Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe Kapitel IV: Uedliche Reihe 11 Uedliche Zahlereihe A Zum Begriff uedliche Zahlereihe B Uedliche Reihe mit lauter positive Glieder C Uedliche Reihe mit positive ud egative Glieder D Alterierede Reihe 65
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe A. Zum Begriff uedliche Zahlereihe DEFINITION 11.1. (Begriff der uedliche Reihe.) Es sei a0, a1, a2, eie reelle Zahlefolge. Uter der uedliche Reihe a a a a 0 1 2 0 versteht ma die Folge s0, s1, s2, edlicher Summewerte mit s a Die Summade 0 : 0 s1: a0 a1 s2 : a0 a1 a2 s : a a a a a 0 1 2 0 Partialsumme der Reihe. a heiße Glieder der Reihe ud die Summe s 0 a DEFINITION 11.2. (Kovergez ud Divergez eier uedliche Reihe.) Es sei a0, a1, a2, eie reelle Zahlefolge. Ma sagt die uedliche Reihe a0 a1a2 a ist overget, we die Folge s 0, s 1, s 2, ihrer Partialsumme 0 s s eie reelle Grezwert lim hat. I diesem Fall et ma s auch die Summe der uedliche Reihe ud schreibt s a a a a. 0 1 2 0 Hat die Partialsummefolge s 0, s 1, s 2, eie reelle Grezwert, so et ma die uedliche Reihe diverget. Bemerug. (Bestimmte Divergez ud Divergez.) Bei divergete uedliche Reihe a 0 a 1 a 2 a 0 uterscheidet ma och zwische bestimmter Divergez, d.h. a lim s bzw. 0 0 a lim s, ud (ubestimmter) Divergez, d.h. der uedliche Reihe a a i verüftiger 0 Weise weder ei reeller Summewert och eier der Werte oder zugeordet werde. 66
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe Bemeruge. (geometrische Reihe [i], harmoische Reihe [ii], LEIBNIZsche Reihe [iv]) (i) Geometrische Reihe. 1 a falls 1 q 1 overget 1 q aq falls q 1 bestimmt diverget ( a 0, q ) 0 falls q 1 diverget (ii) Harmoische Reihe. 1 1 1 1 2 3 1 (bestimmt diverget) (iii) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 6 (overget) 1 (iv) LEIBNIZsche Reihe. 1 1 1 ( 1) 1 l2 (overget) 2 3 1 B. Uedliche Reihe mit lauter positive Glieder SATZ 11.3. Es sei 0 12 0 eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 0. Da a stets ur geau eier der beide folgede Fälle [(i) oder (ii)] eitrete: (i) Die uedliche Reihe ist ach obe beschrät, d.h. es gibt eie Schrae B mit B für alle 0. I diesem Fall ist die uedliche Reihe overget, 0 0 mit passedem Summewert. (ii) Die uedliche Reihe ist icht ach obe beschrät. I diesem Fall ist die uedliche Reihe bestimmt diverget, 0. 67
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe SATZ 11.4. (Majorateriterium.) (a) Es sei 0 12 0 eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 0 ud 0 1 2 0 sei eie weitere uedliche Reihe mit lauter positive Glieder, wobei für alle 0 gelte. Die Vergleichsreihe (Majorate) (i) Da muss auch (ii) Ist 0 sei als overget beat. 0 overgiere. 1 die (ubeate) Summe der uedliche Reihe, sowie die -te Partialsumme ( ), so gilt die Abschätzug 1 ( 1 2 3 ). 1 D.h. wählt ma de -te Partialsummewert als Näherugswert für die ubeate Summe der uedliche Reihe, so ist der Fehler höchstes gleich 1 2 3 1 1. (b) Es sei 0 12 0 eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder ud 0 12 0 sei eie weitere uedliche Reihe mit lauter positive Glieder, wobei für alle 0 gelte. Die Vergleichsreihe (Miorate) 0 sei als bestimmt diverget beat, d.h. 0. Da ist auch 0 bestimmt diverget, d.h. es ist 0. 68
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe SATZ 11.5. (Quotieteriterium.) Es sei 0 1 2 0 eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 1 0.. Ferer sei die Quotietefolge ( ) : overget gege de Grezwert 0 q. Da gilt: (i) Ist q lim 1 1, so ist passedem Summewert. 0 overget. Es gilt also 0 mit (ii) Ist q lim 1 1, so ist 0 bestimmt diverget. Es gilt 0. 1 Bemerug. Im Falle q lim 1 hilft das Quotieteriterium icht weiter ud für die Frage der Kovergez sid adersartige Utersuchuge azustelle. SATZ 11.6. (Itegralriterium.) Es sei 1 2 1 eie uedliche Reihe mit lauter positive Glieder 0. Ferer gebe es eie mooto fallede iterpolierede Futio :]0, [ mit ( ) für alle. (i) Geau da ist eie edliche Wert hat. (ii) Ist 1 1 overget, we das ueigetliche Itegral overget ud ist uedliche Reihe, sowie Abschätzug: ( ) 1 d 1 die (ubeate) Summe der die -te Partialsumme ( ), so gilt die 1 ( d ). D.h. wählt ma de -te Partialsummewert als Näherugswert für die ubeate Summe der uedliche Reihe, so ist der Fehler ( ) d. 1 höchstes gleich 69
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe C. Uedliche Reihe mit positive ud egative Glieder DEFINITION 11.7. (Absolute Kovergez eier uedliche Reihe.) Ma sagt die uedliche Reihe a0 a1a2 a 0 ist absolut overget, we die Reihe der Beträge 0 12 0 mit : a overgiert. Bemerug. Zur Feststellug, ob eie vorgelegte Reihe absolut overgiert a ma zum Beispiel die Kriterie aus Abschitt B) heraziehe, de die Reihe a besteht 0 aus lauter ichtegative Glieder. SATZ 11.8. Jede absolut overgete Reihe ist overget (im gewöhliche Si). SATZ 11.9. Die uedliche Reihe a 0 a 1 a 2 a 0 sei absolut overget. Weiter sei 0 12 die uedliche Reihe mit : a sowie s a ud (i) Es gilt s (ii) Ist 0. 0 ud s s 0 0. a 0 s, so gilt: a a 1 1 1. [ ] D.h. wählt ma de -te Partialsummewert s als Näherugswert für die ubeate Summe s der uedliche Reihe höchstes gleich (Zur weitere Abschätzug vo a 1 a. 1 1 1, so ist der absolute Fehler 1 s s a ach obe a ma gegebeefalls z.b. auf das Itegralriterium [Satz 11.6] i Abschitt B zurücgreife.) 70
Igeieurmathemati I WS 13/14 - Prof. Dr.. Mafred Leitz Kapitel IV: Uedliche Reihe 11: Uedliche Zahlereihe D. Alterierede Reihe DEFINITION 11.10. (Alterierede Reihe.) Eie uedliche Reihe, dere Glieder abwechseld positiv ud egativ sid, heißt alterierede Reihe. SATZ 11.11. (LEIBNIZ-Kriterium für alterierede Reihe.) Es sei 0 1 2 0 b b b ( 1) b ( b 0 für alle 0 ) eie alterierede Reihe, wobei b 0, b 1, b 2, eie mooto fallede Nullfolge sei, d.h. es sei b0 b1 b2 b3 ud lim b 0. (i) Da overgiert die Reihe b0 b1b2 ( 1) b. 0 (ii) Wählt ma de -te Partialsummewert s b0 b1b2 b3 ( 1) b als Näherugswert für die ubeate Summe s ( 1) b der uedliche Reihe, so ist 0 der absolute Fehler s s höchstes gleich b 1, s s b 1. (Überdies ist s s egatives Vorzeiche hat, ud s s Reiheglied positives Vorzeiche hat.), falls das letzte zur Berechug vo s verwedete Reiheglied, falls das letzte zur Berechug vo s verwedete 71