Entscheidungstheorie Teil 4

Entscheidungstheorie Teil 4 Sommersemester 2011 Prof. Dr. Antje Mahayni Mercator School of Management Department of Accounting & Finance Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 1/74

Gliederung Teil 4 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Gliederung Teil 4 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) 4.6 Begründung des Bernoulli Prinzips 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.3 Theoretische Bewertung 5.4 Praktische Relevanz Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 2/74

Entscheidung bei Risiko Fortsetzung Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 3/74

Begründung des Bernoulli-Prinzips Frage: Ist das Bernoulli Prinzip sinnvoll? Antwort A Überprüfung der All Aussage: Jeder Entscheidungsträger besitzt eine Nutzenfunktion u, so dass er in allen Risikosituationen seine Aktionen anhand des zugehörigen Nutzenerwartungswertes beurteilt Eine Verfizierung ist unmöglich Stochastifizierung (Bernoulli Prinzip prognostiziert relativ häufig das tatsächliche Verhalten) Antwort B Normativer Aspekt des Bernoulli Prinzips: Entscheide in Risikosituationen rational Präzisierung durch das Bernoulli Prinzip Welche Forderungen impliziert das Bernoulli Prinzip? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 4/74

Axiome (Bernoulli-Prinzip) Axiome (Bernoulli-Prinzip) Erfüllt die Präferenz eines Entscheiders bezüglich risikobehafteter Alternativen die Axiome einer Präferenzordnung (Vollständigkeit, Transitivität), das Stetigkeitsaxiom und das Substitutionsaxiom, so existiert eine Funktion u, deren Erwartungswert diese Präferenz abbildet Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 5/74

Nutzenfunktion u Bemerkung Nutzenfunktion u Bemerkung Die Nutzenfunktion bildet sowohl die Einstellung zum Wert einer Konsequenz als auch das Risikoverhalten ab Erkennt ein Entscheider die vorherigen Axiome an, so muss er sich in riskanten Entscheidungssituationen gemäß der Nutzentheorie verhalten Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 6/74

Stetigkeitsaxiom Motivation Stetigkeitsaxiom Motivation Hypothetische Entscheidungssituation p 1 p z 1 z 2 a 1 x=100e x=100e a 2 y=0e z=200e Eine Methode zur Bestimmung der Nutzenfunktion u (Methode der variablen Wahrcheinlichkeiten): Frage den Entscheidungsräger nach der Wahrscheinlichkeit p, so dass er indifferent zwischen Alternative 1 und 2 ist Die Frage muß für verschiedene sichere Auszahlungen (nicht nur für die obigen 100e) beantwortet werden (können) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 7/74

Zusammengesetzte Lotterien Motivation Stetigkeitsaxiom zusammengesetzte Lotterien Bei der Methode der variablen Wahrscheinlichkeiten muss der Entscheidungsträger ein p angeben können, so dass er indifferent zwischen der sicheren Auszahlung und der Lotterie ist Bei dem Stetigkeitsaxiom werden zusammengesetzte Lotterien betrachtet Bei einer zusammengesetzten Lotterie sind zwei oder mehr als zwei Lotterien hintereinandergeschachtelt Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 8/74

Zusammengesetzte Lotterien Beispiel Zusammengesetzte Lotterie Beispiel Betrachte die Lotterie Y, die mit Wahrscheinlichkeit p = 0, 2 eine Auszahlung von 400 ergibt und mit (1 p = 0, 8) eine Auszahlung von 0 Betrachte zusätzlich die Lotterie Z, die mit Wahrscheinlichkeit p = 1 eine Auszahlung von 100 ergibt (degenerierte Lotterie) Eine zusammengesetzte Lotterie ergibt sich nun, wenn man z.b. mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 an der Lotterie Y teilnimmt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 an der Lotterie Z Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 9/74

Zusammengesetzte Lotterien Illustration (zweistufig) Zusammengesetzte Lotterie Die zusammengesetzte Lotterie im obigen Beispiel kann als zweistufige Lotterie dargestellt werden Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 10/74

Zusammengesetzte Lotterien Illustration (einstufig) Zusammengesetzte Lotterie Die äquivalente einstufige Darstellung ergibt sich zu Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 11/74

Stetigkeitsaxiom 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Stetigkeitsaxiom Sind Lotterien (Verteilungen) X, Y und V gegeben wobei Y X V, dann gibt es eine Wahrscheinlichkeit p ( p ]0, 1[), bei der { Y WS p X V WS 1 p Bedeutung Das Stetigkeitsaxiom bedeutet, dass für jede Lotterie X, die von der Präferenz her zwischen Y und V liegt, immer eine Kombination von Y und V gefunden werden kann, die genauso gut ist wie X. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 12/74

Substitutionsaxiom (Unabhängigkeitsaxiom) Substitutionsaxiom (Unabhängigkeitsaxiom) Gilt für zwei Lotterien X Y, so muss auch für alle Lotterien Z und für alle Wahrschinlichkeiten p gelten, dass px + (1 p)v py + (1 p)v, d.h., { X WS p V WS 1 p { Y WS p V WS 1 p Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 13/74

Substitutionsaxiom (Unabhängigkeitsaxiom) Bedeutung Substitutionsaxiom (Unabhängigkeitsaxiom) Bedeutung Eine Präferenz zwischen zwei Lotterien X und Y soll sich nicht ändern, wenn beide Lotterien mit ein und derselben (somit für die Entscheidung irrelevanten) Lotterie verknüpft werden Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 14/74

Beispiel 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Beispiel Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 15/74

Beispiel (Fortsetzung) Beispiel (Fortsetzung) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 16/74

Beispiel (Fortsetzung) Beispiel (Fortsetzung) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 17/74

Klassische Entscheidungsprinzipien Teils aus intuitiven Gründen, teils aus traditionellen Gründen, haben sich auch andere Vorgehensweisen (als das Bernoulli Prinzip) eingebürgert Beispiele: µ Prinzip und (µ, σ) Prinzip (µ, σ) Prinzip Betrachtet wird die zufällige Auszahlung X (Verteilung) mit µ = E(X ) σ = Var[X ] = E[X 2 ] (E[X ]) 2 (µ, σ) Prinzip besagt, dass die Verteilung X (nur) nach ihrem Erwartungswert µ und ihrer Standardabweichung σ bewertet wird, d.h. Φ(X ) = Φ(µ, σ) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 18/74

Bemerkungen 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Unterscheidung (µ, σ) Prinzip und (µ, σ) Regel (µ, σ) Prinzip: Eine Verteilung X wird entsprechend eines Präferenzfunktionals Φ(X ) = Φ(µ, σ) beurteilt Die Festlegung der Funktion Φ ergibt eine (µ, σ) Regel z.b. Φ(µ, σ) = µ α 2 σ2 ((µ, σ) Regel) Darstellung von (µ, σ) Regel durch Indifferenzkurven Eine Indifferenzkurve ist die Verbindung aller (µ, σ) Punkte, die bzgl. des gegebenen Kriteriums als gleichwertig gelten Einsetzen der Punkte (von einer Indifferenzkurve) in die Entscheidungsregel ergibt immer dieselbe Bewertung Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 19/74

Indifferenzkurven risikoaverser Entscheidungsträger Indifferenzkurven risikoaverser Entscheidungsträger Erhöhung von σ (Risiko) muss durch eine Erhöhung von µ kompensiert werden Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 20/74

Indifferenzkurven risikoneutraler Entscheidungsträger Indifferenzkurven risikoneutraler Entscheidungsträger Risikoneutralität bedeutet, dass σ (Risiko) nicht von Bedeutung ist, d.h., die Bewertung hängt nur von µ ab (= µ Regel) Φ(µ, σ) = Φ(µ) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 21/74

Indifferenzkurven risikofreudiger Entscheidungsträger Indifferenzkurven risikofreudiger Entscheidungsträger Stimmen zwei Verteilungen in ihrem Erwartungswert überein, so wird diejenige mit dem höheren Risiko (σ) bevorzugt Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 22/74

(µ, σ) Entscheidungsregel (Aufgabe) Aufgabe Betrachtet werden die Verteilungen X 1 und X 2 mit x i P(X 1 = x i ) 0 0,1 0,5 0,2 1 0,4 2 0,2 3 0,1 x i P(X 2 = x i ) -0,5 0,1-0,25 0,2 1,5 0,4 3 0,2 4 0,1 Bewerten Sie die Verteilungen X 1 und X 2 mit der (µ, σ) Entscheidungsregel Φ(X ) = Φ(µ, σ) = µ 1 3σ 2 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 23/74

Lösung 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 24/74

(µ, σ) Prinzip (Problem) Beispiel Betrachte die Lotterien X und Y mit x i P(X = x i ) 1.000.000-1 1.000.001 1.000.000 1 1.000.001 y i P(Y = y i ) 1-1.000 2 1.000 X und Y stimmen in ihren Erwartungswerten überein E[X ] = 1.000.000 1.000.001 + 1 1.000.001 1.000.000 = 0 E[Y ] = 1.000 1 2 + 1.000 1 2 = 0 X und Y stimmen in ihren Varianzen überein Var[X ] = 1.000.000 1.000.001 1 1.000.001 (1.000.000 ( 1))2 = 1.000.000 Var[Y ] = 1 2 1 2 (1.000 ( 1.000))2 = 1.000.000 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 25/74 1 2

Problem Laut (µ, σ) Prinzip sind die Lotterien X und Y gleichwertig X beschreibt ein Glückspiel von der Art: Für einen sehr niedrigen Einsatz (1 e) erhält der Spieler mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit einen sehr hohen Gewinn (1.000.000 e) Demgegenüber ist der Gewinn bei Y weniger attraktiv und ein Verlust von 1.000 e relativ wahrscheinlich Das Risikoverhalten eines Entscheidungsträger kann aber nur dann durch eine (µ, σ) Regel beschrieben werden, wenn er indifferent zwischen den Verteilungen X und Y ist Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 26/74

Bemerkung Verträglichkeit mit dem Bernoulli Prinzip Bemerkung Verträglichkeit mit dem Bernoulli Prinzip Das Bernoulli-Prinzip und das (µ, σ)-prinzip sind genau dann verträglich, wenn das Präferenzfunktional Φ(µ, σ) und die Risikonutzenfunktion u(x) folgende Gestalt haben: Φ(µ, σ) = b 1 µ + b 2 (µ 2 + σ 2 ) u(x) = b 1 x + b 2 x 2, für beliebige Konstanten b 1, b 2 Für allgemeinere Präferenzfunktionale erhält man eine Verträglichkeit nur dann, wenn man die möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen einschränkt Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 27/74

Motivation Motivation 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Falls nur ein bestimmter Entscheidungsträger betrachtet wird (und dessen Risikonutzenfunktion ermittelt wurde), können alle Alternativen (problemlos) verglichen werden Aussagen über die Wirkung von: Entlohnungsschemata Regulierungsmaßnahmen Steuertarifänderungen können nur getroffen werden, wenn eine Gruppe von Entscheidungsträgern betrachtet wird Aussagen werden hier nur dann erzielt, wenn ein bestimmter Effekt für eine ganze Klasse von Nutzenfunktionen (z.b. CARA oder CRRA Nutzenfunktionen) nachgewiesen werden kann Wir werden im folgenden (umfangreichere) nichtparametrische Klassen von Nutzenfunktionen betrachten Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 28/74

Klassen von Nutzenfunktionen Klassen von Nutzenfunktionen U 1 = Klasse aller monoton wachsenden Risikonutzenfunktionen u U 2 = Klasse aller Risikonutzenfunktionen u aus U 1, die konkav sind Bemerkung u > 0 bedeutet, dass mehr besser ist und stellt den normalen Fall dar Gilt zusätzlich u < 0, so bedeutet dies abnehmenden Grenznutzen u < 0 bedeutet, die Nutzenfunktion ist konkav (risikoaverser Entscheidungsträger) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 29/74

Stochastische Dominanz ersten Grades Stochastische Dominanz ersten Grades (first degree stochastic dominance) Falls alle Entscheidungsträger mit einer Nutzenfunktion u aus U 1 zu demselben Urteil kommen, z.b. zu dem Urteil X 1 X 2 (gleichbedeutend mit E[u(X 1 )] E[u(X 2 )]), so spricht man von stochastischer Dominanz ersten Grades Kurz: X 1 FSD X 2 E[u(X 1 )] E[u(X 2 )] u U 1 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 30/74

Satz Stochastische Dominanz ersten Grades (FSD) Satz Stochastische Dominanz ersten Grades (FSD) Sind F 1 und F 2 die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen X 1 bzw. X 2, so liegt stochastische Dominanz ersten Grades von X 1 über X 2 (X 1 FSD X 2 ) genau dann vor, wenn: F 1 (x) F 2 (x) x IR X 1 dominiert X 2 vom Grade 1, wenn die Verteilungsfunktion F 1 unterhalb oder auf derjenigen von F 2 verläuft Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 31/74

Illustration Stochastische Dominanz ersten Grades (FSD) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 32/74

Stochastische Dominanz zweiten Grades Stochastische Dominanz zweiten Grades (second degree stochastic dominance) Falls alle Entscheidungsträger mit einer Nutzenfunktion u aus U 2 zu demselben Urteil kommen, z.b. zu dem Urteil X 1 X 2 (gleichbedeutend mit E[u(X 1 )] E[u(X 2 )]), so spricht man von stochastischer Dominanz zweiten Grades Kurz: X 1 SSD X 2 E[u(X 1 )] E[u(X 2 )] u U 2 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 33/74

Satz Stochastische Dominanz zweiten Grades (SSD) Satz Stochastische Dominanz zweiten Grades (SSD) Sind F 1 und F 2 die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen X 1 bzw. X 2, so liegt stochastische Dominanz zweiten Grades von X 1 über X 2 (X 1 SSD X 2 ) genau dann vor, wenn: x F 1 (y) dy x F 2 (y) dy x IR X 1 dominiert X 2 vom Grade 2, wenn an jeder Stelle x der Vergleich der Flächen unter den Verteilungsfunktionen (links von x) ergibt: die Fläche unter der Verteilungsfunktion 1 ist kleiner oder gleich derjenigen unter Verteilungsfunktion 2 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 34/74

Aufgabe 1 Stochastische Dominanz Aufgabe 1 Betrachten Sie die Verteilungen X 1 und X 2 mit x i P(X 1 = x i ) 200 1 x i P(X 2 = x i ) 100 0,5 300 0,5 Kommen alle Entscheidungsträger mit monoton wachsender Nutzenfunktion bei einem Vergleich von X 1 und X 2 zu einem einheitlichen Urteil? Kommen alle Entscheidungsträger mit monoton wachsender und konkaver Nutzenfunktion bei einem Vergleich von X 1 und X 2 zu einem einheitlichen Urteil? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 35/74

Aufgabe 2 Stochastische Dominanz Aufgabe 2 Betrachten Sie die Verteilungen X 1 und X 2 mit x i P(X 1 = x i ) 0 0,1 0,5 0,2 1 0,4 2 0,2 3 0,1 x i P(X 2 = x i ) -0,5 0,1-0,25 0,2 1,5 0,4 3 0,2 4 0,1 Gilt stochastische Dominanz ersten Grades? Gilt stochastische Dominanz zweiten Grades? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 36/74

Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 37/74

Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 120.) Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 2 Kapitel 4, S. 122.) Ein risikoneutraler Kostenrechner steht vor der Frage, ob er eine festgestellte Kostenabweichung in Höhe von 5.000 e näher analysieren soll oder nicht. Lässt er die Sache auf sich beruhen, dann muss er nach seiner Erfahrung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 damit rechnen, dass auch in der nächsten Periode (auf die sich die Planung bezieht) diese Mehrkosten wieder anfallen. Wenn er eine Ursachenanalyse, die 750 e Kosten verursacht, durchführt, sinkt die Wahrscheinlichkeit des Fortbestehens der Unwirtschaftlichkeit erfahrungsgemäß auf 0,1. Soll die Abweichungsanalyse durchgeführt werden? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 38/74

Lösung 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) Lösung Wichtig: Die Wahl der beiden Alternativen a 1 =Ursachenanalyse durchführen a 2 =Ursachenanalyse nicht durchführen besitzt eine Auswirkung darauf, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Zustände z 1 = Mehrkosten von 5.000 fallen (wieder) an z 2 = Mehrkosten fallen nicht an Laut stellung gilt P(z 1 a 2 ) = 0, 3 P(z 2 a 2 ) = 0, 7 P(z 1 a 1 ) = 0, 1 P(z 2 a 1 ) = 0, 9 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 39/74

Lösung (Fortsetzung) Lösung (Fortsetzung) Die Wahl von Alternative a 1 impliziert somit folgende Verteilung { 5.000 + 750 WS p = 0, 1 X 1 = 750 WS 1 p = 0, 9 E[X 1 ] = 0, 1 5.750 + 0, 9 750 = 1250 Die Wahl von Alternative a 2 ergibt X 2 = E[X 2 ] = 0, 3 5.000 = 1500 { 5.000 WS p = 0, 3 0 WS 1 p = 0, 7 Kostenanalyse durchführen Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 40/74

Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 123.) Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 5 Kapitel 4, S. 123.) Einem Unternehmer werden zwei Projekte angeboten. Bei dem ersten ist der Gewinn 20.000e oder 40.000e jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5; bei dem zweiten erhält er jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 einen Gewinn von y e bzw. 0e. Wie groß muss der Gewinn y des zweiten Projekts sein, damit beide Projekte gleich eingeschätzt werden? Bei der Beantwortung kann davon ausgegangen werden, dass sich der Unternehmer (im relevanten Bereich) gemäß der quadratischen Nutzenfunktion verhält. u(x) = x 2 100.000 + 2x Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 41/74

Lösung (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 123.) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 42/74

Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 126.) I Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 8 Kapitel 4, S. 126.) Der Unternehmer Müller legt seinen Entscheidungen eine lineare Nutzenfunktion u M (x) = x zugrund, der Unternehmer Schulze richtet sich nach der Nutzenfunktion u S (x) = { 1 50.000 x 2, 0 x 50.000 50.000 x 2 + 4x 100.000, 50.000 < x 100.000 1 Beide sollen dieselbe Lage beurteilen. Es soll entschieden werden, welches der beiden Produkte 1 und 2 auf den Markt gebracht werden soll. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 43/74

Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 126.) II Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 8 Kapitel 4, S. 126.) Produkt 1 bringt in der Planungsperiode mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 einen Gewinn von 50.000 e, mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 einen Gewinn von 90.000 e und mit 0,2 einen Gewinn von 100.000 e. Produkt 2 bringt in jedem Fall einen Gewinn von 80.000 e. Wie ist der Verlauf der beiden Nutzenfunktionen und welche Einstellung zum Risiko spiegeln sie wider? Wie entscheiden sich die beiden Unternehmer? Ändert sich an der Entscheidung etwas, wenn man berücksichtigt, dass beide Produkte zusätzliche fixen Kosten in Höhe von 50.000 e verursachen? Wie kommt es zu diesem Ergebnis? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 44/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz 5 Entscheidung bei Ungewissheit Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 45/74

Entscheidungen bei Ungewissheit: Unsicherheit im engeren Sinn 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Ungewissheitssituation Es ist bekannt, dass einer der Zustände aus dem Zustandsraum eintritt. Es ist aber nicht bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zustände eintreten. Beispiel: Versicherung eines neuen Flugzeug-Typs, über den noch keine Schadenshäufigkeiten vorliegen. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 46/74

Entscheidungsmatrix 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Entscheidungsmatrix bei Ungewissheit Im Folgenden werden wir der Einfachheit halber Ungewissheitssituationen mit nur endlich vielen Aktionen und endlich vielen (relevanten) Zuständen betrachten Zustände z 1 z 2... z n Aktionen a 1 u 11 u 12... u 1n a 2 u 21 u 22... u 2n.... a m u m1 u m2... u mn Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 47/74

Beispiel: Entscheidungsmatrix 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Beispiel Zustände z 1 z 2 z 3 Aktionen a 1 7 3 5 a 2 2 8 9 a 3 4 10 2 Welche Alternative wählen Sie? Für Zustand 1 ist a 1 optimal Für Zustand 2 ist a 3 optimal Für Zustand 3 ist a 2 optimal Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 48/74

Vergleichbarkeit von Strategien 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Vergleichbarkeit von Strategien Zwei Aktionen a k und a i sind nur dann unmittelbar vergleichbar, wenn entweder für alle Zustände (d.h. für j = 1,..., n) gilt u kj u ij a k ist mindestens so gut wie a i oder für alle Zustände (d.h. für j = 1,..., n) gilt u kj u ij a i ist mindestens so gut wie a k Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 49/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit Dominanz Eine Aktion a k dominiert eine Aktion a i, wenn a k in jedem Zustand mindestens so gut wie a i und in mindestens einem Zustand besser als a i ist. a k a i u kj u ij j = 1,..., n und es existiert mindestens ein j {1,..., n} mit u kj > u ij Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 50/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Effizienz Eine Aktion a i heißt effizient, wenn sie von keiner Aktion a k dominiert wird. Eine Aktion a i heißt ineffizient, wenn sie nichteffizient ist, d.h. wenn sie von mindestens einer Aktion a k dominiert wird. In dem obigen Beispiel sind alle drei Aktionen a 1, a 2 und a 3 effizient. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 51/74

(Heraus-) Filtern ineffizienter Aktionen 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz In der Praxis kommt es selten vor, dass eine Aktion alle anderen dominiert (man nennt eine derartige Aktion gleichmäßig beste Aktion). Daher kann dies nicht als Kriterium zur Entscheidung herangezogen werden. Man kann aber mit Hilfe der Dominanz ineffiziente Aktionen aussortieren. Zerlegung in vernünftige (effiziente) und unvernünftige (ineffiziente) Aktionen Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 52/74

5.2 Spezielle Entscheidungsregeln für Entscheidungen bei Ungewissheit 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Es werden Entscheidungsregeln eingeführt, die eine vollständige Vergleichbarkeit aller Aktionen erzwingen, indem sie den mit einer Aktion a i verknüpften Nutzenwerten u i1,..., u in eine einzige reelle Zahl Φ(a i ) als Gütemaß zuordnen, z. B.: Maximin-Regel (Wald-Regel) Maximax-Regel Hurwicz-Regel Laplace-Regel Savage-Niehans-Regel (Regel des kleinsten maximalen Bedauerns) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 53/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Bemerkung Vorteil: Ungewissheitsproblem wird formal auf ein Optimierungsproblem unter Sicherheit zurückgeführt Nachteil: (Gewisse) Willkür Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 54/74

MaxiMin Regel 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz MaxiMin Regel Für die Beurteilung einer Alternative ist nur der Erfolg maßgeblich, der im ungünstigsten Fall erzielt wird. Φ(a ) = max i {1,...,m} Nachteil: extrem pessimistisch min j {1,...,n} u ij Für unternehmerische Entscheidungen unbrauchbar, da der Worst Case dort meist ein Verlust ist. Frage: In welchen Bereichen können Worst Case Analysen sinnvoll sein? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 55/74

Beispiel MaxiMin-Regel 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Beispiel MaxiMin-Regel Schritt 1: Zeilenminima betrachten (Worst Case der jeweiligen Alternative) Schritt 2: Maximum der Minima Zustände z 1 z 2 z 3 Aktionen a 1 7 3 5 a 2 2 8 9 a 3 4 10 2 Entsprechend der MaxiMin-Regel gilt hier a = a 1 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 56/74

Bemerkung MaxiMin-Regel 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Bemerkung MaxiMin-Regel Pathologischer Pessimismus (Krelle) Zustände z 1 z 2 z 3 Φ(a i ) Aktionen a 1 0,999 1.000 1.000 0,999 a 2 1 1 1 1 Laut MaxiMin Regel ist hier a 2 die optimale Aktion Rechtfertigung der MaxiMin Regel Spieltheorie (hier ist das Umfeld ein rational handelnder Gegenspieler) Bei einem Übergang von Nutzen zu Schaden wird aus der MaxiMin die MiniMax Regel Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 57/74

MaxiMax-Regel 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz MaxiMax-Regel Für die Beurteilung einer Alternative ist nur der Erfolg maßgeblich, der im besten Fall erzielt wird. Φ(a ) = max i {1,...,m} Nachteil: extrem optimistisch max j {1,...,n} u ij Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 58/74

Beispiel MaxiMax-Regel 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Beispiel MaxiMax-Regel Schritt 1: Zeilenmaxima betrachten (Best Case der jeweiligen Alternative) Schritt 2: Maximum der Maxima Zustände z 1 z 2 z 3 Aktionen a 1 7 3 5 a 2 2 8 9 a 3 4 10 2 Entsprechend der MaxiMax-Regel gilt hier a = a 3 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 59/74

Hurwicz-Regel (Hurwicz (1951)) 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Hurwicz-Regel Kompromiss zwischen MaxiMin und MaxiMax Φ(a i ) = λ max u ij + (1 λ) j {1,...,n} 0 λ 1 = Optimismusparameter min j {1,...,n} u ij λ ist ein vom Entscheidungsträger selbst zu fixierender Parameter Spezialfälle λ = 0 MaxiMin λ = 1 MaxiMax Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 60/74

Bestimmung des Optimismusparameters 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Bestimmung des Optimismusparameters z 1 z 2 a 1 1 0 a 2 x x Variiere x bis der Entscheider indifferent ist Φ(a 1 ) = λ 1 + (1 λ) 0 = λ Φ(a ) = λ x + (1 λ) x = x λ = x Für λ mit 0 < λ < 1 wägt diese Regel zwischen günstigster und ungünstigster Konsequenz ab Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 61/74

Hurwicz-Regel Beispiel 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Hurwicz-Regel Beispiel Zustände λ 1 = 0, 25 λ 2 = 0, 75 z 1 z 2 z 3 Max. Min Φ(a i ) Φ(a i ) Aktionen a 1 7 3 5 7 3 4 6 a 2 2 8 9 9 2 3,75 7,25 a 3 4 10 2 10 2 4 8 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 62/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Hurwicz-Regel Kritik Hurwicz-Regel Kritik Betrachte die ordinale Nutzenmessung und die Entscheidungsmatrix Zustände λ = 1 2 z 1 z 2 Φ(a i ) Aktionen a = a 1 1 0 0,5 a 2-2 2 0 Wird etwa die folgende monoton wachsende Transformation betrachtet Zustände λ = 1 2 z 1 z 2 Φ(a i ) Aktionen a = a 1 1 0 0,5 a 2-4 10 3 so ist nun a 2 die optimale Aktion Hurwicz Regel erfordert kardinale Nutzenmessung Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 63/74

Hurwicz-Regel Kritik (Fortsetzung) 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Hurwicz-Regel Kritik z 1 z 2... z j z n a 1 1 0... 0 0 a 2 0 1... 1 1 Für welche Alternative würden Sie sich entscheiden? Allerdings basiert diese Kritik darauf, dass der gesunde Menschenverstand die Ungewissheitssituation in eine Risikosituation transferiert, wobei jeder Zustand als gleich wahrscheinlich angesehen wird. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 64/74

Laplace-Regel 4 Entscheidung bei Risiko (Fortsetzung) 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Laplace-Regel Die Laplace-Regel berücksichtigt alle möglichen Ergebnisse, wobei davon ausgegangen wird, dass alle Zustände gleich wahrscheinlich sind. Nutzensumme Φ(a i ) = Begründung: Bei Unsicherheit besteht kein Grund zur Vermutung, dass irgendein Zustand wahrscheinlicher ist als ein anderer (Prinzip des unzureichenden Grundes) Bemerkung: Auch hier wird kardinale Nutzenmessung benötigt n j=1 u ij Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 65/74

Laplace-Regel Kritik 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Laplace-Regel Kritik Bei starr festgelegten gleichen Gewichten kann sich die Rangfolge der Aktionen durch Hinzufügen einer gleichen Spalte ändern Beispiel: Ursprüngliche Entscheidungsmatrix z 1 z 2 Φ(a i ) a = a 1 3 1 4 a 2-1 4 3 Entscheidungsmatrix nach Hinzufügen einer gleichen Spalte z 1 z 2 z 3 Φ(a i ) a 1 3 1 1 5 a = a 2-1 4 4 7 Da die im Modell zu erfassenden Zustände vom Entscheidungsträger abhängen, können solche Erscheinungen in der Praxis nicht ausgeschlossen werden Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 66/74

Savage-Niehans-Regel 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Savage-Niehans-Regel Man betrachtet statt der Nutzenmatrix (u ij ) die Opportunitätskostenmatrix (s ij ) s ij = max k u kj u ij Gütemaß ( Φ(a i ) = max max j k Die zugehörige Entscheidungsregel ist Φ(a ) = min a i Φ(a i ) u kj u ij ) Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 67/74

Savage-Niehans-Regel: Beispiel 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Entscheidungsmatrix (Schritt 1: Bestimme für jeden Zustand den max. erreichbaren Wert) Zustände z 1 z 2 z 3 Aktionen a 1 7 3 5 a 2 2 8 9 a 3 4 10 2 Opportunitätskostenmatrix (Schritt 2: Bestimme Differenz (Bedauern)) Zustände z 1 z 2 z 3 Aktionen a 1 7-7=0 10-3=7 9-5=4 a 2 7-2=5 10-8=2 9-9=0 a 3 7-4=3 10-10=0 9-2=7 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 68/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Savage-Niehans-Regel: Beispiel (Fortsetzung) Opportunitätskostenmatrix (Schritt 3: Bestimme Zeilenmaxima= max. Bedauern, das bei jeder Strategie auftreten kann) Zustände z 1 z 2 z 3 Aktionen a 1 0 7 4 a 2 5 2 0 a 3 3 0 7 Schritt 4: Bestimme optimale Aktion = diejenige mit dem niedrigsten max. Bedauern a = a 2 Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 69/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Problem bei Entscheidung unter Ungewissheit Problem bei Entscheidung unter Ungewissheit Im Wesentlichen gibt es 3 Wege Gleichmäßig beste Aktion Gesamtheit der effizienten Aktionen Spezielle Entscheidungsregel Kritik ist bei allen drei Wegen angebracht Diskussion von wünschenswerten Forderungen an Lösungskonzepte Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 70/74

Theoretische Bewertung 5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Forderungen an Entscheidungsregeln nach Milnor 1 vollständige & transitive Rangordnung 2 Unabhängigkeit von der Reihenfolge 3 Dominierende Aktionen werden präferiert. 4 Neue Aktionen ändern die bisherige Rangordnung nicht. 5 Spaltenweise Addition von Konstanten verändert die Reihenfolge nicht. 6 Einfügen identischer Spalten verändert die Rangordnung nicht. Fazit Es gibt keine Entscheidungsregel, die alle Forderungen erfüllt. Nur die Laplace-Regel erfüllt die ersten fünf Forderungen. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 71/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz 5.4 Praktische Relevanz des theoretischen Konstrukts der Unsicherheit Reale Problemsituationen lassen sich meist besser durch Risikosituationen als durch Unsicherheitssituationen beschreiben. In der Regel verfügt der Entscheider über gewisse subjektive Wahrscheinlichkeitsvorstellungen hinsichtlich der Zustände. Selbst wenn keine subjektiven Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bestehen, kann man nach dem Prinzip des unzureichenden Grundes die Unsicherheitssituation durch Anwendung der Laplace Regel in eine Risikosituation überführen. kontroverse Diskussion Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 72/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 141.) Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 1 Kapitel 5, S. 141.) Eine Unternehmung hat für drei zur Debatte stehende Aktionen folgende Entscheidungsmatrix ermittelt: z 1 z 2 z 3 a 1 20 90 30 a 2 50 120 0 a 3 60 30 30 Wie lautet die optimale Aktion, wenn die Maximax Regel Hurwicz Regel (λ = 0, 3) Laplace Regel Savage Niehans Regel zugrundegelegt wird? Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 73/74

5.1 Dominanz und Effizienz bei Ungewissheit 5.2 Spezielle Entscheidungsregeln 5.4 Praktische Relevanz Aufgabe (Vgl. Bamberg/Coenenberg, S. 142.) Aufgabe: (Vgl. Bamberg/Coenenberg Aufgabe 2 Kapitel 5, S. 142.) Für die Entscheidungsmatrix z 1 z 2 z 3 a 1 20 90 30 a 2 50 120 0 a 3 60 30 30 bestimme man die Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2 und p 3 für die Datensituation z 1, z 2 und z 3 so, dass nach dem µ Kriterium alle drei Alternativen gleich bewertet werden. Prof. Dr. Antje Mahayni Entscheidungstheorie Teil 4 74/74