Geometie Punkt ist ein Punkt im -dimensionlen ktesisen Koodintensystem, füe ieß P x p y P szisse eute x-koodinte x p Odinte eute y-koodinte y P stnd de Punkte und d(, ) = = (x x ) + (y y ) Die Steke t die Länge Die Gede () eit elieig weit üe die Punkte und inus Winkel spitze Winkel ete Winkel stumpfe gestekte 90 o Winkel Winkel 80 o üestumpfe Winkel g Stufenwinkel = Voussetzung: g und sind pllel Weselwinkel = Seitelwinkel = (Gegenwinkel = ) Neenwinkel = 80 - Stlensätze e f d g Voussetzung: g und sind pllel = d f + = e ode ode = d e = f +d Deieke elieig etwinklig gleisenklig ++ = 80 o ++ = 80 o ++ = 80 o ++ = 80 o = 90 o = ===60 o = = = gleiseitig = = = = 3 4 = + = 3 (8)
esondee Linien im elieigen Deiek m m s m m s S m s m Die Winkellieenden Die Mittelsenketen uf die Die Seitenlieenden s, s, s sneiden si im Inkeis- Mitten de Seiten sneiden si sneiden si im Swepunkt mittelpunkt des dem Deiek im Umkeismittelpunkt des dem des Deieks. De Swepunkt S einesieenen Keises. Deiek umesieenen Keises. teilt lle Seitenlieenden uf diesem Keis liegen lle dei im Veältnis : Ekpunkte des Deieks. De Umkeismittelpunkt knn u ußel des Deieks liegen. Stz des Tles Jedes Deiek, dessen ditte Ekpunkt uf dem Hlkeis mit Rdius üe de Seitenmitte M de Seite liegt ist etwinklig. M M ist gleiseitig e + = 80 o e = 90 o M ist gleiseitig e + = 80 o e = 90 o + = 80 o e + = 90 o + = 80 o = 80o + = 80 o 90 o = 90 o Retwinkliges Deiek Voussetzungen: Œ() ==90 o = p + q ist die Höe von uf p q Höenstz = p$q Ktetensätze = p$ = q$ pytgoäise Lestz + = (8)
Keis Umfng U = Fläe = Keisussnitt = $ 360 o Retwinkliges Deiek im Eineitskeis - Tigonometie v Im Eineitskeis (Rdius LE) ist die nktete die Deieksseite m Winkel und die Gegenktete die Deieksseite gegenüe dem Winkel. Die t die Länge und ds Deiek ist etwinklig. - - os( ) sin( ) x u De Sinus ist die Länge de Gegenktete sin() = Gegenktete De osinus ist die Länge de nktete os() = De Tngens egit si us tn() = sin() os() = = Gegenktete = Gegenktete nktete nktete Gegenktete nktete $ nktete Ds ogenmß (Rdilmß) x ist die Länge de vom Winkel üestienen Steke uf dem Eineitskeis. Zwisen Winkelmß und ogenmß egit si du den Vollwinkel 360 und den Vollogen x $ = $ = folgende Zusmmenng: = 360 o Mit Hilfe des pytgoäisen Lestzes + = folgt fü Rdius Le dus sin () + os () = Diese Festlegungen fü sin, os, tn gelten im etwinkligen Deiek, dnk de Stlensätze, selstveständli u innel eines Keises mit elieigem Rdius. v Fü einen Keis mit Rdius folgt desl mit Hilfe des Stlenstzes x x = w x = x $ = 360o$ os( ) sin( ) nktete Gegenktete u 3(8)
Vieeke D e f elieiges Vieek = + = e$f = + e$f = $ = $ = $ = Zelegung in e = D = $ zwei Deieke f = Die Innenwinkelsumme in solen Vieeken ist 360 o, i Umfng die Summe lle vie Kntenlängen. Köpe Den Rute Tpez Pllelogmm Retek Qudt d d Qude Wüfel Pism V = Gundfläe$Höe = V = 3 V = $d M = + = ( + ) M = 4 M = d + d + d O = ( + ) + O = 6 O = d( + + ) + d = + + Kegel s Kegel Kegelstumpf senketen Kegel Zylinde V = 3 $ V = 3 ( + ) 3 V = 3 $ V = $ = $ s = + mittels Stlenstz 4(8) s = M = s $ O = s $ + + M = + + O = +
Pymiden s Tetede senkete etekige Pymide siefe egelmäßig 6-ekige Pymide = 3$, ufgeteilt : s = 4 ( + ) + = 3 G = 4 3$ G = $ G = 3 3$ V = $ 3 V = 3 V = 3 3$ M = 3 4 3$ M = O = 3$ O = lle Fläen steen im Winkel = 70,5 zu einnde 4 + + 4 + + 4 + 4 + + Kugel V = 4 3 3 O = 4 Die Heleitung des Volumens gelingt m leitesten du eenung des Rottionsvolumens de Hlkeis-Rndkuve f(x) = x um die x-se. y V = x = $ x dx = $ x 3 x3 dx y=f(x) = $ 3 3 3 3 + 3 3-0 x = $ 3 3 3 6 = $ 3 3 3 3 = 4 3 3 Die Oefläe egit si du eenung des Diffeentils von V() n, lso du leiten von V() n de Vilen. O = d(v()) d = d 4 3 3 d = 4 5(8)
Vekto-Geometie Vekto Ein Vekto ist ein Repäsentnt de Vesieung des -, -, 3-, ode n-dimensionlen Punktumes und ildet den Rum eindeutig und umke uf si selst. Vektoen en eine eindeutige Länge und eine eindeutige Ritung. 0 0 0 ( 3 ) und ( 3 ) = 0 0 = 3 3 = 3 3 Ds Podukt eines Vetos mit eine positiven eellen Zl velänget den Vekto um den Fkto uf die Länge $ die Ritung leit dei elten. Ds Podukt eines Vetos mit eine negtiven eellen Zl s velänget den Vekto um den Fkto s uf die Länge s$ und ket seine Ritung um. Ds Podukt eines Vetos mit 0 mt den Vekto zum Nullvekto 0. Die Länge des Vektos = ist = = + + 3 = ( ) + ( ) + ( 3 3 ) Linee Unängigkeit Zwei ode dei Vektoen in 3 sind line unängig, wenn fü, s, t gilt: $ + s$ + t$ = 0 $ + s$ = 0 (fü zwei) t uße de tivilen Lösung = s = t = 0 keine weiteen Lösungen. ei de Sue weitee von 0 vesiedene Lösungen knn o..d. die nzl de Vilen, s, t um eine eduziet weden. Fü = 3, = 3, = 5 5 6, d = folgt mit t=: $ + s$ + = 0 s + 5 = 0 s + 5 = 0 e 3 s + 5 = 0 s = + s + 5 = 0 e 5 + 5 = 0 e = 3 3 + 3s + 6 = 0 3 + 3s + 6 = 0 einsetzen liefet 9 + 3 + 6 = 0 eine we ussge e,, sind line ängig, d es mit (-3;;) uße (0;0;0) eine weitee Lösung de Gleiung git. Gleiflls git es dmit soge elieig viele weitee Lösungen (-3k;k;k) k $ + s$ + d = 0 s + = 0 s + 5 = 0 e 3 5 s + 5 = 0 s = 0 + s + = 0 e 5 + = 0 e = 5 3 + 3s + = 0 3 + 3s + = 0 einsetzen liefet 6 5 + 69 0 + = 77 0! 0 eine flse ussge e,, d sind line unängig Die Untesuung von zwei Vektoen in 3 s = $ + = 0 ode s$ = e s = e s = 3s = 3 e s = e, sind line unängig ist eine flse ussge, d nit lle dei Egenisse fü s üeeinstimmen 6(8)
Dies lässt si u geometis deuten. s.. t. pllel ntipllel Linee ängigkeit edeuted, dss si Zlen Fü zwei Vektoen in 3 edeuted, s, t finden lssen, so dss de Vektozug linee ängigkeit, dss sie $ + s$ + d = 0 lso ein geslossene entwede pllel ode ntipllel Vektozug ist. sind. pweise linee Unängigkeit Dies eziet si uf Pe von Vektoen, lso jeweils zwei Vektoen und untesut so in 3 ledigli, o die eiden Vektoen pllel ode ntipllel sind. Sind dei Vektoen,, uf pweise linee Unängigkeit zu untesuen, so edeuted dies, dss die Pe, und, sowie, jeweils getennt von einnde uf Pllelität zu püfen sind. Teilveältnisse - de geslossene Vektozug Es sind = und = zwei line unängige Vektoen. Dmit ist = und =. Zeige, dss de Swepunkt S lle Seitenlieenden eines Deieks im Veältnis : teilt. M y S x M M M + M S + S = 0 M = g M = M S = x$ M g M S = x$ M S = x$ + S = y$ M g S = y$ S = y$ + M + M S + S = 0 g + x$ + + y$ x$ + x$ y$ g g x + y y + x y = 0 ist ein geslossene Vektozug, so dss die Summe lle Vektoen den Nullvekto egit. M + g M S = x$ M + g M S = y$ g S = y$ + + y$ = 0 = 0 + + y$ d und line unängig sind, müssen die Fktoen vo den Vektoen und unängig von einnde Null egeen. x + y y = 0 g x y = 0 lso x x = 0g 3 x = 0g 3 x = g x = 3 x y = 0 g y = x g y = xg y = 3 e M S = x$ M = 3 M und S = 3 $ M g S teilt M im Veältnis : ode : e S = y$ M = 3 M und M S = 3 $ M g S teilt M im Veältnis : ode : Fü den geslossenen Vektozug M + S + SM = 0 egit si nlog ds gleie Egenis, lso S teilt M im Veältnis : ode : Dies eweist, dss de Swepunkt S lle Seitenlieenden eines Deieks im Veältnis : teilt. 7(8)
Sklpodukt os( ) Geometis vesteen wi unte dem Sklpodukt zweie Vektoen ds Podukt de Länge des Vektos mit de Länge de senketen Pojektion des Vektos uf den Vekto : $ = $ $ os() $ e os() = eine wundesöne Fomel zu estimmung des $ Winkels zwisen zwei Vektoen. De etg im Zäle sogt dei dfü, dss ei de eenung keine negtiven Winkel uftuen können. Gleizeitig stellt mn fest, dss dieses Podukt u du komponentenweise Multipliktion de Vektoen eenet weden knn: $ = 3 $ 3 = $ + $ + 3 $ 3 Dmit ist ds Sklpodukt zweie Vektoen estunlie Weise kein Vekto sonden ein Skl, lso eine eelle Zl. eweise mit senketen Vektoen p q Es sei:œ() =Œ(p) =Œ(q) = 90 o e = 0. p = 0. q = 0 p + q = und = p = q = $ = p $ = p p = p = p = p q = p + p = p q q q q + p q + q p q + p q p q + q + p q + p q q q woei p = 0 woei und = 0 q = 0 Dies eweist etgsmäßig = p q lso den Höenstz im etwinkligen Deiek = p $ q Und no einfe mit = + und Œ() = 90 o ist: = + = + $ + = + woei = 0 D es si ei den Qudten von Vektoen um Skle, lso eelle und in diesem Fll positive Zlen ndelt ist dmit de Stz des Pytgos = + im etwinkligen Deiek ewiesen.... to e ontinued 8(8)