Schwingungen Lena Flecken Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Modellierungen (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Eine Schwingung (auch Oszillation) bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht und durch eine rücktreibende Kraft (Rückstellkraft) wieder in Richtung des Ausgangszustandes gezwungen wird. In meiner Arbeit werde ich Schwingungsgleichungen vorstellen, herleiten und diese dann versuchen zu lösen. Zu aller erst werde ich die harmonische ungedämpfte Schwingungsgleichung aufstellen und dann mit einem Sinus- Cosinusansatz lösen. Danach kann man die Schwingungsgleichung des ungedämpften Oszillators so abwandeln, dass man mit Hilfe der Reibungskraft die Schwingungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators erhält. Diese kann man dann mit einem Exponentialansatz lösen. Man unterscheidet dabei zwischen drei Formen der Dämpfung: Zum einen gibt es die schwache Dämpfung, die eine abklingende Sinuskurve darstellt, zum zweiten gibt es die starke Dämpfung, die nach einer ersten Auslenkung nur ganz langsam zum Umkehrpunkt zurückgeht und zuletzt den aperiodischen Grenzfall, bei dem wie beim Fall der starken Dämpfung keine richtige Schwingung vollzogen wird, allerdings mit einer abfallenden Exponentialfunktion wieder zum Umkehrpunkt zurückgeht. Dann beschäftige ich mich noch mit den erzwungenen Schwingungen. Die Lösungen dieser dann inhomogenen Dierentialgleichungen bestehen aus speziellen und allgemeinen Lösungen. Am Ende erkläre ich noch die Bewegungsgleichungen gekoppelter Schwingungen, die dann zur Entstehung von Wellen führen.
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 mechanische Schwingungen 3 2.1 freie ungedämpfte Schwingung....................... 3 2.2 freie gedämpfte Schwingungen....................... 5 2.3 erzwungene Schwingungen......................... 7 2.4 gekoppelte Oszillatoren........................... 9 2.5 Resonanz.................................. 11 3 Ausblick 12 3.1 elektrischer Schwingkreis.......................... 12 3.2 Akustik................................... 13 2
1 Einleitung Das Thema meiner Seminararbeit ist die Schwingung und die zugehörigen Schwingungsgleichungen. Eine Schwingung bezeichnet den Verlauf einer Zustandsänderung, wenn ein System auf Grund einer Störung aus dem Gleichgewicht gebracht und durch eine rücktreibende Kraft ( Rückstellkraft ) wieder in Richtung des Ausgangszustands gezwungen wird. Energie wird zwischen zwei Energieformen umgewandelt. Man unterscheidet zwischen unterschiedlichen Schwingungsarten. Ich werde mich hauptsächlich auf mechanische Schwingungen beschränken und nur am Ende einen Ausblick auf andere Bereiche geben. Man kann Schwingungen in verschiedenen Kategorien ordnen, in ungedämpfte, gedämpfte, erzwungene und gekoppelte Schwingungen. Ich werde auf diese im Folgenden genauer eingehen. 2 mechanische Schwingungen 2.1 freie ungedämpfte Schwingung Anhand des Federpendels will ich nun die freie Bewegungsgleichung herleiten. Im Ruhezustand wird die Schwerkraft durch die Rückstellkraft kompensiert. Im ausgelenkten Zustand ist die Rückstellkraft F = Dx, (2.1) wobei D R Stärke der Feder genannt wird. Diese Gleichung gilt allerdings nur im Gültigkeitsbereich des Hookschen Gesetzes, wenn also die Feder beim Auslenken nicht deformiert oder wie auch beim Fadenpendel zu stark ausgelenkt wurde. Die Rückstellkraft bewirkt, dass sich das Pendel wieder in die Ruhelage zurück bewegt. Wir erhalten also die Bewegungsgleichung Dx = mẍ, (2.2) wobei ẍ die zweite Ableitung von x nach der Zeit symbolisiert. Im Weiteren bezeichnet ẋ die erste Ableitung von x nach der Zeit. Mit der Denition folgt dann ω 2 0 = D/m (2.3) ẍ + ω 2 0x = 0. (2.4) Man nennt diese Gleichung die des harmonischen Oszillators. Sie wird von allen Funktionen x(t) = C 1 sin(ωt) + C 2 cos(ωt) (2.5) erfüllt, mit beliebigen Konstanten C 1 und C 2. Dies ist ein Ergebnis, das wir zunächst nur vermuten, sich aber später bestätigt. Nun versuchen wir das Anfangswertproblem ẍ = ω 2 0x (2.6) x(t 0 ) = x 0 (2.7) ẋ(t 0 ) = v 0 (2.8) 3
mit diesen Funktionen zu lösen bei vorgegebener Anfangslage x 0 und Anfangsgeschwindigkeit v 0 zur Zeit t 0. Seien für alle t R gerade y(t) und z(t) Lösungen der obigen Gleichungen, so genügt w := y z den Beziehungen ẅ = ω 2 w (2.9) Aus der ersten Gleichung ergibt sich w(t 0 ) = ẇ(t 0 ) = 0. (2.10) d/dt(ẇ 2 + ω 2 w 2 ) = 2ẇ(ẅ + ω 2 w) = 0, (2.11) also ẇ 2 + ω 2 w 2 = const. (2.12) Aus der zweiten Gleichung erhalten wir dann ẇ 2 + ω 2 w 2 = 0, (2.13) und somit w = 0 bzw. y = z. Wir wissen also, dass es genau eine eindeutige Lösung gibt. Wir setzen diese folgendermassen an x(t) := C 1 sin(ωt) + C 2 cos(ωt) (2.14) und versuchen jetzt die Konstanten C 1 und C 2 so zu bestimmen, dass x(t 0 ) = x 0 und ẋ(t 0 ) = v 0. Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem. C 1 sin(ωt 0 ) + C 2 cos(ωt 0 ) = x 0, C 1 cos(ωt 0 ) C 2 sin(ωt 0 ) = v 0 /ω. (2.15) Da ist oenbar und sin(ωt 0 ) 2 + cos(ωt 0 ) 2 = 1 (2.16) C 1 = x 0 sin(ωt 0 ) + v 0 /ω cos(ωt 0 ) (2.17) C 2 = x 0 cos(ωt 0 ) + v 0 /ω sin(ωt 0 ). (2.18) Mit den bekannten Additionstheoremen sin(x y) = sin x cos y cos x sin y, cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y (2.19) erhält man nun genau ein Ergebnis für das obige Problem: x(t) = x 0 cos(ω(t t 0 )) + v 0 /ω sin(ω(t t 0 )). (2.20) Für den nächsten Schritt brauchen wir eine wichtige Aussage, die uns hilft unser Ergebnis weiter zu verändern: 4
Lemma 2.1 Gilt für die Zahlen x, y die Beziehung x 2 + y 2 = 1, so gibt es in [0, 2π) genau ein t mit x = cos(t), y = sin(t). Anschaulich besagt dieses Lemma, dass der Punkt (cos(t), sin(t)) genau einmal den Einheitskreis der xy-ebene durchläuft, wenn t das Intervall [0, 2π) durchläuft. Beweis: Zunächst unterscheiden wir die Fälle 1-3: 1.Fall: x = 1: Dann ist y = 0 und es ergibt sich genau ein t [0, 2π) mit x = cos(t) und y = sin(t), nämlich t = 0. Damit wäre der erste Fall erledigt. 2. Fall: 0 x < 1: Dann kann also y nicht den Wert 0 annehmen. Die Gleichung cos(t) = x hat nun genau zwei Lösungen t 1, t 2 in [0, 2π). Eine, z.b. t 1, liegt in (0, π/2], die andere, t 2, in[3π/2, 2π). Es ist also sin(t 1 ) > 0 und sin(t 2 ) < 0. Ist nun y < 0, also y = (1 x 2 ) 1/2, so habe wir sin(t 1 ) = (1 (cos(t 1 )) 2 ) 1/2 = (1 x 2 ) 1/2 = y, während natürlich t 2 nicht y sein darf. Ist jedoch y < 0, also y = (1 x 2 ) 1/2, so nden wir sin(t 2 ) = (1 (cos(t 2 ) 2 ) 1/2 = (1 x 2 ) 1/2 = y, allerdings ist dieses mal sin(t 1 ) nicht gleich y. Es gibt also auch in diesem Fall genau ein t [0, 2π) mit x = cos(t), y = sin(t), nämlich t = t 1 bzw. t = t 2, je nachdem, ob y positiv oder negativ ist. 3. Fall: 1 x < 0: dieser Fall ist analog zu Fall 2 und wird deshalb hier nicht weiter ausgeführt. Damit ist der Beweis beendet. Kommen wir nun zurück zu unserem Anfangswertproblem. Wir haben gesehen, dass eine eindeutig bestimmte Lösung sich stets in der Form (2.20) schreiben lässt. Wenn beide Konstanten nicht gleichzeitig 0 werden, so können wir die Lösung nun auf eine anderen Weise darstellen: x(t) = A((C 1 /A) sin(ωt) + (C 2 /A) cos(ωt)) (2.21) mit A := C 2 1 + C 2 2. Da (C 1 /A) 2 + (C 2 /A) 2 = 1 gibt es nach eben bewiesener Aussage genau ein φ [0, 2π), mit dem x(t) = A(cos(φ) sin(ωt) + sin(φ) cos(ωt)), also x(t) = A sin(ωt + φ). (2.22) Unser gewonnenes Ergebnis zeigt uns also, dass ein Massepunkt zwischen den Maximalausschlägen A und A hin- und herschwingt. Man nennt A die Amplitude der Schwingung. Seine Schwingungsdauer, also die Zeit, die der Massepunkt braucht, um eine volle Schwingung auszuführen, ist T = 2π/ω. T hängt also von Masse und Federkonstante ab, aber nicht von der Amplitude. Die Anzahl der Schwingungen in einer Zeiteinheit wird mit ν bezeichnet und nennt sich Schwingungsfrequenz ; berechnet durch ν = 1/T. Also haben wir ν = ω/2π bzw. ω = 2πν. ω nennt sich Kreisfrequenz. φ heiÿt Phase der Schwingung. Da ẋ(t) = Aω cos(ωt + φ) ist Aω die Maximalgeschwindigkeit des Massepunktes. 2.2 freie gedämpfte Schwingungen Um den freien gedämpften Oszillator verstehen zu können, verwenden wir den gleichen Ansatz wie beim umgedämpften Oszillator. Lässt man beispielsweise die Masse 5
eines freien Oszillators in einer Flüssigkeit schwingen, so kann man die Reibung nicht mehr vernachlässigen und zur rücktreibenden Federkraft F = Dx kommt noch die Stokessche Reibungskraft. Allgemein kann man die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit (F r = bẋe x ) beschreiben und dann in die Bewegungsgleichung des freien Oszillators einbauen: mẍ = Dx bẋ. (2.23) Mit den Abkürzungen ω 2 0 = D/m und 2γ = b/m erhalten wir die allgemeine Bewegungsgleichung ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = 0 (2.24) der gedämpften Schwingung mit der Dämpfungskonstanten γ. Wir wählen den Lösungsansatz x(t) = c exp(λt) (2.25) und erhalten durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung für die Grösse λ die Bestimmungsgleichung λ 2 + 2γλ + ω 2 0 = 0 (2.26) mit den Lösungen λ 1,2 = γ ± γ 2 ω 2 0, (2.27) so dass die allgemeine Lösung lautet: ( ) x(t) = exp( γt) C 1 exp( γ 2 ω0t) 2 + C 2 exp( γ 2 ω0t 2. (2.28) Das zeitliche Verhalten hängt jetzt ganz entscheidend vom Verhältnis mittlere Rückstellkraft durch mittlere Reibungskraft, also ω 0 /2γ ab, da dies die Entscheidenden Konstanten im Exponenten der Exponentialfunktion sind. Wir unterscheiden also die folgenden drei Fälle: 1. γ < ω 0, d.h. schwache Dämpfung: Mit der Abkürzung ω 2 = ω 2 0 γ 2 wird λ 1,2 = γ ± ω 2 = γ ±iω und die allgemeine Lösung ergibt sich zu x(t) = A exp( γt) cos(ωt + φ). (2.29) Die Gleichung stellt eine gedämpfte Schwingung dar, deren Amplitude A exp γt exponentiell abklingt. Die Kreisfrequenz ω = ω 2 0 γ 2 der gedämpften Schwingung ist bei gleicher Rückstellkraft kleiner als die der ungedämpften Schwingung. Die Frequenzverschiebung wächst mit steigender Dämpfung. 2. γ > ω 0, d.h. starke Dämpfung: Die Koezienten λ 1,2 = γ ± ω 2 := γ ± α sind jetzt reell. Die allgemeine Lösung ergibt sich also folgendermassen: x(t) = exp( γt) (C 1 exp(αt) + C 2 exp( αt)). (2.30) 6
Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0, ẋ(0) = v 0 ergibt sich C 1 +C 2 = 0 und C 1 C 2 = v 0 /α, so dass man die spezielle Lösung Diese lässt sich schreiben als x(t) = v 0 /(2α) exp( γt)(exp(αt) + exp( αt)). (2.31) x(t) = v 0 /α exp( γt) sinh(αt). (2.32) Die Schwingung besteht aus einer einzigen Auslenkung, die für grosses t langsam gegen Null geht. Man nennt diesen Fall auch Kriechfall, weil die Amplitude nach Erreichen des Maximums nur sehr langsam gegen Null kriecht. 3. γ = ω 0, aperiodischer Grenzfall : Es gilt nun λ 1 = λ 2 = λ = γ. Die allgemeine Lösung der Dierentialgleichung muss aber zwei Integrationskonstanten enthalten, deshalb wählen wir folgenden Lösungsansatz: x(t) = C(t) exp(λt) (2.33) mit dem zeitabhängigen Faktor C(t). Setzt man dies in unsere Dierentialgleichung ein, erhält man C + (2λ + 2γ)Ċ + (λ2 + 2γλ + ω 2 0)C = 0. (2.34) Für die Lösung α = γ = ω 0 werden die Faktoren von Ċ und C Null, so dass aus C = 0 folgt: C = C 1 t + C 2. Unsere allgemeine Lösung lautet daher: x(t) = (C 1 t + C 2 ) exp( γt). (2.35) Mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0 und ẋ(0) = v 0 erhalten wir x(t) = v 0 t exp( γt). (2.36) Wie im Kriechfall ist die Schwingung nur in einer Auslenkung entartet. Sie beginnt mit linearer Steigung und strebt den Nullpunkt nach Erreichen der Maximums schneller an als im Kriechfall. 2.3 erzwungene Schwingungen Ist beispielsweise ein Ende einer Feder nicht fest, sondern durch eine periodische Kraft beeinusst, so wirkt auf die Masse eine zusätzliche Kraft. Wir erhalten also folgende Bewegungsgleichung: mẍ = Dx bẋ + F 0 cos(ωt), (2.37) F 0 R Mit den Abkürzungen ω 2 0 = D/m, γ = b/(2m) und K = F 0 /m ergibt sich die Bewegungsgleichung ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = K cos(ωt). (2.38) Die allgemeine Lösung einer solchen inhomogenen Dierentialgleichung setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung und der speziellen Lösung,[4]. Sie muss also folgende Form haben: x(t) = A 1 exp( γt) cos(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 cos(ωt + φ), (2.39) 7
wobei ω 1 = ω 2 0 γ 2 die Frequenz der freien gedämpften Schwingung ist (schwache Dämpfung). Für genügend lange Zeit t >> 1/γ wird die Amplitude A 1 exp( γt) des ersten Terms so klein, dass wir sie gegenüber dem zweiten Term vernachlässigen können. Dieser zweite Term hängt von der Frequenz ω der äuÿeren Kraft ab, die ihre Schwingungsfrequenz dem System aufzwingt (erzwungene Schwingung). Der zweite Term gibt daher den durch die äuÿere periodische Kraft bewirkten stationären Schwingungszustand an, während der Überlagerung für Zeiten t < 1/γ den Eigenschwingvorgang beschreibt. Die Phasenverschiebung einer erzwungenen Schwingung mit γ > 0 wächst für ω < ω 0 von 0 bis π/2, für ω > ω 0 von π/2 bis π. Sie ist negativ, d.h. die erzwungene Schwingung hinkt der Erregerschwingung nach. Die Amplitude der erzwungenen Schwingung hängt ab von der Amplitude der äuÿeren Kraft, der Dämpfung, der Erregerfrequenz und der Eigenfrequenz des erregten Systems. Wir bezeichnen nun s(t) = F 0 cos(ωt) als die Zwangskraft des Systems und wollen damit einen wichtigen Satz beweisen: Theorem 2.2 Die Funktion der Zwangskraft s(t) sei stetig auf einem gewissen Intervall I, und t 0 sei ein Punkt aus I. Dann besitzt die Anfangswertaufgabe ẍ + aẋ + bx = s(t), (2.40) x(t 0 ) = x 0, (2.41) ẋ(t 0 ) = v 0 (2.42) bei beliebiger Vorgabe der Anfangswerte x 0 und v 0 genau eine Lösung auf I. Beweis: y 1 und y 2 seien Lösungen der homogenen Gleichung, während x p eine spezielle Lösung darstellt. Dann ist x(t) := C 1 y 1 + C 2 y 2 + x p die allgemeine Lösung. Nun passen wir diese freien Konstanten den Anfangsbedingungen an, indem wir sie aus dem Gleichungssystem C 1 y 1 (t 0 ) + C 2 y 2 (t 0 ) = x 0 x p (t 0 ), (2.43) C 1 ẏ 1 (t 0 ) + C 2 ẏ 2 (t 0 ) = v 0 ẋ p (t 0 ) bestimmen. Dies ist stets nur auf eine Weise möglich, weil ungleich Null ist. qed y 1 (t 0 )ẏ 2 (t 0 ) ẏ 1 (t 0 )y 2 (t 0 ) (2.44) Jetzt wollen wir das Lösen einer inhomogenen Dierentialgleichung einmal selbst versuchen: Beispiel: Das Anfangswertproblem lautet: ẍ + x = tan(t), (2.45) x(0) = ẋ(0) = 0 (2.46) 8
1. Schritt: Bestimmung der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ẍ + x = 0: Wie wir wissen ist hier die allgemeine Lösung C 1 cos(t) + C 2 sin(t). 2. Schritt: Bestimmung der speziellen Lösung x p der inhomogenen Gleichung auf dem Intervall ( π/2, π/2) durch den Variationsansatz x p (t) := C 1 (t) cos(t) + C 2 (t) sin(t). Das System nimmt dann folgende Gestalt an: Ċ 1 (t) cos(t) + ċ 2 (t) sin(t) = 0, Ċ1(t) sin(t) + Ċ2(t) cos(t) = tan(t). (2.47) Multipliziert man die erste Gleichung mit cos(t), die zweite mit sin(t) und addiert dann beide Gleichungen, so erhält man und ganz ähnlich Ċ 1 (t) = tan(t) sin(t) = (sin(t)) 2 / cos(t) (2.48) Durch einfaches Integrieren erhält man dann Ċ 2 (t) = tan(t) cos(t) = sin(t). (2.49) x p (t) = ln(tan(t/2 + π/4) cos(t)). (2.50) 3. Schritt: Bestimmung der allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung: x(t) := C 1 cos(t) + C 2 sin(t) ln(tan(t/2 + π/4) cos(t)). (2.51) 4. Schritt: Anpassung der freien Konstanten C 1, C 2 an die Anfangsbedingungen: Es ist x(0) = C 1, ẋ(0) = C 2 1, mit den Anfangswerten ergibt sich also C 1 = 0, C 2 = 1. Die Lösung ist also x(t) = sin(t) ln(tan(t/2 + π/4) cos(t)), (2.52) π/2 < t < π/2. (2.53) 2.4 gekoppelte Oszillatoren In Physik und Technik spielen gekoppelte, schwingende Systeme eine groÿe Rolle. Energie kann übertragen werden. Viele gekoppelte, schwingende Oszillatoren können Schingungen in Form von Wellen ausbreiten. Ohne Kopplung gäbe es also keine mechanischen Wellen. Sehen wir uns die Kopplung also an einem einfachen Fall an; dam gekoppelten Federpendel. Sind zwei Massepunkte m 1 bzw. m 2 durch Federn mit den R ckstellkonstanten D 1 bzw. D 2 an ihre Ruhelagen x 1 = 0 bzw. x 2 = 0 gebunden und auÿerdem durch eine Feder mit der Federkonstanten D 12 miteinander verbunden, so wird die Ausdehnung der mittleren Feder von den jeweiligen Positionen x i, beider Massen abhängen. Deshalb hängt auch die Kraft auf jede Masse nicht nur von ihrer eigenen Position, sondern auch 9
von der der anderen Masse ab. Die beiden schwingenden Systeme sind miteinander gekoppelt. Die Bewegungsgleichungen lauten also: m 1 ẍ 1 = D 1 x 1 D 12 (x 1 x 2 ) (2.54) m 2 ẍ 2 = D 2 x 2 D 12 (x 2 x 1 ), (2.55) wobei x 1 und x 2 die Auslenkungen aus den jeweiligen Ruhelagen bedeutet. Die Bewegungsgleichungen stellen ein gekoppeltes Dierentialgleichungssystem dar, weil jede der beiden Gleichungen beide Variablen x 1 und x 2 enthält. Durch eine Variablensubstitution können wir die Gleichungen entkoppeln: In den neuen Koordinaten ergibt dies die Gleichungen m(ẍ 1 + ẍ 2 ) = D(x 1 + x 2 ), m(ẍ 1 ẍ 2 ) = D(x 1 x 2 ) 2D 12 (x 1 x 2 ). (2.56) µ + = 1/2(x 1 + x 2 ), (2.57) µ = 1/2(x 1 x 2 ) (2.58) m µ + = Dµ +, m µ = (D + 2D 12 )µ (2.59) deren allgemeine Lösung durch die harmonischen Schwingungen mit ω 2 1 = D/m µ + (t) = A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) (2.60) µ (t) = A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) (2.61) mit ω2 2 = (D + 2D 12 )/m gegeben sind. Man nennt diese harmonischen Schwingungen und die Koordinaten µ +, die Normalkoordinaten. In diesem einfachen Beispiel geben die Normalkoordinaten den Mittelwert µ + = (x 1 + x 2 )/2 der beiden Koordinaten bzw. den halben Relativabstand (x 1 x 2 )/2 an. Die Transformation auf die Normalschwingungskoordinaten µ erlaubt also die Darstellung der gekoppelten Schwingung als Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen ω 1 und ω 2. Wenn ein schwingender Massepunkt mit anderen räumlich benachbarten Massepunkten gekoppelt ist, kann sich die Schwingung infolge dieser Kopplung im Raum ausbreiten, soweit es angekoppelte Massepunkte gibt. Dabei wird die Schwingungsenergie räumlich transportiert. Ist die Transportgeschwindigkeit v und der Abstand zwischen benachbarten Schwingern δz so braucht der Energietransport die Zeit δt = δz/v. Eine solche räumliche Ausbreitung von Schwingungen nennen wir eine Welle. Beispiele für mechanische Wellen sind Wasserwellen, Schallwellen oder beliebige Druckwellen in festen, üssigen oder gasförmigen Medien. Eine Welle ist ein Vorgang, bei dem sich eine Schwingung vom Ort ihrer Erregung infolge von Kopplungen an benachbarte, schwingungsfähige Systeme im Raum ausbreitet. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt ab von der Stärke der Kopplung und von der Masse der schwingenden Systeme. Wir werden uns später noch weiter mit Wellen beschäftigen. 10
2.5 Resonanz Resonanzphänomene spielen in Physik und Technik eine groÿe Rolle. Deshalb werde ich auch darauf noch ein wenig eingehen. Wir betrachten wieder einen elastisch angebundenen und Reibungskräften unterliegenden Massepunkt. Seine Bewegung wird durch die homogene Dierentialgleichung also durch mẍ + bẋ + Dx = 0, (2.62) ẍ + 2ρẋ + ω 2 0x = 0 (2.63) mit ρ := b/2m und ω 0 = D/ m, D > 0, beschrieben. Daraus erhalten wir das Weg- Zeit-Gesetz t y(t) mit lim y(t) = 0 für t. Es ergibt sich also y(t) = A exp( ρt) sin(ω 1 t + φ) (2.64) mit ω 1 := ω0 2 ρ 2. ω 0 ist die Frequenz der ungedämpften Schwingung, die sogenannte Eigenfrequenz unseres Systems, während ω 0 die Frequenz der gedämpften Schwingung ist. Es gilt ω 1 < ω 0 : Im Dämpfungsfall schwingt der Massepunkt langsamer als im ungedämpften Fall. Nun wirke auf den Massepunkt eine äuÿere periodische Kraft K(t) = a cos(ωt) mit der Amplitude A und der Frequenz ω. Nach dem Newtonschen Kraftgesetz ist dann mẍ = D 2 x bẋ + a cos(ωt), also ẍ + 2ρẋ + ω 2 0x = α cos ωt (2.65) mit α := a/m. Dies können wir, wie im letzten Kapitel gesehen, lösen, und erhalten x(t) = y(t) + α/( (ω0 2 ω 2 ) 2 + 4ρ 2 ω 2 ) sin(ωt + φ). (2.66) Da für groÿe t der erste Summand vernachlässigbar klein ist, wird die Bewegung im wesendlichen durch die partikuläre Lösung x p (t) = α/( (ω0 2 ω 2 ) 2 + 4ρ 2 ω 2 ) sin(ωt + φ) (2.67) beschrieben. Der Massepunkt schwingt also, und zwar mit der Erregerfrequenz ω und einer von ω abhängigen, aber zeitlich konstanten Amplitude F (ω) = α/( (ω0 2 ω 2 ) 2 + 4ρ 2 ω 2 ). (2.68) Um die Abhängigkeit der Amplitude F (ω) von ω zu untersuchen, nehmen wir uns zuerst den Radikanten f(ω) = (ω 2 0 ω 2 ) 2 + 4ρ 2 ω 2 (2.69) vor. Mittels der Ableitung df/dω sieht man sofort, dass im Falle ρ ω 0 / 2 die Funktion f(ω) auf R + monoton gegen unendlich wächst und umgekehrt die Amlitude gegen Null strebt für ω gegen unendlich. Sehr hohe Erregerfrequenzen bewirken bei groÿer 11
Reibung praktisch ein Stoppen der Bewegung. Ist jedoch 0 < ρ < ω 0 / 2, so fällt f(ω) streng bis zur Stelle ω R := (ω0 2 2ρ 2 (2.70) und wächst dann streng und beschränkt. Umgekehrt: Die Amplitude F (ω) wächst streng auf (0, ω R ], erreicht ihren Maximalwert F max = α/(2ρ ω0 2 ρ 2 ) (2.71) an der Stelle ω = ω R und strebt dann für ω gegen unendlich streng fallend gegen Null. Dieses Phänomen, dass die Amplitude der erzwungenen Schwingung stark ansteigt, wenn die Erregerfrequenz von links her in die Nähe der Eigenfrequenz kommt, nennt man Resonanz. Die Frequenz ω R, für die die Amplitude maximal wird, heiÿt Resonanzfrequenz. Wegen der Reibung ist die Resonanzfrequenz kleiner als die Eigenfrequenz. Das Resonanzphänomen tritt natürlich auch bei weitaus komplizierteren schwingungsfähigen Systemen auf. Das starke Anwachsen der erregten Amplitude kann zu schweren Schäden führen. Das nennt man dann die Resonanzkatastrophe. 3 Ausblick 3.1 elektrischer Schwingkreis Ein elektrischer Schwingkreis ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule L und einem Kondensator C, die elektrische Schwingungen ausführen kann. Beim LC-Schwingkreis wird die Energie zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd hoher Strom oder hohe Spannung vorliegen. Die Frequenz f 0, mit der sich dieses im ungestörten Fall periodisch wiederholt, ist: f 0 = 1/(2Π LC), (3.1) wobei L die Induktivität der Spule und C die Kapazität des Kondensators sind. Die Gleichung nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung. Mathematisch kann man man, genauso wie im mechanischen Fall, eine Bewegungsgleichung aufstellen und diese lösen: Die dazugehörige Dierentialgelichung lautet LÏ + R I + I/C = 0. (3.2) Man wählt wie bei der gedämpften Schwingung im mechanischen Fall folgenden Lösungsansatz: I(t) = A exp(λt) (3.3) der je nach Verhältnis zwischen R/L unterschiedlicher Lösungen ergibt. (gedämpfte Schwingung, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall). Wir können also beim elektromagnetischen Scwingkreis dieselben Ansätze machen, wie bei mechanischen Schwingungen. 12
3.2 Akustik Die Akustik behandelt die Entstehung, die Ausbreitung und die Messung von mechanischen Schwingungen und Schallwellen. Als Schall werden vom menschlichen Ohr Druckänderungen in Luft wahrgenommen, die Schwingungen unseres Trommelfells verursachen. Die Frequenzskala von Schallwellen geht jedoch weit über den vom menschlichen Ohr wahrgenommenen Frequenzbereich zwischen 16Hz und 16kHz hinaus. Schallwellen können durch freie oder erzwungene Schwingungen fester Körper erzeugt werden, die ihre Schwingungsenergie an ihre Umgebung abgeben, beispielsweise Lautsprecher, schwingende Saiten, Stimmgebeln, schwingende Membranen. Literatur [1] H. Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner Verlag (1998) [2] Braun: Dierentialgleichungen und ihre Anwendungen, Springer-Lehrbuch (1983) [3] Demtröder: Experimentalphysik 1, Springer-Lehrbuch (1994) [4] C.Lang, N. Pucker: Mathematische Methoden in der Physik (2005) 13