Biosignalverarbeitung (Schuster) 9. FOURIER - TRANSFORMATION: 4 Ausprägungen der Transformation: Zeitbereich Frequenzbereich Laplace-Transformation Fourier-Transformation kontinuierlicher Signale (FT, CFT): kontinuierlich -> kontinuierlich Fourier-Reihe (FR): kontinuierlich -> diskret Diskrete Fourier-Transformation (DFT): diskret -> diskret 1.) Laplace-Transformation: - Großteils nur mathematisch interessant, praktisch eher Fourier-Transformation wichtig. - Wenn α = 0, dann entspricht sie der Fourier-Transformation. - Die Laplace-Transformation wird bei der Übertragungsfunktion verwendet. 2.) (stetige) Fourier-Transformation FT: Bedingung: (wird diese Bedingung nicht erfüllt, führt das zur Laplace-Transf.) Das Fourierintegral konvergiert, wenn der Betrag der Fläche unter der zu transformierenden Signalkurve endlich ist. Dann ist eine Fourier-Transformation möglich. Eigenschaften der (stetigen) Fourier-Transformation: 1) Anordnungssatz (gerade, ungerade, reell, imaginär) 2) Maßstabsänderung 3) Verschiebung (Verschiebung im Zeitbereich -> Phasenverschiebung im Frequenzbereich; Verschiebung im Frequenzbereich -> Zeitfunktion wird auf jeden Fall imaginär) 4) Ableitung 5) Vertauschungssatz 6) Mehrfachanwendung der Fourier-Transformation (sie ist zyklisch vom Grad 4, d.h. nach 4-maliger Anwendung ist man wieder bei der Ausgangsfunktion)
7) Faltung: Um ein Signal x(t) mit einem anderen Signal y(t) zu modulieren, benutzt man die Faltung. Wobei x(t) das zu analysierende Biosignal ist und y(t) eine "kurze" Faltungsmaske. Wie? Die Maske y(t) wird am Nullpunkt gespiegelt und wie bei der Korrelation über das Signal x(t) geschoben. Faltungssatz: Der Faltung zweier Signale im Zeitbereich entspricht die Multiplikation ihrer Fourier-Transformierten im Frequenzbereich. Eine Faltung im Zeitbereich kann über den Umweg dreier Fourier-Transformationen (FT, FT, IFT) und einer komponentenweisen komplexen Multiplikation zweier Fourier-Transformierter berechnet werden. Faltungstheoreme sagen aus, dass eine Faltung im Zeitbereich einer Multiplikation im Frequenzbereich und eine Multiplikation im Zeitbereich einer Faltung im Frequenzbereich entspricht. Das Faltungstheorem zeigt einen auf den ersten Blick aufwendigen Weg zur Berechnung der Faltung: Fourier-Transformation der Signale - Produktbildung - Rücktransformation. Bei digitalen Signalen ist dieser schnelle Faltung genannte Umweg oft vorteilhaft, da mit der schnellen Fourier-Transformation (FFT, Fast Fourier Transformation) die Hin- und Rücktransformation sehr effizient und damit schnell vollzogen werden können. Anwendung: bei großen Filtermasken Entwurf von Filtern mit bestimmten Eigenschaften 8) Korrelation (Wiener Theorem): Faltung und Korrelation ineinander überführbar! Unter der Korrelation zweier Signale versteht man die Integraloperation: wobei x(t) und y(t) zwei deterministische, reelle Energiesignale sind. Die Korrelation führt zu einer Funktion, welche die Übereinstimmung bzw. Ähnlichkeit eines Signals x(t) zu einem zeitverschobenen Signal in Abhängigkeit der zeitlichen Verschiebung _ beschreibt. ist die Zeit, mit der das zweite Signal gegenüber dem ersten nach links verschoben wird, bevor das Produkt der beiden Signale integriert wird. Je höher der Wert dieses Integrals ausfällt, desto ähnlicher oder deckungsgleicher sind die beiden Signale. Die Amplitude jedes Samples im Korrelationssignal ist ein Maß dafür, wie sehr sich die beiden Signale an diesem Punkt ähneln. Das bedeutet, dass für jede
Übereinstimmung der beiden Signale ein Maximum im Korrelationssignal auftaucht. Die Verschiebung dieses Maximums zum Ursprung zeigt, wie weit die Signale phasenverschoben sind. Die Fläche unterhalb der Kurve ergibt den Wert der Korrelationsfunktion zum Zeitpunkt Null. Ist ein Signal gegenüber dem anderen verschoben, stimmt die Phase nicht mehr überein. Dadurch decken sich die Peaks nicht mehr, das Produkt kann negative Teile enthalten. Die Fläche unter der Kurve gibt den Wert der Korrelationsfunktion zum Wert der Verschiebung an. Da die eventuell vorhandenen negativen Anteile die positiven ausgleichen, ist das Ergebnis der Funktion kleiner. Der größte Wert der Korrelationsfunktion zeigt, wann die zwei Signale sich in ihrer Form ähneln und nicht gegeneinander verschoben sind. Die Breite der Korrelationsfunktion zeigt, wie lange die beiden Signale sich ähneln. Die Korrelationsfunktion zeigt also, wie ähnlich zwei Signale sind und wie lange sie ähnlich bleiben, wenn man sie gegeneinander verschiebt. Man unterscheidet zwei Arten der Korrelation: die Autokorrelation (AKF) und die Kreuzkorrelation (KKF). Zusammenhang Korrelation und Faltung: Wie man auf den ersten Blick erkennt, ist die Korrelation eng mit der Faltung verwandt. Die beiden unterscheiden sich lediglich durch die Integrationsvariable und ein Vorzeichen. Durch das positive Vorzeichen entfällt bei der Korrelation die Spiegelung der zweiten Funktion an
der y-achse, die für die Faltung charakteristisch ist. Ist ein Signal symmetrisch, wird es durch die Spiegelung nicht verändert. Somit unterscheiden sich Faltung und Korrelation in diesem Fall nicht. Die Korrelationsfunktion zweier Signale erhält man also, indem man das erste Signal spiegelt, danach mit dem zweiten Signal faltet und anschließend die Zeitvariable t durch die Zeitverschiebungsvariable substituiert. 9) Multiplikation: eine Begrenzung des Zeitbereichs (z.b.: Fensterung -> Fensterfunktion w(t)) bewirkt durch die Faltung eine Banderweiterung im Frequenzbereich 10) Parseval'sche Gleichung 11) Schwarz'sche Ungleichung Fourier-Transformierte wichtiger Funktionen: 1) Delta-Funktion (Ausblendeigenschaft) 2) Exponentialfunktion 3) Cos-Funktion (-> zeitlich begrenzte cos-funktion) Inverse Fourier-Transformation IFT: Definition: Die zur stetigen Fouriertransformation inverse Operation heißt inverse stetige Fouriertransformation. Eigenschaften der inversen Fourier-Transformation: 1) Gibbs'sches Phänomen: Die Rück-Transformation von X (f) (d.h. IFT) approximiert x(t) nicht in allen Punkten, sondern im quadratischen Mittel, d.h.die Rücktransformation ist nicht punktweise eindeutig, sondern nur fast überall 2) Sprungstellen: Die Inverse Fourier-Transformation nimmt an Sprungstellen von x(t) den arithmetischen Mittelwert an. Fourier-Reihe FR: kein Sonderfall der stetigen Fouriertransformation!!! Denn: wenn x(t) periodisch mit Periode T ist, dann lässt sich ihr Verhalten im Frequenzbereich durch eine diskrete (!) Reihe ausdrücken. (FR: stetig (zeit) --> diskret (frequenz))
2 Formen: 1) Trigonometrische Form 2) Exponentielle Form Der auffälligste Unterschied zwischen der stetigen Fouriertransformation (FT) und der Fourierreihe (FR) ist die Auflösung. Die stetige Fouriertransformation X(f) ist ein stetiges Abbild in den Frequenzbereich und zwar von - bis. Das Spektrum der Fourierreihe ck ist ein diskretes Abbild in den Frequenzbereich. Diskrete Fourier-Transformation DFT: (diskret (zeit) --> diskret (frequenz)) Im Konzept ist die diskrete Fouriertransformation (DFT) sowohl der stetigen Fouriertransformation (FT) ähnlich als auch der Fourierreihe (FR): Sie ist formal wie die stetige Fouriertransformation, nur das Integral ist durch die Summation ersetzt. Sie ist funktional wie die Fourierreihe, da sie eine Abbildung in den diskreten Frequenzbereich ist. Sie unterscheidet sich aber von der CFT und der FR dadurch, dass sie eine diskrete Funktion (d.h. eine Zahlenfolge) in den Frequenzbereich abbildet. 1/Δt legt die maximale Frequenz fest. (= Abtastzeit) N legt die Anzahl der Frequenzen (die Feinheit der spektralen Auflösung) fest. (= Anzahl der Abtastwerte) => Fundamentalfrequenz: Eigenschaften der DFT: 1) Periodizität: Abtastwerte und Fourier-Koeffizienten sind periodisch. 2) Symmetrie: Wenn xn eine Folge reeller Werte ist, dann gibt es in Xk (d.h. im Frequenzbereich) eine Symmetrie an der so genannten Faltungsfrequenz (Nyquistfrequenz), sodass - alle reellen Teile von Xk, d.h. Re{Xk}, gerade symmetrisch bezüglich ff sind - alle imaginären Teile von Xk, d.h. Im{Xk}, ungerade symmetrisch bezüglich ff sind aus Periodizität und Symmetrie => Xk und X-k sind konjugiert komplex!
Fehlerquellen der DFT: 1) Aliasing: Wie der Name ( alias ) impliziert, kann ein Frequenzanteil eines Signals fälschlich einem anderen Frequenzanteil zugerechnet werden. Beispiel: Die Abtastzeit Δt ist zu gering, um das Eingangssignal korrekt wiederzugeben. Als Folge tritt anstelle der hohen Frequenz eine falsche niedrige Frequenz auf. Abhilfe (Nyquist-Bedingung): Abtasten mindestens doppelt so schnell wie die höchste im Signal vorkommende Frequenz. (besser 5-10 Mal so schnell!) 2) Leakage (Durchsickern): Durch die zeitliche Begrenzung kann das Signal abgeschnitten werden. Ist es periodisch fortsetzbar (also ist die Abtastzeit ein vielfaches Ganzes der Fundamentalperiode), so ist dies kein Problem, ist dies aber nicht der Fall, so enthält es Frequenzen, die nicht zu den von der DFT berechneten diskreten Frequenzen gehören. Die DFT nähert diese Frequenzen an die Nachbarfrequenzen an. Vermeiden kann man dies, indem man den Beobachtungszeitraum T relativ zur Fundamentalperiode T0 des Signals groß wählt. Abhilfe: Das Leakage-Problem kann gemildert werden, indem der Beobachtungszeitraum T des (Bio)signals relativ zur Fundamentalperiode T0 des zu analysierenden Signals groß gewählt wird. Filter, die eine Periodizität des Signals im Beobachtungszeitraum erzwingen, d.h. nach Anwendung solcher Filter schaut das Signal fast periodisch aus. z.b.: Hanning-Filter: Der betrachtete Zeitausschnitt wird dazu mit einer Funktion w(n) multipliziert, die das Signal an den Rändern des Zeitausschnitts auf Null zwingt. (Hanning-Fenster w(n))
3) Picket-Fence-Wirkung: Als Folge von schmalen Bandpass-Filtern entsteht ein "Lattenzaun"-artiges Erscheinungsbild des Signals. Frequenzanteile eines Signals x(t), die ganzzahlige Vielfache der Fundamentalfrequenz k 1/T = k.f0 k = 0,1,2,3,...,N-1 sind, werden unverzerrt (d.h. in ihrer wahren Größe) keine ganzzahlig Vielfachen der Fundamentalfrequenz sind, werden verzerrt (d.h. verkleinert) abgebildet. Abhilfe: Mittelung über mehrere Aufnahmen desselben Signals.