Name: 30. Mai 2007 Klasse 11A 4. Klassenarbeit Mathematik Thema: Differentialrechnung Allgemeine Bearbeitungshinweise: Die Bearbeitung muss von einer geeigneten Dokumentation begleitet werden. Hierzu gehören: optische Gliederung (Unterstreichen, Absätze) einleitende Bemerkungen zu einem Bearbeitungsschritt Bemerkungen zu wichtigen Schritten Antwortsatz / Ergebnisfeststellung Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner; Formelsammlung Aufgabe 1 (Kurvendiskussion) Untersuche die nachfolgende Funktion anhand des Schemas der vollständigen Kurvendiskussion. Fertige den Graphen der Funktion im Intervall [ 4; 4] anhand markanter Punkte an. Hinweis: Extrem- und Wendestellen haben ganzzahlige x-werte! f(x) = 1 6 (1 + x)3 (3 x) ersion A Aufgabe 2 (Optimierung) Es sollen zylindrische Dosen mit dem olumen hergestellt werden. Wie sind r und h zu wählen, damit die Oberfläche möglichst klein wird? Aufgabe 3 (Funktionsbestimmung) Bestimme eine ganzrationale Funktion4-ten Grades, deren Graph den Wendepunkt O(0 0) mit der x-achse als Wendetangente und den Tiefpunkt T( 1 2) hat. Aufgabe 4 (Parameteraufgabe) Für welche t R hat der Graph der Funktionenschar f t in den Schnittpunkten mit der x-achse Tangenten, die zueinander senkrecht stehen? Wie lauten die Tangentengleichungen? Welche Winkel bilden die beiden Tangenten mit der x-achse? f t (x) =x 2 2tx 3t 2 Bitte wenden!!
Aufgabe 5 (Sachaufgabe) Bei einem Unternehmen entstehen bei der Produktion von x Fertigungseinheiten die Gesamtkosten K(x), welche im Bereich 0 x 50 erfahrungsgemß durch die Kostenfunktion K(x) = 0.044x 3 2x 2 + 50x + 600 (ine ) beschrieben werden kann. a) Die Firma verkauft alle gefertigten Einheiten zu einem Preis von 60e je Stück. Gebe den Erlös an und zeichne die Erlösfunktion in das Diagramm am Seitenende. b) Bei welcher Produktionszahl ist der Gewinn maximal? (Nachweis erforderlich!) c) Wegen eines Überangebots auf dem Markt muss die Firma den Preis senken. Ab welchem Preis macht die Firma keinen Gewinn mehr? Aufgabe 6 (Begründen) Der nebenstehende Graph zeigt eine Funktion. Begründe ohne Rechnung, welcher der folgenden Terme der dargestellten Funktion entspricht. f(x) =x 4 3x 3 + 2x + 1 g(x) =x 3 3x 2 + 2x + 1 h(x) = x 4 + 3x 3 2x + 1 zu 5) IEL ERFOLG!!!
Mathematikklausur Nr. 4 Lösungsvorschläge Aufgabe 1 (Kurvendiskussion) f(x) = 1 6 (1 + x)3 (3 x) = 1 2 + 4 3 x + x2 1 6 x4 Definitionsbereich/Wertebereich: D f = R W f = R Symmetrie: Das Polynom von f hat sowohl gerade als auch ungerade Exponenten und ist somit nicht elementar Symmetrisch Grenzverhalten: Es gibt keine Definitionslücken, somit ist nur das erhalten für x gegen ± zu betrachten. Die Funktion ist durch ein ganzrationales Polynom gegeben. Das erhalten im Unendlichen entspricht dem Term der höchsten Potenz. Der Koeffizient a 4 = 1 6 ist positiv. Da x4 nicht nach oben beschränkt ist gilt: lim f(x) = = lim f(x) x x Nullstellen: Da f als Linearfaktorzerlegung vorliegt können die Nullstellen abgelesen werden: (1 + x) 3 n 1 = 1 dreifache Nullstelle (3 x) n 2 = 3 einfache Nullstelle Ableitungen: f(x) = 1 2 + 4 3 x + x2 1 6 x4 f (x) = 2 3 x3 + 2x + 4 3 f (x) = 2x 2 + 2 f (x) = 4x Extremstellen: Bedingung f (e) = 0 und f (e) 0 f (x) = 2 3 x3 + 2x + 4 3 Nullstelle raten und Hinweis beachten f ( 1) = 0 f (2) = 0 f ( 1) = 0 = möglicher Sattelpunkt f (2) < 0 = Hochpunkt f ist auf ], 1[ und ] 1, 2[ streng monoton steigend; auf ]2, [ streng monoton fallend. Wendestellen: Bedingung f (w) = 0 und f (w) 0 f (x) = 2x 2 + 2 0 = 2x 2 + 2 w 1 = 1 f ( 1) > 0 = Sattelpunkt mit Rechts-Links-Wendung w 2 = 2 f (2) < 0 = Wendestelle Links-Rechts
Aufgabe 2 (Optimierung) Gesucht ist das Minimum der Oberflächenfuntion. O Zyl. = 2πr 2 + 2πr h Zyl. = π r 2 h h = πr 2 O(r) = 2πr 2 + 2πr πr 2 = 2πr2 + 2 r Extremstelle über Nullstelle der Ableitung bestimmen O (r) = 4πr r 2 testen auf Tiefpunkt 0 = 4πr r 2 + r 2 r = 4πr 2 = 4πr 3 4π = r3 r = 3 4π r2 4π 3 O (r) = 4π + 3 > 0 = TP 4π
h = πr 2 = h = π ( 3 π 4π ) 2 3 16π 2 16 = 3 v 2 π Somit ist für r = 3 und h = 3 16 4π π Aufgabe 3 (Parameteraufgabe) ein Minimum erreicht. Gesucht sind die Nullstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit von t. Zum Bestimmen der Tangenten benötigt man die Ableitung. Damit die Tangenten senkrecht aufeinander stehen muss das Produkt der beiden Tangentensteigungen ( 1) ergeben. Die Tangentengleichung wird über ergleich mit y = mx + b bestimmt. Der Winkel mit der x-achse entspricht dem Tangens der Steigung. f t (x) = x 2 2tx 3t 2 0 = x 2 2tx 3t 2 n 1/2 = t ± t 2 + 3t 2 n 1/2 = t ± 2t n 1 = t n 2 = 3t f t(x) = 2x 2t f t( t) = 4t f t(3t) = 4t ( 1) = (4t) ( 4t) 1 16 = t 1/2 t 1 = 1 4 t 2 = 1 4 tan (α 1 ) = f 1 (4 1) = 1 4 4 α 1 = 45 α 2 = 45
Tangentengleichung: Aufgabe 4 (Sachaufgabe) 0 = 1 ( 1 4) + b b = 1 4 t 1 : y(x) = x + 1 4 0 = ( 1) 9 10 + b b = 9 10 t 2 : y(x) = x 9 10 Kostenfunktion: K(x) = 0.8x 2 + 60x + 2000 Erlösfunktion: E(x) = 180x Gewinnfunktion: G(x) = E(x) K(x) = 180x 0.8x 2 60x 2000 = 120x 0.8x 2 2000 25000 20000 15000 10000 5000 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Im Bereich 20 bis 130 Produktionseinheiten macht die Firma Gewinn. Gewinnmaximierung bedeutet G(x) hat einen Hochpunkt oder K (x) = 180 K(x) = 0.8x 2 + 60x + 2000 K (x) = 120 1.6x 0 = 120 1.6x x = 75 Bei einer Produktion von 75 Geräten ist der Gewinn maximal. Für den Gewinn ist der Erlös ausschlaggebend. Dieser wird auf k pro Stück gesetzt. Da bei 75 Geräten optimal gearbeitet wird wird an der Stelle x = 75 0 = 0.8 75 2 2000 + (k 60) 75 k = 440 3 = 146 2 3