Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2015/16 Stefan Etschberger Hochschule Augsburg
Grundlagentest Polynome!
Testfrage: Polynome 1 Die Summe der Lösungen der Gleichung beträgt: x 6 2x 5 15x 4 = 0
Testfrage: Polynome 1 Die Summe der Lösungen der Gleichung beträgt: x 6 2x 5 15x 4 = 0 A 2 B 3 C 8 D 0 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.
Testfrage: Polynome 1 Die Summe der Lösungen der Gleichung beträgt: x 6 2x 5 15x 4 = 0 A 2 B 3 C 8 D 0 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: A
Testfrage: Polynome 2 Die Polynomdivision ergibt: (x 5 3x 3 + 2x 2 + 2x 2) : (x 1)
Testfrage: Polynome 2 Die Polynomdivision ergibt: (x 5 3x 3 + 2x 2 + 2x 2) : (x 1) A x 4 3x 2 + 2x 3 B x 4 3x 2 + 2x C x 4 + x 3 2x 2 + 2 D 4x 4 + 9x 3 4x 2 + 2 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.
Testfrage: Polynome 2 Die Polynomdivision ergibt: (x 5 3x 3 + 2x 2 + 2x 2) : (x 1) A x 4 3x 2 + 2x 3 B x 4 3x 2 + 2x C x 4 + x 3 2x 2 + 2 D 4x 4 + 9x 3 4x 2 + 2 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: C
Testfrage: Polynome 3 Eine Nullstelle der Gleichung x 3 5x 2 29x + 105 = 0 ist x 1 = 3. Die Summe aller drei Nullstellen ist:
Testfrage: Polynome 3 Eine Nullstelle der Gleichung x 3 5x 2 29x + 105 = 0 ist x 1 = 3. Die Summe aller drei Nullstellen ist: A 2 B 8 C 5 D 3 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis.
Testfrage: Polynome 3 Eine Nullstelle der Gleichung x 3 5x 2 29x + 105 = 0 ist x 1 = 3. Die Summe aller drei Nullstellen ist: A 2 B 8 C 5 D 3 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: C
Testauswertung: Ihr Ergebnis: Übungsmaterial Aufgaben 7.1-7.7 aus 3 Antworten richtig: Mit Polynomen geht alles klar! 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 7.6 und 7.7! Nur 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben 7.3-7.7! Keine Antwort richtig: Sie sollten unbedingt die Aufgaben 7.1-7.7 rechnen! http://goo.gl/qhwn7x
Definition und Eigenschaften Mathematik Stefan Etschberger Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N 0 R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1),... oder a 0, a 1,... Schreibweise für Folge: (a n) n N0 oder (a n) Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: a n = 1 n+1 Leonardo von Pisa (ca. 1180-1250) rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a 0 = 0; a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n > 1 (Fibonacci-Folge) Spezielle Folgen Arithmetische Folge: (a n) : a n+1 a n = d n N 0 mit d R a Geometrische Folge: (a n) : n+1 = q n N a n 0 mit q R 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 69
Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel Mathematik Stefan Etschberger Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn 1. Feld : a 0 = 1 Korn 2. Feld : a 1 = 2 Körner 3. Feld : a 2 = 4 Körner 4. Feld : a 3 = 8 Körner. n. Feld : a n 1 = 2 a n 2 Körner 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 70
Konvergenz und Grenzwert Mathematik Stefan Etschberger Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert? Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern? Definition: a R heißt Grenzwert oder Limes von (a n ) ɛ > 0 n(ɛ) mit a n a < ɛ n > n(ɛ) Schreibweise für Grenzwert: lim a n = a n Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 71
Beispiel zur Definition des Grenzwerts Mathematik Stefan Etschberger Gegeben: a n = n n+1 Vermutung: lim a n = a = 1 n Beweis: Wenn a = 1, dann folgt a n a = n n+1 1 < ɛ n n 1 n+1 = 1 n+1 < ɛ 1 ɛ < n + 1 1 ɛ 1 < n Also: Für jedes ɛ findet man ein n(ɛ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ɛ = 0,01 n > 1 ɛ 1 = 1 0,01 1 = 100 1 = 99 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 72
Rechenregeln für Grenzwerte Mathematik Stefan Etschberger Gegeben: lim (a n) = a und lim (b n) = b n n kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n) a c (a n > 0, a > 0, c R) (c an ) c a (c > 0) 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 73
Testfrage: Folge Euler ( e n = 1 + 1 ) n lim n n en = e Damit ergibt sich: Der Grenzwert lim n g n der Folge ( g n = 1 + 1 ) 2n n (Eulersche Zahl) A B C D E ist e, da die Folge den gleichen Grenzwert wie (e n) und (e n ) haben muss. ist 2e. Der Grund ist das Logarithmusgesetz. ist e 2. Der Grund ist das Potenzgesetz. ist eine andere reelle Zahl, als die obigen, die man noch bestimmen muss. ist unendlich. Die Folge divergiert, weil 2n sehr viel schneller wächst als n
Testfrage: Folge Euler ( e n = 1 + 1 ) n lim n n en = e Damit ergibt sich: Der Grenzwert lim n g n der Folge ( g n = 1 + 1 ) 2n n (Eulersche Zahl) A B C D E ist e, da die Folge den gleichen Grenzwert wie (e n) und (e n ) haben muss. ist 2e. Der Grund ist das Logarithmusgesetz. ist e 2. Der Grund ist das Potenzgesetz. ist eine andere reelle Zahl, als die obigen, die man noch bestimmen muss. ist unendlich. Die Folge divergiert, weil 2n sehr viel schneller wächst als n Richtig: C
Definition der Reihe Mathematik Stefan Etschberger Gegeben: (a n) unendliche Folge in R Dann heißt (s n) mit eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme s n = a 0 + a 1 +... + a n = Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen Beispiel: n a i n N 0 i=0 (a n) geometrische Folge (s n) geometrische Reihe n a n+1 s n = a i ; mit = q a i=0 n Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q 2 +... + q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 74
Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Mathematik Stefan Etschberger Summe aller Körner auf Schachbrett: 63 1 q 64 s n = a i = a 0 1 q = 1 1 264 1,84467 1019 1 2 i=0 Das bedeutet: 100 Körner = 1 g Weizen 1,8 10 17 g 1,8 10 14 kg 1,8 10 11 t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 75
Konvergenzkriterien für Reihen Mathematik Stefan Etschberger n Gegeben: a i Folge, s n = a i i=1 Divergenzkriterium Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: a i ist keine Nullfolge s n divergent 1. Grundlegende Bausteine 2. Grundlegende Werkzeuge Quotientenkriterium lim k lim k a k+1 a k a k+1 a k < 1 sn konvergent > 1 sn divergent 3. Lineare Algebra 4. Lineare Programme 5. Folgen und Reihen 5.1. Eigenschaften und Beispiele 5.2. Konvergenz und Grenzwert 5.3. Reihen 6. Finanzmathematik Bemerkung: Für lim a k+1 k a = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich k Spezialfall geometrische Reihe: a k+1 = q lim a k k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 7. Reelle Funktionen 8. Differenzieren 1 9. Differenzieren 2 10. Integration 76