Wnn wird der reltive Fehler groß? Wenn >> c, oder c 0 Andere Reihenfolge der Berechnung liefert Fktoren (c)/(c) oder (c)/(c) ; Es wird jeweils der Fehler, der ei der ersten Addition uftritt, verstärkt. 40
Folien-Beispiel: Mschinenzhlen (.) *, - (.0) * und c(.0) * 3 ei dreistelliger Mntisse. Addition: ~ y ( (.) * ( (.0) * )) (.00) (.0) * * 3 M M (.0) * 3 M (.0) * 3 Dei tritt kein Fehler uf! Andere Reihenfolge? 4
yˆ (.) (.) (.0) * * * mit reltivem Fehler M M 3 (( (.0) * ) (.0) * ) ( (.00) * ) M (.0) * (.0) * (.0) * 0% Merke: Reihenfolge der Opertionen ist wichtig! Bisher wren, und c Mschinenzhlen Jetzt etrchten wir Eingngszhlen, die schon selst mit Rundungsfehler ehftet sind: ( ) mit <, usw. 4
. e ( )) ( ( )) ( M. f e M ( )). ( c c Reltiver Fehler in erster Näherung: f y y c c c c c. c Erste Terme: Auswirkung der Eingefehler Vierter Term: Auswirkung des Fehlers ei der ersten Addition Fünfter Term: Fehler ei der zweiten Addition 43
Auslöschung Kritischer Fll: Endergenis nhe ei Null! Folien-Beispiel: Differenz zwischen 3/5 und y4/7 ei fünf-stelliger Mntisse. Ekte Rechnung: - y /35 (0.0 ) -5 Rundung von und y liefert für (.0000...) und (.0000...) die Näherungen (.00) und (.000) Dmit ergit sich die Rechnung (.00) (.000) (0.000) (.0000) 5 44
Dei sind unterstrichene Stellen noch ekt, während nicht unterstrichene Stellen durch Rundung verfälscht sind. Die kursiven Nullen im Ergenis sind wertlos! Ds erechnete Ergenis lutet lso /3, Reltiver Fehler: (/35 - /3) / (/35) - 0.0938 entspricht c. 9.4% Aweichung. Vgl. Mschinengenuigkeit für t 5 von 0.03 c. 3.% Die unterstrichenen, guten Stellen gehen durch die Differenz verloren und es leien die unsicheren Stellen ürig. 45
Bei t3 zeigt sich dieser Effekt noch stärker: Rechnung: (.0) (.0) 0 Fehler: 00%, ei Mschinengenuigkeit 0.5/8 oder.5% Reltiver Fehler ei Differenz y - nch.3: y ( ( ) ( )) ( ) Eingefehler werden etrem verstärkt, wenn - nhe ei Null ist, lso flls sich und fst uslöschen! 46
Aer: Sind und ekt ohne Fehler, dnn ist 0 und 0. Dher ergit sich dnn nur ein reltiver Fehler in der Größenordnung der Mschinengenuigkeit! Also Differenz mit ekten Zhlen ist OK! Nur ei Differenz von fehlerehfteten Zhlen droht Gefhr. 47
Berechnung der Eponentil-Funktion ep( ) k / k! n einer Stelle X mittels Progrmm: Y:.0 ; T.0; K; WHILE ( Y Y T*X / K ) T T * X / K ; Y Y T ; K K ; END X Y EXP( X ).788.788 0 4.85653*0 8 4.85650*0 8 0.6408609*0 4 4.5399930*0 5 0.0966.06537*0 9 48
Für X -5 ergit sich: 5.5-56.5... - 3540.3 334864.6 334864.6 33935.5 -... 0.000000666083... 3.050..*0 7 Auslöschung durch wiederholte Differenz im Schritt T T Y! Der Term T wächst zunächst, um m Ende einen sehr kleinen Wert nzunehmen! Große Zwischenwerte kleine Endwerte Auslöschung Prolemtisch! 49
Kondition und Stilität.4 Definition: Ein Berechnungsverfhren ist eine Folge von mthemtischen Berechnungen zur Lösung eines Prolems mit Eingngsdten n R und dem Ergenis y f () R Zur Berechnung von y wird es verschiedene Algorithmen geen, die sich z.b. in der Reihenfolge der Opertionen unterscheiden (vgl. Addition c). Zum Vergleich verschiedener Algorithmen etrchtet mn die entstehenden Rundungsfehler. Dzu knn mn u.. Tylor-Entwicklung oder Epsilontik verwenden. 50
Zur Bestimmung der Kondition etrchten wir - Eingedten i, versehen mit soluten Rundungsfehlern δ i, i,...,n. (Zur Vereinfchung: n, lso nur ein ) - f() ls lck o; wir sind nur n der Ein- und Ausge interessiert! Rundungsfehler innerhl der Ausführung von f() sollen zunächst nicht uftreten! Für den soluten Fehler im Resultt gilt dnn unter Vernchlässigung der während der Berechnung sonst uftretenden Rundungsfehler: y δ y f ( δ ) f ( ) f ( ) δ Ο( δ ). In erster Näherung gilt dher 5
δ f ( ) δ y Dher ist der reltive Fehler des Resultts y y f rel δ y ( y) y f ( ) y δ f ( ) y f rel ( ) f f ( ) ( ).5. Definition: Unter der Konditionszhl des Prolems y f() ezüglich Eingewert versteht mn den Betrg des Verstärkungsfktors f ( ) cond : f ( ) 5
Die Konditionszhl misst die Sensiilität des Resultts y in Ahängigkeit von den Fehlern in der Einge. cond groß, z.b. wenn: - große Einge gegenüer kleinem Endwert - nhezu senkrechte Tngente ( f () groß) Ein Prolem heißt gut konditioniert wenn kleine reltive Fehler in ei ekter Arithmetik (lso ohne Rundungsfehler während der weiteren Rechnung) zu kleinen reltiven Fehlern im Resultt y führen: y ungef. in der Größenordnung von 53
Andernflls liegt schlechte Kondition zgl. vor. Die Konditionszhl misst den sog. unvermeidren Fehler, der durch ds Prolem selst n einer Stelle gegeen ist. Beispiel: cond(ep()) cond(ln()) / ln() Bild einer Funktion, Punkte schlechter Kondition:?? Frge: Schlecht konditionierte Proleme im Alltg? Beispiele PPT. 54
Beispiel: Konditionszhlen zu yc 55,,, c c cond c cond c cond c Unvermeidrer Fehler!. c c c c c y f y c Konditionszhl zgl. der zweiten Addition f(,c)()c Ds sind gerde die Verstärkungsfktoren der rel. Fehler der Eingedten in der Formel für den reltiven Fehler:
Betrchten wir die Gesmtrechnung, so lssen sich Konditionszhlen zu jedem einzelnen Rechenschritt ngeen. Dmit ist es möglich, für den gesmten Algorithmus ds Fehlerverhlten zu estimmen. Dies ist meist zu ufwändig oder gr nicht möglich! Dies ermöglicht eine mehr mthemtische Formulierung der Epsilontik. z.b. ist der vierte lue Term gleich der Konditionszhl der Teilfunktion, die die Addition von () mit c eschreit. 56
.6. Definition: Sei ds Prolem yf() gut konditioniert. Eistiert dnn zusätzlich uch ein gutrtiges Berechnungsverfhren, ei dem die reltiven Fehler nicht zusätzlich strk vergrößert werden, so spricht mn von einem numerisch stilen Algorithmus. Ein Berechnungsverfhren, ds trotz kleiner Konditionszhl zu vergrößerten reltiven Fehlern im Resultt führen knn, heißt numerisch instil. 57
Erste Frge: Konditionszhl OK? Wenn j, formuliere numerisch stiles Berechnungsverfhren: Prüfe ds Berechnungsverfhren mit Epsilontik: Ersetze dzu jede Eingngsvrile durch ( ) und jede uszuführende Opertion ( op M y) ( op y)*( op ) mit < und op <. Vernchlässige dei Terme höherer Ordnung in (lso, 3, 4,...). Dmit erhält mn ds gestörte Endergenis. Berechne und diskutiere dnn den reltiven Fehler in erster Ordnung durch Aschätzen der Beträge der Einzelterme f rel Term eps Term eps... 58
Ist ds Prolem schlecht konditioniert, dnn ist nur Schdensegrenzung möglich: Verwende ev. höhere Genuigkeit: Eingefehler 0^(-) mit Konditionszhl 0^(8) ergit Ausgefehler 0^(-4) Ist dieser Ausgefehler noch tolerierr? Wenn nein, dnn knn zu einer Veresserung nur der Eingefehler verkleinert werden. 59
Beispiel: Berechnung von Kondition ist OK, d (L Hospitl) 60 0, ) ( f 0 ) ( für cond Allerdings ist die Auswertung in dieser Form numerisch instil d Auslöschung im letzten Schritt!
Entsprechend lässt sich die Berechnung der Eponentilfunktion für große negtive retten, indem wir ep(-000) ersetzen durch /ep(000). 6 ) ( ) )( ( Bessere Formulierung:
Beispiel: f() - cos() in der Nähe von 0 f() ist wieder gut konditioniert ei 0, d cond f sin( ), f cos( ) ( / ) 0 Aer ei 0 ist cos() nhe ei wieder Auslöschung! In MATLAB: - cos(0^(-8)) ergit 0; in cos(0^(-3))0.99999950000004 verliert mn ei der Differenz 6 signifiknte Stellen 6
Anderer Berechnungsweg: - cos() sin (/) oder Reihenentwicklung des Cosinus cos( ) ( 4 4! 6 6! 4 6 ) 4! 6! 63
Beispiel: y ei Anwendung der Epsilontik; seien, Mschinenzhlen: Berechne erst eide Produkte, dnn die Differenz. 64 3 y Fehler: Eingefehler Produktfehler Differenzfehler Reltiver Fehler: Nun seien uch und fehlerhft: ( ), ( )
Andere Art der Berechnung: y ( )( ) 65 ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * f ( ) ) ( ) ( ) ( * * d dy cond d dy cond Konditionszhlen:, Prolem ist schlecht konditioniert für Reltiver Fehler in erster Näherung:
Vergleich mit erstem Algorithmus: Ds neue Verfhren ist esser, d i.w. nur der unvermeidre Fehler (durch Eingefehler) uftritt! Grund: Auslöschung in - geringer ls in, d Fehler in und kleiner ls in und. 66
Zusmmenfssung Endlichkeit des Computers führt zu endlicher Menge von Mschinenzhlen. In jedem Schritt treten Rundungsfehler uf. Gefährlich sind Opertionen, ei denen mn signifiknte Stellen verliert, wie z.b.: - Auslöschung (Differenz fst gleicher Zhlen) - Summe zwischen großer Zhl und sehr kleiner Zhl, ei der die signifiknten Stellen in der kleinen Zhl stecken (vgl. wiederholtes Wurzelziehen) - Allgemein Opertionsfolgen mit großen Zwischenwerten und kleinen Endwerten (vgl. ep, Teilfunktion schlecht konditioniert). 67
Vorsicht! Gesundes Misstruen! Algorithmus ist OK, wenn die Größenordnung der reltiven Fehler im Resultt ungefähr gleich der Größenordnung der Eingefehler leit. Umformen eines numerisch instilen Verfhrens durch - ndere Reihenfolge der Berechnung - Anfng der Tylorentwicklung - Trigonometrische Formeln - lgerische Umformung (inomische F.) -... - Ev. doule precision rechnen, dmit trotz schlechter Kondition oder Rundungsfehler noch ruchres Resultt ürigleit. 68
Systemtische Fehler und große Zhl der Opertionen können zu schlechten Ergenissen führen! (Siehe Beispiel Börseninde) Ev. Modellfehler gegen Rundungsfehler wägen: Feineres Modell Mehr Rechnung Mehr Rundungsfehler! Mn muss die optimle Blnce finden! Beispiel Üungsufge Differenzenquotient. Gesmtfehler: Gro diskretisiert Optimum fein diskretisiert Modellfehler Rundungsfehler 69
Beispiel: Veresserte Fehlernlyse für den numerisch instilen Fll großer Zwischenwerte Zerlege Prolem f() in zwei Schritte y f() f (f ()) f (z) woei z f () großer Zwischenwert und y f (z) kleiner Endwert. Dher ist Teilprolem f (z) für diese Werte schlecht konditioniert, d z / f (z) groß ist! Dher ist Gesmtverfhren nicht numerisch stil für. 70
Verfhren ist numerisch stil, wenn für jede Zerlegung in Teilproleme f (f ()) f (z), z f (), f (z) stets gut konditioniert ist! Konditionszhl Gesmtprolem Numerisch stil Berechnungsform 7
Genuere Anlyse der numerischen Stilität durch Bestimmung der Konditionszhlen und Aleitungen ller Teilschritte: Zerlege Algorithmus in Teilproleme f() f (f ()) und erechne lle uftretenden Konditionszhlen cond(f )! Meist zu ufwändig oder unmöglich. Epsilontik genügt für uns: (Ersetze (), op y ( op y)() Streiche Terme höherer Ordnung in, 3, 4, Bestimme dmit den rel. Fehler des Resultts (f y)/f in erster Näherung und schätze Beträge nch oen Diskutiere die einzelnen Terme. 7
Ziel: Erkenne us Formel (Progrmm), zw. erechneten (Zwischen)werten, - o ds Prolem gut konditioniert ist, und - o ds verwendete Verfhren numerisch stil ist, - zw. wie ds Verfhren ev. veressert werden knn. Klusurufge: f()ep()-, g()- - 3, h()( )(-cos ()) 73
Schlecht konditionierte Proleme: - Wettervorhersge - Aktienentwicklung - Sprunghft, chotisch, prmeterhängig Vorsicht mit Vorhersgen: Die einzigen Vorhersgen, die wirklich zutreffen sind die, die mn nchträglich mcht. Geldverdienen mit Schneellsystem. Nchträgliches Bewerten von Vorhersgen. Psychologische Effekte. 74