(Unvollständige) Zusammenfassung Analysis Grundkurs. Ableitungs und Integrationsregeln (Folgende 0 Funktionen sind alles Funktionen aus dem Zentralabitur Grundkurs.) a) f(t) = 0,0t e 0,t b) f(t) = t 3 4t + 44t c) f(x) = 7 x4 + 3 x + d) f(t) = 8 t e 0,5t e) f(t) = 0,03 t 3,5 t + t + 80 f) f(x) = (x+) e x g) h(t) = 0, e 0,t 0,9 h) s(t) = 6 t3 + t + 6 t i) f(x) = x e j) T(t) = 0 + 80 e 0,0 t k) f(t) = 3 4 t3 9 t + 6t l) f(x) = e x (x 3) m) g(x) = x e x n) f a (t) = a ( e 0,5 t ) o) g(x) = x 4 3,75x p) h(x) = x 4 3x 4 q) f(x) = x3 9 t x r) 0 f(t) e 60 600 s) f(t) = 0,06 (0,5t 4 0,6t 3 + 0,t ) + 55 t) f(x) 3x e x Man kann drei Aufgabentypen unterscheiden: a) ganzrationale Funktionen(scharen): b) c) e) h) k) o) p) q) s) b) Funktionen vom Typ f(x)= c e z, wobei c ein konstanter Faktor und z ein beliebiger Ausdruck ist. (g) j) n) r) (bei j) n) und r) gibt es noch zusätzlich einen konstanten Summanden) c) Funktionen vom Typ f(x) = p(x) e z, wobei p(x) eine ganzrationale Funktion und z ein beliebiger Ausdruck ist. (a) d) f) i) l) m) t)
Ableitungsregeln Grundkurs. Potenzregel: f(x)= x n f(x) = nx n ; Beispiel: f(x) = x 3 f (x) = 3x ; ( Hut ab, eins runter! ). Faktorregel: ein konstanter Faktor wird beim Ableiten mitgeschleppt : Beispiele: f(x) = 3,5 x 4 f (x)= 3,5 5 x5 = 0,7x 5 ; f(x) = ax +bx+c f (x) = ax+b; f(x) = 3 e x ; f (x) = 3 ( e x ) = 3e x ; f(x) = 3b x 3 ; f (x) = 3b 3x = 9b x 3. Summenregel: In einer Summe darf man die Summanden einzeln ableiten. (Summanden sind grün hervorgehoben.) Beispiele: f(x) = x 3 +x +5 f (x) = 3x +x+0; f(x) e x e x f (x) = e x +e x f(x) = 8 e ; f (x) = e ( 4) = 8 e Spezialfall: ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. f(x) = k + x f (x)= x Achtung! Bei einem Produkt darf man nicht die Faktoren einzeln ableiten! (siehe unten) 4. Ableitungen einfacher Exponentialfunktionen mit Kettenregel: f(x) = c e z f'(x) = c e z z' (Funktion mal Ableitung des Exponenten) Beispiele: (e x ) = e x ; (e 3,5x ) = e 3,5x 3,5 = 7 e 3,5x ; x f(x) = 3 e x f (x) = 3 e x ( x) = 6x 5. Ableitung eines Produktes aus ganzrationaler Funktion und Exponentialfunktion mit der Produktregel: (u v) =u v+uv Beispiele: f(x)= x e x f (x) = e x +x e x = e x (+x); f(x) = x e x+ f'(x) = x e x+ +x e x+ = e x+ (x+x) Man darf also in einem Produkt nicht jeden Faktor einzeln ableiten. Bespiele siehe nächste Seite e
Ableitungen der obigen Abiturfunktionen Funktion. Ableitung a f(t) = 0,0t e 0,t f (t) = (0,04 0,00t) t e 0,t b f(t) = t 3 4t + 44t f (t) = 3t 48t + 44 c f(x) = 7 x4 + 3 x + f (x) = 4 7 x3 + 4 3 x d f(t) = 8 t e 0,5t f (t) = (4 t) e 0,5t e f(t) = 0,03 t 3,5 t + t + 80 f (t) = 0,09 t 3 t + f f(x) = (x+) e x f (x) = x e x g h(t) = 0, e 0,t 0,9 h (t) = 0,0 e 0,t 0,9 h s(t) = 6 t3 + t + 6 t s (t) = t + t + 6 i f(x) = x e f (x) = ( 8x ) j T(t) = 0 + 80 e 0,0 t T (t) = 0,8 e 0,0 t k f(t) = 3 4 t3 9 t + 6t f (t) = 9 4 t3 9t + 6 l f(x) = e x (x 3) f (x) = e x (x +x 3) e m g(x) = x e x g (x) = e x (x+) n f a (t) = a ( e 0,5 t ) f a (t) = 0,5a e 0,5 t o g(x) = x 4 3,75x g (x) = 3 7,5x p h(x) = x 4 3x 4 h (x) = 3 6x q f(x) = x3 9 x f (x) = 3 x3 9 r s t t e 0 60 600 f(t) f(t) = 0,06 (0,5t 4 0,6t 3 + 0,t ) + 55 f(x) 3x e x f (x) = t 0 f '(t) e 00 f (t) = 0,06 (t 3,t + 0,t) x 3( x ) e. Achsenabschnitte. y Achsenabschnitt/Ordinatenabschnitt /Nullwert Regel: Berechne f(0), d.h. setze für die Variable 0 ein! Beispiel: f(x) = (x+4) e x schneidet die y Achse bei f(0) = ( 0+4) e 0 = 4 = 4 Anmerkung: Der y Achsenabschnitt gibt bei Anwendungsaufgaben den Wert zu Beginn an.
. Nullstellen Regel: Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung! (Vorgehen wird im nächsten Abschnitt Gleichungen lösen behandelt.) 3. Gleichungen lösen Berechnung von Null, Extrem, Wende und Schnittstellen führt auf die Lösung einer Gleichung. Der wichtigste Satz in diesem Zusammenhang: Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird; sonst nicht. e Beispiel: a) ( 8x ) = 0 8x z =0 (denn 0 und e >0) x = 0,5 x = ± 0,5 ±0,35 b) f(x)= 3x(x 4)(x+5)=0 x=0 v x= ± v x = 5. (Wer hier erst die Klammern auflöst, sieht kein Land mehr.) c) g (x) = 3 7,5x = 0 x( 7,5)=0 x=0 v x =,875 x=0 v x = ±,875 d) f (t) = 0,8 e 0,0 t = 0 hat keine Lösungen (IL = Ø ), da keiner der Faktoren Null werden kann. Anmerkung : Wenn Funktionen keine Null oder Extrem oder Wende oder Schnittstellen mit anderen Funktionen haben, besitzt die entsprechende Gleichung auch keine Lösung. Also keine Panik! Anmerkung : In den meisten Fällen liegt die Form Produkt = 0 nicht direkt vor, sondern muss erst durch Faktorisieren (meist durch Ausklammern) hergestellt werden. Beispiel: f(x)= x e f (x)= e +x e ( 8x) = e ( 8x ) = 0 x = ± 0,5 Merke! Wenn Funktionen der Form p(x) e z (mit der Produktregel) abgeleitet werden muss, lässt sich der e Term immer ausklammern. (Ganzrationale) Gleichungen. und 3. Grades ohne Parameter lassen sich auch mit dem TR lösen. Da aber auch die Diskussion einer ganzrationalen Funktionenschar gefordert sein kann, muss man die pq Formel beherrschen: x 3 6ax + 4a x = 0 x(x 3ax+a ) = 0 x = 0 v x =,5a ± x = a v x = a,5a a =,5a ±0,5a Exponentialgleichungen werden durch Logarithmieren gelöst, aber zuerst wird die Gleichung mit herkömmlichen Umformungen so vereinfacht, dass auf der einen Seite nur noch ein Term der Form e z steht und auf der anderen Seite keine Variable mehr. e z = c /ln z = ln(c) ( Logarithmengesetze)
. Beispiel:. Beispiel: t 0 f(t) e = 0 / + e 0,x = 6 e 0,5x /: 60 600 600 e 0,x = 3 e 0,5x /:e 0,5x >0 t 0 e / 60 e 0,7x = 3 /ln 60 600 0,7x = ln(3) t 0 x = ln(3):0,7,57 /ln e 0 0 t = ln( 0 ) / ( 0) t = ( 0) ln( 0 ) 46,05 oder: e 0,x = 3 e 0,5x /ln 0,x = ln(3) + ( 0,5x) (!) 0,7x = ln(3) x = ln(3):0,7,57 In den Beispielen wurden Potenz und Logarithmengesetze angewendet. Potenzgesetze: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Exponenten addiert (subtrahiert). a b a c = a b+c ; a b : a c = a b c b a ; c a = ab c b Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert: c b c a a Ein Produkt wird potenziert, indem man die Faktoren einzeln potenziert: (a b) c = a c b c Den Potenzgesetzen entsprechen Logarithmengesetze: a ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a:b) = ln b = ln(a) ln(b) ln(ab )=b ln(a) Biquadratische Gleichungen kann man durch die Substitution z = x auf eine quadratische Gleichung zurückführen. x 4 + 3,75x + = 0 z + 3,75 z + =0 z 3,75z =0 z =,875 ±,875 z=4 v z= 0,5 x = 4 v x = 0,5 x= v x = Häufige Fehler: Es wird nicht faktorisiert. Es wird bei x = die negative Lösung vergessen. Es wird zu früh logarithmiert (bevor die einfachen Umformungen gemacht worden sind). Weitere Beispiele zur Nullstellenberechnung siehe nächste Sete
Nullstellen der Ableitung von Abiturfunktionen. Ableitung f (x) f (x)=0 [f (t)=0] a f (t) = (0,04 0,00t) t e 0,t t (0,04 0,00t)=0 t=0 v t = 0 b f (t) = 3t 48t + 44 t=4 v t= (TR (3; 48; 44)) c f (x) = 4 7 x3 + 4 3 x x( 4 7 x + 4 3 )=0 x=0 v x = ± 3 d f (t) = (4 t) e 0,5t 4 t=0 t=4 e f (t) = 0,09 t 3 t + t=3 3 v t= 0 (TR: (0,09; 3; )) f f (x) = x e x x=0 x=0 g h (t) = 0,0 e 0,t 0,9 h (t)>0 für alle t h s (t) = t + t + t4,08 v t= 0,08 (TR: (0,09; 3; 6 )) i f (x) = ( 8x ) e 8x =0 x =0,5 x = ± 0,5 j T (t) = 0,8 e 0,0 t T (t)<0 für alle t k f (t) = 9 4 t3 9t + 6 t,7 v t,48 v t 0,79 (TR (,5;0; 9;6)) l f (x) = e x (x +x 3) x +x 3=0 x= v x= 3 m g (x) = e x (x+) x+=0 x= n f a (t) = 0,5a e 0,5 t f a (t) 0 (falls a 0) o g (x) = 3 7,5x x( 7,5)=0 x= v x ±,37 p h (x) = 3 6x x( 6)=0 x=0 v x ±, q f (x) = 3 x3 9 x= 3 3,44 t r f '(t) e 0 f (t)>0 für alle t 00 s f (t) = 0,06 (t 3,t + 0,t) t=0 v t 3,94 v t 7,6 t f (x) = 3( x ) e x x =0 x±0,7
4. Extremwerte Notwendige Bedingung: f (x)=0 (An den Lösungen der Gleichung ist die Steigung Null, d. h. die Funktion hat dort eine waagerechte Tangente und demnach einen Hoch, Tief oder Sattelpunkt.) Hinreichende Bedingung. Möglichkeit: f (x)=0 f (x)< 0 lokales Maximum; f (x)=0 f (x)> 0 lokales Minimum Achtung! [ f (x)=0 f (x)= 0 keine Aussage möglich!!!. Möglichkeit]. Möglichkeit: Vorzeichenwechsel (VZW) von f von + nach lokales Maximum Vorzeichenwechsel von f von nach + lokales Minimum kein Vorzeichenwechsel von f kein Extremum, Sattelpunkt Vergleich der beiden Möglichkeiten Die. Möglichkeit ist umfassender, es ist immer eine Aussage möglich. Bei komplizierteren Funktionen spart man zudem eine Ableitung. Die. Möglichkeit ist bei ganzrationalen Funktionen i. A. besser, da die Ableitungen leicht sind. Der Vorzeichenwechsel ist insbesondere bei Funktionsscharen etwas komplizierter. Es müssen beide Verfahren beherrscht werden, auch weil sie durch die Aufgabenstellung erzwungen werden können. (Z. B.: Ermittle ohne Benutzung der. Ableitung die Extremwerte!) Beispiel: f(t) = 0,0t e 0,t ; f (t) = (0,04 0,00t) t e 0,t ; t (0,04 0,00t)=0 t=0 v t = 0 Untersuchung mit. Ableitung: f t (t) = (0,000t 0,008t + 0,04) e 0,t ; f t (0)=0,04>0 lokales Minimum f t (0)= 0,005 < 0 lokales Maximum Untersuchung auf Vorzeichenwechsel von f t 0 0 f (t) -0,05 0 0,03 0 0,005 + Ergebnis in beiden Fällen: lokaler Tiefpunkt bei T(0 f(0)=0) und lokales Maximum bei H(0 f(0)6,55 Absolute Extremwerte Der Graph der auf [0; 5,5] definierten Funktion f hat offenbar ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. Der absolut höchste und der absolut niedrigste Wert ist aber am Rand des Definitionsbereiches bei x=5,5 bzw. x=0. (Wenn der Graph die Wirkstoffkonzentration eines Medikamentes wiedergibt, dann ist die Konzentration zu Beginn am niedrigsten, am Ende am höchsten.) Wird nicht ausdrücklich nach der Berechnung eines relativen Extremums verlangt, muss man auch die Randwerte berechnen. Beispiel: f(x) = x 3 5x + + 5; 0 x 6 hat ei lokales Maximum in H( 36) und ein lokales Minimum in T(4 9). Die Randwerte sind R (0 f(0)=5) und R (6 f(6)=6). Damit liegt das absolute Maximum bei R (6 6) und das absolute Minimum bei T(4 9).
5. Wendepunkte Im Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung oder umgekehrt. Im Wendepunkt ist lokal die Steigung am größten oder am kleinsten. Beispiel: Der Graph oben hat etwa bei x=,5 einen Wendepunkt mit Rechts Linkskrümmung, das Gefälle ist dort lokal am größten. Berechnung von Wendepunkten: Um Wendepunkte zu berechnen ermittelt man die Extremwerte der. Ableitung, also die Extremwerte der Steigung von f. Das Verfahren ist also nur eine Ableitung mehr : Notwendige Bedingung: f (x)=0 Hinreichende Bedingung. Möglichkeit: f (x)=0 f (x) 0 Wendepunkt Achtung! [ f (x)=0 f (x) = 0 keine Aussage möglich!!!. Möglichkeit]. Möglichkeit: Vorzeichenwechsel (VZW) von f Wendepunkt kein Vorzeichenwechsel von f kein Wendepunkt Beispiel: g(x) = x 4 3,75x ; g (x) = g (x) = 3 7,5x; g (x)= x 7,5 g (x) = 0 x = ± 0,65 g (x)= ; g ( 0,65 ) 9 0 Wendepunkt; g ( 0,65 ) 9 0 Wendepunkt oder x 0,65 0 0,65 g (x) 4,5 0 7,5 0 4,5 + + g hat zwei Wendepunkte bei W ( 0,65 0,79 g( 0,65,95) und W ( 0,65 0,79 g( 0,65,95) Wendepunkte werden häufig im Sachzusammenhang erfragt. Beispiel: f gibt die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit an Bestimmen Sie rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst! 6. Tangenten und Normalen einer Funktion f an der Stelle x 0. Tangenten und Normalen sind einfache Steckbriefaufgaben mit dem Ansatz y = mx + n. Man nutzt aus, dass m= f (x 0 ) ist (Tangente) bzw. m = ist (Normale) f '(x ) und dass der Punkt P(x 0 f(x 0 ) gegeben ist. Beispiel: Tangente zu f(x) = e x +4 bei x 0 = ; t(x)=y=mx+n; f (x) = e x ; P( f()=e+4); m = f ()=e; P( e+4) t e +n = e+4 n = 4 t(x) = e x + 4 5,4+4 Normale zu f(x) = e x +4 bei x 0 = ; m = = f '() e P( e+4) t +n = e+4 n = + e + 4 9,6 e e n(x) 0,8x+9,6 0