7 Laplace-Tranformation In dieem Kapitel wird die Laplace-Tranformation eingeführt, eine der wichtigten Tranformationen in der linearen Sytemtheorie. Eine Verwendung olcher Tranformationen it, eine mathematiche Operation in eine andere zu überführen, welche ich zur Löung eine gegebenen Problem beer eignet. Ein Beipiel für eine olche Tranformation it die Logarithmufunktion, welche beim Bodediagramm Anwendung findet. So können Amplitudengänge in db einfach addiert werden, während in nicht logarithmicher Form eine Multiplikation durchgeführt werden müte 6. Die Laplace-Tranformation bietet zur Bechreibung von LTI-Sytemen entcheidende Vorteile. So können diee antelle von DGL mit Hilfe einfacher algebraicher Gleichungen bechrieben und behandelt werden. Wird im Laplace-Bereich gearbeitet, tritt antelle der Zeitvariable t die Laplace-Tranformationvariable. E erfordert alo eine Tranformation vom Zeitbereich in den Laplace-Bereich. Um chluendlich eine Auage rep. Sytemantwort im Zeitbereich zu erhalten, mu die Löung wieder in den Zeitbereich tranformiert werden. Dieer Vorgang wird die invere Laplace-Tranformation genannt. Nachfolgend werden verchiedene Angaben über die Eigenchaften der Laplace-Tranformation gemacht, welche jedoch teil nicht volltändig bewieen werden, da nicht die Beweiführung ondern die Anwendung im Vordergrund teht. In Kapitel 7.7 (Beipiele zur Laplace-Tranformation) tehen einige Beipiele zur Theorie zur Verfügung, auf welche an geeigneten Stellen verwieen wird. 7. Definition der Laplace-Tranformation Die zweieitige (bilateral) Laplace-Tranformation einer zeitabhängigen Funktion f(t) berechnet ich nach L b [f(t) = F b () = f(t) e t dt, (27) wobei L b [ die Laplace-Tranformation und die Laplace-Tranformationvariable bezeichnet. Letztere it komplex und mit dem Realanteil σ und dem Imaginäranteil ω nach = σ + jω (28) definiert. Der Subkript b in Gleichung 27 gibt an, da e ich um die zweieitige (bilateral) Tranformation handelt. Gilt für da zu tranformierende Signal f(t) = t <, o folgt L [f(t) = F () = f(t) e t dt, f(t) = t<. (29) Gleichung 29 wird al die eineitige (unilateral) Laplace-Tranformation, oder einfach al Laplace-Tranformation bezeichnet. In dieem Falle it Gleichung 29 ein Speziallfall 6 Vgl. dazu auch Kapitel 2.4.2 (Bodediagramm) Verion Dezember 28-79 -
von Gleichung 27. In der Praxi wird der eineitigen Laplace-Tranformation jedoch die gröere Bedeutung beigemeen, da die Bedingung f(t) = t < bei geeigneter Wahl de Startpunkte von t praktich immer erfüllt wird, wehalb in der Literatur oft direkt Gleichung 29 al Definition zu finden it. Die invere Laplace-Tranformation it für beide Definitionen identich und it definiert al f(t) =L [F () = 2πj c+j c j F () e t d, (22) wobei L [ die invere Laplace-Tranformation bezeichnet. Gleichung 22 heit auch komplexe Umkehrintegral (complex inverion integral). Wie auffällt wird der Subkript b bei der Rücktranformation weggelaen, da keine Untercheidung notwendig it. Die Rücktranformation der eineitigen Laplace-Tranformation ergibt alo da Signal f(t) für den geamten Zeitbereich, it aber u.u. für t < nicht definiert. Der Koeffizient c wird am Ende diee Kapitel erläutert. Die Gleichungen 29 und 22 werden zuammen al da Laplace-Tranformationpaar (Laplace-tranform pair), Gleichungen 27 und 22 al da zweieitige Laplace-Tranformationpaar (bilateral Laplace-tranform pair) bezeichnet. It eine Funktion f(t) Laplace-tranformierbar, d.h. eine Löung von Gleichung 29 exitiert, o wird diee mit F () bezeichnet. Da Berechnen der inveren Tranformation mit F () führt wiederum zu f(t). Dieer Zuammenhang wird mit angegeben. f(t) L F () (22) Exitenz der Laplace-Tranformation Damit die eineitige Laplace-Tranformation exitiert, mu die zu tranformierende Funktion f(t) Originalfunktion ein. f(t) heit Originalfunktion, fall a) f definiert it für <t<, b) f,f tetig ind, bi auf endliche viele Sprungtellen in jedem endlichen Intervall (in der Praxi immer erfüllt, theoretich notwendig), c) f(t) = it für t< (in der Praxi keine Einchränkung) und d) f von exponentiellem Wachtum it. Eine Funktion it von exponentiellem Wachtum, fall M,σ R exitieren, mit welchen die Bedingung f(t) Me σt für t, (222) Verion Dezember 28-8 -
erfüllt wird. It Gleichung 222 erfüllt, o gilt natürlich auch f(t) <Me σt, σ σ. (223) Da kleinte σ, welche Gleichung 222 erfüllt, heit Wachtumkoeffizient σ. Betrachtet man die Definition der Laplace-Tranformation, it ofort erichtlich woher die Forderung nach dem exponentiellem Wachtum kommt. Die Laplace-Tranformation it nur für jene definiert, für welche da Integral L [f(t) = f(t) e t dt, f(t) = t<, (224) gelöt werden kann. Wird da Integral im Sinne einer Flächenfunktion interpretiert, heit da alo, da die Fläche unter f(t)e t endlich ein mu. Wird nun eine Exponentialfunktion f(t) =e at mit f(t) = t< tranformiert ergibt ich L [f(t) = e at e t dt = e (a )t dt = e(a )t, = [ lim a t e(a )t, = fall Re() a. a a (225) Die Laplace-Tranformation exiitert alo nur fall Re() a gilt. Bezogen auf den Gedanken der Fläche heit da bildlich geprochen, da die Funktion e t die Fläche der Funktion f(t) nur zu kompenieren vermag, wenn diee von exponentiellem Wachtum it. Der Parameter a, wie er in Gleichung 225 Verwendung findet, entpricht dem Wachtumkoeffizient σ beliebiger Funktionen. Vergleiche zum Thema Originalfunktion und Wachtumkoeffizient auch Beipiel 7. bi 7.4. Da bei der Tranformation die Einchränkung mit dem Wachtumkoeffizienten σ gilt, it bei der Rücktranformation dementprechend nur über den Wertebereich der Laplace- Tranformation zu integrieren, wehalb in Gleichung 22 in den Integrationgrenzen der Koeffizient c vorkommt, welcher ebenfall dem Wachtumkoeffizient σ entpricht. Meit findet zum Berechnen der inveren Laplace-Tranformation nicht da komplexe Umkehrintegral (Gleichung 22), ondern pezielle Tranformationtabellen Anwendung. Dementprechend wird dem Exitenzbereich im praktichen Gebrauch nur eine untergeordnete Rolle zugewieen. Man ollte ich jedoch der Exitenz eine olchen Exitenzbereiche bewut ein. Einige wichtige Tranformationpaare ind in Kapitel 7.8 (Laplace- Tranformation-Tabelle) aufgeführt. 7.2 Laplace-Tranformationen augewählter Funktionen In dieem Kapitel ollen einige elementare Tranformationpaare hergeleitet werden. Ein ergänzende Beipiel dazu it Beipiel 7.5. Verion Dezember 28-8 -
Exponentialfunktion Wie in Kapitel 7. (Definition der Laplace-Tranformation) gezeigt wurde, gilt e at L a, (226) d.h. e at und a ind ein Laplace-Tranformationpaar. Schrittfunktion Die Schrittfunktion ε(t) it Originalfunktion mit Wachtumkoeffizient σ =. Die Tranformation berechnet ich nach L [ε(t) = E gilt alo = e t = ε(t) e t dt = = e t dt,, [ lim t e t für Re() >σ =. (227) ε(t) L. (228) Dirac-Sto Die Tranformation der Dirac-Funtion δ(t t ) berechnet ich nach L [δ(t t ) = Alo gilt δ(t t ) e t dt = e t t=t = e t, t. (229) δ(t t ) L e t, (23) bzw. für t = δ(t) L. (23) Trigonometriche Funktionen Für die Tranformation von trigonometrichen Funktionen wird von der Eulerchen Form co(bt) = 2 ( e jbt + e jbt) (232) Verion Dezember 28-82 -
augegangen. Unter Einbezug der Linearität 7 und Gleichung 226 gilt L [co(bt) = ( [ L e jbt [ + L e jbt), 2 = ( 2 jb + ) (233) + jb + jb = + jb 2( jb)( + jb) = 2 + b 2. Für die Sinufunktion in(bt) = ( e jbt e jbt) (234) 2j folgt analog L [in(bt) = ( [ L e jbt [ L e jbt), 2j = ( 2j jb ) = + jb + jb + jb 2j( jb)( + jb) = (235) b 2 + b 2. Darau können die Tranformationpaare co(bt) L 2 + b 2 und in(bt) L b (236) 2 + b 2 abgeleen werden. Rampenfunktion Für die Rampenfunktion f(t) = t heit die Laplace-Tranformation Mit L [t = te t dt. (237) ue u du = e u (u ) + C und u = t (238) folgt darau te t dt = ( ) 2 ( t) e t d( t) = 2 e t ( t ) = 2. (239) Zur Auwertung de Integral an der oberen Grenze, findet die Regel von Bernoulli de L Hopital Anwendung. E gilt t L 2. (24) 7 Vgl. dazu Kapitel 7.3 (Eigenchaften der Laplace-Tranformation) Verion Dezember 28-83 -
7.3 Eigenchaften der Laplace-Tranformation Linearität Betrachte die Funktion f(t) =k f (t)+k 2 f 2 (t) mit den Kontanten k und k 2 und den Tranformationpaaren f k (t) L F k (), k =, 2 (24) Die Laplace-Tranformation von f(t) berechnet ich nach L [f(t) = L [k f (t)+k 2 f 2 (t), ( = k f (t)+k 2 f 2 (t) ) e t dt, = k f (t) e t dt +k 2 f 2 (t) e t dt, } {{ } } {{ } F () F 2 () = k F ()+k 2 F (). (242) Wie Gleichung 242 zeigt, it die Laplace-Tranformation L eine lineare Tranformation. Differentation Die Laplace-Tranformation der Ableitung einer zeitabhängigen Funktion f(t) mit Tranformationpaar f(t) L F (), (243) kann mit Hilfe partieller Integration og ug uv dt = uv og og ug ug u vdt (244) berechnet werden. Setze dazu u = f(t) und v = e t. (245) Verion Dezember 28-84 -
Darau folgt f(t) e t dt } {{ } F () = f(t) ( ) df (t) e t ( ) dt e t dt, = [ f() + df (t) e t dt, dt }{{ } F () = f() + [ df (t) L, dt [ df (t) L = F() f( + ). dt L[ df (t) dt (246) Ableitungen höherer Ordnungen können durch Subtitution und analogem Vorgehen zu jenem bei der erten Ordnung hergeleitet werden. Für Ableitungen 2. Ordnung ergibt ich alo [ d 2 [ f(t) df (t) L dt 2 = L, f = df dt dt, = L [f (t) f ( + ), (247) = (F () f( + )) f ( + ), = 2 F () f( + ) f ( + ). Für Ableitungen n-ter Ordnung folgt [ d n f(t) L dt n = n F () n f( + ) n 2 f () ( + ) f (n 2) ( + ) f (n ) ( + ), n = n F () n k f (k ) ( + ) k= (248) Integration Geucht ei die Laplace-Tranformation der Funktion g(t) g(t) = t f(τ) dτ, (249) in Abhängigkeit der Funktion f(t) rep. deren Tranformierte F (). E gilt [ t ( t ) L [g(t) = L f(τ) dτ = f(τ) dτ e t dt. (25) Verion Dezember 28-85 -
Mit partieller Integration og uv dt = uv und ug t og og ug ug u(t) = f(τ) dτ, v(t) = e t, u (t) =f(t), v (t) =e t, u vdt (25) (252) folgt ( t ) f(τ) dτ } {{ } u(t) ( t }{{} e t dt = f(τ) dτ v (t) ) e t t= f(t) e t dt, ( )( ) e t = f(τ) dτ f(τ) dτ }{{ t }}{{} + f(t) e t dt, = F (). e t t= (253) E ergibt ich da Tranformationpaar t f(τ) dτ L F (). (254) Multiplikation mit t Für die Berechnung von L [tf(t) = betrachte man mit F () =L [f(t) df () = d [ f(t) e t dt = d d Alo gilt tf(t) e t dt, (255) f(t) de t d dt = tf(t) e t dt. (256) tf(t) L df (). (257) d Verion Dezember 28-86 -
Zeitverchiebung und Zeitkalierung Die Zeitverchiebung und Zeitkalierung wird durch die Variablentranformation τ = at b (258) erreicht. Damit die Tranformation zuläig it, mu gelten a > undb. Die Zeit darf alo nicht umgekehrt werden und die Zeitverchiebung darf nur in Richtung gröerer Zeiten erfolgen. Um icher zu tellen, da Funktionwerte von f(t < ), welche per Definition gleich Null ein müen, korrekt verchoben werden, wird die zu tranformierende Funktion mit der Schrittfunktion ε(t) multipliziert. Darau folgt L [f(at b) ε(at b) = f(at b) ε(at b) e t dt. (259) Au der Subtitution τ = at b ergibt ich dt = a dτ, die untere Grenze de Integral wird zu b und die obere bleibt. Darau ergibt ich L [f(at b) ε(at b) = = b e b a a f(τ) ε(τ) e a (τ+b) a dτ, f(τ) e a τ dτ = e b a a F ( ). a (26) Alo heit da Tranformationpaar b ( ) f(at b) L e a a F. (26) a Verchiebung in der -Ebene Wird eine Funktion mit e at multipliziert, o folgt für deren Laplace-Tranformierte F () L [e at f(t) = e at f(t) e t dt = = F () +a = F ( + a). f(t) e (+a)t dt, Man pricht dabei von einer Verchiebung in der -Ebene. Da Tranformationpaar it (262) e at f(t) L F ( + a). (263) Startwert E ei der Startwert f( + ) einer Funktion f(t) definiert, al der Funktionwert von f(t) für t von der rechten Seite her, alo von t>. So kann dieer mit Hilfe der Laplace-Tranformierten F () = L [f(t) betimmt werden. Betrachte dazu [ df (t) df (t) L = e t dt = F () f( + ). (264) dt dt Verion Dezember 28-87 -
Dann gilt auch df (t) lim e t dt dt }{{} Darau folgt = lim [F () f( + ). (265) f( + ) = lim F (). (266) Endwert Analog zum Startwert, kann auch der Endwert lim t f(t) der Originalfunktion f(t) mit Hilfe der Laplace-Tranformierten F () = L [f(t) berechnet werden. Betrachet dazu [ df (t) lim L df (t) = lim e t df (t) dt = dt = lim [f(t) f( + ), (267) dt dt dt t und lim L Darau folgt lim t [ df (t) dt df (t) = lim e t dt = lim[f () f( + ). (268) dt f(t) = lim F (). (269) E it zu beachten, da der rechte Teil von Gleichung 269 unter Umtänden auch eine Löung liefert, auch wenn f(t) keinen definierten Endwert beitzt. E it alo bei Anwendung diee Zuammenhange zu prüfen, ob f(t) einen definierten Endwert hat. 7.4 Anwendung der Laplace-Tranformation Nachfolgend oll anhand eine konkreten Beipiel da Anwenden der Laplace-Tranformation gezeigt und einige Schlüe darau gezogen werden. Betrachte dazu den elektrichen Schaltkrei au Abbildung 7.. In dieen wird einen Schritt ε(t) mit der Gewichtung U eingepeit, d.h. die Spannung u(t) = Uε(t) ändert ich zum Zeitpunkt t = von V olt auf U V olt. Da Ziel der Rechnung it die Betimmung de zeitabhängigen Strom i(t) im Schaltkrei. Der Schaltkrei lät ich mit Uε(t) =u L (t)+u R (t), Uε(t) =L di(t) + Ri(t), t > dt (27) Verion Dezember 28-88 -
Abbildung 7.: RL-Glied bechreiben. Durch die Laplace-Tranformation folgt [ [ L Uε(t) = L L di(t) [ di(t) + Ri(t) = L L +R L [i(t), dt dt }{{}}{{} I() I() i( + ) U = L(I() i(+ )) + RI(). (27) Au der DGL folgt durch die Laplace-Tranformation alo eine algebraiche Gleichung. Da ich beim Schlieen de Schalter der Strom nicht chlagartig ändern kann, gilt i(t) = t = darau folgt i( + )=. (272) Nun kann die Gleichung 27 nach I() aufgelöt werden I() = U = LI()+RI(), U (L + R) = U L ( + R ). L (273) Die Rücktranformation erfolgt jetzt entweder über da komplexe Umkehrintegral, oder mit Hilfe von Tabellen, in denen elementare Tranformationpaare aufgeführt ind. Durch Partialbruchzerlegung I() = U L ( + R L ) = a + b + R, a = b, a= U R, (274) L folgt I() = U R U R + R L. (275) Verion Dezember 28-89 -
Dadurch berechnet ich die Rücktranformation nach i(t) =L [I() = U [ R L U [ R L + }{{} R, L }{{} ε(t) e R L t = U ( ε(t) e R t) L, R = U ( e R t) L, für t>. R (276) Erkenntnie au dem Beipiel: Die DGL mit kontanen Koeffizienten wird in eine algebraiche Gleichung im Laplace- Bereich tranformiert. Au der algebraichen Gleichung entteht durch Umformung eine Gleichung für die Laplace-Tranformierte I() der geuchten Zeitfunktion i(t). E it i.a. am einfachten die Rücktranformation mit Hilfe von Tabellen vorzunehmen antatt da komplexe Umkehrintegral zu berechnen. Um tabellierte Tranformationpaare zu verwenden, mu vorher eine Partialbruchzerlegung von I() durchgeführt werden. E ergab ich direkt eine allgemeine Löung für i(t), e war keine partikuläre Löung nötig. 7.5 Laplace-Tranformation und LTI-Syteme 7.5. Übertragungfunktion In Kapitel 6 (Vergleich von Sytemeigenchaften im Zeit- und Frequenzbereich) wurde bereit die Übertragungfunktion für allg. DGL n-ter Ordnung n k= a k d k y(t) dt k = n k= b k d k u(t dt k, (277) berechnet. Bei zeitharmonicher Anregung folgte für den eingechwungenen Zutand die Übertragungfunktion n b k (jω) k G(jω)= k=. (278) n a k (jω) k k= Verion Dezember 28-9 -
Diee Ergebni lät ich mit Hilfe der Laplace-Tranformation für beliebige Signale verallgemeinern. Bei der Herleitung von Übertragungfunktionen werden Anfangbedingungen definitiongemä ignoriert, wodurch au Gleichung 277 und der Ableitungregel (Gleichung 248) folgt n n a k k Y () = b k k U(). (279) k= k= Für die Übertragungfunktion ergibt ich darau n b k k G() Y () U() = k=, (28) n a k k k= d.h. G() it eine rationale Funktion. Diee Übertragungfunktion it nun für ein beliebige Eingangignal u(t)gültig, nicht nur für zeitharmoniche Anregungen. Vergleiche dazu auch Beipiel 7.6. 7.5.2 Herleitung der Übertragungfunktion mittel Faltung Antelle der Laplace-Tranformation mit anchlieender Rücktranformation kann der Sytemaugang y(t) auch durch löen de Faltungintegrale y(t) =u(t) y δ (t) = u(τ) y δ (t τ) dτ (28) berechnet werden. Im Falle der eineitigen Laplace-Tranformation gilt u(t) = und y δ = für t<. D.h. e werden nur kauale Syteme betrachtet. Da Faltungintegral kann alo wie folgt gechrieben werden u(t) y δ (t) = = u(τ) ε(t) y δ (t τ) ε(t τ) dτ, u(τ) y δ (t τ) ε(t τ) dτ, wobei ε(t) die Schrittfunktion it. Die Laplace-Tranformation diee Integrale it Y () =L [y(t) = L [u(t) y δ (t), [ = u(τ) y δ (t τ) ε(t τ) dτ e t dt, [ = u(τ) y δ (t τ) ε(t τ) e t dt dτ. } {{ } L [y δ (t τ) ε(t τ) Verion Dezember 28-9 - (282) (283)
Au der Eigenchaft der Zeitverchiebung der Laplace-Tranformation f(at b) L e b a folgt mit a =,b = τ und f = y δ a F ( ), (284) a L [y δ (t τ) ε(t τ) = e τ L [y δ (t). (285) Au Gleichung 283 und Gleichung 285 folgt alo L [u(t) y δ (t) = Da y δ nicht von τ abhängig it, folgt u(τ) L [y δ (t) e τ dτ. (286) L [u(t) y δ (t) = L [y δ u(τ) e τ dτ, } {{ } U() Y () =L [y δ U(), L [y δ = Y () U(). (287) L [y δ it die Übertragungfunktion de zugrundeliegenden Sytem und wird üblicherweie mit G() bezeichnet. G() =L [y δ. (288) Au der obigen Herleitung folgt alo für ein LTI-Sytem y(t) =y δ (t) u(t) L Y () =G() U(). (289) Oder in Worten: Da Faltungintegral der Impulanwort y δ (t) mit dem Eingangignal u(t) ergibt die Sytemantwort y(t). Die Übertragungfunktion G() it per Definition die Laplace-Tranformierte der Impulantwort y δ (t). Die Faltung y δ (t) u(t) im Zeitbereich entpricht einer Multiplikation von G() mit U() im Laplace-Bereich. Verion Dezember 28-92 -
7.6 Laplace-Tranformation periodicher Funktionen Der Anatz zur Berechnung der Laplace-Tranformation einer periodichen Funktion f(t) beteht darin, jede einzelne Periode eparat, unter Berückichtigung der Zeitverchiebung, zu tranformieren. Dabei it zu beachten, da noch immer f(t) =für t< gelten mu. D.h. die Funktion it nur periodich für t>. Mathematich kann die erte Periode f (t) einer periodichen Funktion f(t) mit Periodendauer T durch f (t) =f(t)[ε(t) ε(t T ) (29) bechrieben werden. Die Funktion f (t) wird alo mit Hilfe von den Schrittfunktionen ε(t) rep. ε(t T ) augechnitten. Die nachfolgenden Perioden können dann durch f 2 (t) =f (t T ), f 3 (t) =f (t 2T ), (29). f n (t) =f (t (n ) T ), bechrieben werden. Die Funktion f(t) lät ich durch eine Superpoition der Funktionen f k (t) bechreiben f(t) = f k (t). (292) k= Dank der Linearität der Laplace-Tranformation gilt F () =L [f(t) = L [f k (t) = L [f (t (k ) T ) = e (k ) T F (). (293) k= k= Die Laplace-Tranformation einer periodichen Funktion kann alo durch die Tranformierte der erten Periode augedrückt werden. Mit Hilfe der geometrichen Reihe a n =+a + a 2 + =, a k= a <, (294) lät ich der Audruck weiter vereinfachen auf F () =F () ( e T ) n = F () k= k= e T, e T <. (295) Dabei bechreibt F () die erte Periode der periodichen Funktion f(t nt ) n N f(t) =. (296) ont Vergleiche dazu auch Beipiel 7.7. Verion Dezember 28-93 -
7.7 Beipiele zur Laplace-Tranformation Beipiel 7. It ε(t) Originalfunktion? ε(t) Me σt σ =,M= (297) ε(t) it Originalfunktion. Beipiel 7.2 It f(t) Originalfunktion? t n t f(t) =, n =, 2, 3..., t< t n Me σt, t n Me σt (298) Da owohl der Funktionwert im Nenner al auch jener im Zähler gegen trebt für t kommt die Regel von Bernoulli de l Hopital zum Einatz ( ) ( ) t n dt n ( ) ( ) nt n n! t lim t e σt = lim = lim t t σe σt = = lim t σ n e σt = (299) dt de σt dt Die Exponentialfunktion teigt alo viel tärker an al die Potenzfunktion. D.h. f(t) it von exponentiellem Wachtum rep. f it Originalfunktion. Beipiel 7.3 It f(t) Originalfunktion? f(t) =e at, a C, = e (α+jβ)t, f(t) = e αt e jβt Me σt }{{} σ = α, M = (3) f(t) it Originalfunktion. Verion Dezember 28-94 -
Beipiel 7.4 It f(t) Originalfunktion? f(t) =A in(ω t) <Me σt σ =,M= A (3) f(t) it Originalfunktion. Beipiel 7.5 Laplace-Tranformation von t n t f(t) =, t< n =, 2, 3..., (32) berechnet ich nach F () = ug Mit partieller Integration og uv dt = uv folgt F () = t n e t dt. (33) t n e t dt = t n og og ug ug u vdt, u= t n,v = e t (34) e t + } {{ } = n!, n =, 2, 3,.... n+ nt n e t dt = = n n! t e t (35) Beipiel 7.6 Nutzung der Übertragungfunktion G() zur Berechnung eine RL-Gliede. Betrachte erneut da RL-Glied nach Abbildung 7.. Dabei ei R = 4 Ω und L =.5H. Die DGL dazu lautet L di(t) + Ri(t) =u(t), (36) dt rep. im Laplace-Bereich (L + R)I() =U(). (37) Verion Dezember 28-95 -
Mit u(t) al Eingangignal und i(t) al Augangignal ergibt ich darau die Übertragungfunktion G() = I() U() = L + R =.5 +4. (38) E oll nun für da pezielle Eingangignal u(t) =2ε(t) L U() = 2, (39) der Sytemaugang i(t), alo der Strom im RL-Glied berechnet werden. Im Laplace-Bereich ergibt die I() =G() U() = = k + k 2 +8 = 3 + 3 +8..5 +4 2 = 24 ( +8), mit k =3, k 2 = 3 (Partialbruchzerlegung), Die invere Laplace-Tranformation berechnet ich mit nach ε(t) L 3 ε(t) L 3 (3) und e at L rep. + a und 3e 8t L 3 (3) +8, 3 ε(t) 3e 8t L 3 3 +8. (32) Darau folgt i(t) =3( e 8t ), für t>. (33) Beipiel 7.7 Laplace-Tranformation einer Impulfolge. E ei die Impulfolge f(t) nach Abbildung 7.2, mit der erten Periode ( f (t) =δ t T ) ( ) L F () =e T 2 2 (34) gegeben. Entprechend Gleichung 295 ergibt ich die Laplace-Tranformierte nach F () =F () e T = e ( ) T 2. (35) e T Verion Dezember 28-96 -
Abbildung 7.2: Periodiche Impulfolge Verion Dezember 28-97 -
7.8 Laplace-Tranformation-Tabelle 8 7.8. Elementar- und Einheitfunktionen Nr. f() f(t), für t>. δ(t) Diracfunktion 2. e T δ(t T ) verchobene Diracfunktion 3. E(t) Einheit-Sprungfunktion 4. 5. 6. 7. e T E(t T ) verchobene Einheit-Sprungfunktion e T E(t) E(t T ) Einheit-Rechteckimpul 2 t Einheit-Antiegfunktion 2 e T (t T ) E(t T ) verchobene Einheit-Antiegfunktion 8. 9. 3 t 2 2 n t n, n =, 2, 3,... (n )! Einheit-Parabelfunktion 2. n+ 2 4 n n! t n 2 (2n)! π = 2 n t n 2 π, n =, 2, 3,... 3 5 (2n ) Tabelle 7.: Elementar- und Einheitfunktionen 8 Au Lutz und Wendt, Tachenbuch der Regelungtechnik, Verlag Harri Deutch, 7. ergänzte Auflage, 27 Verion Dezember 28-98 -
7.8.2 Übertragungfunktionen mit Zeitkontanten Nr. f() f(t), für t> 3. +T e T t T 4. 5. ( + T ) 2 T 2 e t T t n ( + T ) n T n (n )! t e T, n =, 2, 3,... 8. ( + T ) e t T 9. +T v ( + T ) + T v T T e t T 2. 23. 25. 26. 27. 28. 29. ( + T ) 2 t T + T e ( + T ) 2 ( + T ) n +T v ( + T ) 2, n =, 2, 3,... e t T ( + t ) e t T T ( n t t ) i T T ( + T )( + T 2 ), T T 2 T T 2 ( + T )( + T 2 ), T T 2 T 2 T +T v ( + T )( + T 2 ), T T 2 T T 2 i= i! [ Tv T + 2 t T e t T [ e t T e t T 2 [ e t T T [ T T v e T T 2 e t T 2 t T T 2 T v T 2 e t T 2 Fortetzung auf der nächten Seite... Verion Dezember 28-99 -
Nr. f() f(t), für t> 3. 3. 32. 33. [ ( + T )( + T 2 ), T T 2 T e t T T 2 e t T 2 T T 2 +T v ( + T )( + T 2 ), T T 2 T T v T T 2 e t T + T 2 T v e T T 2 ( + T )( + T 2 )( + T 3 ), T e (T T 2 )(T T 3 ) + T 2 e (T 2 T )(T 2 T 3 ) T 3 e t T 3 T,T 2,T 3 + (T 3 T )(T 3 T 2 ) ( + T )( + T 2 )( + T 3 ), e (T T 2 )(T 3 T ) + e (T 2 T 3 )(T T 2 ) T,T 2,T 3 + (T 3 T )(T 2 T 3 ) t T t T t T 2 t T 2 t T 2 e t T 3 Tabelle 7.2: Übertragungfunktionen mit Zeitkontanten 7.8.3 Übertragungfunktionen mit Pol- und Nulltellen Nr. f() f(t), für t> 45. + a e at 46. 47. ( + a) 2 t e at t n ( + a) n (n )! e at, n =, 2, 3,... 48. + a = a + a δ(t) a e at Fortetzung auf der nächten Seite... Verion Dezember 28 - -
Nr. f() f(t), für t> 49. 5. 5. + z + a ; a z + a ( + a) + z ( + a) δ(t) (a z) e at a [ e at z a [ e at + e at 52. 53. 54. 56. 57. 58. 59. 6. 6. ( + a) 2 a 2 [ +a t + e at ( + a) 2 ( a t) e at ( + a) 2 ( + a) n, n =, 2, 3,... a n + z ( + a) 2 a 2 [ e at a t e at [ n e at (a t) i i! i= [ z a 2 e at + a2 a z t e at z ( + a) ( + b), a b b a [e at e bt ( + a) ( + b), a b a b [a e at b e bt + z ( + a) ( + b), a b b a [(z a) e at (z b) e bt ( + a) ( + b), a b a b [ b b a e at + a b a e bt Tabelle 7.3: Übertragungfunktionen mit Pol- und Nulltellen Verion Dezember 28 - -
7.8.4 Übertragungfunktionen in Polynomform Nr. f() f(t), für t> 76. ω 2 2 +2Dω + ω 2 ω D 2 e Dω t in(ω e t)= ω 2 e Dω t in(ω e t), ω e <D<, ω e = ω D 2 77. [ 2 e Dω t D co(ω +2Dω + ω 2 e t) in(ω et), D 2 82. 9. 92. 93. 94. ω 2 ( 2 +2Dω + ω 2 ) a 2 a 2 2 a 2 ω 2 + ω 2 2 + ω 2 <D<, ω e = ω D 2 D 2 e Dω t in(ω e t + φ), <D<, ω e = ω D 2, φ = arcco(d) inh(at) coh(at) in(ωt) co(ωt) Tabelle 7.4: Übertragungfunktionen in Polynomform Verion Dezember 28-2 -