2. Lagrange-Gleichungen

2. Lagrange-Gleichungen Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Aufstellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht. Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme. Konservative Systeme sind Systeme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-1

2. Lagrange-Gleichungen 2.1 Lagrange-Gleichungen für allgemeine Systeme 2.2 Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme 2.3 Beispiel: Federpendel 2.4 Beispiel: Hallenkran Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-2

2.1 Allgemeine Systeme Verallgemeinerte Koordinaten: Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der Massenpunkte durch n Ortsvektoren r i beschrieben. Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten q j : r i =r i q 1,,q f, i=1,, n Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die linearisierten Beziehungen ṙ i = r i q 1 q 1 r i q f q f = j r i q j, i=1,,n Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-3

2.1 Allgemeine Systeme Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte: Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt: P= i F i e ṙ i = i F i e j r i q = j i j F i e r i q j q j Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden: P= j Mit den verallgemeinerten Kräften folgt: i P= j F i e r i q j q j Q j q j Q j = i F i e r i Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-4

2.1 Allgemeine Systeme Beispiel: Pendel r =R sin e x cos e z r =R cos e x sin e z φ R x F e =mg e z z mg Q =F e r =mg e z R cos e x sin e z = mg R sin P=Q = mg R sin Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-5

2.1 Allgemeine Systeme Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte: Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt: P T = i = i m i r i ṙ i = i j m i r i j m i r i r i q = j j i r i q j m i r i r i q j Wegen gilt: d r i dt ṙi q = r i r i ṙ j q i ṙ i j q j m i r i r i q j =m i d dt ṙi r i q j m i r i ṙ i q j Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-6

2.1 Allgemeine Systeme Aus folgt: r i =r i q 1,,q f, i=1,, n ṙ i = r i q 1 q 1 r i q f q f = j r i q j Ableiten nach q j führt auf ṙ i q j = r i Damit gilt: m i r i r i =m i d dt ṙ i r i m i ṙ i ṙ i = d dt m i ṙ i ṙ i q j m i ṙ i ṙ i Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-7

2.1 Allgemeine Systeme Wegen q j m i ṙ i ṙ i =m i ṙ i q j ṙ i m i ṙ i ṙ i q j =2m i ṙ i ṙ i q j m i ṙ i ṙ i =m i ṙ i ṙ i m i ṙ i ṙ i =2m i ṙ i ṙ i gilt: m i r i r i = d dt [ q j 2 ] 1 2 m i ṙ i 1 2 m i ṙ i 2 Für die kinetische Energie eines Massenpunktes gilt: T i = 1 2 m i v i 2 = 1 2 m i ṙ i 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-8

2.1 Allgemeine Systeme Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte: P T = j i m i r i r i q = d j j i dt T i q j T i q j Mit der kinetischen Energie T i des Gesamtsystems folgt: P T = j T = i [ d T dt q T ] j q j Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-9

2.1 Allgemeine Systeme Prinzip der virtuellen Leistung: Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung folgt damit: j [ Q j d dt T q j T ] P P T =0 q j =0 Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für beliebige virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summand für sich verschwinden. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-10

2.1 Allgemeine Systeme Ergebnis: Das Prinzip der virtuellen Leistung muss für beliebige virtuelle Geschwindigkeiten gelten. Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind, müssen die folgenden f Gleichungen erfüllt sein: d T dt q j T =Q j, j=1,, f Diese Gleichungen werden als Lagrangesche Gleichungen 2. Art bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-11

2.1 Allgemeine Systeme Beispiel: Pendel Kinetische Energie: T = 1 2 m ẋ 2 ż 2 Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt: ẋ=r cos, ż= R sin T = 1 2 m R2 2 Ableitungen der kinetischen Energie: T =m R2, d dt T =m R2, T =0 Bewegungsgleichung: m R 2 =Q = mg R sin Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-12

2.2 Konservative Systeme Konservative Systeme: Ein System heisst konservativ, wenn alle eingeprägten Kräfte konservativ sind. Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist. P 2 W 12 = C 1 F d r= C 2 F d r C 2 C 1 P 1 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-13

2.2 Konservative Systeme Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft: z Die Kraft einer linear elastischen Feder ist eine konservative Kraft: C 2 P 2 r C 1 y P 1 G s 1 s 2 F x W G = mg z 2 z 1 W F = 1 2 c s 2 2 s 12 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-14

2.2 Konservative Systeme Potenzial: Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einem Ort P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festen Bezugspunkt P 0 verschoben wird: V P =W 0 = C 0 F d r C 0 P P 0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-15

2.2 Konservative Systeme Potenzial der Gewichtskraft: Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche: V G x, y, z =mg z Potenzial der Federkraft: Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann gilt für das Potenzial der Federkraft: V F s = 1 2 c s2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-16

2.2 Konservative Systeme Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial: Für eine infinitesimale Änderung des Ortes gilt: V x dx, y dy, z dz =V x, y, z dv =V x, y, z V x dx V V dy y z dz Auf dem Weg vom Punkt mit den Koordinaten (x, y, z) an den Punkt mit den Koordinaten (x+dx, y+dy, z+dz) verrichtet die Kraft die Arbeit dw =F d r=f x dx F y dy F z dz dv = V x dx V y dy V z dz Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-17

2.2 Konservative Systeme Aus dv = dw folgt: F x = V x F y = V y F z = V z F= V r Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten des Potentials. Schwerkraft: V G x, y, z =mg z G z = V G z = mg Federkraft: V F s = 1 2 c s2 F s = V F s = c s Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-18

2.2 Konservative Systeme Systeme von Massenpunkten: Für ein System von Massenpunkten ist die potenzielle Energie gleich der Summe der potenziellen Energien der Massenpunkte: V r 1,, r n = V i r i Für die Kraft auf einen Massenpunkt folgt: e F i = V i = V r i r i Damit gilt für die verallgemeinerten Kräfte: i Q j = i F i e r i = i V r i r i = V Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-19

2.2 Konservative Systeme Dabei ist V q 1,,q f =V r 1 q 1,,q f,, r n q 1,,q f Lagrangesche Gleichungen für konservative Systeme: Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind, lauten die Lagrangeschen Gleichungen: d T dt q j T = V d dt T q j T V =0 Die Funktion L=T V wird als Lagrangesche Funktion bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-20

2.2 Konservative Systeme Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeiten abhängt, erfüllt die Lagrangesche Funktion die Gleichungen d L dt q j L q j =0, j=1,, f Das sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für konservative Systeme. Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen müssen nur die kinetische und die potenzielle Energie berechnet werden. Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzieren nach den verallgemeinerten Koordinaten. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-21

2.2 Konservative Systeme Beispiel: Pendel x x=r sin, z=r cos V = mg z= mg R cos L=T V = 1 2 m R2 2 mg R cos φ R L =m R2, L = mg R sin d L dt =m R2 m R 2 m g R sin =0 z Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-22

2.2 Konservative Systeme Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte: Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte, dann können die konservativen Kräfte in der Lagrange- Funktion berücksichtigt werden. Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verallgemeinerten dissipativen Kräfte: d L dt q j L d =Q, j j=1,, f Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-23

2.3 Beispiel: Federpendel Aufgabenstellung: Der abgebildete Schwinger besteht aus einem Massenpunkt der Masse m und einer Feder mit der Federkonstanten c. Die augenblickliche Länge der Feder ist R. Die Länge der Feder im entspannten Zustand ist R 0. Gesucht sind die Bewegungsgleichungen, wenn vorausgesetzt wird, dass der Schwinger sich nur in der Ebene bewegt. P R c m Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-24

2.3 Beispiel: Federpendel Verallgemeinerte Koordinaten: Die Lage des Massenpunktes liegt eindeutig fest, wenn die aktuelle Länge R der Feder und der Winkel φ gegeben sind. P φ R x Als verallgemeinerte Koordinaten werden gewählt: q 1 = R R 0, q 2 = z m Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-25

2.3 Beispiel: Federpendel Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Koordinaten besteht der Zusammenhang x=r sin =R 0 q 1 sin q 2, z=r cos =R 0 q 1 cosq 2 Daraus folgt für die Geschwindigkeit: v x =ẋ=r 0 q 1 sin q 2 q 1 q 2 cosq 2 v z =ż=r 0 q 1 cosq 2 q 1 q 2 sin q 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-26

2.3 Beispiel: Federpendel Kinetische Energie: Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt: T q 1,q 2, q 1, q 2 = 1 2 m v x 2 v z2 = 1 2 m R 2 [ 0 q 1 sin q 2 q 1 q 2 cosq 2 2 q 1 cos q 2 q 1 q 2 sin q 2 2 ] = 1 2 m R 2 0 q 2 1 q 12 q 22 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-27

2.3 Beispiel: Federpendel Potenzielle Energie: Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der potenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft. Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird die entspannte Feder gewählt. Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft: V F q 1,q 2 = 1 2 c R R 0 2 = 1 2 c R 2 0 q 1 1 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-28

2.3 Beispiel: Federpendel Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft wird Punkt P gewählt. Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft: V G q 1,q 2 = mg z= mg R 0 q 1 cos q 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-29

2.3 Beispiel: Federpendel Lagrange-Funktion: Für die Lagrange-Funktion gilt: L q 1,q 2, q 1, q 2 =T q 1,q 2, q 1, q 2 V q 1,q 2 Dabei ist V q 1,q 2 =V F q 1,q 2 V G q 1,q 2 Die Lagrange-Funktion ist also gegeben durch L= 1 2 m R 2 0 q 2 1 q 12 q 22 1 2 c R 2 0 q 1 1 2 mg R 0 q 1 cosq 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-30

2.3 Beispiel: Federpendel Ableitungen der Lagrange-Funktion: L =m R q 02 q 1 d L 1 dt q 1 =m R 2 0 q 1 L =m R 2 q 0 q 12 q 2 d L 2 dt q =m R 2 0 2q 1 q 1 q 2 q 12 q 2 2 L q 1 =m R 0 2 q 1 q 2 2 c R 0 2 q 1 1 mg R 0 cos q 2 L q 2 = mg R 0 q 1 sin q 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-31

Lagrange-Gleichungen: 2.3 Beispiel: Federpendel d L dt q L =0 1 q 1 m R 02 q 1 m R 2 0 q 1 q 2 2 2 c R 0 q 1 1 mg R 0 cos q 2 =0 d L dt q L =0 2 q 2 m R 02 2q 1 q 1 q 2 q 12 q 2 mg R 0 q 1 sin q 2 =0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-32

2.3 Beispiel: Federpendel Die Bewegungsgleichungen lauten also: q 1 q 1 q 2 2 c m q 1 1 g R 0 cos q 2 =0 q 1 q 2 2 q 1 q 2 g R 0 sin q 2 =0 R=R 0 q 1, =q 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-33

2.3 Beispiel: Federpendel Spezialfall: Geradlinige Bewegung Für die Anfangsbedingungen q 2 0 =0, q 2 0 =0 ist q 2 t =0 eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung. Die erste Bewegungsgleichung lautet dann q 1 c m q 1 1 g R 0 =0 q 1 c m q 1= c m g R 0 Die statische Lösung dieser Gleichung ist q 1s =1 mg c R 0 R s =R 0 mg c Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-34

2.3 Beispiel: Federpendel R s ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in der Ruhelage hat. Mit q 1 =q 1 s x folgt: ẍ c m q 1 s x = c m g R 0 Daraus folgt: ẍ c m x=0 Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der statischen Ruhelage. Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassenschwingers. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-35

2.3 Beispiel: Federpendel Grenzfall: Sehr steife Feder Für c/m folgt aus der ersten Gleichung: q 1 1 Damit lautet die zweite Gleichung: q 2 g R 0 sin q 2 =0 Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-36

2.4 Beispiel: Hallenkran c m 1 H m 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-37

Berechnungsmodell: 2.4 Beispiel: Hallenkran Der Hallenkran besteht aus einem als starr angenommenen Träger, auf dem sich die Laufkatze bewegt. Die Laufkatze hat eine Gesamtmasse m 1. Die Elastizität des Antriebs wird durch eine lineare Feder mit der Federkonstanten c abgebildet. An der Laufkatze hängt an einem dehnstarren masselosen Seil der Länge H die Traglast der Masse m 2. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-38

2.4 Beispiel: Hallenkran Die Laufkatze läuft auf vier Rädern. Das Massenträgheitsmoment eines jeden Rades um seine Achse ist J. Jedes Rad hat den Radius R. J R Aufgabenstellung: Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen für den Fall, dass der Antrieb ausgeschaltet ist. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-39

2.4 Beispiel: Hallenkran Wahl der Koordinaten: c m 1 x m 2 φ z Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-40

2.4 Beispiel: Hallenkran Physikalische Koordinaten: Die Position der Laufkatze wird durch die Koordinate x 1 beschrieben, die ab der Ruheposition gemessen wird. In der Ruheposition ist die Feder entspannt. Die Stellung der Räder wird durch den Winkel φ beschrieben, der ab der Stellung der Räder in der Ruheposition gemessen wird. Es wird angenommen, dass die Räder rollen. Daher haben alle Räder den gleichen Winkel φ. Die Position der Traglast wird durch die Koordinaten x 2 und z 2 beschrieben. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-41

Zwangsbedingungen: 2.4 Beispiel: Hallenkran Die Räder der Laufkatze rollen, ohne zu gleiten. Daher gilt: ẋ 1 =R = ẋ1 R Die Länge des Seils ist konstant: x 2 x 1 2 z 2 2 =H 2 R ẋ 1 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-42

2.4 Beispiel: Hallenkran Verallgemeinerte Koordinaten: Das System hat 2 Freiheitsgrade. x 1 x Als verallgemeinerte Koordinaten werden die Position x 1 der Laufkatze und der Winkel ψ, der die Lage der Traglast beschreibt, gewählt. Zusammenhang zwischen den Koordinaten: x 2 =x 1 H sin, z 2 =H cos ψ z ẋ 2 =ẋ 1 H cos, ż 2 = H sin Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-43

2.4 Beispiel: Hallenkran Kinetische Energie: Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der translatorischen kinetischen Energie der Laufkatze, der rotatorischen kinetischen Energie der vier Räder und der kinetischen Energie der Traglast. Translatorische kinetische Energie der Laufkatze: T 1T = 1 2 m 1 ẋ 1 2 Kinetische Energie der vier Räder: T 1 R =4 1 2 J 2 =2 J R 2 ẋ1 2 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-44

2.4 Beispiel: Hallenkran Kinetische Energie der Traglast: T 2 = 1 2 m 2 ẋ 2 2 ż 22 = 1 2 m 2 [ ẋ 1 H cos 2 2 H 2 sin 2 ] = 1 2 m 2 ẋ 1 2 2 ẋ 1 H cos H 2 2 Gesamte kinetische Energie: T =T 1T T 1 R T =[ 2 1 2 m 1 m 2 2 J ] R ẋ 2 2 1 1 2 m 2 H 2 2 2 ẋ 1 H cos Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-45

2.4 Beispiel: Hallenkran Potenzielle Energie: Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der potenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft. Die potenzielle Energie der Federkraft wird ab der Ruhelage, in der die Feder entspannt ist, gemessen. Dann gilt V F = 1 2 c x 2 1 Der Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft wird in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt. Dann gilt: V G = m 2 g z 2 = m 2 g H cos Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-46

2.4 Beispiel: Hallenkran Gesamte potenzielle Energie: V =V F V G = 1 2 c x 2 1 m 2 g H cos Lagrange-Funktion: L=T V L=[ 1 2 m 1 m 2 2 J R 2 ] 1 2 c x 2 1 m 2 g H cos ẋ1 2 1 2 m 2 H 2 2 2 ẋ 1 H cos Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-47

2.4 Beispiel: Hallenkran Mit m 1 =m 1 4 J / R 2 folgt: L= 1 2 m 1 m 2 ẋ 1 2 1 2 m 2 H 2 2 2 ẋ 1 H cos Ableitungen: 1 2 c x 2 1 m 2 g H cos L ẋ 1 = m 1 m 2 ẋ 1 m 2 H cos d L dt ẋ 1 = m 1 m 2 ẍ 1 m 2 H cos 2 sin Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-48

L =m 2 H H ẋ 1 cos 2.4 Beispiel: Hallenkran d L dt =m 2 H H ẍ 1 cos ẋ 1 sin L x 1 = c x 1, L = m 2 H ẋ 1 g sin Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-49

Lagrange-Gleichungen: 2.4 Beispiel: Hallenkran d L dt ẋ L =0 1 x 1 m 1 m 2 ẍ 1 m 2 H cos 2 sin c x 1 =0 d L dt 1 L =0 m 2 H H ẍ 1 cos ẋ 1 sin m 2 H ẋ 1 g sin =0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-50

2.4 Beispiel: Hallenkran Die Bewegungsgleichungen lauten also: m 1 m 2 ẍ 1 m 2 H cos 2 sin c x 1 =0 H ẍ 1 cos g sin =0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-51

2.4 Beispiel: Hallenkran Grenzfall: Sehr steife Feder Für c folgt aus der ersten Gleichung: x 1 0 Damit lautet die zweite Gleichung: g H sin =0 Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-52

Linearisierung: 2.4 Beispiel: Hallenkran Für kleine Winkel ψ gilt: cos 1, sin, 2 sin 2 0 Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu m 1 m 2 ẍ 1 m 2 H c x 1 = 0 ẍ 1 H g = 0 Dieses System von zwei gekoppelten homogenen linearen Differentialgleichungen beschreibt die freien Schwingungen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden. Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-53

2.4 Beispiel: Hallenkran Für den Spezialfall c = 0 folgt aus der ersten Gleichung: ẍ 1 = m 2 H m 1 m 2 Damit lautet die zweite Gleichung: g m 1 m 2 =0 H m 1 Wenn die Trägheit m 1 der Laufkatze groß gegenüber der Masse m 2 der Traglast ist, gilt m 1 m 2 =1 m 2 1 m 1 m 1 Damit ergibt sich die linearisierte Gleichung für das mathematische Pendel: g H =0 Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-54