Kapitel 3 Reihen, Potenzreihen und elementare Funktionen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 160 / 543
Inhalt Inhalt 3 Reihen Absolute Konvergenz Potenzreihen Elementare Funktionen Anwendung: Herleitung expliziter Folgen Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 161 / 543
Reihe als Folge der Partialsummen 3.1 Es sei (a k ) eine Folge in K und für n 2 N sei S n := a k. Die Folge (S n ) n2n heißt Reihe und S n ist die n-te Partialsumme der Reihe. Wir schreiben für die Folge (S n ) n2n,unabhängig davon, ob die Folge konvergiert oder nicht. k=1 a n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 162 / 543
Konvergenz von Reihen 3.2 Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge (S n ) n2n der Partialsummen konvergiert. Andernfalls heißt die Reihe divergent. Wenn die Reihe konvergent ist, dann wird auch der Grenzwert der Reihe mit P 1 P a n bezeichnet. Ist die Reihe divergent, wird dem Symbol 1 a n keine Zahl zugeordnet. a n Das Symbol P 1 a n kann also eine Doppelbedeutung haben. Es bezeichnet immer die Folge der Partialsummen, im Konvergenzfall zusätzlich auch den Grenzwert der Folge der Partialsummen. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 163 / 543
Nullfolge ist notwendig für Konvergenz einer Reihe Lemma 3.3 Wenn die Reihe P 1 a n konvergent ist, dann ist die Folge (a n ) eine Nullfolge. Beweis. a n ist konvergent ) (S n ) ist konvergent Sei >0 beliebig. ) (S n ) ist Cauchy-Folge ) 8 >09n 0 2 N8n, m n 0 : S m S n <. a n = S n S n 1 < für alle n n 0 +1. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 164 / 543
Geometrische Reihe Es sei q 2 C. DieReihe q n =1+q + q 2 + q 3 + n=0 heißt geometrische Reihe. Für q 1ist(q n ) n2n keine Nullfolge, die geometrische Reihe also divergent. Für q < 1 gilt jedoch Daraus folgt für q < 1 S n = k=0 q k = 1 qn+1 1 q. k=0 q k = lim n!1 S n = 1 1 q. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 165 / 543
Harmonische Reihe Die Reihe heißt harmonische Reihe. Diese Reihe ist divergent, obwohl ( 1 n )eine Nullfolge ist. Für den Beweis der Divergenz zeigen wir, dass (S n ) keine Cauchy-Folge ist. Für alle n 2 N gilt 1 n S 2n S n = 2 k=n+1 1 k n 1 2n = 1 2. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 166 / 543
Und noch ein Beispiel Wir untersuchen die Reihe 1 n 2. Wegen 1 > 0für alle n 2 N ist die Folge (S n 2 n ) monoton wachsend. Die Folge (S n )istaberauchbeschränkt, denn 0 apple k=1 1 k 2 = 1+ = 1+ 1 k 2 < 1+ 1 k(k 1) k=2 1 1 =1+1 k 1 k k=2 k=2 1 n < 2. Also ist (S n ) monoton wachsend und beschränkt und damit konvergent. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 167 / 543
Teleskopsumme und -reihe Für eine Folge (a n )ist (a k a k+1 ) k=1 eine Teleskopsumme. Solche Summen lassen sich leicht auswerten: (a k a k+1 )=(a 1 a 2 )+(a 2 a 3 )+ +(a n a n+1 )=a 1 a n+1. k=1 Eine Reihe, deren Partialsummen Teleskopsummen sind, heißt Teleskopreihe. Eine Teleskopreihe (a n a n+1 ) ist genau dann konvergent, wenn (a n ) konvergent ist (mit Grenzwert a). Der Grenzwert der Teleskopreihe ist dann a 1 a. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 168 / 543
Linearkombination konvergenter Reihen Lemma 3.4 Wenn a n konvergente Reihen in K sind und und b n, µ 2 K ist, dann ist auch die Reihe ( a n + µb n ) konvergent und es gilt ( a n + µb n )= a n + µ b n. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 169 / 543
Beweis. Folgt durch Anwendung der Grenzwertregeln für Folgen auf die Folgen der Partialsummen. S n := ( a k + µb k ), T n := k=1 a k, U n := k=1 b k. k=1 Damit folgt ( a n + µb n ) = lim n!1 S n = lim ( T n + µu n ) n!1 = lim T n + µ lim n!1 = a n + µ b n. n!1 U n Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 170 / 543
Beispiel 3.5 Die Reihe 3 n=0 Reihen 1 n +2 4 1 n 3 ist konvergent, denn für die Partialsummen gilt 1 k 1 k S n := 3 +2 4 3 k=0 1 k 1 k = 3 +2 4 3 k=0 k=0 {z } {z }! 1 1 1! 1 4 1 1 3 Also 3 n=0 1 n +2 4 1 n =3 4 3 3 +2 3 2 =7. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 171 / 543
Leibniz-Kriterium Satz 3.6 Wenn (a n ) eine monotone Nullfolge in R ist, dann konvergiert die Reihe Beispiel 3.7 ( 1) n a n. Die alternierende harmonische Reihe ( 1) n 1 n ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent, denn 1 n ist eine monoton fallende Nullfolge. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 172 / 543
Beweis des Leibnizkriteriums. Reihen O.B.d.A. sei (a n ) monoton fallend. Da (a n ) außerdem eine Nullfolge ist, folgt a n 0für alle n 2 N. Wieüblich sei S n := ( 1) k a k. k=1 Wir werden zeigen, dass die Teilfolgen (S 2n )und(s 2n+1 ) konvergent sind und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Weil (a n ) monoton fallend ist, folgt S 2n+2 S 2n = a 2n+2 a 2n+1 apple 0 und S 2n+3 S 2n+1 = a 2n+3 + a 2n+2 0 Damit ist die Teilfolge (S 2n ) monoton fallend und (S 2n+1 ) monoton steigend. Weiterhin gilt S 2n+1 S 2n = a 2n+1 apple 0. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 173 / 543
Fortsetzung Beweis. Damit folgt S 2 S 2n S 2n+1 S 1. Somit sind beide Folgen auch beschränkt und damit konvergent. Es sei Damit folgt Also gilt s = s 0. s := lim n!1 S 2n und s 0 := lim n!1 S 2n+1. s s 0 = lim 2n n!1 lim = lim 2n n!1 S 2n+1 ) = lim 2n+1 =0. n!1 n!1 S 2n+1 Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 174 / 543
Fortsetzung Beweis. Wir müssen jetzt noch zeigen, dass aus der Konvergenz von (S 2n )und (S 2n+1 ) gegen den gleichen Grenzwert auch die Konvergenz von (S n ) folgt. Es sei >0 beliebig. Aus der Konvergenz von (S 2n )und(s 2n+1 ) gegen s folgt die Existenz von n 1, n 2 2 N mit 8n n 1 : S 2n s < 8n n 2 : S 2n+1 s <. Da jedes n 2 N entweder in der Folge (2n) oder in der Folge (2n + 1) enthalten ist, folgt für alle n n 0 := max{2n 1, 2n 2 +1}, dass S n s < gilt. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 175 / 543