Grundlgen der Theoretischen Infomtik SS 213 Institut für Informtik Prof. Dr. Ulrich Furch Dr. Mnfred Jckel Dr. Björn Pelzer Christin Schwrz Nchklusur Modul Grundlgen der Theoretischen Informtik 4IN118/INLP1 8 ECTS 25.1.213 Nme Vornme E-Mil-Adresse Musterlösung @uni-kolenz.de Mtrikelnummer Studiengng: Computervisulistik (Diplom Informtik (Diplom Computervisulistik (BSc Informtik (BSc Wirtschftsnformtik (BSc B Ed Gymnsium B Ed Relschule Informtionsmngement (BSc Diese Prüfung ist mein 2. Versuch Diese Prüfung ist mein 3. Versuch Punkte 1 2 3 4 5 6 7 8 GESAMT Auswertung:
Aufge 1 (12 Punkte ( { 1 2 1 2 2 2 1 2 2 } Gegeen sei der endliche nichtdeterministische Automt A { s,s 1,s 2},{, },,{ s },{ s2} Nottion mit =,,s,,,s,,,s,,,s,,,s,,,s. Geen Sie die grfische Nottion des NDEA n. L A = L A in formler Nottion n Geen Sie einen DEA A mit ( ( = in formler S s 2 s 1 δ s s,s s s { } { } { } { } 1 2 1 2 s s s;s 2! 2 δ s { s 1,s2} { s 1,s2} { s,s2} { s 1,s2} { s,s2} { s,s 1,s2} { s 1,s2} { s,s,s } { s,s,s } { s,s } 1 2 1 2 1 2 ({, {, }, {, }, {,, }, },,, 2 1 2 1 2 {{, 2}, {, 1 2}, {,, 1 2} } = s s s s s s s s s s s s s s s s
Aufge 2 (12 Punkte Sei L die Sprche ller Wörter üer dem Alphet Σ= {,1}, die us mehr Nullen ls Einsen estehen. Zeigen Sie mit dem (strken Pumping-Lemm für reguläre Sprchen, dss L nicht regulär ist. Widerspruchseweis: Angenommen, ds Pumping Lemm gilt. Dnn git es ein n, so dss jedes Wort z L k zerlegt werden knn mit z=uvw 1<= v sowie uv <n, so dss uv w L für lle k >=. Wir wählen ds Wort 1 n n+1. Wegen der Bedingung uv <n muss v us luter 1en estehen, mindestens us einer 1. Dnn ht uv n+1 w mehr 1en ls en. Widerspruch.
Aufge 3 (12 Punkte Geen Sie einen regulären Ausdruck n, der die Sprche = { Σ ( ( ( } * > Σ * Σ * = = üer dem Alphet {,,c} L w w 2 u v w ucv u 2 Σ= drstellt. Geen Sie einen DEA für die Sprche L n. c Geen Sie eine rechtslinere Grmmtik für diese Sprche n. * ( 1+ + + c+ ( + + c( + + c 1+ c( + + c,,c,,c c S S 1 S 2 S 3,,c, ( c = { } { } S 4 G S, ABC,,, c,,, RS, mit R= S A A ca ε A B B cb ε B cc ε C C C cc ε
Aufge 4 (12 Punkte (,, S,A,B,R,S Geen Sie die kontextfreie Grmmtik G { } { } S AB B A A ε = mit der Regelmenge R B B Geen Sie für folgende Wörter eine Aleitung n oder egründen Sie kurz, wrum sie nicht in L(G sind (1 (2 (3 Bringen Sie die Grmmtik in Chomsky Normlform. L G S AB erzeugt, d sowohl A wie B ein 2, A einringen. S B ist zu (1 ( kurz, S B B... S B B L G * (2 ( (3 S AB B B L( G Die Grmmtik enthält keine nutzlosen Symole. Entferne A ε S AB B B A A B B Fktorisieren: S VAB VB B A AV B VBV V V Entfernen der Kettenregel S B S VC VB VD V V S VAB VB VBV V V C AB, D BV A AV A AV B VBV V V letzter Schritt B VE V V, E BV V V V V Keine nutzlosen Symole,
Aufge 5 (12 Punkte Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik üer dem Alphet Σ= {(,,[,]} n, die die Dyck-Sprche D 2 ller geordneten Klmmergeirge us runden und eckigen Klmmern erzeugt. Ds leere Wort gehört zur Sprche. Geen Sie einen PDA n, der diese Sprche mit leerem Keller kzeptiert S ( S [ S ] SS ε M = { s },{(,,[,]},{(.[},,s, Z, mit, ε,z, ε,(,z,(,[,z,[,(,(,((,[,[,[[,(,[,([,[,(,[(,,(, ε s,],[ s, ε ( ( (
Aufge 6 (12 Punkte Gegeen sei ds Alphet Σ= {,}. Geen Sie eine deterministische Turingmschine (DTM n, die ds vorletzte Zeichen eines Eingewortes löscht. Ds Löschen verkürzt ds Wort um dieses Zeichen. Wörter der Länge kleiner 2 leien unverändert. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1 1 2 3 2 5 4 4 3 5 4 4 4 5 5 5 # q q,l q h,r q,l q,l q q,r q, q, q q,r q, q, q q,r q,r q h,r h,r ({ q,q 1,q 2,q 3,q 4,q 5},{, },,q M = δ oder >L # R L, # #, L R# R # R#
Aufge 7 (12 Punkte Gegeen sei der folgende PDA:, Z XZ, X XX ε,z Z s s 1 ε,z ε M = ({ s,s 1},{ },{ Z,X },,s,z, { s},x ε Welche Sprche kzeptiert der PDA? Begründen Sie Ihre Antwort. 2n { } L= n Begründung: Wenn ein durch Kellern von X kzeptiert wird, leit der PDA im Zustnd s 1. Bei jeden Auskellern eines X wird ein weiteres kzeptiert. Dher ist die Anzhl der kzeptierten gerde.
Aufge 8 (12 Punkte iese Aufge umfsst 3 Multiple-Choice Cluster mit je 4 Ankreuzfrgen. Für jedes Cluster gilt: Wenn lle 4 Kreuze n der richtigen Stelle stehen, git es 4 Punkte für ds Cluster. Ein flsches Kreuz git einen Punkt Azug. Wer 2 richtige und 2 flsche Kreuzchen in einem Cluster mcht, erhält 1+1-1-1= Punkte. Zum Trost: es git keine negtiven Gesmtpunktzhlen, jedes Cluster ringt is 4 Punkte. Wenn Sie eine Frge nicht entworten, git dies Punkte! J Nein Frge Grmmtiken 1. Die Prämisse einer Grmmtikregel drf mehrere Vrile enthlten. 2. Zwei Grmmtiken, die die gleiche Sprche erzeugen, hen gleich viele Regeln. 3. Die Regel einer rechtslineren Grmmtik enthält höchsten 2 Vrilen. 4. Bei einer eschränkten Grmmtik drf S nicht in der Conclusio vorkommen, Entscheidrkeit L L L P L P (Stz 32.8 1. ( 2. ( 3. 4. 1 p 2 1 2 L L L P L P (Stz 32.8 Für 1 p 2 2 1 * * * L 1,L2 Σ gilt: L1 p L2 f : :f * 2 ( 1 ( Σ Σ TM-erechenr und w Σ : w L f w L siehe Def. 32.7 Es existiert eine NP-vollständige Sprche, die nicht entscheidr ist. Jede entscheidre Sprche ist kzeptierr Stz 29.6 c Endliche Automten 1. Es git einen DEA mit 3 Zuständen, der die Sprche {,} üer dem Alphet {,} kzeptiert. 2. Ein deterministischer endlicher Automt ht höchstens einen Endzustnd. 3. Jeder nicht deterministische endliche Automt ht mehrere Anfngszustände. 4. Es git einen nicht deterministischen endlichen Automten, der eine Sprche kzeptiert, die nicht entscheidr ist.