Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Jens Wirth, Freiberg wirth@mth.tu-freiberg.de 1 Definition y Es sei P ein Punkt uf dem Einheitskreis, 10P = φ. Dnn besitzt 1 P P die Koordinten (cos(φ), sin(φ)). Dies knn mn nutzen, um durch periodische Fortsetzung uf gnz Ê 0 1 x die Funktionen sin(φ) und cos(φ) zu definieren. Mit dem Stz des Pythgors gilt offensichtlich 0P = 1 = sin (φ)+cos (φ). Diese Formel wird ls trigonometrischer Pythgors bezeichnet. Übung 1 Mn skizziere die Funktionen sin(φ) und cos(φ). Dbei verwende mn zum Messen von Winkeln die Konvention, dss ein rechter Winkel ds Mß π ht. Übung Mn beweise, dss gelten. cos(φ) = sin(φ+ π ), cos(φ) = cos( φ) und sin(φ) = sin( φ) Dreiecksberechnung mit Winkelfunktionen Wie der Nme schon vermuten lässt, eignen sich trigonometrische Funktionen in besonderer Weise zur Berechnung von und in Dreiecken. In rechtwinkligen Dreiecken AB mit AB = π gilt (schon llein wegen der Ähnlichkeit zu einem Dreieck mit A = 1 und der Definition der Winkelfunktionen) c = b cos(α) und = b sin(α), wobei wir wie üblich die Bezeichnungen = B und α = AB usw. verwenden. Uns interessieren ber Formeln die in llen Dreiecken gelten. This mteril belongs to the Public Domin KoSemNet dt bse. It cn be freely used, distributed nd modified, if properly ttributed. Detils re regulted by the retive ommons Attribution License, see http://cretivecommons.org/licenses/by/.0. For the KoSemNet project see http://www.lsgm.de/kosemnet. 1
.1 Erweiterter Sinusstz Ein llgemeines Dreieck wird durch die Höhe in rechtwinklige Teildreiecke zerlegt. Es gilt lso insbesondere b h c und dmit b sin(α) = h c = sin(β) α c β sin(α) = b sin(β) = c sin(γ). A H c B Frge: Welchen Wert ht sin(α) m llgemeinen Dreieck? Wir suchen eine geometrische Interprettion. Sei o.b.d.a. α < π. Dnn können A wir nch dem Peripheriewinkelstz A uf dem Umkreis des Dreiecks α A AB verschieben, ohne α (und ) zu ändern. Wählen wir A so, dss α BA = π ein rechter Winkel ist. M Dnn gilt mit der Umkehrung vom Stz des Thles für den Umkreismittelpunkt M BA und somit B sin(α) = A B = R, Es gilt lso der erweiterte Sinusstz wobei R der Umkreisrdius des Dreiecks ist. sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) = R.. Additionstheoreme I Die Innenwinkel im Dreieck erfüllen α+β+γ = π. Dmit ergeben sich uf elementre Weise Additionstheoreme für Winkelfunktionen sin(α+β) = sin(π α β) = sin(γ) und entsprechend cos(α+β) = cos(γ) unter der Nebenbedingung α+β < π. Um dies schöner zu gestlten, wenden wir den erweiterten Sinusstz n. Es gilt R sin(γ) = c = AH c + BH c = b cos(α)+ cos(β) = R(sin(β) cos(α)+sin(α) cos(β)) wobei H c der entsprechende Höhenfußpunkt ist. Wir hben lso
sin(α+β) = sin(α) cos(β)+sin(β) cos(α) bewiesen. Insbesondere ergibt sich die Doppelwinkelformel sin(α) = sin(α) cos(α). Um entsprechende Beziehungen für den osinus zu bekommen, müssen wir entweder verstehen, wrum ds Additionstheorem für lle α, β Ê gilt, oder eine bessere geometrische Interprettion für den osinus finden. Wir werden letzteres tun. An der Stelle soll nur vorb uf die Doppelwinkelformel für den osinus hingewiesen werden. Es gilt Ein Beweis erfolgt in Abschnitt.7.. Flächeninhlt cos(α) = cos (α) sin (α) = cos (α) 1. Auch der Flächeninhlt ist eine Invrinte des Dreiecks. Wir wollen die unsymmetrischen Formel A = 1 h umformen. Es gilt A = 1 h = 1 b sin(γ) und wegen dem erweiterten Sinusstz b = 4R sin(α) sin(β). Somit ergibt sich A = R sin(α) sin(β) sin(γ) = bc 4R..4 Zusmmenhng zu Inkreisrdius und Umfng Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhlbierenden. Diese zerlegen wie in der Skizze ds Dreieck in drei Teilflächen ABW, BW und AW, die Höhen der Teildreiecke sind jeweils die Rdien des Inkreises. Dmit ergibt sich eine einfche Flächenformel A = pr, in der p = 1 (+b+c) der hlbe Umfng des Dreiecks ist. Mit dem Sinusstz folgt ws sich mit den Doppelwinkelformeln = R sin(α), b = R sin(β), c = R sin(γ) sin(α) = sin cos p = R(sin(α)+sin(β)+sin(γ)), 00 11 00 11 00 11 01 0 1 0 1 000 111 r 000 0000 1111 r 111 00 11 0 1 0 1 1110 1 W 000 111 0 000 111 00 11r 00 11 00 11 0 1 000 111 0000 1111 A und cos(α) = cos ( β ) 1 B
über die Zwischenschritte = R(sin(α)+sin(β)+sin(α+β)) = R(sin(α)+sin(β)+sin(α) cos(β)+sin(β) cos(α)) = R(sin(α(1+cos(β)+sin(β(1+cos(α)) ( ( ( ) ( ) ( ) α β β β = 4R sin cos cos +sin cos cos ) ) ( ( ) β ( ( ) ( ) α β β = 4R cos cos sin cos +sin cos ) ( ( ) ( ) α β α+β = 4R cos cos sin = 4R cos cos cos umformen lässt in und mit A = pr in p = 4R cos cos cos r = 4R sin sin sin..5 osinusstz Etws us der Rolle fällt der osinusstz, er ist unsymmetrisch, soll ber trotzdem nicht unerwähnt bleiben. Es gilt mit dem Stz des Pythgors b h c α A H c c und dmit der osinusstz = h c + H c B = b AH c + H c B = b +(c AH c ) AH c = b +c c AH c B = b +c bccos(α). Der osinusstz ist nichts wirklich Neues. Er ergibt sich wie so vieles us dem Sinusstz, wie folgende Übung zeigt (zeigen soll). Übung Mn folgere den osinusstz us dem Sinusstz und dem trigonometrischen Pythgors (ls Definition der osinus-funktion)..6 Höhen und Höhenbschnitte Die Höhen eines Dreiecks erfüllen h c = b sin(α) = R sin(α) sin(β). 4
Führt mn die hlbe Höhensumme ls neue Hilfsgröße ein, so ergibt sich dmit q = 1 (h +h b +h c ) = R (sin(α) sin(β)+sin(β) sin(γ)+sin(γ) sin(α)). Mit den Formeln us Abschnitt. und.4 erhält mn dmit A = sin(α) sin(β) sin(γ), R q = sin(α) sin(β)+sin(β) sin(γ)+sin(γ) sin(α), R p R = sin(α)+sin(β)+sin(γ). Ähnliche Beziehungen gelten uch für die osini der Winkel. Aufgbe 1 ) mcht deutlich, dss für die Höhenbschnitte die Beziehungen und AH = R cos(α), BH = R cos(β), H = R cos(γ), HH = R cos(β) cos(γ), HH b = R cos(γ) cos(α), HH c = R cos(α) cos(β) gelten. Insbesondere ist ds Produkt der Höhenbschnitte konstnt, AH HH = BH HH b = H HH c = 4R cos(α) cos(β) cos(γ)..7 Additionstheoreme II Wir gehen wieder vor wie in Abschnitt., ersetzen nur den erweiterten Sinusstz durch die Formeln us dem vorigen Abschnitt. Es gilt R cos(γ) = H = H c HH c = b sin(α) R cos(α) cos(β) = R (sin(α) sin(β) cos(α) cos(β)) und dmit cos(α+β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β), vorusgesetzt, dss α+β < π ist. Übung 4 Mn komplettiere den Beweis durch jeweils eine Skizze für den Fll γ < π und γ > π. Aufgben Aufgbe 1 Mn zeige in einem Dreieck AB (mit den üblichen Bezeichnungen) die folgenden Beziehungen: 5
) AH = R cos(α), HH = R cos(β) cos(γ) für den Höhenschnittpunkt H und den Höhenfußpunkt H B. b) Der Fußpunkt der Winkelhlbierenden AW teilt die Seite B im Verhältnis sin(γ) : sin(β). c) sin(α)+sin(β)+sin(γ) sin(α) sin(β) sin(γ) = R r d) ( WURZEL, ι1) R(cos(α)+cos(β)+cos(γ)) = R+r. Aufgbe (A41145,[]) Mn beweise, dss ein Dreieck genu dnn rechtwinklig ist, wenn für seine Innenwinkel α, β und γ sin (α)+sin (β)+sin (γ) cos (α)+cos (β)+cos (γ) = gilt. Aufgbe In einem Dreieck AB gelten stets die folgenden drei Ungleichungen ) b) sin sin sin 1 8 1 ) ( ) β cos cos cos 4 c) 0 < sin(α)+sin(β)+sin(γ) Aufgbe 4 (A1715, [1] A85) Mn beweise folgenden Stz: Sind u den Umfng, R der Umkreis- und r der Inkreisrdius des Dreiecks AB, so gilt R > 1 ur. Ist ds Dreieck insbesondere rechtwinklig, so gilt sogr R 1 ur. Aufgbe 5 Die durch die Fußpunkte der Dreieckstrnsverslen gebildeten Dreiecke werden ls Fußpunktdreiecke bezeichnet. Die Trnsverslen des Ausgngsdreicks sind dnn wieder (ndere) Trnsverslen des Fußpunktdreiecks. So sind die Seitenhlbierenden eines Dreiecks gleichzeitig Seitenhlbierende seines Mittendreiecks. Mn zeige: Die Höhen eines Dreiecks AB bilden Winkelhlbierende seines Höhenfußpunktdreiecks H H b H c. 6
Aufgbe 6 Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks ht den Rdius 1 R. Litertur [1] Mthemtischer Lesebogen Junge Mthemtiker, Heft 80 Bezirkskbinett für ußerunterrichtliche Tätigkeit, Rt des Bezirkes Leipzig, 1987 [] WURZEL, 5/97, http://www.wurzel.org [] http://www.mthemtik-olympiden.de omments to do: convert pictures Attribution Section wirth (Dec 004): ontributed to KoSemNet grebe (005-0-11): Prepred long the KoSemNet rules 7