5/3/10 lausthal omputer-raphik I. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Frühe Beispiele / Motivatio Beispiele für : Parameter t auf der erade Kotevektor bei B-Splies u,v-parameter bei Tesorproduktfläche t=0.0 t=1.0 t=0.6 t=0.2 t=0.4 t=0.8 Koordiate auf der Weltkugel. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 2 1
otatio / Begriffe Defiitio: egebe eie Mege vo Pukte V = {P 1,..., P } R 3. Ei Dreiecks-Mesh über V ist eie Mege vo Dreiecke M = {T 1,..., T }, mit T i = {P j, P k, P l } V, wobei sich jeweils zwei Dreiecke höchstes i geau eier gemeisame Kate scheide. v z y x M u. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 3 Defiitio: Eie ist eie Abbildug g : V R 2 Erwüschte Eigeschafte: g(m) soll überscheidugsfrei sei Lieare Reproduktio: we M scho i der Ebee liegt, d.h. P i = (x i, y i, 0), da soll die smethode g(p i ) = (x i, y i ), liefer. Die Fuktio g ka ma durch lieare Iterpolatio ierhalb der Dreiecke fortsetze zu eier stückweise lieare Fkt. auf gaz M Vorteil: f = g -1 ist da auch stückweise liear auf g(m) ud trivial zu bereche. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 4 v z y f x u M g 2
otatio: Vertices P i, Parameterpukte p i V = V I V B V I = {P 1,..., P } V B = {P +1,..., P +b } = + b Das Radpolygo im Parameterbereich = p +1,, p +b g(p i ) = p i = (u i, v i ) P i = (x i, y i, z i ) v z y x M Mege der Kate: E = {(P i, P j ) P i, P j sid achbar } u. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 5 Motivierug der smethode 1. Lege das Radpolygo p +1,, p +b fest Wie bestimmt ma die iere p i? Idee: "Kate = Feder" Aahme: Ruheläge = 0, Potetialeergie = - D = Federkostate, s = Läge der Feder Setze also D ij > 0 für alle Kate zwische p i ud p j, für alle adere setze D ij = 0 Verallgemeierug: wir lasse D ij D ji zu! 1 2 Ds2 Defiiere die esamteergie eier : E = D ij p i p j 2 i=1 Ziel: miimiere diese Eergie (pealty fuctio). Zachma omputer-raphik 2 SS 10 6 3
5/3/10 Partielle Ableituge vo E sid E i = 1... : = Di j (pi pj ) pi j =1 0-Setze liefert i = 1... : pi Dij = Dij pj M.a.W.: jeder iere Parameterpukt muß eie kovexe Kombiatio seier achbar sei, ud zwar i = 1... : pi =. Zachma λi j pj, Di j mit λi j = k =1 j =1 omputer-raphik 2 SS 10 Di k 7 Rechte Seite auseiaderziehe liefert pi = λi j pj + λi j pj ud damit pi j =1 j =+1 λi j pj = j =1 Das sid zwei simple LSe mit ud Au = b λi j pj j =+1 ud Av = c A = (aij ) u = (u1,..., u ) v = (v1,..., v ),i = j 1 λ i j vj λi j uj, ci = ai j = λi j, (pi, pj ) E, bi = j = +1 j =+1 0, sost. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 8 4
2. Schritt bei der : λ's wähle Wähle λ's so, daß (i, j) E : λ ij > 0, (i, j) E : λ ij =0, i =1..., j =1... λ ij =1 Satz: Werde die λ's wie obe gewählt, da ist die Matrix A icht sigulär. M.a.W.: die LSe sid eideutig lösbar.. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 9 Beweis Defiitio: Eie x-matrix A heißt zerlegbar es gibt eie Permutatiosmatrix P, so daß A = P 1 B 0 AP = D wobei B ud D wieder quadratische Matrize sid. Sost heißt sie uzerlegbar. Bemerkug: i userer Awedug etspricht P eier Umummerierug der Vertices / Parameterpukte.. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 10 5
I userem Fall: A hat die spezielle Form A = I Λ wobei Λ =(λ ij ), i, j =1..., λ ij 0 Behauptug: Λ ist uzerlegbar Beweis: 1. Wäre Λ zerlegbar, da gäbe es ei Umummerierug der Vertices, so daß Λ = B 0 0 D 2. Folge: der raph (d.h., das Mesh) würde aus 2 ichtzusammehägede Teile bestehe W!. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 11 Satz aus der Matrizetheorie (o. Bew.): Sei A eie uzerlegbare Matrix mit A 0. Bezeiche die Zeilesumme mit s i = a ij, i =1... Sei r der maximale Eigewert vo A. Da gilt r max i=1... s i. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 12 6
Zum Beweis des Satzes, daß A icht sigulär ist: Z.z.: Eisetze: Aw =0 w =0 (I Λ)w =0 Λw = w Aahme: es gäbe solch ei w 0 Da wäre 1 ei Eigewert vo Λ Aber: i =1... : λ ij < 1 Folge aus dem Satz aus Matrizetheorie: max. Eigewert < 1 W!. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 13 Kokrete Wahl der λ's aïve Möglichkeit [1963, graph drawig]: Setze λ ij = 1 / d i für jedes P i, wobei d i = rad des Puktes = Azahl seier achbar M.a.W: jedes p i ist der Schwerpukt seier achbar "Uiforme" - Aalogie zur uiforme bei B-Splies hord legth parametrizatio: setze w ij =1/P j P i. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 14 7
5/3/10 Mea value coordiates (MV): Setze die λij = de mea value coordiates vo Pi bzgl. seier direkte achbar Pj (im 3D!) Alterative: - bestimme für jedes Pi seie direkte achbar Pj - lege eie Ausgleichsebee durch diese Pukte - projiziere diese Pukte auf die Ebee - bestimme die mea value coordiates vo Pi bzgl. Pj i dieser Ebee Jetzt wird auch klar, warum wir λij λji zulasse wollte!. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 15 Awedug der : Texturierug Es gibt viele weitere Aweduge der, de: erlaubt es us, auf eiem Mesh zu operiere, als ob es flach wäre, d.h., ur mit 2D-Koordiate.. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 16 8
Demo. Zachma omputer-raphik 2 SS 10 17 9