Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 1 5.7.21 12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 39 Divergenz Berechnen Sie die Divergenz folgender Vektorfelder: xyz + 2xy F 1 (x, y, z) : x 2 y x 2 xy, F 2 (x, y, z) : e x, F 3 (x, y, z) : grad(xyz + e x ). z 3z 2 divf 1 yz + 2y x 2 + 1 6z, divf 2 y, yz + e x divf 3 div xz e x. xy Aufgabe 4 Satz von Gauß am Einheitswürfel Berechnen Sie für den Einheitswürfel W [, 1] 3 und das Vektorfeld F (X) (x 2, yz, y) T beide im Gauß schen Integralsatz auftretenden Integrale. Für den obigen Würfel ist der Satz von Gauß mit divf W W F T N gegeben. Für das Volumenintegral (die linke Seite) erhalten wir: 1 divf (x, y, z)dxdydz 1 1 2x + z dxdydz 2x + z dxdz 1 + z dz 3 2
Für das Integral über die Würfeloberfläche (die rechte Seite) erhalten wir, wie erwartet, das selbe Ergebnis: F T N F (1, y, z) T 1 1 1 1 dydz + F (, y, z) T dydz W + F (x, 1, z) T 1 1 1 dxdz + F (x,, z) T 1 dxdz + F (x, y, 1) T 1 1 dxdy + F (x, y, ) T dxdy 1 1 + + 1 dydz + z dxdz + y dxdy 1 + + 1 2 + + 1 2 1 2 3 2 dydz dxdz y dxdy Aufgabe 41 Satz von Gauß am Zylinder Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes xz F (X) yz durch die Oberfläche des Zylinderausschnitts Z : {(x, y, z) : x 2 + y 2 a 2 und z b} von innen nach außen. Verwenden Sie den Satz von Gauß. Der Satz von Gauß besagt, dass der Fluss durch die geschlossene Oberfläche gleich dem Volumenintegral über der Divergenz des Feldes ist. Also: F T N divf. Z Für die Divergenz des Feldes erhalten wir: z 2 Z divf (X) 4z. Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten (x r, y r sin ϕ, z z, dv r dr dϕ dz) lässt sich der 2
Fluss durch die Oberfläche schnell bestimmen: F T N Z Z divf 4z dxdydz Z b a 8π b a 2πa 2 b 2. 4zr drdϕdz zr drdz 3
Hausübung Aufgabe H41 Laplace-Operator (1+3 Punkte) Berechnen Sie div(grad U) für die skalaren Felder im R 3. Die Zuordnung U div(grad U) heißt Laplace-Operator. Statt div(grad U) schreibt man auch U. a) U(X) ze x2 y b) U(X) P T X X 3, X (Dipolpotential mit Achsenrichtung P R 3 ) Hinweis: P T X ist das Skalarprodukt P, X (p x x + p y y + p z z). a) U x 2xyze x2y, U y x 2 ze x2y, U z e x2y, U xx 2yze x2y + 4x 2 y 2 ze x2y, U yy x 4 ze x2y, U zz, U U xx + U yy + U zz (2yz + 4x 2 y 2 z + x 4 z)e x2y. b) U(X) P X X 3 (p xx + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) Für die partiellen Ableitungen in x erhalten wir: U x p x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 3x(p x x + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 p x X 3 2x P T X U xx 3p x x(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 3(p x x + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 3p x x(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 + 15x 2 (p x x + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 7 2 6p xx 3P T X + 15x2 P T X X 7. Die partiellen Ableitungen in y und z lassen sich ganz analog bestimmen und wir erhalten: U U xx + U yy + U zz 6(p xx + p y y + p z z) 15P T X 15P T X 9P T X + 15(x2 + y 2 + z 2 )P T X X 7 + 15P T X. 3 2 + 15(x2 + y 2 + z 2 )P T X X 7 Aufgabe H42 Satz von Gauß in der Ebene Berechnen Sie für die Kreisscheibe K : x 2 + y 2 1 das Integral divf, wobei das Vektorfeld F gegeben ist mit xe sin(πr 2 ) F (x, y), r 2 x 2 + y 2. K ye cos(πr2 ) (4 Punkte) 4
Hinweis: Geben Sie zunächst das Vektorfeld F in Polarkoordinaten an. Verwenden Sie dann den Satz von Gauß. Das Vektorfeld in Polarkoordinaten (x r, y r sin ϕ, dxdy rdrdϕ): r e sin(πr 2 ) F (r, ϕ) r sin ϕe cos(πr2 ). Wir berechnen nun K divf mit dem Satz von Gauß. Das heißt, wir berechnen die rechte Seite von: divf F T N. K Durch überlegen kann man schnell die nach außen zeigende Normale N auf dem Kreisrand aufstellen: N(ϕ). sin ϕ Hier ist wichtig, dass N 1 gilt. Weiterhin ist r 1 auf dem Kreisrand. Somit erhalten wir: K divf K F (r 1, ϕ) T N K (e sin(π), sin ϕe cos(π) ) cos 2 ϕ + sin 2 ϕ e 1 dϕ cos 2 ϕ dϕ + 1 e ( 1 2 ϕ + 1 4 sin(2ϕ)) 2π π + π e. sin 2 ϕ dϕ dϕ sin ϕ + 1 e (1 2 ϕ 1 4 sin(2ϕ)) 2π Aufgabe H43 Fluss durch Zylinder Berechnen Sie den Fluss des Feldes (4 Punkte) durch die Oberfläche des Zylinderabschnitts von innen nach außen. V (xy 2, x 2 y, y) T B {(x, y, z) : x 2 + y 2 1 und 1 z 1} Hinweis: Nehmen Sie den Satz von Gauß zu Hilfe. xy2 Der Fluss des Feldes V x 2 y durch die Oberfläche des Zylinderabschnitts B lässt sich mit y dem Satz von Gauß berechnen: V T N divv (x 2 + y 2 )dxdydz. B B B 5
Mit Zylinderkoordinaten (x r, y r sin ϕ, z z, dxdydz r drdϕdz) erhalten wir 1 1 (x 2 + y 2 )dxdydz (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) r dzdϕdr 1 B 1 1 r 3 dzdϕdr π. 1 Alternativ hätten wir auch das Oberflächenintegral V T N bestimmen können: die Parametrisierung von B ist B Dann gilt B V T N dσ F (ϕ, z) sin ϕ z : [, 2π] [ 1, 1] R 3 }{{} D N F ϕ F z (, sin ϕ, ) T. V T Ndϕdz D 1 sin 2 ϕ cos 2 ϕ sin ϕ sin ϕ dϕdz 1 sin ϕ [ 2π cos 2 2 cos 2 ϕ sin 2 2 ϕ 1 2 ϕ dϕ mit (1 + ] cos2 ϕ) sin 2 ϕ 1 2 (1 cos2 ϕ) ( 1 ) 2 + cos 4ϕ dϕ π. Jetzt fehlt noch der Fluss durch den Boden und durch die Decke des Zylinders. Für den Fluss durch den Deckel (z 1) erhalten wir: 1 sin2 ϕ cos 2 ϕ sin ϕ r dϕdr. sin ϕ 1 Und für den Fluss durch den Boden erhalten wir ebenfalls Null: 1 sin2 ϕ cos 2 ϕ sin ϕ r dϕdr. sin ϕ 1 Für die Hausübungen dieses Übungsblattes ist kein Rücklauf mehr vorgesehen. Die Hausübungen von diesem Blatt werden aber ganz regulär bepunktet und fließen in die Gesamtpunktzahl mit ein. Das letzte Übungsblatt (Blatt 13) wird keine Hausübungen mehr enthalten. 6