Einige dezimale Codes

Goethe-Gymsum Regesburg Semrrbet m Fch: Mthemtk Ege dezmle Codes XXXXXXXXX Schulhr: 7/8 be Mrkus Merger

Ege teresste Dezmlcodes Vorwort 3 Ds Eschluss-Ausschluss-Przp 4. Allgemees 4. Awedug der Koderugstheore 4 De ISBN-Codes 5. Allgemees 5. Der ISBN--Code 5.3 Der ISBN-3-Code 6 3 Der -fehlerkorrgerede Dezmlcode D 6 3. Kostrukto ud Egeschfte 6 3. Fehlerkorrektur 7 4 Der -fehlerkorrgerede Dezmlcode E 8 4. De Vdermode Mtrx 8 4. Kostrukto des Dezmlcodes ud Fehlerkorrektur 4.3 Bespele 5 Ausblck uf BCH-Codes Lterturverzechs Erklärug

Vorwort I der folgede Semrrbet beschäftgte ch mch tesv mt ege der wchtgste Dezmlcodes. Dezmlcodes hbe ee gute ud ee weger gute Egeschft; de eersets komme be Dezmlcodes lle Zffer, de es gbt, vor, ws se zu de größte (fst) buchstbefree Codes mcht. Aderersets st ds Alphbet Z / Z ke Körper, d kee Prmzhl st. Dher köe gute Dezmlcodes ur kostruert werde, dem m zuerst ee Code über ds Alphbet Z / Z defert ud us desem d lle Codewörter etfert, be dee rgedeer Stelle de Zffer steht. D e wrklch guter Code bgesehe vo eer hohe Fehlerkorrektur erster Le reltv groß se muss, führe ch zu Beg ds Eschluss-Ausschluss-Przp e, welches mr de Bestmmug der Größe ees Codes sehr erlechtert. 3

Ds Eschluss-Ausschluss-Przp. Allgemees Be dem Eschluss-Ausschluss-Przp (uch Przp vo Ikluso ud Exkluso) hdelt es sch um ee ützlche Methode, um de Mächtgket eer Mege U zu bestmme, we m vo eder Mege eer Folge U vo Telmege vo U, dere Veregug U ergbt, hre Mächtgket weß. De efchste Form deses Przps erhält m, we m ur zwe Mege A,B betrchtet. D glt ämlch für de Mächtgket dere Veregug: A B A + B A B. Dese Formel st he leged, we m sch de ezele Schrtte schut: Zuerst ddert m de Azhl der Gleder vo A ud B; herbe zählt m türlch de Gleder, de sowohl A ls uch B - lso m Schtt vo A ud B ethlte sd, doppelt ud zeht se deshlb eml weder b. Ds Eschluss-Ausschluss-Przp lefert u ee Verllgemeerug für ee belebge Azhl vo Telmege. Stz. Es se D glt: U U,,U ee Folge vo Mege derrt, dss U U + U U U + U U U k + U U U ( ) < < < k Auf ee usführlche Bewes verzchte ch deser Stelle, d des de Rhme deser Semrrbet sprege würde,. Awedug der Koderugstheore I der Koderugstheore utzt m deses Przp um de Größe N ees -äre Codes Y, der durch Redukto ees m-äre Codes X mt der Größe M etstde st (m>). Be der Dfferez U zwsche M ud N hdelt es sch um de Mege ller Codewörter vo X, de rgedeer Stelle ee Zhl zwsche ud m- hbe. Um U u zu bereche, bldet m de Folge der Mege U, U,, U, wobe es sch be der Mege U um de Mege ller Codewörter vo X hdelt, be dee der -te Stelle ee Zhl wsche ud m- steht. D de Veregug deser Mege U ergbt, k m uf dese Mege ds Eschluss- Ausschluss-Przp wede, um U zu bereche. Weß m d och M, k m NM-U ermttel. I meer Semrrbet wrd es mmer druf huslufe, dss ch vo eem berets kostruerte -äre Code uf dese Wese de Azhl der Codewörter ermttle, de keer Stelle ee hbe. Zum Abschluss des Thems e Bespel: Bespel. Es se der -äre Code R der Läge 4 mt der Prüfmtrx P[ ] gegebe. M bestmme de Code S, der etsteht, dem m us R lle Codewörter etfert, de rgedeer Stelle ee hbe. Lösug: Es se UR\S. R zu bestmme st trvl. We e Codewort de Form x xx3x4 ht, d gbt es für ede Whl vo x xx3 geu ee Möglchket für x 4, sodss x xx3x4 e Codewort vo R st. Also st R ³33. Um U zu bestmme, beutze ch u ds Eschluss-Ausschluss-Przp: We U, U, U 3, U 4 de Mege der Codewörter sd, de der //3/4 Stelle ee hbe, d glt, we sch der ufmerksme Leser lecht erschleße k, dss U 4 ² 6 + 4 4. Also st S 33-499... 4

De ISBN-Codes. Allgemees De Itertole Stdrdbuchummer (kurz: ISBN) det zur edeutge Kezechug vo Bücher. Se wrd vo eer spezelle Behörde edes Ldes ( Deutschld z.b. der ISBN-Agetur für de Budesrepublk Deutschld) de dort sässge Verlge vertelt. D de Betrgug eer ISBN-Nummer mt Koste verbude st, verzchte ege Kleverlge uf de Regstrerug eer ISBN. Jedes Buch ht ee egee ISBN-Nummer; selbst uterschedlche Auflge ees Buches hbe dere ISBN-Nummer. Ds erste ISBN-Modell wurde 97 vo der Itertole Orgsto für Normug veröffetlcht, de sog. ISBN-. Dese wurde bs 6 verwedet. Ab dem.jur 7 steg m ber uf de ISBN-3 um.. Der ISBN--Code Be dem ISBN--Code hdelt es sch egetlch cht um ee echte Dezmlcode. Er st we folgt defert: Defto. Der ISBN--Code st der Code, der etsteht, we m us dem -äre (, 9,)-Code I mt der Prüfmtrx P[ 3 4 5 6 7 8 9 ] lle Codewörter etfert de rgedeer Stelle ußer der letzte ee hbe. Ht e Codewort de Form x xx3x4 x5x6 x7 x8x9x, so ergbt sch, d - mod, folgede Prüfglechug: x x + x + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 mod. x et m uch Prüfzffer; st dese glech so schrebt m des ls X, de römsche. M erlubt für de Prüfzffer deshlb uch de, wel sch dmt gz lecht ISBN- Codewörter kostruere lsse: m wählt x bs x 9 belebg ud setzt dese d der obge Prüfglechug e, um x zu erhlte. Außerdem lässt sch deswege gz lecht de 9 Größe des ISBN--Codes gebe, ämlch. De dere Zffer stehe der Rehe ch für de Sprche, de Verlg ud de Ttelummer des Buches. Ds wrklch Iteresste m ISBN--Code sd edoch folgede zwe Egeschfte: Stz. Der ISBN--Code st -fehlererkeed. Bew.: Ageomme es wrd e Codewort c gesedet, ber e Codewort x mt eem Fehler der Größe u der -te Stelle wrd empfge, lso xc+ue. Folglch glt: S(x)S(c+u e )S(c)+S(u e )S(ue ) u Dmt der Fehler cht erkt wrd, muss S(x) gelte. Des st d der Fll, we oder u glech st. D ber cht se k, müsste u glech se. Ist u ber glech, so legt ke Fehler vor. Also st der ISBN--Code -fehlererkeed. q.e.d. Stz.3 Der ISBN--Code erket belebge Vertuschugsfehler. Bew.: Ageomme es wrd be der Übertrgug x ud x vertuscht (< o.b.d.a.). D glt für ds Fehlerwort e: e ( x - x ) ( x - x ) Also st ds Sydrom Se P t ( x x ) + ( x x ) (-)( x - x ). Dmt S st, muss etweder oder x x gelte. D legt ber ke Fehler vor. Also erket der ISBN--Code belebge Vertuschugsfehler. q.e.d. 5

.3 Der ISBN-3-Code Im Gegestz zum ISBN--Code st der ISBN-3-Code e echter Dezmlcode. Er st folgedermße defert. 9 Defto.3 Der ISBN-3-Code st der (3,, )-Dezmlcode, be dem: - de erste dre Stelle etweder 978 oder 979 steht ud - de Prüfmtrx P[ 3 3 3 3 3 3 ] st. De Eführug der ISBN-3 dete erster Le dzu, um de Zhlerum des ISBN- Codes zu verdoppel ud de ISBN-Nummer de EAN zupsse. De erste dre Zffer eer ISBN-3 blde e Präfx, de dere zeh stmme hrer Fukto mt de Zffer der ISBN- übere. Der ISBN-3 erket, geu we der ISBN--Code, efche Fehler, llerdgs cht belebge Vertuschugsfehler, soder ur Vertuschuge vo eer k-te uf ee +-te Stelle ud uch ur d, we de Fehlergröße uglech 5 st. D de Bewese log zur ISBN- verlufe, verzchte ch deser Stelle uf se. 3 E -fehlerkorrgereder Dezmlcode 3. Kostrukto ud Egeschfte Nch de ISBN-Codes beschäftge ch mch mt eem Dezmlcode, der cht ur -fehlerkorrgered st, soder uch ee Korrekturltertve zur Sydrom-Dekoderug betet. Um dese Code zu kostruere, betrchte ch zuerst de lere -äre Hmmgcode () H, welcher de Prüfmtrx P ht. 3 4 5 6 7 8 9 Be deser Prüfmtrx streche ch u de erste ud letzte Koordte ud erhlte ee eue lere -äre Code C mt der Prüfmtrx P '. 3 4 5 6 7 8 9 Me gesuchter Code D st derege, der etsteht, dem m us C lle Codewörter etfert, de rgedeer Stelle ee hbe. D st chtler, d bem Etfere deser Codewörter de Abgeschlossehet verlore geht. Bevor ch mch mt der Fehlerkorrektur beschäftge, utersuche ch D zuvor och uf see Mmlbstd ud see Größe: D der Hmmgcode H ( ) ee Mmlbstd vo 3 ht, st es he leged, dss uch d(d)3 glt. Um des zu bewese muss ch zege, dss ) d(d)> ud b) d(d)<4 glt. Zu ) Ageomme, es uterschede sch zwe Codewörter d,d us D ur der -te Stelle um ud der -te Stelle um b (< o.b.d.a.). Ht d de Form x x x x, d ht d folglch de Form x ( x + )( x + b) x. Setzt m d,d u ewels de us der erste Zele etstehede Prüfglechug e ud zeht de bede Glechuge voeder b, erhält m +b mod -b mod. Als Nächstes betrchte ch de us der zwete Zele etstehede Prüfmtrx. D dese de Form x + x3 + zxz + + 9x mod ht, ergbt sch, we m d,d ewels esetzt ud de bede Glechuge voeder bzeht, dss (-)+(-)b mod. Setzt m u de obge Erkets e, so erhält m (-)-(-) mod (-) mod. D ber ee Prmzhl st, st des ur möglch, we mod oder - mod mod. I bede Fälle sd d ud d ber detsch. Also st d(d)>. 6

Zu b) Um des zu zege, geügt es ls Bespel de Codewörter 5 ud b3 zu erwähe. Bede sd Codewörter us D, d se de Prüfglechuge erfülle ud d(,b)3. Also st d(d)<4. q.e.d. Nchdem ch D uf see Mmlbstd geprüft hbe, beschäftge ch mch u mt seer Größe: De Größe vo C zu bestmme, st sehr lecht. Wählt m x 3 bs x belebg so ergbt sch für x gemäß der zwete Prüfglechug geu ee Lösug; setzt m u wederum x bs x de erste Prüfglechug e, ergbt sch uch für x ee edeutge Lösug. Also st C 8. Kfflger st es U C D zu ermttel; herbe utze ch ds zu Beg egeführte Eschluss-Ausschluss-Przp. Es se S de Mege ller Codewörter, de der -te Stelle ee hbe. Um ds Gze e weg zu beschleuge, bewese ch folgede Stz. Stz 3.4. Bem Code C glt für { 8}, dss de Azhl ller Codewörter us C, de 8 mdestes Stelle ee hbe, glech st. Bew.: Als Erstes betrchte ch de Azhl der Möglchkete, we m de -ml vorkommede Zffer uf möglche Stelle vertele k. D ch be deser Art der Betrchtug lle vo verschedee Zffer ls glech sehe, glt, dss dese Azhl! glech st. D es be eder deser Kombtoe geu 8 möglche!( )! Codewörter gbt, wel wege der zwe Prüfglechuge e Codewort scho d geu 8 bestmmt st, we m 8 Zffer vo hm ket, gbt es lso Codewörter, de mdestes Stelle ee hbe. Dbe k cht größer ls 8 se, d soste für dese Azhl kee türlche Zhl heruskäme. q.e.d. Mt desem Stz k ch u gz lecht de Formel für U gemäß dem Przp vo Ikluso ud Exkluso ufstelle: 7 6 5 U + 3 8 We [R] behuptet, st des glech 3 74 5; folglch st D 864469. C U 8 3745 3. Fehlerkorrektur Nchdem ch u de wchtgste Egeschfte vo D herusgerbetet hbe, beschäftge ch mch u mt der besoders prktsche Fehlerkorrektur vo D. Dzu ehme ch, dss be eem Codewort der -te Stelle e Fehler der Größe u gemcht wrd, sodss ds eu etstdee Wort ux+ue st. D glt für ds Sydrom vo u: [ s t ]S(u)S(x+ue )[ u u(-) ] Also weß ch, we ch ds Sydrom vo eem Codewort gegebe hbe, be dem e efcher Fehler gemcht wurde, dss de erste Koordte der Größe des gemchte Fehlers 7

etsprcht. Um d och de Stelle, der der Fehler gemcht wurde, zu ermttel, löse ch efch, we t de zwete Koordte des Sydroms st, de us tu(-) mod resulterede Glechug t u + t s + mod. Im Gegestz zur ormle Sydrom-Dekoderug st dese Vrte sehr schell ud ohe großes Fehlerrsko gelöst. Allerdgs k m uf dese Art och etws mehr, ls efche Fehler zu korrgere: Ds der Code D Vertuschugsfehler geu we der ISBN-Code erket, st klr, d e Vertuschugsfehler uch ur e besoderer zwefcher Fehler st ud d(d)3; m Gegestz zum ISBN-Code, der, we e Vertuschugsfehler gemcht wurde, ur regstrert ht, dss rgede Fehler gemcht wurde, st der Code D ber uch der Lge, we e Vertuschugsfehler gemcht wrd, explzt zu erkee, dss e Vertuschugsfehler gemcht wurde, uch we er h cht korrgere k. Des legt dr, dss m Flle ees Vertuschugsfehlers de erste Koordte des Sydroms mod se muss, d de Koeffzete der erste Prüfglechug lle sd. Also k m, we vo eem Codewort x ds Sydrom S(x)[ s t ] gegebe st, ch folgedem Dekoderugsmuster vorgehe:.fll) s ud t I desem Fll mmt m, dss ke Fehler gemcht wurde..fll) s ud t I desem Fll mmt m, dss e Vertuschugsfehler gemcht worde st. 3.Fll) s ud t I desem Fll mmt m, dss der Stelle t s + mod e Fehler der Größe s gemcht worde st. Herzu e pr Bespele: Bespel 3. M dekodere ds Codewort 563467439! D 5+6+3+4+6+7+4+3++94 ud 6 + 3 + 3 4 + 4 6 + 5 7 + 6 4 + 7 3 + 8 + 9 9 mod st, st S(563467439)4. Also wurde der Stelle 4 + 3 + 7 e Fehler der Größe 4 gemcht. Dher st ds Fehlerwort glech 4e 7 ud m dekodert mt 563467439-4e 7 56346739. A desem Bespel seht m gut, dss m bem Dekodere gelegetlch Stmmbrüche Zhle us Z / Z umwdel muss. Deshlb sollte m sch merke, dss 6, 45 45 56 45 4, 3, 9,, 5, 7, 5 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 ud Z / Z glt. Bespel 3.3 M dekodere ds Codewort 47864! D +4+7+8++6+4+ st, ht ds Sydrom vo 47864 de Form ; folglch geht m dvo us, dss e Vertuschugsfehler gemcht wurde. Bespel 3.4 m dekodere ds Codewort 8934763! D 8+9+3+4++6+++3 ud 9+6++8++36+7+8+7, st S(8934763). Also mmt m, dss ke Fehler gemcht wurde! 4 E -fehlerkorrgereder Dezmlcode 4. De Vdermode Mtrx Bevor ch de ächste Dezmlcode kostruere, beschäftge ch mch e bssche mt eer Mtrx, de für dese ud für vele dere gute Codes wchtg st, der Vdermode Mtrx. 8

Defto 4.4 Es se m N ud,,, m, m Elemete ees Körpers. D st de durch,,, m, m bestmmte Vdermode Mtrx V glech: m V (,,, m, m ) m. m m m m Dese Mtrx st besoders prktsch für mee Zwecke, d de Zele ud Splte ler ubhägg sd, we lle uterschedlch sd. Um des zu bewese, betrchte ch zuächst ee Formel zur Berechug der Determte eer Vdermode Mtrx: Stz 4.5 De Vdermode Mtrx V,,, m, ) ht de Determte: D,,, m, ) ( m < ( ). ( m Bew.: durch vollstädge Idukto. Iduktosfg: Für de Mtrx Iduktosschrtt: Für de Vdermode Mtrx se D( ) ( ) < <. Iduktosschluss: Für e ergäze m u dese st < ( ). Vdermode Mtrx zu der etsprechede (+) (+) Vdermode Mtrx, dem m vor schebt. Für desse Determte glt d: D( ) (Nu etwckelt m ch der erste Zele ud wedet d de Multlertät!) ( ) ( ) ( ) < < ( ) ( ). ( ) Um de Idukto bzuschleße, substtuert m och : : +. ( ) ( ) q.e.d. 9

Nu bruche ch och ee llgemee Egeschft vo Determte. Stz 4.5 Ist vo eer Mtrx A de Determte D(A) uglech Null, so sd de Zele ud Splte vo A ler ubhägg. Auf ee Bewes verzchte ch, d deser edem gute Buch über lere Algebr ethlte st. Wedet m dese Stz u uf eer Vdermode Mtrx, so stellt m fest, dss de Zele ud Splte ler ubhägg sd, we de lle verschede sd, d ( ) < < d, ud ur d Null wrd, we zwe glech sd. Des wrd glech och zemlch ützlch se. 4. Kostrukto des Dezmlcodes ud Fehlerkorrektur M betrchte u de Mtrx 3 P ² 3² ² ³ 3³ ³ D m us ewels ver Splte deser Mtrx ee Vdermode Mtrx mt uterschedlche blde k, sd folgedesse uch lle Kombtoe vo ver Splte ler ubhägg. Außerdem sd gemäß [R] de erste füf Splte ler ubhägg. Dmt st de mmle Azhl ler bhägger Splte lso füf, d weger ls füf Splte cht ler bhägg se köe, d ewels ver Splte ee Vdermode Mtrx blde ud somt ler ubhägg sd. Des Wetere sd uch de Zele vo P ler ubhägg, de wäre se es cht, müsste es ee etsprechede chttrvle Lerkombto gebe; würde m ber u lle Zele um sechs Dmesoe verkleer, erhelte m weder ee Vdermode Mtrx mt ler ubhägge Zele. De gefudee chttrvle Lerkombto müsste ber uch für dese Mtrx gelte, ws e Wderspruch wäre. Also sd de Zele vo P ler ubhägg. Aus dese Egeschfte folgt, dss P de Kotrollmtrx ees lere [,6,5] Codes über Z st, d be eem lere Code de mmle Azhl ler bhägge Splte dem Mmlbstd etsprcht. Es se u E derege Code, der etsteht, we m us desem Code lle Codewörter etfert, de rgedeer Stelle ee hbe. E st türlch chtler, d offeschtlch de Abgeschlossehet der Addto verlore geht. Aber E ht ebeflls de Läge ud de Mmlbstd 5 ud st deshlb -fehlerkorrgered. Um de Größe vo E zu bestmme, verwedet m ereut ds Eschluss-Ausschluss-Przp, erhält ee ählche Formel we bem Code C ud erhält, we [R] behuptet, 683 4 ls Größe vo E. Auch E betet ee teresste Altertve zur Sydrom-Dekoderug. Um dese zu verstehe, geht m dvo us, dss e Codewort c us E gesedet wrd, ber be der Übertrgug e Fehler e der Form e ue + ve gemcht wrd, wobe u,v Z ud o.b.d.a. < glt. Für ds Sydrom vo xc+ ue + ve glt folglch: t t S(x) xp ( ue + ve ) P [ u + v u + v u² + v² u³ + v³ ] Ht ds Sydrom ees empfgee Wortes lso de Form S ( x) [ s s s3 s4 ], so lässt sch folgedes Glechugssystem ufstelle:

u + v u + v s s u ² + v² s u ³ + v³ s Als Nächstes multplzert m de erste dre Glechuge mt ud subtrhert d de ächste Glechug, wodurch m folgedes erhält: v( ) s s v( ) s s v²( ) s s Durch Qudrere der mttlere Glechug erhält m v² ²( )² ( s s3)², durch Multplkto der erste ud drtte Glechug v² ²( )² ( s s )( s3 s4 ). Setzt m u bede Glechuge glech, ergbt sch: ( s s4 s3)² ( s s )( s3 ) ² s ss3 + s3 ² ss3 ss4 ss3 + ss4 s s s ) ² + ( s s s s ) + s s s ( 3 4 3 3 4 Hätte m zu Beg mt sttt mt multplzert, wäre m zu derselbe Glechug gekomme, ur mt eem eder Stelle, wo etzt e steht. Um ds Gze etws überschtlcher zu mche, setzt m A s s ), B s s s ) 3 3 4 3 4 ( s3 ( 4 s3 ud C s3 ss4. Folglch sd de Stelle der Fehler glech de Lösuge der qudrtsche Glechug Ay² + By + C Es blebt och de Frge, ws pssert, we ur e Fehler bem Übertrge gemcht wrd. Ist des der Fll, so k m de Größe ud Stelle v des zwete Fehlers glech ull setze. D ergbt sch für de Form des Sydroms vo x: S ( x) [ u u u² u³ ]. Setzt m des de Formel für A,B ud C e, fdet m herus, dss desem Fll A ( u )² u u² u² ² u² ², B u u³ u u² u² ³ u² ³ ud C ( u²)² u u³ 4 4 u² u². Also ht Ay ² + By + C de Form, weshlb sch so de Stelle, der der Fehler gemcht wurde, cht erreche lässt. Stttdesse beutzt m de Glechuge u + v s ud u + v s, de desem Fll u s ud u s lute. Somt befdet sch der Fehler der Stelle s s ud ht de Größe s. Iteresst st och, dss zwe Fehler keem Fll we e Fehler korrgert werde; de desem Fll muss A uglech ull se muss. De A st äquvlet zu s ss3 ( u + v)² ( u + v)( u² + v²) u² ² + uv + v² ² u² ² v² u vu² v² ² v² u uv + vu² ² + ² ( )², ws e Wderspruch zur Ahme wäre. Auf Grud deser Erketsse st m u der Lge folgedes Dekoderugsmuster ufzustelle: Glt für e empfgees Wort x, dss S ( x) [ s s s3 s4 ], so uterschedet m folgede Fälle: ) S(x); desem Fll geht m dvo us, dss ke Fehler gemcht wurde. ) S(x), ber A, B ud C; desem Fll geht m dvo, dss e Fehler gemcht wurde; deser wurde der Stelle s s gemcht ud ht de Größe s.

3) S(x) ud A uglech ull; desem Fll mmt m, dss e Fehler der Form ue + ve gemcht wurde. De Stelle, der bede Fehler etspreche de Lösuge der qudrtsche Glechug Ay²+By+C. Ht m ud ermttelt, sd de Größe u ud v der bede Fehler durch u+v s ud u+v s bestmmt. 4) Bestzt de qudrtsche Glechug us Fll 3) kee Lösug über Z, so wurde be der Übertrgug mehr ls zwe Fehler gemcht. Für de 4.Fll st es wchtg, sch zu merke, dss Z folgedes glt, 3 5, 4, 5 4 ud 9 3. Alle dere Zhle us Z hbe kee Qudrtwurzel. Des Wetere st och erwäheswert, dss zwr drefche ud verfche Fehler erkt werde, ber be der Korrektur cht zwged ls solche berückschtgt werde. Ege vo de dbe etstdee Wörter hbe zu eem gültge Codewort de Abstd zwe oder sogr och gerger ud werde deshlb etspreched dekodert. 4.3 Bespele Um ds Verfhre zu verdeutlche, folge u ege Rechebespele: Bespel 4.5 M dekodere ds Wort x3355564! D S(3355564)[ 8 7 ], st A64-44 mod, B4-8-66 mod ud C-5644 mod ; lso geht m dvo us, dss e Fehler gemcht wurde. Deser Fehler wurde der Stelle 8 6 8 48 4 gemcht ud ht de Größe. Folglch st ds Fehlerwort glech e4 ud m dekodert mt cx- e 43335564. Bespel 4.6 M dekodere ds Wort x47396889! D S(47396889)[ 7 ] st A49-396, B-7-66 ud C-738. Also ergbt sch folgede Glechug: 6y²+6y+8 Mt deser lsse sch u de bede Stelle der Fehler bereche. B ± B² 4AC 6 ± 36 6, 5 ± 9 5 ± 3,8 A De Größe u,v der Fehler lsse sch durch ds Löse der Glechuge u+v ud u+8v7 ermttel. Dbe ergbt sch u ud v. Also st ds Fehlerwort glech e + e8 ud m dekodert mt cx- e + e8 45396889. Bespel 4.7 M dekodere ds Wort x3747! D S(3747)[ 5 4 4 ], st A-83, B-4- ud C6-4-4 9. Also ergbt sch folgede Glechug: 3y²+y+9 Dmt glt für de Stelle der bede Fehler: B ± B² 4AC ± 4 9 9 ± 6, A 6 6 Allerdgs ht 6 Z kee Qudrtwurzel. Folglch wurde mehr ls zwe Fehler gemcht ud x st cht dekoderbr. 5 Ausblck uf BCH-Codes Zum Abschluss meer Semrrbet wll ch ds Przp des -fehlerkorrgerede Codes D e weg verllgemeer, ud zwr uf de so gete BCH-Codes, bet ch hre Etdecker R.C. Bose, D.K. Ry-Chudhur ud A. Hoqueghem. Dese hbe ee ählche Prüfmtrx we D ud lsse sch folgedermße kostruere:

Defto 5.5 Es se p prm, d, N ud d p-. Der lere, p-äre BCH-Code der Läge ud mt dem Mmlbstd d st durch de Prüfmtrx P 3 P ² 3³ ² d d d 3 chrktersert. Besoders teresst sd dese Codes, d se de Sgeltoschrke erfülle, es glt lso d + A p (, d) p. Dmt sd se perfekte [,-d+,d]-codes über Z p. Im Rhme deser Semrrbet fdet sch llerdgs für ee detllertere Erörterug deser Codes ke Pltz mehr, weshlb ch deser Stelle ufhöre. 3

Lterturverzechs [R] S. ROMAN Itroducto to codg d formto theory, Sprger-Verlg, New York (997) [ W ] http://e.wkped.org/wk/itertol_stdrd_book_number etomme m 7.5.8 [ W ] http://e.wkped.org/wk/ler_code etomme m 4.5.8 [ W3 ] http://e.wkped.org/wk/squre_root etomme m.5.8 4

Erklärug Ich erkläre hermt, dss ch de Semrrbet ohe fremde Hlfe gefertgt ud ur de m Lterturverzechs geführte Quelle ud Hlfsmttel beutzt hbe. Regesburg, 8.5.8 5