Wachsumsprozesse Kapiel : Exponenielles Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum 1.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden im Beispiel 2 auch fas die gleiche Angabe wie in Beispiel 1 - lediglich eine kleine aber WICHTIGE Abänderung wird vorgenommen. Beispiel 2 (exponenielles Wachsum) In einer kleinen Gemeinde wächs die Bevölkerung sei konsan um durchschnilich 1.8% pro Jahr. waren es 880 Einwohner. 1. Sellen Sie ein Modell auf, das die Einwohnerzahl P im Jahr j von der Einwohnerzahl im Jahr davor angib. 2. Geben Sie eine Funkion y() zur Ermilung der Einwohnerzahl für ein beliebiges Jahr an 3. Wie viele Einwohner wird die Gemeinde im Jahr 2015 bei Annahme eines gleich bleibenden Wachsums haben? 4. Wann wird / wurde die 1000 Einwohner-Grenze überschrien? 5. Besimmen Sie die Wachsumsrae α() 6. Sellen Sie die Wachsumsfunkion y() und die Wachsumsrae α() in einem geeigneen Diagramm graphisch dar (Fenser angeben) Lösung Frage 1 Sellen Sie ein Modell auf, das die Einwohnerzahl P im Jahr j von der Einwohnerzahl im Jahr davor angib. Wir geben zunächs die Daen der Angabe und die verwendeen Variablen an: j is die Jahreszahl (ab bis maximal 2015) ORIGIN : P j beschreib die Einwohnerzahl im Jahr j P : 880 Einwohnerzahl im Jahr (Sargröße) p : 1.8% milerer jährlicher prozenueller (relaiver) Einwohnerzuwachs P : P + pp 895.84 1997 P : P + pp 911.96512 1998 1997 1997 1 von 5
oder allgemein für j : 1997.. 2005 P : P + pp oder P : P ( 1 + p) j j 1 j 1 j ( j 1) P T 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 880 896 912 928 945 962 979 997... Lösung Frage 2 Geben Sie eine Funkion P() zur Ermilung der Einwohnerzahl für ein beliebiges Jahr an Wie schon am Ergebnis von Frage 1 zu erkennen is, müsen wir zum Sarwer P : 880 d addieren, um P 1997 zu erhalen und 2d addieren, um P 1998 zu erhalen usw. Daher gil P : P ( 1 + p) j oder wenn wir j durch die Zei ersezen (die Zei gil nun j auch für Brucheile eines ganzen Jahres) :.. 2015 : P ( 1 + p) Lösung Frage 3 Wie viele Einwohner wird die Gemeinde im Jahr 2015 bei Annahme eines gleich bleibenden Wachsums haben? Wir sezen in die Wachsumsfunkion y() das Jahr 2015 ein: : 2015 P ( 1 + p) 1235.0668188253806261 y( 2015) 1235 Lösung Frage 4 Wann wird / wurde die 1000 Einwohner-Grenze überschrien? Wir wissen: y() soll gleich 1000 sein / bzw. es soll 1000 überschrien werden! : wird auf Variablensaus zurück gesez, da wir in dieser Frage ja berechnen wollen 1000 P ( 1 + p) Diese Exponenial-Gleichung is nach aufzulösen 1000 880 1.018 ( ) log 1000 880 ( ) log( 1.018) log 1000 880 : + 2003 log( 1.018) Die Anwor is also: die 1000-Einwohner-Grenze wurde im Jahr 2003 erreich! 2 von 5
Lösung Frage 5 Besimmen Sie die Wachsumsrae α() y( ) : 880 1.018 ( ) : y ( ) ln( 1.018) daher is α() : 0.017839918128331000198 Die Wachsumsrae is also konsan! Lösung Frage 6 Sellen Sie die Wachsumsfunkion y() und die Wachsumsrae α() geeigneen Diagramm graphisch dar (Fenser angeben) min : max : 2015 δ : 0.01 in einem : min, min + δ.. max Zeichenbereich für die Zei y min : 850 y max : 1250 Zeichenbereich für die Wachsumsfunkion α min : 0.015 α max : 0.020 Zeichenbereich für die Wachsumsrae 1250 Wachsumsfunkion 1200 1150 Einwohnerzahl 1100 1050 1000 950 900 850 2000 2005 2010 2015 Zei in Jahren 3 von 5
Wir sellen fes, dass die Wachsumsfunkion y() nur unwesenlich von einer linearen Funkion abweich. Wir schließen daraus. dass für kleine relaive Änderungen (also für kleine p) das Modell des exponeniellen Wachsums ers für große Zeiräume wesenlich vom linearen Modell abweich! relaive Änderung der Einwohnerzahl 0.02 0.019 0.018 0.017 0.016 0.015 Wachsumsrae 2000 2005 2010 2015 Zei in Jahren Kurze Zusammenfassung Die wesenlichen Eigenschafen des exponeniellen Wachsums sind: das Wachsum - Zunahme oder Abnahme - erfolg in der Form: gleiche relaive Zu-/Abnahme in gleichen Zeiabsänden Das Verhälnis von zwei beliebigen, aber zeilich aufeinander folgenden Weren der "wachsenden" Größe y is immer konsan die Wachsumsfunkion is eine Exponenial-Funkion vom Typ A ( 1+ p) Ae λ die Wachsumsrae is eine Konsane vom Typ α() λ. Diese Konsane λ heiß auch Wachsumskonsane. Manchmal wird sa dieser Wachsumskonsane die 1 "charakerisische Zei" τ verwende. Bei Abnahmeprozessen laue die λ Wachsumsfunkion dann allerdings A ( 1 p) Ae λ 4 von 5
Übungsaufgaben Ü4 aus WIKIPEDIA:...Nach Berechnung der Deuschen Sifung Welbevölkerung (DSW) leben bereis Ende Februar 2007 ersmals 6,6 Milliarden Menschen auf der Erde....Gegenwärig seig die Zahl der Erdenbürger in jeder Sekunde um 2,4 und jeden Tag um ewa 213.000....Sei Ende der 80er-Jahre nimm das Welbevölkerungswachsum in absoluen Zahlen ab; von damals 87 Millionen auf 78 Millionen im Jahr 2007. Bereis sei Ende der 60er-Jahre nimm das Wachsum prozenual ab; von damals 2,1 % auf 1,2 % im Jahr 2006. Ennehmen Sie dem Ausschni von WIKIPEDIA die Daen, die nöig sind, um die folgenden Fragen zu beanworen: Ermieln Sie ein exponenielles Modell für die Abnahme des Wachsums der Welbevölkerung und ermieln Sie daraus, um wie viele Personen pro Tag / pro Sekunde die Welbevölkerung im Jahr 2010 seigen wird Sellen Sie die Welbevölkerungsenwicklung auf der Basis eines exponeniellen Modelles bis zum Jahr 2025 graphisch dar Ü5 Bei einem Medikamen sind 50 mg Wirksoff je Tablee enhalen. Durch den Soffwechsel werden ab der Einnahme der Tablee 20% des Wirksoffes je Sunde abgebau. Für die Wirksamkei des Medikamens sind aber mindesens 15 mg Wirksoff im Körper nowendig. 1. Beseimmen Sie die Wachsumsfunkion und sellen Sie diese graphisch dar. 2. Nach welcher Zei verlier das Medikamen seine Wirkung? 3. Wie viel Wirksoff in mg soll das Medikamen enhalen dami bei einer Dauermedikaion (3mal äglich im Absand von genau 6 Sunden) volle Dauerwirkung des Medikamenes erreich werden soll 4. Sellen Sie graphisch die Wirksoffmenge im Körper dar, wenn eine Tablee 50mg enhäl und je eine Tablee um 8.00 Uhr, um 13.00 Uhr und um 18.00 Uhr eingenommen werden (berachee Zeispanne von 8.00 bis 24.00 Uhr) 5 von 5