Kapite 14 Projektion 14.1 Bidebene Für die Aneige am weidimensionaen Ausgabegerät muß eine Abbidung (Projektion) der räumichen, dreidimensionaen Sene auf eine weidimensionae Projektionsebene erfogen. Gegeben sind das u projiierende Objekt, die Bidebene, das Projektionsentrum. P 2 P 1 P 1 P 2 Sehstrahen Projektionsentrum (Augenpunkt) Objekt Bidebene Abbidung 14.1: Zentraprojektion Ist der Abstand des Projektionsentrums von der Bidebene endich, so handet es sich um eine Zentraprojektion (perspektivische Projektion), andernfas handet es sich um eine Paraeprojektion (die Projektionsstrahen sind ueinander parae). 157
158 KAPITEL 14. PROJEKTION 14.2 Perspektivische Projektion Die abgebideten Objekte werden proportiona u ihrem Abstand ur Bidebene verkeinert. Je nachdem, ob die Bidebene eine, wei oder drei der Koordinatenachsen schneidet, entstehen ein, wei oder drei Fuchtpunkte. F F 1 F 2 1 Fuchtpunkt F 2 Fuchtpunkte F 1,F 2 F 1 F 2 F 3 3 Fuchtpunkte F 1, F 2, F 3 Abbidung 14.2: Zentraprojektionen mit unterschiedich vieen Fuchtpunkten OBdA sei die Bidebene geich der xy-ebene, und das Projektionsentrum iege auf der negativen -Achse im Punkt Z = (0,0, a). Gegeben Punkt P = (x,y,). Gesucht sind auf der Bidebene die
14.2. PERSPEKTIVISCHE PROJEKTION 159 Koordinaten des projiierten Bidpunktes P = (x,y,0). P y x a Z x P x y y P a P x Sene in Bickrichtung negativer y-achse Es git: x : a = x : (a + ) y Sene in Bickrichtung negativer x-achse Es git: y : a = y : ( + a) Abbidung 14.3: Anwendung der Strahensäte Betrachtet man die Sene von oben und von der Seite, so erhät man aufgrund der Strahensäte die Beiehung x x = 1 + /a, y y = 1 + /a, = 0. Die homogenen Koordinaten des projiierten Punktes auten P = (x/w,y/w,0,1) = (x,y,0,w) mit w = 1 + /a. Für die Transformationsmatrix der perspektivischen Projektion ergibt sich aso: P perspxy ( a) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1/a 1.
160 KAPITEL 14. PROJEKTION 14.3 Paraeprojektion 14.3.1 Normaprojektionen Stehen die Sehstrahen norma ur Bidebene, iegt eine orthogonae Projektion vor. a) b) Abbidung 14.4: Grund-, Seiten-, Aufriss (a) bw. axononometrische Projektion (b) Die häufigste Anwendung orthogonaer Projektionen iegt in der Darsteung eines Objekts durch Grund-, Auf- und Seitenriß (Abbidung 14.4 a). Eine weitere Form der Normaprojektionen sind die axonometrischen Projektionen, bei denen die Bidebene auf keiner der Körper-Hauptachsen senkrecht steht. Dadurch sind in der Abbidung mehrere ueinander norma stehende Fächen geicheitig sichtbar. Die resutierenden Darsteungen sind der perspektivischen Projektion ähnich. Anstee der ur Entfernung vom Auge proportionaen Verkürung erfogt aber eine geichmäßige Verkürung aer Kanten (Abbidung 14.4 b). Die Transformationsmatrix für die orthogonae Paraeprojektion auf die xy-ebene autet P orthoxy = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 da für jeden Punkt P = (x,y,,1) die Koordinaten des projiierten Punktes geich (x,y,0,1) sind., 14.3.2 Schiefe Projektionen Bei den schiefen Paraeprojektionen stehen die Sehstrahen nicht norma auf der Bidebene, sondern schneiden sie unter dem Winke β (Abbidung 14.5 ). Die schiefe Projektion auf die xy-ebene entspricht einer Scherung der x- und y-koordinaten proportiona u. Seien P 0 = (x,y,0) die orthogonae und P = (x,y,0) die schiefe Projektion von Punkt P = (x,y,). Sei L die Entfernung von P 0 nach P. Dann git x = x L cos(α) y = y + L sin(α) = 0 Wegen tan(β) = L fogt
14.3. PARALLELPROJEKTION 161 y P β L α P P 0 x Abbidung 14.5: Bidebene bei der schiefen Projektion x = x cos(α) tan(β) y = y + sin(α) tan(β) Der Winke β reget im projiierten Bid das Verhätnis von x-ausdehnung u -Ausdehnung. Die Koordinaten weier projiierter Punkte P 1, P 2 auten: x 1 = x 1 1 cos(α)/tan(β) y 1 = y 1 + 1 sin(α)/tan(β) x 2 = x 2 2 cos(α)/tan(β) y 2 = y 2 + 2 sin(α)/tan(β) Für wei Punkte, die sich nur bg. ihrer -Koordinaten unterscheiden, betragen die Abstände ihrer Bider in x- bw. y-richtung x 1 x 2 = ( 1 2 ) cos(α)/tan(β) y 1 y 2 = ( 1 2 ) sin(α)/tan(β) für den Abstand ergibt sich wegen P 1 P 2 = P 1 P 2 = x 1 x 2 2 + y 1 y 2 2 ( 1 2 ) 2 tan 2 (β) (cos2 (α) + sin 2 (α)) = 1 2 tan(β) cos 2 (α) + sin 2 (α) = 1.
162 KAPITEL 14. PROJEKTION Für die Berechnung der Transformationsmatrix benötigt der Agorithmus den Verkürungsfaktor d und den Scherwinke α. d gibt an, um wechen Faktor ur Bidebene norma stehende Strecken verkürt werden. Es git d = 1 tan(β). α definiert den Winke ur Horiontaen, unter dem diese Kanten aufgetragen werden. Für die Koordinaten des so projiierten Punktes P = (x,y,,1) git x = x (d cos(α)), y = y + (d sin(α)), = 0, w = 1 Die entsprechende Transformationsmatrix autet P schie f xy (α,d) = 1 0 d cos(α) 0 0 1 d sin(α) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Für d = 0 (β = 90 ) ergibt sich daraus die orthogonae Projektion. Bei schiefen Projektionen ist der Wert für d immer ungeich Nu. Zwei häufig as Ersat für Perspektive verwendete Projektionen haben die Werte d = 1 (β = 45 ), α = 35 (Kavaierprojektion) und d = 0.5 (β = 63.43 ), α = 50 (Kabinettprojektion). Bei der Kavaierprojektion werden ae auf der Bidebene norma stehenden Strecken unverkürt abgebidet. Bei der Kabinettprojektion ergibt sich eine Verkürung auf die Häfte ihrer ursprüngichen Länge.. /2 α α Kavaierprojektion: β = 45 Kabinettprojektion: β = 63.43 kombiniert mit α = 35 kombiniert mit α = 50 Abbidung 14.6: Zwei schiefe Projektionen