Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel 5 Kettenregel 5 Höhere Ableitungen 6 Ableitungen von trigonometrischen Funktionen 7 Ableitungen von Exponentialfunktionen 8 Ableitungen von logarithmischen Funktionen 9 Ableitungen von Wurzelfunktionen 20 Ableitungen von zusammengesetzten Funktionen 2 3 Untersuchung ausgezeichneter Punkte 23 Nullstellen ganzrationaler Funktionen 23 Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen 25 Nullstellen nichtrationaler Funktionen 26 Schnittpunkte mit der y-achse 27 Kurvenpunkte mit vorgegebenen Steigungen 28 Steigungen gebrochenrationaler Funktionen 29 Steigungen nichtrationaler Funktionen 30 Extrempunkte ganzrationaler Funktionen 3 Extrempunkte gebrochenrationaler Funktionen 34 Extrempunkte nichtrationaler Funktionen 35 Lokale und globale Extrempunkte 36 Wendepunkte ganzrationaler Funktionen 37 Wendepunkte gebrochenrationaler Funktionen 39 Wendepunkte nichtrationaler Funktionen 40
4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 4 Stetigkeit 4 Differenzierbarkeit 43 5 Untersuchung des Kurvenverhaltens 45 Monotonie 45 Krümmung 46 Verhalten an Polstellen 48 Verhalten von ganzrationalen Funktionen im Unendlichen 50 Verhalten von gebrochenrationalen Funktionen im Unendlichen 50 Verhalten von nichtrationalen Funktionen im Unendlichen 52 Symmetrie 53 B Anwendungen der Differenzialrechnung 55 Kurvendiskussionen 55 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 55 Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen 57 Untersuchung nichtrationaler Funktionen 58 2 Aufstellen von Gleichungen ganzrationaler Funktionen 6 3 Aufstellen von Tangentengleichungen 63 Tangente in einem Kurvenpunkt 63 Tangente von einem Punkt an eine Kurve 65 4 Das Newtonverfahren 67 5 Extremwertaufgaben 68 Extremwertaufgaben mit Funktionen 68 Extremwertaufgaben mit Sachbezug 70 6 Wachstumsprozzese 73 C Integralrechnung 75 Stammfunktionen 75 2 Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen 77 Potenzregel 77 Faktorregel 78 Summenregel 79
Lineare Substitution 80 Exponentialfunktionen mit f (x) = a x 8 Logarithmusfunktionen mit f (x) = a log x 82 Funktionen der Form f(x) = }} u (x) u (x) 83 3 Das Integral 84 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 84 Eigenschaften des Integrals 85 Die Kepplersche Fassregel 87 Wachstumsprozesse 88 Die Integralfunktion 90 D Anwendungen der Integralrechnung 92 Mittelwerte von Funktionen 92 2 Flächen zwischen einem Graphen und der x-achse 94 3 Flächen zwischen zwei Graphen 98 4 Rauminhalte von Rotationskörpern 02 5 Vermischte Aufgaben 03 6 Uneigentliche Integrale 05 Lösungen 08 Regeln und Übersichten 79 Stichwortverzeichnis 83
A Differenzialrechnung Grundlagen Funktionen Eine Funktion ist eine Zuordnung, die in eindeutiger Weise jeder reellen Zahl aus einer Definitionsmenge D f eine reelle Zahl aus einer Wertemenge W f zuordnet. Bei Funktionen ist die Angabe einer Definitionsmenge erforderlich. In den Übungsauf gaben dieses Buches wird auf diese Angabe verzichtet, wenn dadurch keine Wider sprüche entstehen können. Gemeint ist dann jeweils die maximal mögliche Definitionsmenge. Funktionen werden üblicherweise mit f, g, h, bezeichnet. Bei Sachaufgaben sind je nach Bedeutung auch andere Bezeichnungen möglich. Ein Element aus der Definitionsmenge, welchem eine Zahl aus der Wertemenge zugeordnet ist, heißt unabhängige Variable und wird üblicherweise mit x bezeichnet. Es sind aber bei Sachbezügen auch andere Bezeichnungen möglich. Ein Element aus der Wertemenge, das durch die Zuordnung f zu einer Zahl x gehört, heißt Funktionswert f (x) oder abhängige Variable y. Bei Sachbezügen wird auch V (r), T (t),... verwendet. Funktionen können auf unterschiedliche Weise beschrieben werden. Als Zuordnung: f: x x 2 Mithilfe einer Funktionsgleichung: f: y = x 2 Schaubilder oder Graphen in einem Koordinatensystem werden häufig mit S f oder G bezeichnet. Funktionen lassen sich auch in Wertetabellen darstellen, dabei steht die unabhängige Variable bei Zeilendarstellungen in der ersten Zeile beziehungsweise bei Spalten dar stellungen in der ersten Spalte. 8
Grundlagen. a) Bestimmen Sie zur Funktion f mit f (x) = 2x 3 die Funktionswerte f () und f (0). b) Zu welchen x * D f gehören die Funktionswerte f (x ) = 0 und f (x 2 ) = 5? 2. Für welche x * R sind die folgenden Funktionen nicht definiert? a) f : f (x) = b) g : g (x) = Î }}} x 4 x }}}}} (x 2) (x + 3) c) h: h (x) = Î }}} 4 x 2 d) k: k (x) = 2 log x 3. Geben Sie für D f = R die Wertemenge W f an. a) f: f (x) = 2 sin x b) f: f (x) = x 2 4 Differenzenquotient und Änderungsrate Gegeben seien zwei Punkte P (x y ) und P 2 (x 2 y 2 ) einer auf dem Intervall [a; b] definierten Funktion f. Dann heißt y 2 y }}} x 2 x = } ðy ðx Differenzenquotient von f im Intervall [a; b]. Der Differenzenquotient ist die Steigung m einer Geraden durch die Punkte P (x y ) und P 2 (x 2 y 2 ). Somit ist m = tan a = y 2 y }}} x 2 x 2. y 2 y y a P (x y ) a x 0 x x 2 S f P 2 (x 2 y 2 ) Eine Gerade durch die Punkte P ( 3) und Q (5 4) besitzt die Steigung m = 4 }} 3 5 = } 4 und bildet mit der x-achse den Winkel a mit tan a = 0,25, also a =4,0. Sind zwei Punkte P ( ) und Q (2 4) der Parabel f mit f (x) = x 2 gegeben, wird mit m = y 2 y }}} }} = 3 die Steigung der Sekante PQ bestimmt. x 2 x = 4 2 Sie gibt näherungsweise die Steigung des Graphen von f im Intervall [; 2] an. Verkleinert man das Intervall I, indem wieder der Punkt P ( ) und statt des Punktes Q der Punkt Q (,5 2,25) gewählt wird, ergibt das eine Sekantensteigung von m = y 2 y }}} }}},5 = 2,5. Dieses Verfahren lässt sich immer weiter fortsetzen, wenn der Punkt Q n zum Punkt P hinwandert. Mit P ( ) und Q 2 (,,2) ist m 2 = y 2 y }}} x 2 x =,2 }}}, = 2,. Mit P ( ) und Q 3 (,0,020) ist m 3 = y 3 y }}} x 3 x =,020 }}}},0 = 2,0. x 2 x 2 = 2,25 9
A Differenzialrechnung 4. Bestimmen Sie den Wert des Differnzenquotienten für die Punkte P und Q. a) P (3 2), Q (5 4) b) P (2 4), Q (3 ) 5. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = } 2 x2 4. Bestimmen Sie den Differenzenquotienten von f im Intervall I. a) I = [2; 3] b) I = [ ; 0] 6. Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g durch die Punkte P und Q. a) P (,5); Q (4 0) b) P ( 5); Q (2 4) Der Differenzenquotient heißt auch Änderungsrate von f im Intervall [a; b]. Bei Sachaufgaben kommt der Änderungsrate häufig eine besondere Bedeutung zu. Ein Auto beschleunigt vom Zeitpunkt t 0 = 0 an. Für die zurückgelegte Strecke x in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden gilt x (t) = 2 t 2. Die Änderungsrate in den ersten zwei Sekunden } v = 2 22 2 0 }}}} 2 = 4 ist hierbei die 2 0 mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeuges während der ersten zwei Sekunden mit } v = 4 } m s. 7. Der Verlauf der Tagestemperatur T in C an einem Sommertag kann näherungsweise beschrieben werden durch T (t) = } 4 (t 8)2 + 30, wobei t die Zeit in Stunden von 6.00 Uhr morgens an gerechnet ist. a) Bestimmen Sie die Temperatur um 6.00 Uhr morgens und 2.00 Uhr mittags. b) Welches ist die höchste Tagestemperatur und wann wird diese erreicht? c) Bestimmen Sie die mittlere Temperaturänderung von 7.00 Uhr bis 8.00 Uhr und vergleichen Sie diese mit der Änderung von 3.00 Uhr bis 4.00 Uhr. d) Bestimmen Sie die mittlere Temperaturänderung von 9.00 Uhr bis 20.00 Uhr. Interpretieren Sie das Ergebnis. 8. Die Höhe h in Zentimetern einer neu eingesetzten Pflanze kann in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen beschrieben werden durch h (t) = Î }}} t + 25. a) Bestimmen Sie die Anfangshöhe der Pflanze. b) Bestimmen Sie das durchschnittliche Höhenwachstum der Pflanze in den ersten 0 Tagen. 0
Grundlagen Ableitung Für eine auf einem Intervall I definierte Funktion f ist f (x) f (x 0) }}}} x x 0 mit x 0 * I der Differenzenquotient. Wenn dieser für x x 0 einen Grenzwert besitzt, heißt dieser Grenzwert Ableitung f9 (x 0 ) von f an der Stelle x 0. Er gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0 an und wird daher auch als Steigung der Funktion f an der Stelle x 0 bezeichnet. Es ist f9 (x 0 ) = lim f (x) f (x 0 ) }}}} x x 0 x x 0 = lim ðx 0 f (x 0 + ðx) f (x 0 ) }}}}}} ðx. Gesucht ist die Steigung der Tangente an die Parabel f mit f (x) = x 2 im Punkt P ( ). f ( + ðx) f () ( + ðx) f9 () = lim }}}}}} = lim 2 }}}}} 2 ðx 0 ðx ðx 0 ðx = lim ðx 0 + 2 ðx + (ðx) 2 }}}}}}} = lim ðx ðx 0 ðx (2 + ðx) }}}} = lim ðx ðx 0 2 + ðx }}} = 2 Die Ableitung oder Tangentensteigung der Parabel y = x 2 an der Stelle x = ist m = f9 () = 2. 9. Berechnen Sie jeweils f9 (x 0 ). a) f (x) = x 2, x 0 = 2 b) f (x) = 0,5x 2, x 0 = 3 0. Ein Auto beschleunigt. Für die zurückgelegte Strecke s in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden gilt s (t) = 2 t 2. Der Differenzenquotient von s ist die mittlere Geschwindigkeit des Autos während der Zeit ðt. s9 (t 0 ) ist die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t 0. Bestimmen Sie die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t = 2 und t 2 = 4 sowie die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [2; 4].. Die Funktion f mit f (x) = } x ist an der Stelle x 0 = 0 nicht definiert. Verschiedene grafikfähige Taschenrechner zeigen trotzdem einen Wert für die Ableitung an, beispielsweise f9 (0) = 000 000. Woran liegt das?
A Differenzialrechnung 2 Ableitungsregeln Potenzregel Beim Differenzieren der Funktion f: f (x) = x n (n * N) wird der Exponent um verkleinert und gleichzeitig der bisherige Exponent zum Koeffizienten f9 (x) = n x n. Für f (x) = x 2 ist f9 (x) = 2x. Für f (x) = x 4 ist f9 (x) = 4x 3. Mit einigen Einschränkungen, auf die im Kapitel Wurzelfunktionen eingegangen wird, lässt sich die Potenzregel auf Potenzen mit ganzzahligen und gebrochenen Exponenten erweitern. f (x) = } x 3 mit x 0 Umformen ergibt: f (x) = } x 3 = x 3 mit f9 (x) = 3x 4 = 3 } x 4. f (x) = 3 Î } x mit x º 0 Umformen ergibt: f (x) = 3 Î } } 3 x = x mit f9 (x) = } 3 x 2 } 3 = }}. 3 3 Î } x 2 Der Funktionsterm von f9 ist für x = 0 nicht definiert. Somit ist die Funktion f an dieser Stelle zwar definiert, jedoch nicht differenzierbar. Näheres dazu im Kapitel Differenzierbarkeit. 2. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Potenzregel. a) f (x) = x 5 b) f (x) = x 6 c) f (x) = } d) f (x) = } x 2 x 5 e) f (x) = Î } x f) f (x) = 4 Î } x 3 g) f (x) = } Î } x h) f (x) = } 3 Î } x 2
2 Ableitungsregeln Konstantenregel Es ist g eine differenzierbare Funktion, dann entfällt beim Differenzieren der Funktion f (x) = g (x) + c mit c * R der konstante Summand c. Somit ist f9 (x) = g9 (x). Bei einer Funktion f (x) = a g (x) bleibt der konstante Faktor a * R erhalten. Es ist f9 (x) = a g9 (x). Für f (x) = x 2 + 2 ist f9 (x) = 2x. Für f (x) = x 3 ist f9 (x) =. Für f (x) = } x3 2 = } 2 x3 ist f9 (x) = } 2 3x2 = } 3 2 x2. Die oben genannten Regeln lassen sich auch miteinander kombinieren. f (x) = } 2 3 4 (x 0) x Umformung: f (x) = 2 x 3 4 mit f9 (x) = 2 ( 3) x 4 = } 6 x 4 f (x) = 3 Î } x + (x º 0) Umformung: f (x) = 3 x } 2 + mit f9 (x) = 3 } 2 x } 2 = }} 3 2 Î } x (x > 0) 3. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit den Konstantenregeln. a) f (x) = 0,2x 5 3 b) f (x) = 2x 4 + c) f (x) = } 4 x 2 d) f (x) = } 3 x 3 e) f (x) = 6 Î } x f) f (x) = 8 Î } x 5 4. Begründen Sie mithilfe der Eigenschaften der Funktionsgraphen, dass alle Funktionen g (x) + c dieselbe Ableitung besitzen. 5. Begründen Sie, warum beim Ableiten von a g (x) der Faktor a erhalten bleibt. 3
A Differenzialrechnung Summenregel Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann wird die Funktion f (x) = u (x) + v (x) Summand für Summand differenziert: f9 (x) = u9 (x) + v9 (x). Für f (x) = 2x 3 + 4x 2 2 ist f9 (x) = 6x 2 + 8x. f (x) = x + } 2 (x* R \{0}) x (Es sind u (x) = x für x * R und v (x) = } 2 für x * R \{0} definiert.) x Umformung: f (x) = x + x 2 mit f9 (x) = 2 x 3 = } 2 x 3 6. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Summenregel. a) f (x) = 4x 4 3x 3 + x 2 x b) f (x) = x Î } x c) f (x) = } 2 x3 + } x 3 d) f (x) = 3x2 + 0,4x 5 Produktregel Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann besitzt die Funktion f (x) = u (x) v (x) die Ableitung f9 (x) = u9 (x) v (x) + u (x) v9 (x). f (x) = (x 2 ) (2x 2 + x + 3) Es sind u (x) = x 2 mit u9 (x) = 2x und v (x) = 2x 2 + x + 3 mit v9 (x) = 4x +. Einsetzen in die Formel ergibt: f9 (x) = 2x (2x 2 + x + 3) + (x 2 ) (4x + ) = 4x 3 + 2x 2 + 6x + 4x 3 + x 2 4x f9 (x) = 8x 3 + 3x 2 + 2x 7. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Produktregel. a) f (x) = x 3 (x 2 2x + ) b) f (x) = (2x 2 + ) (x ) c) f (x) = (x 2 5) (2x 3 + x 2 + x) d) f (x) = (4x 2 x + 4) (3x + 2) 8. Berechnen Sie die Ableitung mithilfe der Produktregel und durch Umformen mithilfe der Summenregel. a) f (x) = (x + 2) 2 b) f (x) = (2x 4) 2 4
2 Ableitungsregeln Quotientenregel Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann besitzt die Funktion f (x) = }} u (x) v (x) mit v (x) 0 die Ableitung f9 (x) = u9 }}}}}}}} (x) v (x) u (x) v9 (x). v (x) v (x) f (x) = x2 + 2 }}} 2x 3 ( x 3 } 2 ) Es sind u (x) = x 2 + 2 mit u9 (x) = 2x und v (x) = 2x 3 mit v9 (x) = 2. Einsetzen in die Formel ergibt: f9 (x) = 2x (2x 3) 2 (x2 + 2) }}}}}}}} f9 (x) = 2 (x2 3x 2) }}}}} (2x 3) 2 = 4x2 6x 2x 2 4 }}}}}} (2x 3) 2 (2x 3) 2 9. Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen mit der Quotientenregel. a) f (x) = x3 }} b) f (x) = 2x2 + x + 3 }}}} c) f (x) = 4 x x3 x }}} d) f (x) = 2 + }}}} 4 x 2 x + 2x 2 + 3 x 3 2x 2 + x 20. a) f (x) = }} x 2 3 b) f (x) = (4x + 2) 2. Beweisen Sie mit Hilfe der Quotientenregel die Kehrwertregel. Für f (x) = }} g (x) g9 (x) ist f9 (x) = }}} mit g (x) 0. g (x) g (x) Kettenregel Die Ableitung f9 (x) einer mittelbaren Funktion f (x) = u (v (x)) ist das Produkt aus der Ableitung v9 (x) der inneren Funktion z = v (x) und der Ableitung u9 (v (x)) der äußeren Funktion u (v (x)): f9 (x) = v9 (x) u9 (v (x)). Die Ableitung der Funktion f mit f (x) = (2x 3 ) 3 kann mit der Summenregel bestimmt werden, wenn die Klammer ausmultipiziert wird. Einfacher ist die Anwendung der Kettenregel. Substitution: Mit z = v (x) = 2x 3 ist u (z) = z 3. Innere Ableitung: z = v (x) = 2x 3 ; z9 = v9 (x) = 6x 2 Äußere Ableitung: u (z) = z 3 ; u9 (z) = 3z 2 Ergebnis: f9 (x) = 8x 2 (2x 3 ) 2 5
A Differenzialrechnung f (x) = Î }}} x 2 4, ( x º 2) Substitution: z = v (x) = x 2 4 und u (z) = Î } z Ableitungen: z9 = v9 (x) = 2x und u9 (z) = }} Ergebnis: f9 (x) = 2x }}}} 2 Î }}} = x x 2 4 Î }}} x 2 4 Die Ableitungsfunktion ist nur für x > 2 definiert. 2 Î } z 22. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen mit der Kettenregel. a) f (x) = (4x 4 3) 2 b) f (x) = (3x 2 + 4x 5) 2 c) f (x) = (2x 7) 3 d) f (x) = (5 3x 3 ) 4 23. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = }}} b) f (x) = }}} (2x 2 + x) 3 (x 5) 4 c) f (x) = ( + Î } x ) 2 d) f (x) = Î }}} x 3 24. Bestimmen Sie die Ableitung sowohl mit der Kettenregel als auch mit der Quotientenregel. a) f (x) = }} b) f (x) = }}} x 2 + x (x + ) 2 Höhere Ableitungen Die Ableitungsfunktion f9 einer Funktion f wird als. Ableitungsfunktion bezeichnet. Ist auch f9 differenzierbar, entsteht die 2. Ableitungsfunktion f0 von f. Weiteres Ableiten bringt die 3. Ableitungsfunktion f- von f usw. Es ist f mit f (x) = x 4 3x 2 + x + abzuleiten, bis sich eine Konstante ergibt. f (x) = x 4 3x 2 + x + f9 (x) = 4x 3 6x + f0 (x) = 2x 2 6 f- (x) = 24x f (4) (x) = 24 f (5) (x) = 0 Weiteres Ableiten ist nicht mehr sinnvoll, da f (n) (x) = 0 für n º 5. 6
2 Ableitungsregeln Es ist f mit f (x) = 2x }}} x + f9 (x) = 2 (x + ) (2x ) }}}}}}} = 3 }}} (x + ) 2 (x + ) 2 (x ) dreimal abzuleiten. f0 (x) = 0 (x + )2 3 2 (x + ) 6 (x + ) }}}}}}}} 4 = }}} (x + ) (x + ) = 6 }}} 4 f- (x) = 0 (x + )3 6 3 (x + ) 2 }}}}}}}} = 8 }}} (x + ) 6 (x + ) 4 (x + ) 3 25. Leiten Sie die folgenden Funktionen dreimal ab. a) f (x) = x 3 2x 2 + b) f (x) = 2x 4 + 3x 3 x 2 + x 5 c) f (x) = 3x }}} x 4 d) f (x) = x2 }} 26. Durch Umformen in eine Summe lassen sich folgende Terme ohne Anwenden der Quotientenregel ableiten. Leiten Sie sie auf diese Weise dreimal ab. a) f (x) = x2 + 3x + 4 }}}} x b) f (x) = x3 4x 2 x }}}} 2x 27. Wie oft muss eine ganzrationale Funktion n-ten Grades abgeleitet werden, bis sich eine Konstante ergibt? 2 x Ableitungen von trigonometrischen Funktionen Die Sinusfunktion f (x) = sin x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = cos x. Die Kosinusfunktion f (x) = cos x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = sin x. Die Tangensfunktion f (x) = tan x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = }}. cos 2 x Es sind die ersten vier Ableitungen der Funktion f (x) = sin x zu bilden. f9 (x) = cos x, f0 (x) = sin x, f- (x) = cos x, f (4) (x) = ( sin x) = sin x Gesucht ist die Ableitung der Funktion f (x) = x sin x. Anwenden der Produktregel: f9 (x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Die Ableitung von f mit f (x) = sin } 2 mit x 0 wird mit der Kettenregel bestimmt. x z = } und u (z) = sin z bringt f9 (x) = } 2 cos }. x 2 x 3 x 2 7
A Differenzialrechnung 28. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = sin 3x b) f (x) = sin x cos x c) f (x) = sin 2 x d) f (x) = tan x + 2 sin 2x e) f (x) = sin x 2 f) f (x) = sin }} x x + 29. Leiten Sie eine Formel für die Ableitung von f (x) = sin n x (n * N) her. 30. Beweisen Sie die Ableitungsregel der Tangensfunktion mit Hilfe der Quotientenregel aus tan x = }} cos sin x x. 3. Zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 30, dass für f (x) = tan x auch f9 (x) = + tan 2 x gilt. 32. Leiten Sie die Ableitungsregel für die Kotangensfunktion aus der Quotientenregel und aus der Ableitungsregel für die Tangensfunktion her. 33. Weshalb sind die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion beliebig oft differenzierbar? Ableitungen von Exponentialfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f (x) = e x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = e x. Gesucht ist die Ableitung der Funktion f (x) = x 2 e 2x. Anwendung der Produktregel: u (x) = x 2 mit u9 (x) = 2x und v (x) = e 2x Kettenregel f9 (x) = 2x e 2x + x 2 2e 2x = 2x e 2x ( + x) v9 (x) = 2e 2x. Die allgemeine Exponentialfunktion f (x) = a x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = ln a a x, a * R + \ {}. Gesucht ist die Ableitung von f mit f (x) = 2 2x+3. Kettenregel: z = v (x) = 2x + 3 und u (z) = 2 z z9 = v9 (x) = 2 und u9 (z) = ln 2 2 z Ergebnis: f9 (x) = 2 ln 2 2 2x+3 = ln 4 2 2x+3 8
2 Ableitungsregeln 34. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen. a) f (x) = 3 e 2x+ b) f (x) = e x2 +2x c) f (x) = (x ) e x d) f (x) = Î } e x e) f (x) = x n e x f) f (x) = e kx }} g) f (x) = 2 2x h) f (x) = ( } 4 ) 3x i) f (x) = x a Î} x k) f (x) = Î }}} e x + e l) f (x) = }} x m) f (x) = ex e }}} x e x e x + e x 35. Beweisen Sie die Ableitungsregel für f (x) = a x durch Umschreiben in a x = e ln ax und Anwenden der Kettenregel. Ableitungen von logarithmischen Funktionen Die natürliche Logarithmusfunktion f mit f (x) = ln x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = } x (x * R+ ). Gesucht ist die Ableitung von f (x) = x 3 ln 4x (x > 0). Anwenden der Produktregel: u (x) = x 3 mit u9 (x) = 3x 2 Kettenregel und v (x) = ln 4x f9 (x) = 3x 2 ln 4x + x 3 } x = 3x2 ln 4x + x 2 = x 2 (3 ln 4x + ) v9 (x) = 4 } 4x = } x. Die Logarithmusfunktion f mit f (x) = a log x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = }}} x ln a (a* R+ \{}, x * R + ). Gesucht ist die Ableitung von f (x) = (x 2 + 2) lg x (x > 0). Anwenden der Produktregel: u (x) = x 2 + 2 mit u9 (x) = 2x und v (x) = lg x mit v9 (x) = f9 (x) = 2x lg x + (x 2 + 2) }}} x ln 0 = }} ln 0 ( 2x ln x + x + } 2 x ) }}} x ln 0 9
A Differenzialrechnung 36. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = ln Î } x b) f (x) = ln (x 2 4) c) f (x) = ln } 2 3 x x + d) f (x) = ln }} x e) f (x) = x 2 log x 2 f) f (x) = (x 4 ) lg x g) f (x) = ln x }} x + 2 h) f (x) = }} x4 ln x 37. Beweisen Sie die Ableitungsregel für f (x) = a log x durch Umschreiben in alog x = }} ln x und Anwenden einer geeigneten Ableitungsregel. ln a Ableitungen von Wurzelfunktionen Bei Wurzelfunktionen kann es Bereiche geben, für welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Außerdem kann es vorkommen, dass eine Wurzelfunktion am Rand der Definitionsmenge nicht differenzierbar ist. Gesucht sind die maximale Definitionsmenge und die. Ableitung der Funktion f (x) = Î }}} x 2. Wegen x 2 º 0 für x º ist die Funktion f nur für D = {x x º } definiert. Mit z = x 2 und u (z) = Î } 2x z ist f9 (x) = 2 Î }}} = x x 2 Î }}}. x 2 Bei der Ableitungsfunktion muss wegen x 2 0 weiter eingeschränkt werden: Für x = und x 2 = aus der Definitionsmenge D ist f nicht differenzierbar. Die Funktion f ist differenzierbar für alle x >. Untersuchungen zur Differenzierbarkeit werden im Kapitel Differenzierbarkeit ausführlich erläutert. 38. Geben Sie für die folgenden Funktionen die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie die. Ableitung. Geben Sie den Bereich der Definitionsmenge an, auf welchem die Funktion f differenzierbar ist. a) f (x) = Î }}} x + 3 b) f (x) = Î }}}}}} (x 2) (x 4) c) f (x) = x Î } x d) f (x) = Î }}} x 2 + 2 20
Stichwortverzeichnis abhängige Variable 8 Ableitung höhere 6 Ableitungsfunktion 6 Änderungsrate 0, 88 Asymptote 48 Bestand 88 Bestandsfunktion 73 Definitionsmenge 8 Differenzenquotient 9 Differenzierbarkeit 43 Drehkörper 02 Exponentialfunktionen 8, 8 Extrempunkte 3, 34, 35 Extremstellen 56, 57, 59 Extremwertaufgaben 68, 70 Faktorregel 78 Flächen 94, 96 Flächenberechnung 94, 96, 98 Funktion 8 Funktionsgleichung 8 Funktionswert 8 gebrochenrationale Funktionen 25 Gesamtänderung 88 globales Minimum 36 globales Maximum 36 Graph 8 Grenzwert 42 Hochpunkt 3 Integral 84 Integralfunktion 89 Integrand 84 Integrationsgrenzen 84, 85 Integrationsvariable 84 Intervalladditivität 86 Keplersche Fassregel 87 Kettenregel 5 Konstantenregel 3 konstanter Faktor 3 Krümmung 46 Kurvendiskussionen 55 lineare Substitution 80 logarithmisches Integrieren 83 Logarithmusfunktion 9, 82 lokale und globale Extrempunkte 36 Maximum 3 Minimum 3 Mittelwert 92 Mittelwertsatz der Integralrechnung 92 Monotonie 45 natürliche Logarithmusfunktion 9 Newtonverfahren 67 Nullstellen 23, 55, 57, 58 Pole 57 Polstelle 48 Potenzregel 2, 77 Produktregel 4 Quotientenregel 5 83
Stichwortverzeichnis Rauminhalt 02 Sattelpunkt 33, 38 Schaubild 8 Schnittpunkte mit der y-achse 27, 56, 57, 58 Stammfunktion 75 Steigung der Sekante 9 der Tangente ganzrationaler Funktionen 28 gebrochenrationaler Funktionen 29 nichtrationaler Funktionen 30 stetig 4 Stetigkeit 4 Summenregel 4, 79 Symmetrie 53, 55, 57, 58 Tangente in einem Kurvenpunkt 63 von einem Punkt an eine Kurve 65 Tiefpunkt 3 trigonometrische Funktionen 7 unabhängige Variable 8 uneigentliches Integral 05 Verhalten im Unendlichen 50, 52 Vorzeichenwechsel 33 Wachstumsbeschleunigung 73 Wachstumsgeschwindigkeit 73 Wendepunkte 37, 39, 40, 56, 57, 59 Wendestelle 37 Wertemenge 8 Wertetabelle 8 Wurzelfunktion 20 Zielfunktion 68 84