Teil 1: Numerik katalog Kapitel 1 Fehleranalyse 1. Zwischen was besteht ein funktionaler Zusammenhang z i? Welche Form hat er? 2. Welche 4 Typen von Fehlerquellen gibt es? Nenne Beispiele! 3. Wie berechnet man den Absoluten bzw. Relativen Fehler? 4. Wie verhalten sich absolute bzw. relative Fehler bei der Addition bzw. Subtraktion, Multiplikation und Division? 5. Was ist die Empfindlichkeit des i-ten Resultats in Bezug auf die j-te Komponente des Datenvektors (bezüglich des absoluten Fehlers)? Was ist die Konditionszahl des i-ten Resultats in Bezug auf die j-te Komponente des Datenvektors (bezüglich des relativen Fehlers)? 5 2 6 7 8 7 2 8 11 6 12 2 6. Was ist die natürliche Instabilität? 13 2 7. Was ist die numerische Instabilität? 17 2 8. Welche 2 wichtigen Typen von Zahlen mit unterschiedlicher Darstellungs- und Verarbeitungsweise gibt es? Schreibe eine Gleitkomma-Zahl an und erkläre Vorzeichen, Mantisse, Basis und Exponent! 18 3 S U M M E 27 katalog Kapitel 2 Polynome und rationale Funktionen 9. Warum spielen die Polynome und die rationalen Funktionen in der Mathematik und ihren Anwendungen eine so wichtige Rolle? 27 3 10. Wie ist ein Polynom definiert? 28 2 Ü B E R T R A G 5 1183 WS 2003/2004 1 / 6
Ü B E R T R A G 5 11. Was sind Rekursionsformeln und hermitesche Tridiagonalmatrizen? 12. Wie multipliziert man Polynome? Erkläre den Euklidischen Divisionsalgorithmus? 13. Wie bestimmt man den größten gemeinsamen Teiler zweier Polynome? 14. Wie sind die Čebyšev-Polynome erster und zweiter Art definiert? 29 2 30 31 4 31 2 32 6 15. Wie lautet der Horner-Algorithmus? 37 4 16. Was ist das Horner-Schema? Zeichne es auf! 38 2 17. Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra? 39 40 4 18. Wie lautet der Clenshaw-Algorithmus? 41 4 19. Wie sind rationale Funktionen definiert? 42 2 20. Was ist ein Kettenbruch? Was ist ein regelmäßiger Kettenbruch? 44 45 2 21. Wie lautet der Algorithmus von Euler und Wallis? 46 4 22. Was ist die Partialbruchzerlegung? 47 2 23. Mit welchen Fehlerquellen muss man bei der Polynomauswertung rechnen? 49 3 24. Wie ist eine erzeugende Funktion definiert? 56 57 2 25. Was ist das charakteristische Polynom der Rekursion (R)? 58 2 S U M M E 50 katalog Kapitel 3 Elimination und lineare Gleichungssysteme 26. Was sind Permutationsmatrizen? 66 2 27. Was sind elementare untere Dreiecksmatrizen und untere Dreiecksmatrizen mit normierter Diagonale? 67 4 28. Was ist eine Diagonalmatrix? 69 2 Ü B E R T R A G 8 1183 WS 2003/2004 2 / 6
Ü B E R T R A G 8 29. Wie lautet das Gaußsche Eliminationsverfahren? Was ist ein Pivot-Element? 70 72 5 30. Wie lautet der Gauß-Algorithmus mit Spalten-Pivotisierung? 73 74 4 31. Was ist die LR-Zerlegung? Wie sind L und R definiert? 75 4 32. Wie lautet das Cholesky-Verfahren? 78 80 4 33. Wie lautet der Algorithmus zur rekursiven Form des Cholesky-Verfahrens? 81 4 34. Wie lautet der Cholesky-Banachiewicz-Algorithmus? 82 2 35. Wie lautet der Cholesky-Crout-Algorithmus? 83 2 36. Wie lautet der Strassen-Algorithmus zur Matrix- Multiplikation? 84 85 11 37. Wie lautet der Strassen-Algorithmus zur Matrix-Inversion? 86 87 12 38. Wozu dienen Ausgleichsrechnungen? 88 2 S U M M E 58 katalog Kapitel 4 Schwach besetzte Matrizen und Graphen 39. Was ist τ? Von welchen 5 Faktoren hängt es ab, ab welchen Wert von τ sich ein Abweichen von der Speicherung von A als zweidimensionales Array lohnt? 97 6 40. Was ist die Bandbreite ω? 99 2 41. Wie ist ein Graph definiert? 42. Sei G = (X, E) ein Graph, Y ist eine Teilmenge von X. Erkläre die folgenden Begriffe: Adj(Y), inzident, Inz(Y), Grad, Untergraph oder Teilgraph, Clique 43. Sei G = (X, E) ein Graph Erkläre die folgenden Begriffe: Pfad der Länge k, zusammenhängend, Abstand dist(x, y), Exzentrizität ε(x), Durchmesser δ(g), peripherer Knoten. 103 104 4 108 6 109 110 Ü B E R T R A G 24 6 1183 WS 2003/2004 3 / 6
Ü B E R T R A G 24 44. Erkläre die Sortierung mit dem Cuthill-McKee-Algorithmus! 112 115 4 45. Wie lautet der Algorithmus von Cuthill-McKee? 115 4 46. Wie lautet der umgekehrte Cuthill-McKee-Algorithmus? 117 2 47. Was ist eine Schichtung von G, was ist ε(x)? 118 2 48. Wie lautet der Algorithmus zur Bestimmung eines pseudoperipheren Knotens? 49. Was ist die symbolische und numerische Cholesky- Zerlegung? 118 5 119 2 50. Wie lautet der Algorithmus zur symbolischen Cholesky- Zerlegung? 123 124 4 51. Wie lautet der Minimum-Degree-Algorithmus? 125 2 S U M M E 49 Teil 2: Stochastik katalog 1. Kurseinheit 52. Ein Zufallsexperiment ist ein im Prinzip Vorgang mit Ausgang. 3 2 53. Was ist der Ausgangsraum Ω? Was ist ein Ereignis? 4 2 54. Was ist ein Ereignissystem? Was ist die Wahrscheinlichkeit? 5 2 55. Definiere einen diskreten W-Raum! 7 5 56. Was ist das Punkt-W-Maß? 8 2 57. Welche 6 grundlegenden Gleichungen bzw. Ungleichungen und Folgerungen gibt es in Bezug auf die Abbildung P? 58. Was ist das diskrete W-Maß über überabzählbare Ausgangsräume? 9 6 11 2 59. Was ist die Binomialverteilung? 12 2 60. Was sind die Poisson- und die Geometrische Verteilung? 13 4 61. Was versteht man unter der Diskreten Gleichverteilung? Was ist der Laplace sche W-Begriff? 14 4 Ü B E R T R A G 31 1183 WS 2003/2004 4 / 6
Ü B E R T R A G 31 62. Was ist die Hypergeometrische Verteilung? 15 2 63. Was ist die (elementare) bedingte Verteilung? 17 2 64. Wie ist die (elementare) bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B definiert? 65. Wie lauten die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes? 19 2 19 20 2 66. Was ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit? 20 1 S U M M E 40 katalog 2. Kurseinheit 67. Wie ist das Produkt-W-Maß definiert? 7 2 68. Wie ist eine (diskrete) Ω -Zufallsveriable definiert? 9 2 69. Sei T: Ω Ω eine beliebige Abbildung. Wie ist die T zugeordnete Urbildabbildung definiert? Was ist der Unterschied zwischen Urbildabbildung und Umkehrfunktion? 70. Was ist das Bildmaß von P (bei X) oder die Verteilung von X (bezüglich P)? 71. Wie sind (stochastisch) unabhängige ZVen bzw. die Familie (Xi) definiert? 10 3 12 13 2 18 19 6 72. Was ist das Bernoullische Versuchsschema? 21 2 73. Wie ist das Faltungsprodukt oder die Faltung der W-Maße P1 und P2 definiert? 25 4 S U M M E 21 1183 WS 2003/2004 5 / 6
katalog 3. Kurseinheit 74. Wie ist der Erwartungswert definiert? 3 4 75. Wie lautet der Erwartungswert der Poisson-Verteilung π (λ)? 8 2 76. Was bedeutet die Ausdrucksweise E besteht (P-) fast überall oder fast sicher? 77. Wann ist eine ZV quadratisch integrierbar? Welche 4 Auswirkungen hat das? 10 2 12 5 78. Was ist die Varianz? 14 4 79. Was ist die Streuung oder Standardabweichung? 15 2 80. Was ist die Kovarianz? Was gilt wenn die reellen ZVen X,Y quadratisch integrierbar und stochastisch unabhängig sind? 16 17 6 81. Wie lautet die Tschebyschev sche Ungleichung? Beweise sie 18 4 82. Was ist das schwache Gesetz der großen Zahlen? 20 2 S U M M E 31 Übungen Selbsttestaufgaben und Lösungen Einsendeaufgaben und Musterlösungen Studientagsunterlagen Prüfungsprotokolle Probeklausur Teil Stochastik, 3. Kurseinheit, Seiten 25 und 26 1183 WS 2003/2004 6 / 6