und F ist der Fußpunkt des Lotes von P uf g. Weiter ist Q ein elieiger Punkt uf g, der nict gleic F ist: PQ > PF Die Länge PF des Lotes von P uf g ist die kürzeste Verindung zwiscen P und irgend einem Punkt uf g. PF eißt stnd des Punktes P von g: d(p;g) PF Jeder Punkt P einer Gerden t zu einer dzu prllelen Gerden g den gleicen stnd d. d eißt stnd der prllelen Gerden. Q FP FP α β (Z-Winkel) 90 90 (stnd) F P Zum Sprcgeruc: d g d P F α β P F d FP P P FF d d Eine Entfernung git es zwiscen zwei Punkten, einen stnd git es zwiscen einem Punkt und einer Gerden oder zwiscen zwei Prllelen. g
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Der Tleskreis Ist M der Mittelpunkt der Strecke [], dnn eißt der Kreis um M mit Rdius r Tleskreis üer []. Mit TK ezeicnen wir den Tleskreis one die Endpunkte der Strecke: ( TK k M;r ) \ {;} α + β 80 γ α + β 90 C α C M α γ β C β Dmit gilt der Stz des Tles: In einem Dreieck C gilt M γ 90 C TK C Smmetrie csensmmetrie und csenspiegelung ist eine Gerde, die Smmetriecse. P und P eißen smmetrisc ezüglic der cse, wenn die Mittelsenkrecte uf [PP ] ist. P M P get durc die csenspiegelung n in P üer. P ist der Spiegelpunkt von P ezüglic und umgekert: P P P Konstruktion des Spiegelpunktes P von P: Mn wält zwei Punkte und. k k(;r P) k k(;r P) k k {P,P } csenpunkte und nur diese sind zu sic selst smmetrisc (Fipunkte): P P P P P g g d M d P P α β Q Spiegelt mn lle Punkte einer Gerden g n einer cse, dnn ilden die ildpunkte wieder eine Gerde, die ildgerde g. g und g scneiden unter dem gleicen Winkel. QM QM PM MP 90 90 (sws) PMQ P MQ α β
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Die Strecke [PQ] wird n der cse gespiegelt, ir ild ist [P Q ]. MN MN PM MP 90 90 QN NQ PN NP α β Dmit ist ewiesen: (sws) PMN P MN γ δ α β und PN NP (sws) PNQ P NQ PQ P Q Die csenspiegelung ist längentreu, d.. eine Strecke get ei der csenspiegelung in eine gleic lnge Strecke üer. us dem Kongruenzstz (sss) folgt dnn: ei der csenspiegelung get ein Dreieck in ein dzu kongruentes Dreieck üer. Dei ändert sic der Umlufsinn. llgemein gilt: d P M d P Q C α γ N csensmmetriscer Figuren mit iren Smmetriecsen: δ β C Q ei der csenspiegelung get eine geometrisce Figur in eine dzu kongruente Figur üer. Die csenspiegelung ist der eine Kongruenzildung. Eine Figur eißt csensmmetrisc, wenn es eine csenspiegelung git, die die Figur in sic selst üerfürt. Figur Zl der csen Recteck gleicseitiges Dreieck Qudrt regelmäßiges n-eck n Kreis unendlic viele Punktsmmetrie und Punktspiegelung Z ist ein Punkt, ds Smmetriezentrum. P und P eißen smmetrisc ezüglic des Punktes Z, wenn Z der Mittelpunkt der Strecke [PP ] ist. P Q Z Q P P get durc die Punktspiegelung n Z in P üer. P ist der Spiegelpunkt von P ezüglic Z und umgekert: P Z P P Z P Die Punktspiegelung n Z ist identisc mit einer Dreung um Z um 80.
Grundwissen Mtemtik Jrgngsstufe 7 Konstruktion des Spiegelpunktes P von P: Mn zeicnet die Gerde PZ und den Kreis k k(z;r ZP) k PZ {P,P } P Z Nur ds Zentrum ist zu sic selst smmetrisc (Fipunkt): P P Z P P Z g g Spiegelt mn lle Punkte einer Gerden g n einem Zentrum Z, dnn ilden die ildpunkte wieder eine Gerde, die ildgerde g. g und g sind prllel. P Q γ α Z β δ Q P Die Punktspiegelung ist längentreu, d.. eine Strecke get ei der Punktspiegelung in eine gleic lnge Strecke üer. ei der Punktspiegelung get eine geometrisce Figur in eine dzu kongruente Figur üer. Die Punktspiegelung ist der eine Kongruenzildung. Der Umlufsinn leit erlten. Eine Figur eißt punktsmmetrisc, wenn es eine Punktspiegelung git, die die Figur in sic selst üerfürt. punktsmmetriscer Figuren: Prllelogrmm QZ ZQ PZ ZP α β (Z-Winkel) C (sws) PQZ P Q Z γ δ g g und PQ P Q Z punktsmmetriscer Figuren mit iren Smmetriezentren: C Recteck Qudrt Kreis regelmäßiges n-eck, wenn n gerde ist 6