1. Lineare Gleichungssysteme I

1. Lneare Glechungssysteme I 1.1 Problemstellung (1.1) Gegeben : A e Ñ m,n und b eñ m Gesucht : 8 x e Ñ n» Ax = b < (1.1) st en lneares Glechungssystem mt m Glechungen und n Unbekannten Beechnungen: () m<n (wenger Glechungen als Unbekannte) : unterbestmmtes System () m>n (mehr Glechungen als Unbekannte) : überbestmmtes System () b=0 : homogenes System (v) b 0 : nhomogenes System FRAGEN: Wann st de Lösungsmenge n (1.1) nchtleer (Exsten von Lösungen)? Wann enthält se genau en Element (Endeutgket)? ANTWORTEN: (Lneare Algebra) () Ax = b lösbar ó Rang(A) = Rang( A, b ) () m = n : Ax = b endeutg lösbar ó Rang(A) = n ó A regulär ó det(a) 0 m=n : PROBLEME: We erkennt man, ob A regulär st? We kann man dann de Lösung x bestmmen? We kann man be sngulärem A feststellen, ob Ax=b ene Lösung hat oder ncht?

2 numerk1.nb m=n=2 : Bekannte Auflösungsformeln : a b y x y = f y k c d{ k y{ k g{ DetAJ a c b d NE b c + a d Falls ad bc, dann folgt für {x, y} LnearSolveAJ a c b d N, J f g NE 99 d f b g c f + a g =, 9 b c + a d b c + a d == Falls ad = bc? Falls m = n > 2? Enfaches Problem be Matren A mt speeller Struktur : 1.2 Gestaffelte Glechungssysteme, Dreecksmatren Bespel: 3x 1 + x 2 +2x 3 = 66 2x 2 +4x 3 = 84 5x 3 = 75 "gestaffeltes Glechungssystem" Lösung: lette Zele fl x 3 = 15 n vorlette Zele enseten fl x 2 = 12 n erste Zele enseten fl x 1 = 8 In Matrxform: 3 0 k0 1 2 0 2y 4 5{ k x 1 x 2 x 3 y 66y = 84 { k75{ also Determnante = 3 ä 2 ä 5 = 30 0 Ähnlch enfach daher be folgenden Matren: Defnton 1.1 Se A e Ñ n,n, A = (a k )

numerk1.nb 3 A heßt "rechte obere Dreecksmatrx" :ñ a k =0 für >k * * y k 0 *{ A heßt "lnke untere Dreecksmatrx" :ñ a k =0 für <k * 0 y k * *{ En lneares Glechungssystem mt Dreecksmatrx heßt "gestaffeltes Glechungssystem" (1.2) Lneares Glechungssystem mt rechter oberer Dreecksmatrx A a 11 x 1 +a 12 x 2 +..... +a 1 n x n = b 1 a 22 x 2 +..... +a 2 n x n = b 2............... a nn x n = b n und a π 0 für =1(1)n n Egenschaften: () (1.2) st endeutg lösbar, da det(a) = =1 a 0 () Der Lösungsvektor x =Hx 1, x 2,..., x n L T lässt sch drekt berechnen durch (1.3) Rücksubsttuton (Rückwärtsenseten) x = n b - k k=+1 y a k x k ì a, { =n(-1)1 BEWEIS: Enseten und beachten, dass leere Summe = 0 glt. BEMERKUNG: Be lnker unterer regulärer Dreecksmatrx analoges Vorgehen mt "Vorwärtsenseten". Wenn man nun ene reguläre Matrx A n en Produkt weer Dreecksmatren erlegen kann, so st das Glechungssystem Ax = b gan enfach u lösen:

4 numerk1.nb Ist A = L R mt regulärer lnker unterer Dreecksmatrx L und mt regulärer rechter oberer Dreecksmatrx R, so löse Ax = b folgendermaßen (1.4) () Löse Ly = b durch Vorwärtsenseten f y () Löse Rx = y durch Rückwärtsenseten f x f b = Ly = L(Rx) = Ax We kann man solch ene Zerlegung von A ereugen bw. we kann man aus enem System Ax = b en gestaffeltes Glechungssystem mt glecher Lösungsmenge ereugen? Warum lnke untere (rechte obere) Dreecksmatren und ncht lnke obere.b.? * 0 y * 0 y = * 0 y und Inverse von * 0 y st weder von der Form * 0 y (Körper regulärer Dreecksmatren). k * *{ k * *{ k * *{ k * *{ k * *{ Aber * * y * * y = * * y. k * 0{ k * 0{ k * *{ 1.3 Gauß-Elmnaton ( C.F.Gauß 1777-1855) Systematsche Umformung der Glechungen, so dass de Lösungsmenge unverändert blebt aber en gestaffeltes Glechungssystem entsteht. Elementare Umformungen (lassen de Lösungsmenge u Ax = b unverändert): () Vertauschung von we Glechungen ( Zelenvertauschung n (A, b) ). () Multplkaton ener Zele mt ener Zahl l 0. () Addton des q-fachen ener Zele u ener anderen Zele, q e Ñ belebg. (v) Vertauschung von we Spalten n A, wenn de entsprechenden Komponenten des Lösungsvektors mtvertauscht werden ( Spaltentausch n x y ). ka{

numerk1.nb 5 Prnp der Gauß-Elmnaton: Überführung enes lnearen Glechungssystems n en Glechungssystem mt D r e e c k s m a t r x mt Hlfe elementarer Umformungen. BEISPIEL n "Tableauschrebwese": x 1 x 2 x 3 b x 1 x 2 x 3 b H1L --------------------------- --------------------------------- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1/2 Ø 0 1 3-1/2 Ø 1 3 9 1/3 0 2 8-2/3 x 1 x 2 x 3 b H2L -------------------------------- 1 1 1 1 0 1 3-1/2 fl x 3 = 1/6, x 2 = -1, x 1 = 11/6 0 0 2 1/3 "PROBE" 1 1 1y 1 y LnearSolveA 1 2 4, 1ê2 E k 1 3 9{ k 1ê3 { 99 11 1 =, 8 1<, 9 6 6 == Allgemener Fall Ax = b (n Tableauschrebwese) x 1 x 2..... x k..... x n ---------------------------------------------------- a 11 a 12.... a 1 k.... a 1 n b 1 a 1 a 2..... a k.... a n a n1 a n2..... a nk.... a nn b b n

6 numerk1.nb 1. SCHRITT: ZIEL: unterhalb von a 11 n der ersten Spalte Nullen ereugen. VORAUSSETZUNG: a 11 0 (st a 11 = 0, so suche en mt a 1 0 und vertausche de 1. mt der -ten Zele. Ist a 1 = 0 für alle, so st A sngulär. Dann st en Spaltentausch (auch mt x-zele!) notwendg). ADDIERE das H-a 1 ê a 11 )-fache der 1. Zele ur -ten Zele, =2(1)n fl neues Glechungssystem A H1L x = b H1L mt dem neuen Tableau x 1 x 2..... x k..... x n ------------------------------------------------------ a H0L 11 a H0L 12.... a H0L H0L 1 k.... a 1 n b 1 H0L 0 a H1L 22.... a H1L H1L 2 k.... a 2 n 0 a H1L 2..... a H1L H1L k.... a n 0 a H1L n2..... a H1L H1L nk.... a nn b 2 H1L b H1L b n H1L enthält RESTSYSTEM mt der RESTMATRIX Ha H1L L,, = 2 H1L n a H1L 22.....a H1L H1L 2 k.... a 2 n a H1L 2..... a H1L H1L k.... a n a H1L n2..... a H1L H1L nk.... a nn b 2 H1L b H1L b n H1L Mt A H0L := A und b H0L := b glt dann q H1L := a H0L H0L 1 ê a 11 = 2 H1L n H1L a k := a H0L k + q H1L H0L a 1 k k, = 2 H1L n b H1L := b H0L + q H1L b 1 H0L = 2 H1L n

numerk1.nb 7 Jett wendet man das Verfahren auf das Restsystem an und erhält somt das Tableau nach r<n Elmnatonsschrtten ( Glechungssystem A x = b ) x 1 x 2..... x r+1..... x n ----------------------------------------------------------------- a H0L 11 a H0L H0L 12.... a 1 r+1 H0L.... a 1 n b 1 H0L 0 a H1L H1L 22.... a 2 r+1 0 0..... 0 a r+1,r+1 0 0..... 0 a nr+1 H1L.... a 2 n.... a r+1 n.... a nn b 2 H1L b r+1 b n enthält RESTSYSTEM mt der RESTMATRIX Ha L,, = r + 1 H1L n a r+1 r+1....a r+1 k..... a nr+1....a r+1 n a nk.... a nn b r+1 b n r = n-1: FERTIG. A Hn-1L st Dreecksmatrx. r < n-1: () Mndestens en a, r+1 0, =r+1(1)n : eventuell nach Zelentausch st dann a r+1, r+1 Führe mt dem Resttableau den ersten Schrtt durch. () a, r+1 = 0 für =r+1(1)n : ( Matrx sngulär! ) unglech Null. suche n der Restmatrx en Element a k unglech Null. Wenn enes exstert, so st nach enem Spaltentausch ( n x y k A ) { und eventuell nach Zelentausch a r+1,r+1 unglech Null. Verfahre we oben. Andernfalls st de Restmatrx de Nullmatrx fl? (später) f H1.5L Gauß - Algorthmus Hohne Berückschtgung von Zelen - oder SpaltentauschL

8 numerk1.nb q Hr+1L := -a r+1 ê a r+1 r+1 = r + 2 H1L n Hr+1L a k := a k + q Hr+1L a r+1 k k, = r + 2 H1L n b Hr+1L := b + q Hr+1L b r+1 = r + 2 H1L n r = 0 H1L n - 1 bw. solange, we n der Restmatrx en Element unglech Null u fnden st. Beechnungen: a r+1 r+1 heßt Pvotelement ( und muss unglech Null sen ). Spalte bw. Zele r+1 heßt Pvotspalte bw. Pvotele. Strategen ur Pvotwahl: () Kanonsche Pvotwahl: kene Vertauschungen, daher Abbruch selbst be regulärer Matrx möglch,.b. be A = 0 1 y. k1 0{ () Spaltenpvotsuche: bestmme als Pvotelement das betragsgrößte Element n der Spalte r+1 der Restmatrx. Daher eventuell Zelentausch notwendg. Aber Abbruch nur be sngulärer Matrx. () Totalpvotsuche: bestmme als Pvotelement das betragsgrößte Element n der Restmatrx. Daher eventuell Zelen- oder Spaltentausch notwendg. Aber Abbruch nur, wenn de Restmatrx de Nullmatrx st. Folgerung 1 Führt ene deser Strategen u dem Glechungssystem A Hn-1L x = b Hn-1L ( * * y k0 *{ k * y * = * y Hn-1L ) und st a { k* nn 0, { so st Rang(A) = n, A also regulär. De Rücksubsttuton (1.3) lefert de endeutge Lösung von Ax = b. n Weter glt: det(a) = =1 a H-1L. BEISPIEL : Vorechen der Determnante: H-1L V, wobe V de Anahl der Zelen- und Spaltenvertauschungen st. x 1 x 2 x 3 b x 1 x 2 x 3 b H1L --------------------------- --------------------------------- 1 2 3-1 1 2 3-1 2 4-1 -2 Ø 0 0-7 0 Ø

numerk1.nb 9 1-3 1 4 0-5 -2 5 x 1 x 2 x 3 b H2L -------------------------------- 1 2 3-1 0-5 -2 5 fl x 3 = 0, x 2 = -1, x 1 = 1 0 0-7 0 Rang(A) = 3, det(a) = 1(-5)(-7) = 35 "PROBE" 1 2 3 y 1 y LnearSolveA 2 4 1, 2 E k 1 3 1 { k 4 { 881<, 8 1<, 80<< 1 2 3 y DetA 2 4 1 E k 1 3 1 { 35 Also det(a) = -35; oben wurde de Zelenvertauschung ncht berückschtgt. Folgerung 2 Ist für en r e {0,1,...,n-1} de Restmatrx de Nullmatrx, d.h. a = 0 für, =r+1(1)n, so st Rang(A) = r und det(a) = 0, A also sngulär. Weter glt: Also: Rang(A, b) = r ó b = 0 für =r+1(1)n. b 0 für en e {r+1,r+2,...,n} fl Rang(A, b) = r+1 und Ax = b bestt kene Lösung. b = 0 für alle e {r+1,r+2,...,n} fl Ax = b bestt (n-r)-dmensonalen Lösungsraum. ( speelle Lösung + Nullraum(A) ). Bestmmung des Lösungsraumes: Nach r Elmnatonsschrtten (evt. mt Zelen- oder Spaltentausch) st de Restmatrx de Nullmatrx: S r, n-r R r, r y J x I N = J b r N d.h. R k0 n-r, r 0 n-r, n-r { x II 0 r, r x I + S r, n-r x II = b r n-r und R r, r st dabe ene reguläre obere Dreecksmatrx.

10 numerk1.nb Speelle Lösung: x II := 0 fl verblebendes System st R r, r x I = b r fl x I durch Rücksubsttuton, und Hx I, 0 ) löst Ax = b. Kern von A = NHA ) : Dmenson st n-r : Löse A x = 0 bw. R r, r x I + S r, n-r x II = 0. Sete x HL II := e e Ñ n-r, =1(1)n-r (lefert Bass des Nullraumes). HL Dann st S r, n-r x II = : s +r ( -te Spalte von S r,n-r ) und es blebt R r, r x I = -s +r durch Rücksubsttuton u lösen, =1(1)n-r. fl NHA ) = < -R r, r -1 s +r y > =1 H1L n-r k { e und daher Lösungsraum = {x e Ñ n Ax = b } = R r, r -1 b r y + NHA ) k 0 { BEISPIEL : x 1 x 2 x 3 x 4 b x 1 x 2 x 3 x 4 b H1L -------------------------------- ------------------------------------- 1 2-3 1 1 1 2-3 1 1 2 4 2-3 7 Ø 0 0 8-5 5 Ø 8 16 0-7 23 0 0 24-15 15 5 10 1-5 15+a 0 0 16-10 10+a x 1 x 4 x 3 x 2 b H1L x 1 x 4 x 3 x 2 b H2L ------------------------------------- ------------------------------------ 1 1-3 2 1 1 1-3 2 1 0-5 8 0 5 Ø 0-5 8 0 5 0-15 24 0 15 0 0 0 0 0 0-10 16 0 10+a 0 0 0 0 a fl det(a) = 0, Rang(A) = 2 a 0 fl k e n e Lösung ( Rang(A,b) = 3 ). a = 0 : 2-dmensonaler Lösungsraum : Speelle Lösung: x 2 = x 3 = 0 fl 1 1 y k0-5{ k x1 y = 1 y fl x 4 = -1, x 1 = 2 x 4 { k5{ NHA H2L L : x 3 = 1, x 2 = 0 fl 1 1 y k0-5{ k x1 y = 3 y fl x 4 = 8/5, x 1 = 7/5 x 4 { k-8{

numerk1.nb 11 x 3 = 0, x 2 = 1 fl 1 1 y k0-5{ k x1 y = -2 y fl x 4 = 0, x 1 = -2 x 4 { k 0 { Allgemene Lösung: k x 1 x 2 x 3 x 4 y { = k 2 0 0 1 y + p { k 7ê5 0 1 8ê5 y + q { k 2 1 0 0 y {, p, q e Ñ. "PROBE" 1 2 3 1 y 2 4 2 3 NullSpaceA E 8 16 0 7 k 5 10 1 5{ 887, 0, 5, 8<, 8 2, 1, 0, 0<< Folgerung 3 Gauß-Elmnaton be ( A, b) lefert Rang(A), det(a) und Aussage über de Lösbarket des Systems Ax = b. Rücksubsttuton lefert dann de Lösung bw. ene Bass des Lösungsraumes. Sat 1.1 (1) A regulär f Gauß-Elmnaton kann ohne Spaltenvertauschungen durchgeführt werden. (2) Snd vor enem Elmnatonsschrtt das Dagonalelement und alle darunter legenden Elemente der Pvotspalte Null, so st A sngulär. Bewes: + + y 0 + + 0 0 + + 0 0 0 0 + + o o o o k o o o o { y 0 det(a) = det detj 0 0 N. k 0 0 0 0{ Hn-1L Bemerkungen: () De Umkehrung von (1) st nur unter der Zusatvoraussetung a nn 0 rchtg. () Zur Rangbestmmung snd allerdngs eventuell Spaltenvertauschungen notwendg.

12 numerk1.nb Ergänungen: Be der Gauß-Elmnaton werden de Elemente unterhalb der Dagonalen u Null gemacht, so dass schleßlch de Rücksubsttuton de Lösung lefert fl Aufwand ca. n 3 /3 wesentlche Operatonen (d.h. Addtonen und Multplkatonen). Gan analog kann man aber auch noch de Elemente oberhalb der Dagonalen elmneren ( Gauß-Jordan-Algorthmus ). Des erspart de Rücksubsttuton, es st aber dennoch aufwendger: ca. n 3 ê 2 wesentlche Operatonen. Matrxnverson: AX = I st u lösen, d.h. n rechte Seten müssen umgerechnet werden. Ihre speelle Struktur führt aber u Aufwandsersparnssen: y x 11 x 12 x 13 y 1 0 0y x 21 x 22 x 23 = 0 1 0 ö k { k x 31 x 32 x 33 { k 0 0 1{ y x 11 x 12 x 13 y 0 0y 0 x 21 x 22 x 23 = 0 k 0 0 { k x 31 x 32 x 33 { k { dann lefern n Rücksubsttutonen X = A -1. m<n : unterbestmmte Glechungssysteme : x 1 y x 1 y m y x 2 x 3 = b 1 y + + y x 2 b 2 ö m 0 + + x 3 = y k { x 4 k b m { k 0 0 + + { x 4 k { k x n { k x n { n m n-m (n-m)-dmensonaler Lösungsraum, Rang(A) = m<n. ODER x 1 y + + + y x 2 ö m 0 + + + x 3 = y k 0 0 0 0 0{ x 4 k #{ k { r<m n-r x n (n-r)-dmensonaler Lösungsraum, falls # = 0 eñ m-r. Andernfalls gbt es kene Lösung. Rang(A) = r < m. Ene allgemene Lösung fndet man gan analog um quadratschen Fall mt Restmatrx Null.

numerk1.nb 13 m>n : überbestmmte Glechungssysteme : y x 1 y m x 2 = k x n { k { n k b 1 b 2 b 3 b 4 b m y { ö y y 0 x 1 y 0 0 x 2 = 0 0 0 k x n { # k 0 0 0{ k #{ Ene Lösung genau dann, wenn # y = 0 e Ñ m-n. k# { Rang(A) = n<m. ODER ö r<n n-r + y y 0 + x 1 y 0 0 0 x 2 = # 0 0 0 k x n { # k 0 0 0{ k #{ (n-r)-dmensonaler Lösungsraum, falls # y # = 0 e Ñm-r. k # { Rang(A) = r<n. m=n : Gauß-Elmnaton: A ô A Hn-1L = rechte obere Dreecksmatrx, lefert gestaffeltes Glechungssystem. Anderes Zel war : A = LR R := A Hn-1L, L :=????

14 numerk1.nb 1.4 Dreeckserlegung Sat 1.2 Voraussetung: Be A e Ñ n,n kann de Gauß-Elmnaton mt kanonscher Pvotrehenfolge durchgeführt werden. Behauptung: () De Gauß-Elmnaton lefert ene Zerlegung von A n en Produkt von we Dreecksmatren : A = LR. Dabe st L ene lnke untere Dreecksmatrx mt 1-Dagonale, R ene rechte obere Dreecksmatrx: (1.6) L = Hl ) mt l = 0 für <, l = 1 für = und l = -q H L für > und H-1L R = Hr ) mt r = 0 für > und r = a sonst, d.h. R = A Hn-1L. () Dese Zerlegung (mt der 1-Normerung be L) st dann endeutg bestmmt und heßt Dreeckserlegung bw. LR-Zerlegung von A. Bewes:...

numerk1.nb 15... Hnwese: () r nn = 0 oder r nn 0 spelt kene Rolle be der Aussage des Sates. Für A bedeutet des allerdngs Rang(A) = n-1 und A sngulär oder Rang(A) = n und A regulär. () Wesentlche Voraussetung des Sates: kanonsche Pvotwahl möglch. Sonst lefert A = 0 1 y en Gegenbespel ( det(a) = -1, A regulär ) : k1 0{ Annahme: A = LR = 1 0 y k l 1{ r 11 r 12 y fl -1 = det(a) = r k 0 r 11 r 22, also 22 { bede Elemente unglech Null. Aber LR = r 11 r 12 y = A = 0 1 y mplert r 11 = 0 fl Œ. kl r 11 l r 12 + r 22 { k1 0{ Sat 1.3 () A e Ñ n,n regulär î exstert Permutatonsmatrx P : PA = LR. () A e Ñ n,n sngulär î exsteren Permutatonsmatren P,Q : PAQ = LR. () P bw. Q snd.a. ncht endeutg bestmmt. Bewes: P beschrebt gerade de Zelenvertauschungen und Q de Spaltenvertauschungen, de dann kanonsche Pvotwahl be PA bw. PAQ erlauben. I.a. snd dese Vertauschungen ncht endeutg bestmmt. Gauß-Elmnaton: Ax = b ô Rx = y und Rücksubsttuton lefert x, wobe R = L -1 A und y = L -1 b bw. R = L -1 PA und y = L -1 Pb be Spaltenpvotwahl. Oder LR-Zerlegung: A ô LR bw. PA ô LR ( unabhängg von b ) Ly = b bw. Ly = Pb und Rx = y lösen f x. Im Aufwand ken Untersched, ledglch andere Rehenfolge der Operatonen. De wete Vorgehenswese st dann vortelhaft, wenn verschedene rechte Seten (u verschedenen Zeten) u behandeln snd. Z.B. x 0 gegeben. Berechne x +1 als Lösung von Ax +1 = x, =0,1,... (Inverse IteratonØEW).

16 numerk1.nb Dann wrd A enmal LR-erlegt, und x +1 erhält man durch Vorwärts- und Rückwärtsenseten. Varante: LDU-Zerlegung : L lnke untere, U rechte obere Dreecksmatrx ewels mt 1-Dagonale, D Dagonalmatrx. (1.7) A ô LR ô LDU, wobe D := dag { d 11, d 22,..., d nn } mt d := r und U =( u ) mt u := 1, u := r ê r, falls < und r π 0, u := 0 sonst. Dese Zerlegung st endeutg, falls r 0 für =1(1)n-1. Se st auch snnvoll be engen Klassen speell strukturerter Matren (vgl. Kaptel 1.5). Wann st kanonsche Pvotwahl möglch? Sat 1.4 Voraussetung: A = Ha L 1, n e Ñ n,n. Für 1 r n se A r := Ha L 1, r e Ñ r,r de Hauptuntermatrx der Ordnung r von A; hre Determnante heßt Hauptmnor der Ordnung r von A. Behauptung: Gauß-Elmnaton mt kanonscher Pvotwahl st mt A durchführbar ñ det ( A r ) π 0 für r=1(1)n-1. Bewes:...

numerk1.nb 17... Folgerung: Ist kanonsche Pvotwahl möglch, so glt für das Pvotelement : Hr-1L a r,r = det ( A r )/det ( A r-1 ), r=1(1)n-1, mt A 0 := 1. Be symmetrschem A udem: Vorechen(Pvotelemente) = Vorechen(Egenwerte). I.a. kann man ener Matrx kaum ansehen, ob de Hauptuntermatren alle regulär snd, sondern merkt des erst be der Gauß-Elmnaton, so dass der Sat ncht sehr hlfrech st. Allerdngs gbt es Klassen von Matren, be denen es anders st,. B. : 1.5 Matren speeller Struktur Defnton 1.2 A = Ha L 1, n e Ñ n,n heßt strkt dagonal domnant :ñ n = 1 π» a» <» a» für =1(1)n. Sat 1.5 Voraussetung: A e Ñ n,n strkt dagonal domnant Behauptung: (1) A regulär. (2) Gauß-Elmnaton st mt kanonscher Pvotwahl möglch. (3) Alle Restmatren A snd strkt dagonal domnant. Bewes:...

18 numerk1.nb... Defnton 1.3 Ene symmetrsche Matrx A e Ñ n,n heßt postv defnt :ñ x T Ax > 0 für alle x e Ñ n \ {0}. Ene symmetrsche Matrx A e Ñ n,n heßt postv sem-defnt :ñ x T Ax 0 für alle x e Ñ n. Klar: A postv defnt fl A regulär. Sat 1.6 (1) A e Ñ n,n postv defnt ñ A r postv defnt für r=1(1)n. (2) A e Ñ n,n postv defnt î a > 0 für =1(1)n. (3) A e Ñ n,n postv defnt î A postv defnt für r=1(1)n. Bewes:......

numerk1.nb 19 Folgerung: A e Ñ n,n postv defnt ï Gauß-Algorthmus st mt kanonscher Pvotwahl möglch. Bemerkung: "Kanonsche Pvotwahl möglch" bedeutet ledglch, dass be exakter Rechnung de kanonschen Pvotelemente ncht verschwnden. Weter braucht das kanonsche Pvotelement keneswegs das betragsmäßg größte n der Pvotspalte u sen: 1 0 y st strkt dagonal domnant, aber das kanonsche Pvotelement 1 st klener als 4. k4 8{ 1 2 y st postv defnt ( ncht dagonal domnant ) und 1 bekanntlch klener als 2. k2 8{ We kann man nun feststellen, ob ene Matrx postv defnt st? x T Ax > 0 für alle x e Ñ n \ {0}? Zemlch vele x wären da ausutesten. Vel besser: natürlch weder Gauß-Elmnaton! Sat 1.7 Voraussetung: A e Ñ n,n symmetrsch. Behauptung: A postv defnt ñ A bestt LDU-Zerlegung mt d > 0 für =1(1)n. Bewes:......

20 numerk1.nb Folgerung 1: Be symmetrschem A e Ñ n,n glt A postv defnt ó det ( A r ) > 0 für r=1(1)n (also alle Hauptmnoren postv ). Bewes: Säte 1.4, 1.6 mt Folgerungen und Sat 1.7. Folgerung 2: Se A postv defnt. Dann exstert ene obere Dreecksmatrx C : A = C T C Cholesky-Zerlegung von A (völlg symmetrsch!) Bewes: Aus der LDU-Zerlegung von A erhält man de Cholesky-Zerlegung so: A postv defnt ï d > 0 für =1(1)n, und aus Symmetregründen st L = U T ï (1.8) L := dag { è!!!!!!!!! d 11, è!!!!!!!!! d 22,..., è!!!!!!!!! d nn } st wohldefnert C T := LL f A = LDL T = LLLL T = HLLL HLLL T = C T C. Aus der Glechung A = C T C kann man de Matrx C auch drekt berechnen, ohne erst L und D über Gauß- Elmnaton u bestmmen fl Cholesky-Verfahren: A = C T C fl a = c k c k, = H1L n, = 1 H1L n. k=1 = fl a = Hc k L 2 k=1 fl (1.8a) c = "#################################### a - -1 k=1 Hc k L 2, =1(1)n (oder Abbruch, falls das Argument der Wurel ncht postv st, also A ncht postv defnt st). Es folgt auch, dass a Hc k L 2, k=1(1), d.h. de Elemente von C können ncht groß werden verglchen mt den Elementen von A fl Stabltät der Methode, sehe auch Kaptel 2. (1.8a) lefert unächst nur c 11. Wegen a 1 = c 11 c 1 erhält man damt aber c 1, =2(1)n. (1.8a) lefert nun c 22. Wegen a 2 = c 12 c 1 + c 22 c 2 erhält man damt c 2, =3(1)n... fl

numerk1.nb 21 (1.8b) c = ÄÄÄÄÄÄÄ 1 Ha - -1 c k=1 c k c k L, =1(1)n, =+1(1)n Dese Vorgehenswese st stabl n dem Snne, dass»» A»» 2 =H»» C»» 2 L 2. Folgerung 3: Ist A symmetrsch und bestt es ene endeutge LDU-Zerlegung, so st U = L T, d.h. A = LDL T. Sat 1.8 Voraussetung: A e Ñ n,n symmetrsch. Behauptung: Ist Gauß-Elmnaton mt kanonscher Pvotwahl möglch (.B. be postv defntem A), so snd sämtlche Restmatren symmetrsch. Bewes: Indukton. Bemerkung: Im Fall von Sat 1.8 braucht also nur.b. das obere Dreeck von A gespechert u werden, und ledglch dort müssen de neuen a berechnet und gespechert werden. ( Etwa Halberung des Aufwandes verglchen mt dem allgemenen Fall ). Defnton 1.4 A = Ha L 1, n e Ñ n,n heßt Drebandmatrx :ñ a = 0, falls - > 1. 0 0 0y 0 0 0 0 0 0 k 0 0 0 { Enträge unglech Null nur n der Subdagonalen, Dagonalen und der Superdagonalen. Lemma 1.1 Voraussetung: A e Ñ n,n Drebandmatrx und kanonsche Pvotwahl

22 numerk1.nb be der Gauß-Elmnaton möglch. Behauptung: (1) Alle Restmatren snd Drebandmatren. (2) L und R snd Dreecks- und Drebandmatren. (3) Be der Lösung enes lnearen Glechungssystems snd ledglch etwa 5n wesentlche Operatonen durchuführen. (4) A -1 st.a. vollbesett. Es st also vel aufwendger, A -1 b ausurechnen (etwa n 2 wesentlche Operatonen), als mt Gauß-Elmnaton de Lösung von Ax = b u bestmmen ---- selbst wenn A -1 bekannt wäre! Bewes:...... Bespelrechnung um Aufwand: 5n (für Gauß-Elmnaton und Rücksubsttuton be Drebandmatrx), n 2 (für A -1 b be vollbesettem A -1 ), n 3 /3 (für Gauß-Elmnaton be vollbesetter Matrx):

numerk1.nb 23 Do@8n = 30 k, Prnt@TableForm@88n, 5 n, n 2, n 3 ê 3<<DD<, 8k, 10<D 30 150 900 9000 60 300 3600 72000 90 450 8100 243000 120 600 14400 576000 150 750 22500 1125000 180 900 32400 1944000 210 1050 44100 3087000 240 1200 57600 4608000 270 1350 72900 6561000 300 1500 90000 9000000 Defnton 1.5 Seen u, v e Ñ n. Ene Matrx der Form I + uv T e Ñ n,n heßt Elementarmatrx. uv T st das dyadsche Vektorprodukt : uv T = Hv 1 u, v 2 u,..., v n u). De Matrx uv T nennt man auch Dyade. Bemerkung: En Gauß-Elmnatonsschrtt egt : u, v e Ñ n \ {0} fl Rang ( uv T ) = 1

24 numerk1.nb Sat 1.9 (1) Be ener Elementarmatrx I + uv T glt (1.9) det ( I + uv T ) = 1 + v T u. Se st also regulär genau dann, wenn v T u π -1. (2) Ist v T u π -1, so glt (1.10) ( I + uv T L -1 = I - uv T ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1+v T u De Inverse st offenbar auch weder ene Elementarmatrx. Bewes: (1.9) : Indukton nach n. (1.10) : Nachrechnen. Folgerung: Ist A e Ñ n,n regulär und B := A + uv T (Rang-1-Modfkaton von A), so gelten de Sherman-Morrson Formeln für B := A + uv T : (1.11) det ( B ) = det ( A ) ( 1 + v T A -1 u ) (1.12) v T A -1 u π -1 f B -1 = A -1 - A -1 uv T A -1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1+v T A -1 u Bewes: B = A( I + A -1 uv T ) und Sat 1.9. Spealfälle: (I) Vertauschung von Zele (Spalte) mt Zele (Spalte) : P := I + He - e L H e - e L T -1 T, det ( P ) = -1, P = P = P. Zelentausch durch P A, Spaltentausch durch A P. (II) Gauß-Elmnaton: fl A Hr+1L = Q Hr+1L A wobe 0 r n-2, a r+1,r+1 0 (1.13) Q Hr+1L := I + q Hr+1L T e r+1 mt q Hr+1L := -a,r+1 /a r+1,r+1 für >r+1 und 0 sonst (vgl. (1.5)).

numerk1.nb 25 Dann gelten det ( Q Hr+1L ) = 1 und ( Q Hr+1L L -1 = I - q Hr+1L T e r+1. (III) Gauß-Jordan: (Elmnaton auch oberhalb der Dagonalen) A H0L := A, A Hr+1L := Q Hr+1L A für r=1(1)n-1 ; aber ett mt anders defnerten Q Hr+1L : (1.14) Q Hr+1L := I + q Hr+1L T e r+1 mt q Hr+1L := -a,r+1 /a r+1,r+1 für πr+1 und 0 für =r+1. Folgerung: A = LR ï R = A Hn-1L und L = HQ H1L L -1... HQ Hn-1L L -1, wobe l = 1, l = - q H L für > und 0 sonst. Bewes: (II) ï A Hn-1L = Q Hn-1L... Q H1L A. L H L := HQ H L L -1... # 5. Lnearer Glechungssysteme II