Semiarausarbeitug: Gegebeispiele i der Wahrscheilichkeitstheorie - Uterschiedliche Kovergezarte vo Folge vo Zufallsvariable Volker Michael Eberle 4. März 203
Eileitug Die vorliegede Arbeit thematisiert die uterschiedliche Kovergezarte die eie Folge vo Zufallsvariable besitze ka. Ahad eiiger Beispiele werde wir die uterschiedliche Kovergezarte eiführe, ud dabei feststelle, dass sich das asymptotische Verhalte eier Zufallsvariable icht mit dee eier reelle Zahlefolge vergleiche lässt. Deshalb habe sich i der Wahrscheilichkeitstheorie weitere Kozepte gebildet um das asymptotische Verhalte besser erkläre zu köe. 2 Defiitio Im Weitere betrachte wir, falls ichts aderes agegebe ist, sowohl eie Zufallsvariable X als auch eie Folge vo Zufallsvariable {X, }, welche auf dem Wahrscheilichkeitsraum (Ω, F, P) defiiert sid. Um sich mit de uterschiedliche Kovergezarte befasse zu köe ist es uausweichlich die vier wichtigste Kovergezarte eizuführe. 2. Fast sichere Kovergez Ma sagt eie Zufallsvariable X kovergiert fast sicher gege X, falls: P[ω : lim X (ω) = X(ω)] = () 2.2 Koverget i Wahrscheilichkeit Die Folge X kovergiert i Wahrscheilichkeit gege X, falls für jedes ε > 0 gilt: lim P[ω : X (ω) X[ω) ε] = 0 (2) 2
2.3 Koverget i Verteilug Eie Folge vo Zufallsvariable kovergiert i Verteilug, falls für die Verteilugsfuktioe vo X bzw. X gilt: lim F (x) = F (x) (3) Wobei F bzw. F die Verteilugsfuktioe vo X bzw. X, ud die x Stetigkeitspukte sid. 2.4 Koverget im L r Seie X, X L r r. Da kovergiert die Folge X gege X im L r -Si, falls gilt: lim E X X r ] = 0 (4) Da wir jetzt die Bediguge eiiger Kovergezarte kee, wolle wir us u mit de Beziehuge die zwische de Kovergezarte bestehe befasse, ud die Gegerichtug widerlege. Fast sichere Kovergez Koverget i Wahrscheilichkeit Koverget i L^r Koverget i Verteilug 3 Gegebeispiele Ahad dieses Schaubild erket ma, dass Koverget i Verteilug die schwächste Form der Kovergez ist. Diese, ud die adere Implikatioe wolle wir i de folgede Gegebeispiele diskutiere. 3
3. Koverget i Verteilug vs. Koverget i Wahrscheilichkeit Sei X eie symmetrische Zufallsvariable (z.b N (0, )), ud X =-X. Da folgt aus der Symmetrie vo X, dass X d X. Jedoch folgt mit der Defiitio Koverget i Wahrscheilichkeit dass: P [ X X > ε] X= X = P [2 X > ε] = P [ X > ] 2 ε 0 Daher ist die Bedigug Koverget i Wahrscheilichkeit icht erfüllt. 3.2 Koverget i Wahrscheilichkeit vs. Fast sicher Koverget Seie Ω = [0, ], F = B [0,] ud P das Lebesgue-Maß, außerdem seie, m ud k N. Wobei m 0 ud 0 k 2 m, sodass = 2 m + k. A defiiert eie Folge vo Ereigisse mit folgeder Darstellug A = [k2 m, (k + )2 m ), wodurch die Zufallsvariable X (ω)= A (ω) defiiert werde. Da gilt für die Wahrscheilichkeite vo X 2 m falls 0 ε < P [ X ε] = 0 falls ε. We u m 2 m 0 also gilt X P 0. Kleies Zahlebeispiel: Seie =5, m=2 ud k= ud A 5 = [0.25; 0.5] Folglich gilt für die Wahrscheilichkeit vo X = A 5 Ω = 0.25 = 0.25 = 2 2 = 2 m Nu wolle wir zeige, dass X icht fast sicher kovergiert. Um dies zu zeige ist es hireiched, dass es uedlich viele X (ω) = ud uedlich viele X (ω) = 0 gibt. Sei dazu ω [k2 m, (k + )2 m ) mit k= 0,,..., 2 m. Da ka ma durch geeigete Wahl vo k ereiche, dass ω sowohl i A als auch i Ω \ A liegt, ud somit keie Grezwert besitzt. Der lim sup X = aber der lim if X = 0. Folglich ist die Fast sichere Kovergez vo X icht erfüllt. 4
3.3 Koverget i Wahrscheilichkeit vs. Koverget im L r Betrachte wir hierfür die Cauchyverteilug die folgede Dichte besitzt: f (x) = π( + 2 x 2 ) P [ X ε] = f (x)dx ε ε f (x)dx Desweitere gilt, dass ε ε f (x)dx = 2 0 y=x dx = 2 π( + (x) 2 ) π 0 = 2 arcta( ) π ε y=x f (x)dx = 2 dx = 2 0 π( + (x) 2 ) π ε 0 ( + y 2 ) dy ( + y 2 ) dy = 2 arcta(y) ε 0 = 2 arcta(ε) π π Also gilt für: P [ X ε] = f (x)dx ε ε f (x)dx 0 Die Kovergez i Wahrscheilichkeit ist erfüllt, aber was ist mit der Kovergez i L r? Sei hier r =. E [ X ] = = = 2 0 0 x π( + (x) 2 ) dx = x π( + (x) 2 ) dx + 0 x y=+(x)2 dx = 2 π( + (x) 2 ) = π [log(y)] = π [ log( + (x) 2 ) ] x π( + (x) 2 ) {x 0}(x)dx + x π( + (x) 2 ) x πy2x dy = 2 π 0 = y dy x π( + (x) 2 ) {x 0}(x)dx Aber ka ma aus der Divergez für r=, auch auf die Divergez vo r schließe? Ja wie folgeder Beweis zeige wird. 5
Um diese Beweis führe zu köe müsse wir die Kovexität der Expoetialfuktio ud die Hölder-Ugleichug verwede. Da gilt x,y R, λ [0, ] ud p,q> exp(( λ)x + λy) ( λ)exp(x) + λexp(y) p + q =. AB = (A p ) p (B q ) q = exp(log(a p ) p )exp(log(b q ) q ) = exp(log(a p ) p + log(b q ) q ) = exp ( p log(ap ) + q log(bq ) p exp(log(ap )) + q exp(log(bq )) = Ap p + Bq q Setze wir u für A ud B folgedes ei da ergibt sich: ) X A = (E X p ) p XY (E X p ) p (E Y q ) q E XY (E X p ) p (E Y q ) q E XY (E X p ) p (E Y q ) q ud B = Y (E Y q ) q X p Y q + p(e X p ) q(e Y q ) E( X p ) p(e X p ) + E( Y q ) q(e Y q ) E XY (E X p ) p E Y q ) q Für s < r, X= X s, p= r s ud Y= folgt: E( X s ) (E X sp ) p = (E X r ) s r Also folgt aus der Divergez vo E X automatisch auch die Divergez vo E X r. Wobei r ist. 6
3.4 Koverget im L r vs. Fast sicher Koverget Sei dazu X eie Folge vo uabhägige Zufallsvariable mit folgede Wahrscheilichkeite: P(X = /(2r) ) =, P(X = 0) = Wir zeige zuerst, die Kovegez im L r : E [X r ] = ( 2r ) r = 2 0 Fast sicher Koveget: Ma defiiere die Wahrscheilichkeit, dass X = 0 mit folgedem Ereigis A k = {ω Ω X (ω) = 0 k} Da die Zufallsvariable uabhägig sid ka ma A k N > k: P(A k ) = P({ω Ω X (ω) = 0 k N}) = ( ) ( ) ( ) k k + k + 2 =... k + k + 2 = k N We u N da folgt, dass k N icht erfüllt. auch wie folgt schreibe für N =k ( ) 0 ud damit ist die Fast sichere Kovergez Um das ächste Gegebeispiel verstädlich darstelle zu köe beötige wir das Lemma vo Borel Catelli welches wir a dieser Stelle kurz eiführe werde. 3.5 Lemma vo Borel Catelli Falls X eie Folge vo Ereigisse ist ud P[ X > ε] < k= 7
da folgt: P(sup(X )) = 0. Beweis: lim sup A k = A k, B A k = k= k= P(B) P( A k ) P(A k ) P(A k ) < k= k= k= Da ach Vorausetzug die Reihe k= P(A k ) kovergiert bedeutet, dass ab eiem die k= P(A k ) = 0 ist. Mit B = lim sup A k folgt da die Behauptug. 3.6 Fast sicher koverget vs. Koverget im L r Sei dazu X eie Folge vo Zufallsvariable: P(X = e ) = 2 ud P(X = 0) = 2 Wir beutze das Lemma vo Borel Catelli P[ X > ε] = P[X = e ] = P[ X 2 > ε] = + =2 = + N < = = 2 ( ) = + = + lim =2 N N =2 D.h die X kovergiere fast sicher gege 0. Jedoch kovergiere die X icht im L r Sie : E[ X r ] = er 2 L Hospital = re r 2 L Hospital = r 2 e r 2 Die letzte zwei Gegebeispiele habe eie besodere Rolle i der Wahrscheilichkeitstheorie ie. Wie gezeigt-ka ma ämlich keierlei Rückschlüsse weder vo der Kovergez im L r auf Fast sicher koverget, och vo Fast sicher koverget auf Kovergez im L r ziehe. 8
3.7 Summe die i Verteilug kovergiere Das achfolgede Beispiel zeigt, dass Zufallsvariable X, Y, die i Verteilug gege X bzw. Y kovergiere, och icht sicherstellt, dass auch die Summe X + Y gege X + Y kovergiert. Seie dazu X ud Y Zufallsvariable mit folgede Wahrscheilichkeite: P(X = 0) = P(X = ) = ud Y 2 = X. Da folgt durch die Kostruktio vo X ud Y, dass die Summe idetisch ist. Dies ist aber für die Summe vo X+Y icht richtig. De hier gilt: P(X + Y = 0) = P(X + Y = 2) = ud P(X + Y = ) = 4 2 9