Mechanik und ihre mathematischen Methoden Experimentalphysik 1 PD Dr. Frank Stallmach Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften Linnéstr. 5, 04103 Leipzig Modul 12-PHY-LA-EP1 Staatsexamen Lehramt Physik, Wintersemester 2014/15 6 Schwingungen und Wellen 6.1 Harmonische Schwingungen Systeme mit einer stabilen Gleichgewichtslage Störung von außen Rückkehr in die Gleichgewichtslage durch Hin- und Herschwingen Schwingung: Vorgang, bei dem sich eine physikalische Größe periodisch mit der Zeit ändert Lage, Geschwindigkeit und Energiearten ändern sich periodisch Beispiele: Federschwinger, schwingende Saiten und Membranen Pendel Torsions- oder Drehschwingungen Harmonische Schwingung Beschreibung der Zeitabhängigkeit durch eine einfache Sinusfunktion Anharmonische Schwingung alle andere Arten der Periodizität 350
Kippschwingungen Kombination aus monotoner und sprunghafter Änderung der schwingenden physikalischen Größe 6.1.1 Freie ungedämpfte Schwingung Lineare Federschwingung Federschwinger mit linearem Kraftgesetz (F (x) = k x) für die rücktreibende Kraft (siehe MaMe-Seminar) Bewegungsgleichung m ẍ + k x + b ẋ = F (t) keine aüßere Kraft F (t) =0; ohne Dämpfung Dämpfungskonstante b =0 freie Bewegung nach einmaliger Auslenkung oder Anstoß wird gelöst durch x (t) =X 0 sin (ω 0 t + ϕ) mit ω 0 = 351 k m Anfangsbedingungen legen Amplitude X 0 und Anfangsphase ϕ fest gdg 2. Ordnung, zwei freie Konstanten Elongation (Auslenkung) x (t) als Funktion der Zeit ist periodisch und harmonisch charakteristische Parameter der Schwingung Kreisfrequenz/Eigenfrequenz ω 0 Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung, deren Projektion die harmonische Schwingung ergibt. Periodendauer T 0 =2πω0 1 =2π Frequenz f 0 = T 1 0 = ω 0 /2π [f 0 ]=s 1 =Hz Phasenwinkel ω 0 t + ϕ Experiment 112: Federschwinger Abhängigkeit der Periodendauer von der Wurzel aus der Masse eines Federschwingers: T 0 m 352 m k
Experiment 113: Schiff auf Wasser wird durch kurzes Eintauchen aus dem Gleichgewicht gebracht und schwingt lineares Kraftgesetz für die Rücktreibende Kraft, weil das verdrängte Volumen bzw. der Schweredruck auf Unterseite mit der Tiefe ansteigt. Geschwindigkeit und Beschleunigung des Federschwingers Aus Ableitungen nach der Zeit folgen Geschwindigkeit und Beschleunigung der harmonischen Schwingung ẋ (t) =X 0 ω 0 cos (ω 0 t + ϕ) ẍ (t) = X 0 ω 2 0 sin (ω 0 t + ϕ) Phasenverschiebungen max. Elongation = minimale Geschwindigkeit (Null) = max. Beschleunigung min. Elongation (Null) = maximale Geschwindigkeit = keine Beschleunigung Energie wird zw. kinetischer und potenzieller Energie ausgetauscht und bleibt insgesamt erhalten 353 Ableitung d dt m 2 ẋ2 + k 2 x2 =(m ẍ + k x) ẋ =0 }{{} d dt (E kin + E pot )=0 E kin + E pot = E ges = konst. In jeder Schwingungsphase ist die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie konstant. Berechnung mit Elongations- und Geschwindigkeitsgleichungen von oben liefert E ges = X2 0 ω 2 0 m 2 cos 2 (ω 0 t + ϕ)+ X2 0 k 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ) E ges = X2 0 k [ cos 2 (ω 0 t + ϕ)+sin 2 (ω 0 t + ϕ) ] = k 2 }{{} 2 X2 0 = konst. Mechanische Gesamtenergie hängt von der Richtgröße k und dem Quadrat der Amplitude ab. Im zeitlichen Mittel sind die kinetische und die potenzielle Energie der Schwingung gleich groß und betragen je die Hälfte der Gesamtenergie. 354
6.1.2 Dreh- und Pendelschwingungen Übertragung der Ergebnisse durch Vergleich der jeweiligen Bewegungs-/ Schwingungsgleichungen Bewegung erfolgt um einen Drehpunkt mit einer raumfesten Drehachse Auslenkung ist deshalb i.r. ein Winkel ϕ Richtgröße i.r. das rücktreibende Drehmoment D R Trägheit wird durch das Trägheitsmoment J des schwingenden Körpers beschrieben J = J S + m r 2 Bewegungsgleichung der Drehbewegung als Ausgangspunkt D = d dt L = J ω D = r F L = J ω oft reicht Betrachtung in einer Ebene (alle axialen Vektoren liegen senkrecht zur Zeichenebene) D = J ω = J ϕ 355 Dreh- und Torsionsschwingungen Auslenkung der Feder am Drehtisch oder Torsion des Fadens bewirkt rücktreibendes Drehmoment proportional zur Auslenkung (Drehwinkel) ϕ D = D R ϕ Die Proportionalitätskonstante D R ist die s.g. Winkelrichtgröße und stellt die Federkonstanten der Drehschwingung dar. [D R ]=Nm rad 1 analoge Definition wie k beim linearen Federschwinger aber andere Einheit kann berechnet werden, siehe LB für Torsionsfaden und Pendelschwingung (unten) Bewegungsgleichung nach Loslassen (es wirkt nur noch das rücktreibende Drehmoment) J ϕ = D R ϕ J ϕ + D R ϕ =0 ϕ + D R J ϕ = ϕ + ω2 0 ϕ =0 ω 0 = 356 D R J
äquivalent zu Schwingungsgleichung des Federschwingers; Analogien für Elongation und Eigenfrequenz x (t) ϕ (t) Elongation-Zeit-Gesetz der Drehschwingung Periodendauer D R J ϕ (t) =ϕ A sin (ω 0 t + ϕ 0 ) T 0 = 2π =2π ω 0 J =2π D R J s + mr 2 vergrößert sich mit Masse und Abstand vom Drehpunkt des schwingenden Körpers D R k m 357 Experiment 114: Torsionsschwingung Abhängigkeit der Periodendauer vom Trägheitsmoment des Körpers J am Torsionsfaden und der Winkelrichtgröße D R des Torsionsfadens (siehe LB) Experiment 115: T 0 =2π Drehtisch J D R D R = π G R4 2L Abhängigkeit der Periodendauer von der Masse und vom Abstand vom Drehpunkt, Steinerscher Satz T 0,J 0 charakerisieren die Eigenschaften des leeren Drehtisches mit Feder; J s + mr 2 ist der Probekörper T 2 (r) =T 2 0 ( J0 + J s + mr 2) 358
6.1.3 Pendelschwingungen Fadenpendel Mathemathisches Pendel Skizze: Pendellänge l, punktförmige Masse m, Auslenkung ϕ Bewegung auf Kreisbogenabschnitt um Ruhelage ϕ =0(wie bei einer Drehschwingung) Anwendung der allgemeinen Gleichung für die Periodendauer bei Drehschwingungen Trägheitsmoment der Punktmasse J S =0, J = m l 2 rücktreibendes Drehmoment D = m g l sin ϕ = m g l }{{} ϕ = D R ϕ Winkelrichtgröße der Pendelschwingung D R = m g l T 0 =2π J =2π D R m l 2 m g l =2π l g }{{} ω 0 = Periodendauer unabhängig von der Masse, aber abhängig von der Pendellänge und Fallbeschleunigung 359 g l Experiment 116: Fadenpendel Pendel Periodendauer unabhängig von der Masse, aber abhängig von der Pendellänge Physikalisches (physisches) Pendel starrer Körper, der um eine feste Achse drehbar gelagert ist Pendelbewegung der Linie Drehachse-Schwerpunkt, Auslenkung aus Ruhelage Abstand Drehachse - Schwerpunkt s Trägheitsmoment des starren Körpers um Schwerpunkt J S und um Drehachse J = J S + m s 2 rücktreibendes Drehmoment und Winkelrichtgröße (kleine Auslenkungen) D = m g s sin ϕ = m g s }{{} ϕ = D r ϕ Schwingungsdauer des physikalischen Pendels 360
Pendel im Magnetfeld - Verkürzung der Periodendauer T 0 =2π J S + m s 2 m g s Reduzierte Pendellänge und Schwingungsmittelpunkt gleiche Periodendauern eines mathematischen und physikalischen Pendels l g = J m g s l r := definiert die s.g. reduzierte Pendellänge l r J m s = J S m s + s Frage: Wird die Schwingungsdauer um eine Drehachsen mit kleiner werdendem Abstand vom Schwerpunkt kleiner oder größer? 361 Experiment 117: Physikalisches Pendel Demonstration der Abhängigkeit der Periodendauer vom Abstand vom Schwerpunkt J T 0 =2π S + m s 2 m g s 362
6.2 Oszillatoren in Wechselwirkung mit ihrer Umgebung 6.2.1 Freie gedämpfte Schwingung Entzug von Schwingungsenergie durch z.b. Reibung oder Abgabe als Schall (schwingende Saite) Abnahme der Amplitude Bewegungsgleichung (siehe MaMe-Seminar) m ẍ + k x + b ẋ = F (t) keine äußere Kraft F (t) =0; mit Dämpfung (Stocksche Reibung) b>0 Dämpfungskonstante 2δ = b/m (= b/j) freie Bewegung nach einmaliger Auslenkung oder Anstoß wird gelöst durch x (t) =X 0 e δt sin (ωt + ϕ) ω = ω0 2 δ 2 = 2π mit ω 0 = T 363 k m Abklingende Sinusfunktion, Exponentialfunktion als Einhüllende x (t + T )=X 0 e δ(t+t ) sin [ω (t + T )+ϕ] =X 0 e δ(t+t ) sin [ω (t)+ϕ] x (t + T )=e δt X 0 e δt sin [ω (t)+ϕ] =e δt x (t) Dämpfung der Amplitude während einer Periode um den Faktor e δt logarithmisches Dekrement als anschauliches Maß für die Dämpfung der Schwingungsamplitude x (t) ln = δt =Λ x (t + T ) Bewegung hängt ab vovon der Diskriminante D = ω 2 0 δ 2 Schwingungsfall D>0, ω 0 >δ schwache Dämpfung, periodisch Kriechfall D<0, ω 0 <δ starke Dämpfung, unperiodisch v 0 x (t) = ω 2 0 δ 2 e δt sin h (ωt) aperiodischer Grenzfall D =0, ω 0 = δ starke Dämpfung x (t) =v 0 t e δt 364
Experiment 119: Gedämpftes Stangenpendel Einstellung der Dämpfung über Wirbelstrombremse (Pendel mit Al-Platte durchläuft Magnetfeld) Demonstration des Übergangs vom Schwingungs- zu Kriechfall und aperiodischem Grenzfall 365 6.2.2 Erzwungene Schwingung - Resonanz periodische Zuführung von Energie zu einem schwingfähigen System ohne Rückkopplung Bewegungsgleichung ẍ +2δ ẋ + ω 0 x = F (t) m zeitabhängige, periodische äußere Erregerkraft F (t) =F 0 cos ωt Lösungsweg: Einsetzen der allgemeinen Lösung der gdg (MaMe), zweimaliges Differenzieren und Koeffizientenvergleich (siehe LB) Phasenverschiebung Phasenwinkel ϕ wächst für ω ω 0 von 0... π/2 tan ϕ = 2δω ω0 2 ω 2 366
wächst für ω ω 0 von π/2... π ist negativ, d.h Schwingung hinkt der Anregung hinterher. Amplitude abhängig von X 0 (ω) = F 0 /m (ω 2 0 ω 2 ) 2 +(2δω) 2 der Stärke der äußeren Kraft F 0 /m der Dämpfungskonstanten, der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz Skizze der Resonanzkurven für Phase und Amplitude Experimente 120 und 121: Pohlsches Rad und Federschwinger Resonanzfall und Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingung 367 6.2.3 Normalschwingungen gekoppelter Oszillatoren zwei schwingfähige Systeme sind schwach gekoppelt (Federschwinger, Pendel,...) ständiger Energieaustausch über die Kopplung Bewegungsgleichungen für zwei Federschwinger mit gleicher Kraftkonstante k und gegenseitiger Kopplung k 12 m ẍ I + k x I + k 12 (x I x II )=0 (1) m ẍ II + k x II + k 12 (x II x I )=0 (2) Rechentrick: Addieren und subtrahieren beider Gleichungen (ẍ I +ẍ II )+ k m (x I + x II )=0 (3) (ẍ I ẍ II )+ k + k 12 m (x I x II )=0 (4) zwei homogene gdgl, die gelöst werden können (Ansatz) und für die die Eigenfrequenzen sofort folgen 368
Zwei Normalschwingungen oder Fundamentalschwingungen für die Veränderlichen k x 1 =(x I + x II ) ω 0 = m k + k 12 x 2 =(x I x II ) ω 1 = m >ω I Lösungen: x 1 (t) =X m cos ω 0 t x 2 (t) =X m cos ω 1 t Berechnung der Teilschwingungen x I (t) = x 1 + x 2 2 x II (t) = x 1 x 2 2 = X m cos = X m sin ω 1 ω 0 t cos 2 ω 1 ω 0 t sin 2 ω 1 + ω 0 t 2 ω 1 + ω 0 t 2 Schwebung bzw. Überlagerung zweier Fundamentalschwingungen 369 Die Überlagerung der Fundamentalschwingungen gekoppelter Oszillatoren mit den Frequenzen f 0 und f 1 ergibt eine Schwebung mit der Schwebungsfrequenz f S = f 1 f 0 Experimente 121 und 124: gekoppelte Pendel Resonanz eines Zungenfrequenzmessers und 370
6.2.4 Fourieranalyse von periodischen Vorgängen Jede periodische Funktion kann als eine Reihe (Summe) aus Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden. Diese Darstellung liefert die Frequenzkomponenten, die zu der zeitlich periodischen Schwingung führen. nützliches Hilfsmittel zum Verständnis und zur Beschreibung anharmonischer periodischer Vorgänge Fourieranalyse Selbststudium für das Praktikum siehe Physik-Lehrbuch 371 6.3 Allgemeine Wellenlehre 6.3.1 Zusammenhang zwischen Schwingungen und Wellen Stoffe bestehen aus miteinander wechselwirkenden Teilchen Anregung einmalige Störung der Gleichgewichtsposition eines Teilchens rücktreibende Kräfte der Nachbarteilchen Schwingung des angeregten Teilchens um seine Gleichgewichtslage Übertragung der Schwingungsenergie auf Nachbarteilchen (gekoppelte Pendel) erzwungene Schwingung der Nachbarteilchen Anregung pflanzt sich durch den Stoff fort. Trägheit (Masse) und elastische Kopplung der Teilchen Zeitverzögerung in der Übertragung des Schwingungszustandes Welle Ausbreitung von Schwingungszuständen im Raum Transport von Schwingungsenergie kein Massentransport 372
Modelle der Wellenbewegung Pendelkette: Erregerzentrum äußeres Pendel der Kette nacheinander Übertragung der Schwingung auf das 1., 2., 3.,... benachbarte Pendel Kennzeichen einer Welle Teilchen schwingen am Ort. Schwingungszustand (Energie) bewegt sich mit konstanter, endlicher Geschwindigkeit vom Erregerzentrum weg. Phasengeschwindigkeit c Experiment 128 Wellenmodell 1: Massenteilchen vollführen lediglich Auf- und Abwärtsbewegungen nur Energietransport, kein Massentransport Experiment 127 Wellenmodell 2: Magnetkette Demonstration longitudinaler Wellen; Dichtewellen. 373 6.3.2 Transversalwellen und Longitudinalwellen zwei Grundtypen von Wellen; Unterscheidung bezüglich der Schwingungsrichtung der Teilchen bei mechanischen Wellen der Feldvektoren bei elektromagnetischen Wellen (siehe EP2, Elektrodynamik, Optik) Transversalwellen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Seilwelle, Licht,... Scherungswelle Schall in festen Stoffen Gestaltelastizität (Schubmodul G) Transversalwellen in festen Stoffen Longitudinalwellen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung. Kompressionswelle Schall in festen Stoffen und Fluiden Volumenelastizität (Elastizitätsmodul E ) Longitudinalwelle Phasengeschwindigkeiten der Transversal- und Longitudinalwellen sind unterschiedlich hängen von den elastischen Eigenschaften (E, G) ab 374
6.3.3 Harmonische Wellen Grundbegriffe Harmonischer Oszillator am Ort x =0 (Erregerzentrum) am Anfang einer Kette (oder eines Seils) mit Schwingungsverlauf u (t, 0) = u 0 sin [ωt + ϕ 0 ] Ausbreitung diese Schwingungszustandes entlang der Kette Geschwindigkeit c längst der Kette gleicher Teilchen entlang der x -Achse Alle Teilchen entlang der Kette schwingen mit gleicher Amplitude u 0 und Frequenz ω, aber zeitlich versetzt. Schwingungszustand (*) benötigt Zeit t = x/c, um vom Erregerzentrum bei x =0nach x zu gelangen. Er trifft dort also später ein, d.h. u (t, x) =u (t t, 0). Mit (*) folgt die Gleichung der harmonischen Welle (Sinuswelle): x u (t, x) =u 0 sin ω t + ϕ0 c Die Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang. 375 ( ) Charakteristische Parameter der harmonischen Welle Periodendauer T, Frequenz f = T 1 und Kreisfrequenz ω =2π f (wie bei einer Schwingung) u (t, x) =u 0 sin ω t 2π f c x + ϕ 0 = u 0 sin ω t 2π λ x + ϕ 0 Elongation u(x, t) Auslenkung der physikalischen Größe (Strecke, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrisches Feld,...) Wellenlänge λ; Einheit der Wellenlänge [λ] =m Abstand der Wiederholung gleicher Schwingungszustände in Ausbreitungsrichtung Periodizität im Raum Phasengeschwindigkeit c (und Dispersionsbeziehung) λ T = λ f = c Geschwindigkeit, mit der sich ein Schwingungszustand fortbewegt. 376
Phase (Argument der Sinusfunktion) und konstante Anfangsphase ϕ 0 ω t 2π λ x + ϕ 0 = ω t k x + ϕ 0 Wellenzahl k := 2π λ [k] =m 1 räumliches Analogon der Kreisfrequenz, 2π-fache der Anzahl der räumlichen Perioden pro Meter Betrag des Wellenzahlvektors k bei Beschreibung der Ausbreitung von Wellen im 3-dimensionalen Raum ( ) k = kx,k y,k z mit k = k = kx 2 + ky 2 + kz 2 = 2π λ andere Schreibweise der Gleichung der harmonischen Welle u (t, x) =u 0 sin [ω t k x + ϕ 0 ] im 3-dimensionalen Raum (Wellenausbreitung in k-richtung) u (t, r) =u 0 sin [ ω t k r + ϕ 0 ] 377 6.3.4 Differentialgleichung der 1-dimensionalen Wellenausbreitung 2. Ableitungen der Gleichung der harmonischen Welle nach Zeit und Ort 2 t 2u (t, x) = ω2 u 0 sin [ω t k x + ϕ 0 ] = ω2 u (t, x) }{{} 2 x 2u (t, x) = k2 u 0 sin [ω t k x + ϕ 0 ] = k2 u (t, x) }{{} Ersetzen von u (x, t) und Nutzen der Dispersionsbeziehung 2 x2u (t, x) =k2 ω 2 2 t 2u (t, x) = 1 (λ f) 2 2 t2u (t, x) 2 x 2u (t, x) = 1 c 2 2 t2u (t, x) partielle Differentialgleichung 2. Ordnung Wellenausbreitung in Mechanik, Akustik, Elektrodynamik, Optik,... Phasengeschwindigkeit c (Schallgeschwindigkeit, Lichtgeschwindigkeit,...) 378
Allgemeine Lösung der Wellengleichung siehe Mathe-Lehrbücher, Kapitel zu partiellen Differentialgleichungen x x u (t, x) =f t + g t + c c Superposition (Überlagerung = Summe) von zwei beliebigen Funktionen f und g müssen zweimal differenzierbar sein sowie Rand- und Anfangsbedingungen erfüllen f (t, x) Störung (Funktion) durch die Auslenkung f (t) bei x =0verursacht läuft in positive x-richtung; Phasengeschwindigkeit +c g (t, x) Störung (Funktion) durch die gleiche Auslenkung verursacht läuft in negative x-richtung; Phasengeschwindigkeit c 379 6.3.5 Eindimensionale Wellenausbreitung in elastischen Stoffen Longitudinal- und Transversalwellen in Stäben Weiterleitung von Geräuschen in langen Metallkonstruktionen (Heizungsrohre, Bahnschienen,...) 1-dimensionale Betrachtung, Longitudinalwelle langer Stab mit Querschnitt A, Elastizitätsmodul E und Dichte ϱ Auslenkung u (x, t): Kompression eines Volumenelements dv = Adx der Länge dx um die Länge du erfordert Spannung σ bzw. Kraft F u Hooksches Gesetz, Spannung σ ist proportional zur Kompression (Dehnung) ε σ = E ε σ = F u A ε = du dx 380
Anregung am Ende (z.b. Hammerschlag) Größe der Kraft F u und deren Änderung über die Länge des Volumenelemnts dx F u = E A du df u dx dx = E u Ad2 dx 2 Kraft beschleunigt das Volumenelement der Masse dm = ϱ A dx und verschiebt es um u; Bewegungsgleichung df u = ϱ A dx d2 u df u }{{} dt 2 dx = ϱ A d2 u dt 2 Gleichsetzen der beiden Ableitungen Wellengleichung der Longitudinalwelle d 2 u dx = ϱ d2 u E c 2 }{{} E dt 2 L = ϱ mit der Phasengeschwindigkeit c L (Ausbreitungsgeschwindigkeit der L-Welle) Experiment 129: Schallgeschwindigkeit in Al-Stab, c L, Al =5, 1km s 1 381 Übertragung auf Transversalwellen im Stab Auslenkung senkrecht zur Längsachse des Stabes Biegewelle Verdrehungen der Teilchen um Längsachse Scherwelle z. B. Verdrehung anlaufender Achsen durch Änderung eines zu übertragenden Drehmoments wirksame elastische Konstante ist das Scher- bzw. Schubmodul G c T = Phasengeschwindigkeit c T Ausbreitungsgeschwindigkeit der T-Welle wegen G<Efolgt c T <c L Beispiel: Longitudinalwellen bei Erdbeben sind schneller als Transversalwellen und werden deshalb zuerst registriert. Nutzung der Laufzeitunterschiede zur Ermittlung des Aufbaus und der elastischen Konstanten des Erdinneren 382 G ϱ
6.3.6 Geschwindigkeit von Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen Schubmodul G =0, keine Gestaltelastizität keine Transversalwellen nur Volumenelastizität; Elastizitätsmodul E = K > 0 Kompressionsmodul K Schallwellen in Fluiden sind Dichtewellen und somit Longitudinalwellen mit der Phasengeschwindigkeit Beispiel: Wasser bei 293 K c (L) = K =0.20 10 10 Pa 1, ϱ =1 10 3 kg m 3 daraus berechnete Schallgeschwindigkeit c W =1, 41 10 3 m s 3 genaue Messung ergeben 1, 483 10 3 m s 1 K ϱ 383 Schall in Gasen (z.b. Luft) adiabatische Zustandsänderung der schnellen Druckänderung in der Schallwelle p V χ =konst. Adiabatenexponent χ>1 (Thermodynamik), χ Luft > 1, 402 Kompressionsmodul K K = V dp dv = χ p Schallgeschwindigkeit im idealen Gas (p V = m M R T ) p = m R T V M = ϱ R T M c = χ p ϱ = χ R T M abhängig von der Art des Gases (molare Masse M) und der absoluten Temperatur T unabhängig von Druck und Dichte 384
Beispiel trockene Luft bei 273 K χ =1.402, ϱ =1.293 10 3 kg m 3, p = 101.325 10 3 Pa daraus berechnete Schallgeschwindigkeit c Luft = 331, 6m s 1 hängt vom Wassergehalt ab; wächst um ca. 0, 6m s 1 pro Kelvin Temperaturerhöhung 385 6.3.7 Stehende Wellen und Eigenschwingungen Stehende Welle statische Wellenerscheinung im Raum phasengleiche Schwingung mit periodischer Ortsabhängigkeit der Amplitude Kennzeichen sind ortsfeste Schwingungsknoten u =0(= Nullstellen der Elongation) und Schwingungsbäuche u = u max,min (= Maxima/Minima der Elongation) entstehen durch Überlagerung (Superposition) einer nach links und einer nach rechts laufenden Welle gleicher Amplitude u 0, Frequenz ω =2π f und Wellenzahl k =2π/λ u 1 = u 0 sin (ωt + kx) u 2 = u 0 sin (ωt kx) Berechnung der Summe beider Wellen u = u 1 + u 2 mit Additionstheorem sin α +sinβ =2 cos 386 α β 2 sin α + β 2
Gleichung der stehenden Welle u (t, x) =2u 0 cos (kx) sin (ωt) k = 2π λ Knoten im Raum bei Nullstellen der Kosinusfunktion; Bedingung k x = 2π λ x = π 2 (2 m +1) m G Der Abstand zweier Knoten einer stehenden Welle beträgt stets eine halbe Wellenlänge! Experiment 130 Periodisch angeregtes Seil: stehende transversale Welle Sichtbarmachung von raumfesten Schwingungsknoten und -bäuchen bei verschiedenen Anregungsfrequenzen nützlich zur Bestimmung der Wellenlängen durch Ausmessen des Knotenabstands 387 Reflexion von Wellen Welle trifft auf den Rand des Ausbreitungsmediums auf (Grenzfläche zu einem anderen Ausbreitungsmedium) Eindringen in das andere Medium Brechung Zurücklaufen im ursprünglichen Medium Reflexion Reflexion am festen Ende Schwingungsknoten an der Grenzfläche hinlaufende und reflektierte Welle löschen sich an der Grenzfläche aus Phasensprung um π Impulsumkehr der Schwingungsbewegung der Teilchen Reflexion am losen Ende hinlaufende Welle schwingt am Ende kräftefrei aus Schwingungsbauch an der Grenzfläche hinlaufende und reflektierte Welle sind phasengleich kein Phasensprung Experiment 131 Wellenmaschine: Reflexion am festen und offenen Ende 388
Die schwingende Saite beidseitig eingespannte Saite (Musikinstrumente) Eigenschwingung nach Anregung Ton Eigenschwingungen der Saite sind stehende Seilwellen. Frequenz f n wird durch die Spannung σ, die Länge l und das Material (Dichte ϱ) der Saite festgelegt. Anwendung der Dispersionsbeziehung: f n = c = n σ n =1, 2, 3,... λ n 2 l ϱ λ n = 2l σ c = n ϱ Wellenlänge λ n der stehenden Welle abhängig von Saitenlänge l und n n =1, 2, 3,... Abzählen der Eigenschwingungen (Modennummer) n =1+Anzahl der innen liegende Knoten (ohne Knoten am Rand) Phasengeschwindigkeit c der transversalen Seilwelle - Herleitung siehe LB 389 Eigenschwingungen der Saite feste Knoten am Rand diskrete Eigenschwingungen f n abzählbare Schwingungsmoden, n =1, 2, 3,..., m,... Grundschwingung (1. Harmonische )bei der Frequenz f 1, tiefster Ton Modennummer n =1; 1 1=0(keine) Knoten im Inneren 1. Oberschwingung (2. Harmonische) bei f 2 =2 f 1, höherer Ton Modennummer n =2; 2 1=1Knoten im Inneren m. Oberschwingung (m +1. Harmonische) bei f m = m f 1 Modennummer n = m; m 1 Knoten im Inneren Klangfarbe einer Saite wird durch die Kombination von Grund- und Oberschwingungen bestimmt Messung der Amplitudenverteilung (= Eigenschwingungsspektrum) mittels der s.g. Fourieranalyse Experiment 132 Monocord: Schwingungen einer Saite verschiedener Länge und bei verschiedener Saitenspannung 390
6.3.8 Stehende Schallwellen Schallgeschwindigkeit in Luft bei 293K c Luft = χ R T M = 332 m s 1 +0, 6 m s 1 K 20 K = 344 m s 1 Schallwelle aus Luft trifft auf Festkörpergrenzfläche Reflexion Echo bei großen Entfernungen Dauerton (f) Überlagerung der hinlaufenden und reflektierten Wellen Es entsteht eine stehende Schallwelle im Raum: Schwingungsknoten (Orte ohne Luftbewegung) im Abstand von λ/2 Schwingungsbäuche (Orte maximaler Luftbewegung) dazwischen Knoten an der reflektierenden Wand, Bauch an der offenen Seite Schall: Druck schwingt lokal um den Luftdruck p 0 Schwingungsknoten (Ort ohne Luftbewegung) = Druckbäuche 391 Nullstelle der Elongation = Maximum des Drucks Schwingungsbäuche (Ort maximaler Luftbewegung) = Druckknoten Maximum der Elongation = Minimum des Drucks Experiment 133 Kundt sches Rohr: Erzeugung einer stehenden Welle in einem einseitig geschlossenen Rohr Sichtbarmachung der Schwingungsknoten und -bäuche mit Korkpulver Überprüfung der Dispersionsbeziehung c = λ f Stehende Wellen in Luftsäulen beidseitig geschlossenes Rohr feste Länge l, jeweils Schwingungsknoten an den Enden Grundschwingung bei maximaler Wellenlänge λ 1 =2 l, Frequenz f 1 = c = c λ 1 2 l 392
doppelte Eigenfrequenz wie einseitig offenes Rohr; schwingt eine Oktave höher Rubens sches Flammrohr einseitig offen, gasgefüllt (Erdgas, Methan; c = 396 m s 1 ) Sichtbarmachung der Druckunterschiede bei Änderung der Frequenz Experiment 134 Rubens sches Flammrohr: stehende Welle in einem Gas, Sichtbarmachung der Druckunterschiede in der Welle Experiment 137 Stehende Schallwelle im Hörsaal: Studenten hören Schwingungsbäuche und Täler einer stehenden Schallwelle im Hörsaal 393