Nachrichtentechnik [NAT] Kapitel 4: Fourier-Transformation Dipl.-Ing. Udo Ahlvers HAW Hamburg, FB Medientechnik Sommersemester 25
Inhaltsverzeichnis Inhalt Inhaltsverzeichnis 4 Fourier-Transformation 3 4. Motivation.................................. 3 4.2 Frequenz und Spektrum........................... 4 4.3 Fourier-Reihen................................ 5 4.4 Definition und Eigenschaften........................ 4.4. Linearität............................... 2 4.4.2 Symmetrieeigenschaften....................... 2 4.4.3 Parsevalsches Theorem....................... 4 4.5 Rechenregeln................................. 5 4.5. Dualität............................... 5 4.5.2 Zeitskalierung............................ 7 4.5.3 Frequenzskalierung.......................... 9 4.5.4 Zeitverschiebung........................... 2 4.5.5 Frequenzverschiebung........................ 23 4.5.6 Faltungstheorem........................... 26 4.6 Ausblick................................... 28 Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-2
4 Fourier-Transformation Inhalt 4 Fourier-Transformation 4. Motivation Bisher: Beschreibung kontinuierlicher Signale und Systeme im Zeitbereich (ZB) Jetzt: Einführung des Frequenzbereichs (FB) Zusammenhang zwischen ZB und FB Fourier-Transformation! Es handelt sich dabei um zwei unterschiedliche Darstellungen desselben Signals! Viele Systemeigenschaften lassen sich im FB besser, schneller und einfacher ermitteln: im Signal enthaltene Frequenzen Frequenzgang von Systemen (Übertragungscharakter) Verzögerungszeiten (Laufzeit, Latenz) Stabilität Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-3
4.2 Frequenz und Spektrum Inhalt 4.2 Frequenz und Spektrum A A 2T T T 2T 3T A : Amplitude T: Periodendauer f: Frequenz in Hertz [Hz] ω: Kreisfrequenz ω = 2πf = 2π/T Physikalische Definition: Unter der Frequenz f versteht man die Anzahl der Wiederholungen eines periodischen Vorgangs pro Zeitintervall T. Spektrum: Darstellung aller im Signal x(t) enthaltenen Frequenzen: X(jω) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-4
4.3 Fourier-Reihen Inhalt 4.3 Fourier-Reihen Idee: Periodische Signale x(t) können als Überlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Bedingung: Die vorhandenen Frequenzen ω k sind ganzzahlige Vielfache (Harmonische) der Grundfrequenz ω. ω k = ω, 2ω, 3ω,...,N ω () Die Summe dieser Harmonischen wird als Fourier-Reihe bezeichnet: ˆx(t) = a 2 + k= ( ( ) ( )) 2π 2π a k cos p kt + b k sin p kt (2) (J. B. J. Fourier, 822) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-5
4.3 Fourier-Reihen Inhalt Darin sind ˆx(t) p a k, b k k Fourier-Reihenentwicklung von x(t) Periode von x(t) Fourierkoeffizienten Ordnungs- oder Wellenzahl. Berechnung der Fourierkoeffizienten: a k = 2 p p/2 x(t) cos 2π p kt dt b k = 2 p p/2 x(t) sin 2π p kt dt (3) p/2 p/2 Symmetrien ausnutzen: x(t) ist gerade b k = x(t) ist ungerade a k = Merke: Die Lage des Integrationsintervalls (der Länge p) ist beliebig! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-6
4.3 Fourier-Reihen Inhalt Beispiel: Periodisches Rechteck-Signal x(t) = { für π < t < π 2 2 π für < t < 3π 2 2 (4) x(t) = x(t + p) mit p = 2π. (5) Berechnung der Fourierkoeffizienten (x(t) ist gerade, also b k = ): a k = 2 2π π π x(t) coskt dt = 2 π ) a =, a k = 2 π sin ( k π 2 k π/2 cos kt dt (6) (7) a =,636; a 2 = ; a 3 =,22; a 4 = ; a 5 =,27. (8) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-7
4.3 Fourier-Reihen Inhalt Darstellung der ersten 5 Harmonischen:.8.6.4.2.2.4.6 k= k= k=3 k=5.8.5.5 2 2.5 3 3.5 Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-8
4.3 Fourier-Reihen Inhalt Fourierreihen-Entwicklung abgebrochen bei N < :.2 N = 5.2 N =.8.8 x(t).6.4 x(t).6.4.2.2.2.5.5 2 2.5 3 3.5.2.5.5 2 2.5 3 3.5.2 N = 9.2 N = 29.8.8 x(t).6.4 x(t).6.4.2.2.2.5.5 2 2.5 3 3.5 t.2.5.5 2 2.5 3 3.5 t Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-9
4.4 Definition und Eigenschaften Inhalt 4.4 Definition und Eigenschaften Jetzt: Erweiterung auf beliebige Signale x(t) (nicht-periodisch) beliebige Frequenzen ω (nicht nur harmonische) Überlagerung durch Integration Definition Fourier-Integral: X(jω) = x(t) e jωt dt Definition Umkehrintegral: x(t) = 2π X(jω) e jωt dω (9) Im Allgemeinen ergibt sich eine komplexwertige Fourier-Transformierte X(jω): X(jω) = X (jω) + jx (jω) = X(jω) e jϕ(ω). () Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4 -
4.4 Definition und Eigenschaften Inhalt Darin sind x(t): X(jω): reelle oder komplexe Zeitunktion der reellen unabhängigen Variablen t Fourier-Transformierte, Fourier-Spektrum, komplexes Amplitudenspektrum X (jω): Realteil, X (jω): Imaginärteil X(jω) : Betragsspektrum, ϕ(jω): Phasenspektrum. e jωt : e jωt : Transformationskern der Fourier-Transformation Transformationskern der inversen Fourier-Transformation Abkürzende Schreibweise: F{x(t)} = X(jω) () x(t) X(jω) (2) X(jω) x(t) (3) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4 -
4.4 Definition und Eigenschaften Inhalt 4.4. Linearität Für beliebige Fourier-Korrespondenzen x (t) X (jω) x 2 (t) X 2 (jω) (4) und für beliebige Skalare k, k 2 gilt: k x (t) + k 2 x 2 (t) k X (jω) + k 2 X 2 (jω). (5) 4.4.2 Symmetrieeigenschaften x(t) = x g(t) + x u (t) + jx g (t) + jx u(t) X(jω) = X g(jω) + X u(jω) }{{} X (jω) + jx g (jω) + jx u(jω) }{{} jx (jω) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-2
4.4 Definition und Eigenschaften Inhalt x g x(t) X(jω) (t) reell, gerade reell, gerade x u(t) reell, ungerade imaginär, ungerade x g (t) imaginär, gerade imaginär, gerade x u (t) imaginär, ungerade reell, ungerade x g (t) + x u (t) reell konjugiert gerade X( jω) = X (jω) x g(t) + x u(t) imaginär konjugiert ungerade X( jω) = X (jω) x( t) = x (t) konjugiert gerade reell x( t) = x (t) konjugiert ungerade imaginär x g (t) + jx g (t) komplex, gerade komplex, gerade x u (t) + jx u (t) komplex, ungerade komplex, ungerade Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-3
4.4 Definition und Eigenschaften Inhalt 4.4.3 Parsevalsches Theorem Zusammenhang zwischen Signalenergien im Zeitbereich (ZB) und Signalenergien im Frequenzbereich (FB). Anschaulich: Fläche unter der Kurve. ε x = x(t) 2 dt = 2π X(jω) 2 dω. (6) Merke: ZB und FB sind unterschiedliche Beschreibungen desselben Systems, daher ist ε x in beiden Fällen gleich! Auswahl je nach Rechenaufwand! Beispiel: x(t) = rect(t) si ( ω 2) = X(jω) ε x = /2 /2 dt =. (7) (M. A. Parseval de Chenes, 755-83) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-4
4.5 Rechenregeln Inhalt 4.5 Rechenregeln 4.5. Dualität Gegeben sei die Fourier-Korrespondenz: x(t) X(jω) (8) So gilt ebenfalls die duale Fourier-Korrespondenz: X(jt) 2π x( ω). (9) Beispiel: Rechteckfunktion Gesucht: Fourier-Transformation von x(t) = si ( ) t 2 (2) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-5
4.5 Rechenregeln Inhalt Bekannt: Ergebnis: ( ω ) rect(t) si, X(jt) 2π x( ω) (2) 2 si ( ) t 2 2π rect(ω). (22) a) x(t) = si(t/2) b) X(j ) - t -.5.5 Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-6
4.5 Rechenregeln Inhalt 4.5.2 Zeitskalierung Gegeben sei die Fourier-Korrespondenz: Fourier-Transformierte nach Zeitskalierung: Insbesondere für a = (Zeitumkehr): Beispiel: Rechteckfunktion Gesucht: Fourier-Transformation von ( t x(t) = rect x(t) X(jω) (23) x(at) (j a X ω ), a reell (24) a x( t) X( jω) = X (jω). (25) T ), T > (26) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-7
4.5 Rechenregeln Inhalt Bekannt: ( ω ) rect(t) si, x(at) (j 2 a X ω ) a (27) Ergebnis: ( ) t rect T ( T si ω T ). (28) 2 a) rect(t/t ) T b) si( T /2) T -T /2 T /2 t -4 Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-8
4.5 Rechenregeln Inhalt 4.5.3 Frequenzskalierung Gegeben sei die Fourier-Korrespondenz: Fourier-Transformierte nach Frequenzskalierung: X(jbω) b x x(t) X(jω) (29) ( t b ), b reell (3) Beispiel: Rechteckfunktion Gesucht: inverse Fourier-Transformation von X(jω) = π ω gr rect ( ω 2ω gr ) (3) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-9
4.5 Rechenregeln Inhalt Bekannt: 2πrect(ω) si ( ) t, X(jbω) ( ) t 2 b x b (32) Ergebnis: ( ) π ω rect ω gr 2ω gr si(ω gr t). (33) a) x(t) = si( gr t) b) X(j ) gr gr - gr gr t - gr gr Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-2
4.5 Rechenregeln Inhalt 4.5.4 Zeitverschiebung Gegeben sei die Fourier-Korrespondenz: Fourier-Transformierte nach Zeitverschiebung um t : Beispiel: Rechteckfunktion x(t) X(jω) (34) x(t t ) X(jω) e jωt (35) Gesucht: Fourier-Transformation von ( ) ( ) t T t + T x(t) = A rect + A rect, T > T (36) Bekannt: T x(t) = k x (t) + k 2 x 2 (t) k X (jω) + k 2 X 2 (jω) = X(jω) (37) T Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-2
4.5 Rechenregeln Inhalt ( ) t rect T ( T si ω T ), x(t T ) X(jω) e jωt (38) 2 ( Ergebnis: x(t) AT si ω T ) (e jωt + e ) jωt 2 ( x(t) 2AT si ω T ) cos(ωt ). (39) 2 a) x(t) b) X(j ) A T T - /2T -T T t - Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-22
4.5 Rechenregeln Inhalt 4.5.5 Frequenzverschiebung Gegeben sei die Fourier-Korrespondenz: X(jω) x(t) (4) Fourier-Transformierte nach Frequenzverschiebung um w : Beispiel: Sinus- und Cosinus-Funktion X(j(ω ω )) x(t) e jω t Gesucht: Fourier-Transformierte der Sinus- und Cosinus-Funktion Bekannt: δ(ω) 2π, X(j(ω ω )) x(t) e jω t Anwendung des Modulationssatzes: X(j(ω ω )) = δ(ω ω ) 2π ejω t X(j(ω + ω )) = δ(ω + ω ) 2π e jω t (4) (42) (43) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-23
4.5 Rechenregeln Inhalt Fourier-Transformation der Cosinus-Funktion: cos(ω t) = 2 (e+jω t + e jω t ) π (δ(ω ω ) + δ(ω + ω ) ) (44) a) x(t) = cos( t) b) X(j ) - -T T t - Merke: Das Spektrum der Cosinusfunktion enthält nur eine Frequenz (ω ); Zeitfunktion und Spektrum sind gerade! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-24
4.5 Rechenregeln Inhalt Fourier-Transformation der Sinus-Funktion: sin(ω t) = 2j (e+jω t e jω t ) π j (δ(ω ω ) δ(ω + ω ) ). (45) a) x(t) = sin( t) b) X(j ) /j - /j -T T t - Merke: Das Spektrum der Sinusfunktion enthält nur eine Frequenz (ω ); Zeitfunktion und Spektrum sind ungerade! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-25
4.5 Rechenregeln Inhalt 4.5.6 Faltungstheorem Die Faltung im Zeitbereich entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich: x(t) = x (t) x 2 (t) X (jω) X 2 (jω) = X(jω) (46) Die Faltung der Fourier-Transformierten entspricht der Multiplikation der zugehörigen Zeitfunktionen: X (jω) X 2 (jω) 2π x (t) x 2 (t) (47) Beispiel: Dreieckfunktion Berechnung der Fourier-Transformierten der Dreieckfunktion tri(t) mit Hilfe des Faltungstheorems: Bekannt: rect(t) rect(t) = tri(t) (48) ( ω ) rect(t) si 2 (49) Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-26
4.5 Rechenregeln Inhalt Lösung mit dem Faltungstheorem: ( ω ) tri(t) = rect(t) rect(t) si 2 ( ω ) ( ω ) si = si 2. (5) 2 2 a) tri(t) b) si 2 - t - Merke: Eigenschaften der si 2 -Funktion: reell, nichtnegativ, gerade, stetig! Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-27
4.6 Ausblick Inhalt 4.6 Ausblick Für dieses Semester: Behandlung kontinuierlicher Signale Nächster Termin: Übergang zur Laplace-Transformation Beschreibung von Systemeigenschaften im FB Übertragungsfunktion, Betrag und Phase, Stabilität Werkzeuge und Rechenregeln Dipl.-Ing. Udo Ahlvers Nachrichtentechnik [NAT] 4-28