mit 0 < a < b um die z-achse entsteht.

Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Alg. II SS 6 Blatt 8 13.6.6 Aufgabe 38: Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { (x, y, z) R 3 y, (x b) + z a } mit < a < b um die z-achse entsteht. Lösung: Die reisscheibe liegt in der x,z-ebene, hat den Mittelpunkt (b,, ) T und den Radius a. Der Volltorus ergibt sich durch Rotation dieser reisscheibe um die z- Achse. Bildlich gesprochen sieht der örper aus wie ein Fahrradschlauch, da < a < b gilt. Wir benötigen die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, der um die z-achse rotiert: z 1 V ol(rot) π f(z) dz z Dabei ist f(z) der Radius der reisscheibe, die durch die Rotation um die z-achse entsteht. Das Volumen des Fahrradschlauches ergibt sich aus der Differenz des Rotationskörpers, der von dem nach außen gerichteten Teil des Schlauchs begrenzt wird und des Rotationskörpers, der von dem nach innen gerichteten Teil des Schlauchs begrenzt wird. Aus der Beziehung (x b) + z a erhalten wir die Radien. Sie lauten f(z) b a z... innen f(z) b + a z... außen Da der Mittelpunkt der rotierenden reisscheibe in der x,y-ebene liegt und die rotierende reischeibe den Radius a besitzt, gilt a z a. Das Volumen des Volltorus ist folglich: V ol(v olltorus) π π a a a (b + a z ) dz π a a (b a z ) dz (b + a z ) (b a z ) dz a a π 4b a z dz a An dieser Stelle führen wir eine oordinatentransformation (Substitution!) durch: z z(t) a sin t, dz a cos t dt, a z a π t π

Damit vereinfacht sich das Intergral wie folgt: a V ol(v olltorus) π 4b a z dz π a π 4ab cos t a a sin t dt π π π 4a b cos t dt π π π 4a b(cos(t) + 1 ) dt π [ 1 4πa b sin(t) + t [ π ] 4πa b π a b. Dabei haben wir folgendes verwendet: 1.) Transformationsregel für mehrfache Integrale (Skript MII (Helfrich), ap. 9, Satz 1; siehe auch aktuelles Skript!) bzw. die Substitutionsregel der eindimensionalen Integralrechnung. f(y)dy f(g(x)) det Dg(x) dx..) Die Formel V U cos (t) cos (t) + 1, die sich aus dem Additionstheorem der Cosinus-Funktion cos (t) cos (t) sin (t) cos (t) (1 cos (t)) cos (t) 1 und der bekannten Formel cos (t) + sin (t) 1 ergibt. ] π π

Aufgabe 39: Berechnen Sie den Schwerpunkt eines reiskegels mit Radius R >, Höhe h > und Massendichte ρ 1. Lösung: Um den Schwerpunkt eines örpers zu berechnen, benutzen wir folgende Formeln: x S 1 ρ dx m x 1 x ρ(x, y, z) dx dy dz, m y S 1 ρ dx m y 1 y ρ(x, y, z) dx dy dz, m z S 1 ρ dx m z 1 z ρ(x, y, z) dx dy dz. m Dabei ist ρ ρ(x, y, z) die Massendichte des örpers. Die Masse des örpers berechnen wir mit m ρdx ρ(x, y, z) dx dy dz. Nun kommen wir zu unserer Aufgabe. Da der egel rotationssymmetrisch zur z-achse ist, gilt x S y S. Als erstes berechnen wir die Masse des egels. Wir nutzen dabei aus, dass es sich um einen Rotationskörper handelt und die Massendichte gleich eins ist. Das heißt wir können die Formel zur Berechnung des Volumens für Rotationskörper zur Massenberechnung verwenden. Der Radius der reisscheibe, die durch die Rotation um die z-achse entsteht, ist f(z) R R h z. m V ol(rot) π h πr πr (R R h z) dz h h (1 z h ) dz (1 z h + z h ) dz πr [ z z h + z3 3h ] h πr [h h + h 3 ] πhr 3 Um den Schwerpunkt zu berechnen führen wir Zylinderkoordinaten ein: x g 1 (r, φ, z) r cos ϕ y g (r, φ, z) r sin ϕ, det Dg(x) r. z g 3 (r, φ, z) z.

Daraus ergibt sich für die z-oordinate des Schwerpunkt folgendes: z S 1 ρ(x, y, z) z dx dy dz m 3 h 3 h 3 h 3 h πhr 6 h hr 3 hr h h h R R h z π R R h z r z dϕ dr dz r z dr dz (R R h z) z dz (1 z h ) z dz (z h z + 1 h z3 ) dz [ 1 z 3h z3 + 1 4h z4 ] h 3 ( 1 3 + 1 4 ) h h 4 Der Schwerpunkt hat daher die oordinaten:. h 4 Bemerkung: In dieser Aufgabe haben wir benutzt: 1.) Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, der durch Rotation um die z-achse entsteht: z 1 V ol(rot) π f(z) dz z Dabei ist f(z) der Radius der reisscheibe, die durch die Rotation um die z-achse entsteht..) Transformationsregel für mehrfache Integrale (Skript MII (Helfrich), ap. 9, Satz 1) f(y)dy f(g(x)) det Dg(x) dx. V U Beziehungsweise genauer die Transformationsregel für die Transformation von euklidischen oordinaten auf Zylinderkoordinaten.

Aufgabe 4: Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Rotationsellipsoides Lösung: Sei x a + y b + z a 1 mit der Massenbelegung ρ 1 bzgl. der x-achse. Welche Werte hat dieses Moment bzgl. der y- und z-achse? E : {(x, y, z) R 3 x a + y b + z a 1} das Rotationsellipsoid. Durch die lineare Transformation x : x a, y : y b, z : z a x ax, y by, z az wird E auf die Einheitskugel B 1 () im R 3 abgebildet. Für φ(x, y, z ) : (ax, by, az ) T (x, y, z) T gilt φ 1 (E) B 1 () und det Dφ(x, y, z ) a b. Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment bzgl. der x-achse: Θ x (y + z ) dx dy dz E (b y + a z ) det Dφ(x, y, z ) dx dy dz φ 1 (E) a b (b y + a z ) dx dy dz. B 1 () An dieser Stelle führen wir ugelkoordinaten ein (mit r 1): mit dem Volumenelement Damit ergibt sich für obiges Integral: 1 π π x r cos φ sin θ y r sin φ sin θ z r cos θ dx dy dz r sin θ dr dθ dφ. Θ x a b (b r sin φ sin θ + a r cos θ)r sin θ dr dθ dφ ( 1 ) π π a b r 4 dr (b sin φ sin 3 θ + a cos θ sin θ) dθ dφ a b a b π π π π (b sin φ sin 3 θ + a sin θ a sin 3 θ) dθ dφ [ (b sin φ a ) sin 3 θ + a sin θ ] dθ dφ.

Dabei ist 1 r4 dr 1, ausgenutzt worden. Desweiteren benutzen wir (Partielle Integration!!) π sin φdφ [ cos φ sin φ] π + woraus sich π sin φdφ π ergibt. Außerdem benötigen wir π π π π π + (1 sin φ)dφ sin φdφ, cos φdφ sin θdθ [ cos θ] π cos π + cos sowie (wieder mit Hilfe partieller Integration) woraus π π sin 3 θdθ [ sin θ cos θ] π + + π sin θ dθ π π π sin θ cos θ dθ sin 3 θ dθ, sin 3 θ dθ 3 folgt. Setzt man dies alles ein, so erhält man Θ x a b a b a b π π sin θ dθ 3 [ cos θ]π 3 + 3 4 3 [ (b sin φ a ) sin 3 θ + a sin θ ] dθ dφ [ (πb πa ) 3 ] 4 + πa ( ) 3b π + a π 4 4 a bπ 4 (a + 3 b ). Entsprechend ergibt sich auf Grund der Rotationssymmetrie Θ z a bπ 4 (a + 3 b ). für das Trägheitsmoment bzgl. der z-achse.

Aufgabe 41: Berechnen Sie das Volumen dx der Menge {(x 1, x, x 3, x 4 ) x 1 + x + x 3 + x 4 1} im R 4. Lösung: Bei dem örper x 1+x +x 3+x 4 1 handelt es sich um eine vierdimensionale ugel mit dem Radius eins. Daher ist V 1 dx 1 dx 1 dx dx 3 dx 4 x 1 +x +x 3 +x 4 1 das vierdimensionale Volumen der ugel. Es gilt V V ol 4 (4D ugel) 1 1 V ol 3 (3D ugel mit Radius 1 r ) dr 4 1 3 π 1 r 3 dr. Hier führen wir die folgende Substitution durch: 1 Daraus folgt für das Integral V 4 3 π r cos t, dr sin t dt; 1 r 1 π t. π 4 3 π sin 4 t dt 1 cos t 3 sin t dt π 4 3 π π [ 1 8 cos (4t) 1 cos (t) + 3 ] 8 dt 4 3 π [ 1 3 sin (4t) 1 4 sin (t) + 3 8 t ] π 4 3 π 3π 8 π. Dabei haben wir zur Vereinfachung von sin 4 t die Formel sin 4 t 1 (cos (4t) 4 cos (t) + 3) 8

benutzt. Diese Formel erhält man wie folgt: i) Das Additionstheorem der Cosinus-Funktion liefert: cos (t) cos t sin t cos t 1 cos t 1 (1 + cos (t)). Anwenden dieser Formel mit t an Stelle von t liefert ii) Nun gilt: cos (t) 1 (1 + cos (4t)). sin t 1 cos t 1 1 1 cos (t) 1 (1 cos (t)) sin 4 t 1 4 (1 cos (t) + cos (t)) 1 4 (1 cos (t) + 1 + 1 cos (4t)) 1 (cos (4t) 4 cos (t) + 3). 8

Aufgabe 4: Bestimmen Sie die mittlere Dichte ρ mittel eines reiskegels mit Radius r > und Höhe h > unter der Annahme, daß für die Dichte ρ(x) a+b d(x) gilt, wobei d(x) > den Abstand des Punktes x zur Drehachse bezeichnet. Die mittlere Dichte ρ mittel ist dabei definiert als die Gesamtmasse des örpers geteilt durch das Gesamtvolumen des örpers: ρ mittel M gesamt V ol gesamt. Lösung: Es ist wegen der Symmetrie des egels sinnvoll ugelkoordinaten zu verwenden. x r sin ϑ cos ϕ y r sin ϑ sin ϕ, det Dg(x) r sin ϑ. z r cos ϑ Die Grenzen lauten dann z h, ϕ π und r R R h z, wobei R der Radius des egels in der Höhe z und h die Höhe des egels ist. Zur Verdeutlichung der Situation fertige man eine Skizze an! Die Masse des egels berechnen wir mit Hilfe von Zylinderkoordinaten M gesamt ρ(x) dx (a + bd(x)) dx (a + bd(r, ϕ, z) r dr dϕ dz. Dabei ist rho(r, ϕ, z) die Massendichte des egels. In unserem Fall hängt sie nur von r, dem Abstand zur Drehachse ab. Es gilt ρ(r, ϕ, z) a + br. Wenn wir in der Formel für die Masse in µ(r, ϕ, z) die Werte a 1 und b setzen, erhalten wir das Volumen des egels. Wir berechnen also die Masse und können daraus leicht das Volumen ableiten. M gesamt h π R R h z (ar + br ) dr dϕ dz h π πr a (R R h z) + b 3 (R R h z)3 dϕ dz h [ a (1 z h ) + br 3 (1 z ] h )3 dz

h πr [ a (1 z h + z h ) + br 3 (1 3 z ] h + 3 z h z3 h ) 3 πr [ a (h h + h 3 ) + br 3 (h 3 h + h 1 4 h) ] dz Daraus folgt πahr 3 + πbhr3. 6 V ol gesamt () πh 3 R. Die mittlere Dichte beträgt also ρ mittel M gesamt πahr + πbhr 3 V ol gesamt 6 a + br a + b R. 3 πhr