Kapitel 1: Reste, Teiler, Vielfache Defiitio Es sei a 0. Die Zahl b 0 ist ei Teiler vo a, we es ei u 0 gibt, sodass ub= a. Ist b ei Teiler vo a, so ist a ei Vielfaches vo b. Bezeichug b a für b ist Teiler vo a bzw. b teilt a. Bemerkug Die Teilerrelatio i 0 ist eie Ordugsrelatio. D.h., sie ist reflexiv, trasitiv ud atisymmetrisch: i a 0 a a ( (reflexiv ( (trasitiv ( a b b a a = b (atisymmetrisch ii a,b,c 0 a b b c a c iii a,b 0 Wie früher bezeiche wir mit T(a die Mege aller Teiler (die Teilermege der Zahl a 0 ud mit V(a die Mege aller Vielfache vo a. Für jede atürliche Zahl a gilt also T(a = { t 0 t teilt a }, V(a = { v 0 a teilt v } Elemetare Eigeschafte der Teilermege 1 T(a für alle a 0 ; de stets ist 1 a = a ; d.h. 1 T(a. 2 T(0 = 0 ; de 0 a = 0 für jedes a 0 ; jede atürliche Zahl teilt 0. 3 T(a A a+1 = { 0 a }, falls a > 0 ; de we b a, (d.h. ub= a für ei u 0, u > 0, da ist b = 1 b ub= a. Für a ist die Teilermege somit stets edlich. I jeder Teilmege vo 0 ist die Teilerrelatio eie Ordugsrelatio. Dies gilt isbesodere für die Teilermege. Solche Mege köe durch ei HASSE- Diagramm graphisch dargestellt werde. Der grösste gemeisame Teiler. Mehr Iformatio über die Struktur der Teilermege erhält ma aus der Betrachtug vo gemeisame Teiler. Es seie a,b 0. Die Zahl t 0 ist ei gemeisamer Teiler vo a ud b, falls t a t b. Die Mege aller gemeisame Teiler vo a ud b ist T(a T(b. Wege 1 T(a T(b gilt stets T(a T(b. Falls 1 der eizige gemeisame Teiler ist, et ma die Zahle a, b teilerfremd. 1 ZT Kapitel 1
Für beliebige a,b 0 gilt T(a T(b T(a ud T(a T(b T(b. Falls (a,b = (0,0, gilt T(a T(b = 0. Falls jedoch (a,b (0,0 ist somit T(a T(b stets eie edliche Mege. Jede edliche Teilmege vo 0 hat ei grösstes Elemet. Im vorliegede Fall ist es der grösste gemeisame Teiler vo a ud b. Er wird mit ggt(a,b bezeichet. De grösste gemeisame Teiler zweier Zahle werde wir mit dem Euklidische Algorithmus bestimme. Dieses Verfahre beruht auf der gazzahlige Divisio oder Divisio mit Rest. Für atürliche Zahle a, b schreibt ma: a : b = q,restr, falls es Zahle q,r 0 gibt mit a = qb+ r ud r < b. Lemma 1.1 (Divisio mit Rest Gegebe sid die Zahle a,b 0, wobei b > 0 ist. Dazu gibt es Zahle q,r 0 mit a = qb+ r ud r < b. Diese Zahle q, r sid eideutig bestimmt. Ferer gilt da T(a T(b = T(b T(r. Beispiel zum Euklidische Algorithmus: ggt(2492,3262 =? 3262 : 2492 = 1, Rest 770 3262 = 1 2492 + 770 2492 : 770 = 3, Rest 182 2492 = 3 770 + 182 770 : 182 = 4, Rest 42 770 = 4 182 + 42 182 : 42 = 4, Rest 14 182 = 4 42 +14 42 : 14 = 3, Rest 0 42 = 3 14 + 0 Gemäss Lemma 1.1 gilt T(3262 T(2492 = T(2492 T(770 = T(770 T(182 = T(182 T(42 = T(42 T(14 = T(14 Da ist 14 das grösste Elemet der Mege T(3262 T(2492. Also gilt ggt(2492,3262 = 14. Zurück zum allgemeie Fall. Es seie a, b wieder beliebige atürliche Zahle. Jeder Teiler vo ggt(a,b ist ei gemeisamer Teiler vo a ud b, de die Teilerrelatio ist trasitiv. I Teilermege ausgedrückt, heisst das T(ggT(a,b T(a T(b. 2 ZT Kapitel 1
Geauer gilt: Satz 1.2 Es seie a,b 0 mit (a,b (0,0. Da gilt T(a T(b = T( ggt(a,b. Gegebe seie jetzt Zahle a 1 0 mit (a 1 (0,0,,0. Da ist die Mege T(a k = T(a 1 T(a 2 T(a k =1 der gemeisame Teiler vo a 1 eie edliche Mege ud besitzt ei grösstes Elemet ggt(a 1. Satz 1.2 ka u wie folgt verallgemeiert werde: I der gegebee Situatio gilt T(a k = T(a 1 T(a 2 T(a = T ggt(a 1 k =1 Im Spezialfall = 3 habe wir somit: ( Satz 1.3 Es seie a,b,c 0 mit (a,b,c (0,0,0. a Es gilt T(a T(b T(c = T( ggt(a,b,c. b Falls midestes zwei der drei Zahle a, b, c positiv sid, gilt ferer ggt( a,ggt(b,c = ggt(a,b,c = ggt( ggt(a,b,c. Das kleiste gemeisame Vielfache Die Mege der Vielfache der Zahl a 0 ist V(a = { v 0 a teilt v }= a 0 Es gelte V(0 = {0} { } V(a = {0, a,2a,3a, } falls a 0. Im Gegesatz zu de Teilermege habe wir es hier mit eier viel harmlosere Struktur zu tu. Die Zuordug a defiiert eie Ordugsisomorphismus zwische N 0 ud V(a, falls a 0 ist. Iteressater wird es, we ma gemeisame Vielfache betrachtet. Die gemeisame Vielfache der Zahle a, b 0 sid gerade die Elemete der Schittmege V(a V(b. 3 ZT Kapitel 1
Eigeschafte der Mege V(a V(b. 1 Es gilt stets V(a V(b, de 0 V(a für alle a 0. 2 Stets gilt auch V(a V(b V(a ud V(a V(b V(b. 3 a = 0 b = 0 V(a V(b = V(0 = {0}. Im Folgede wird u stets der Fall a > 0 b > 0 betrachtet. I diesem Fall gilt V(ab V(a V(b, de 0, ab,2ab,3ab, sid gemeisame Teiler vo a ud b. Isbesodere ist im Fall, da a ud b beide positiv sid, V(a V(b eie uedliche Mege. Es gibt Zahle a, b derart, dass V(ab = V(a V(b ist. Im Allgemeie gilt jedoch V(ab V(a V(b Beispiele 1 a = 9, b = 8; V(a V(b = {0,72,144,216,288, } = V(ab 2 a = 12, b = 9 ; V(a V(b = {0,36,72,108,144, } V(ab Jede icht leere Teilmege vo 0 hat ei kleistes Elemet, so auch die Mege ( V(a V(b \{0}. Das kleiste gemeisame Vielfache der Zahle a, b ist u die kleiste positive Zahl i der Mege V(a V(b ud wird mit bezeichet. kgv(a,b Beispiel 1 kgv(8,9 = 72 = 8 9 2 kgv(9,12 = 36 Wege der Trasitivität der Teilerrelatio ist jedes Vielfache vo kgv(a,b auch gemeisames Vielfaches vo a ud b. Also habe wir Es gilt sogar ( V(a V(b V kgv(a,b Satz 1.4 Für beliebige Zahle a, b gilt V(a V(b = V( kgv(a,b I Worte: Eie atürliche Zahl c ist geau da gemeisames Vielfaches der Zahle a, b, we c Vielfaches vo kgv(a,b ist. 4 ZT Kapitel 1
Im Gegesatz zu Satz 1.2 liefert der Beweis vo Satz 1.4 keie Methode zur effektive Berechug vo kgv(a,b. Das ächste Resultat zeigt jedoch eie Zusammehag zwische kgv ud ggt auf. Der Euklidische Algorithmus ka somit auch zur Bestimmug des kgv verwedet werde. Satz 1.5 Für beliebige Zahle a, b gilt ggt(a,b kgv(a,b = ab Folgerug kgv(a,b = ab ggt(a,b Beispiel kgv(589,323 =? 589 : 323 = 1, Rest 266 323: 266 = 1, Rest 57 266 :57 = 4, Rest 38 57 : 38 = 1, Rest 19 38 :19 = 2, Rest 0 Also ist ggt(589,323 = 19; kgv(589,323 = 589 323 19 = 10'013 Bemerkug Für eie Folge a 1, a 2,, a defiiert ma kgv(a 1, a 2,, a als die kleiste positive Zahl i der Mege Es gilt V(a k = V(a 1 V(a 2 V(a k=1 V(a k = V kgv(a 1 k=1 ( Isbesodere bedeutet dies für drei Zahle a,b,c : V(a V(b V(c = V kgv(a,b,c Ferer gilt i diesem Fall ( ( = kgv(a,b,c = kgv kgv(a,b,c kgv a,kgv(b,c (. 5 ZT Kapitel 1