Quaternionen und Matrizengruppen

Techische Uiversität Dortmud Quaterioe ud Matrizegruppe Ausarbeitug zum Prosemiar Lieare Algebra im Sommersemester 2010 Dozet: Prof. Dr. Schwachhöfer vo

Quaterioe ud Matrizegruppe Ihaltsverzeichis 1 Quaterioe 3 2 Quaterioische Matrize 6 3 Allgemeie lieare Gruppe 9 4 Komplexe ud quaterioische Matrize als reelle Matrize 11 2

Quaterioe ud Matrizegruppe 1 Quaterioe Defiitio 1. Eie Mege K mit zweistellige Verküpfuge +: K K K, geat Additio, ud : K K K, geat Multiplikatio, heißt Schiefkörper, falls die folgede Bediguge erfüllt sid. (i) (K, +) ist eie abelsche Gruppe mit dem eutrale Elemet 0. (ii) (K \{0}, ) ist eie Gruppe mit dem eutrale Elemet 1. (iii) Es gelte die Distributivgesetze a (b + c) =a b + a c ud (a + b) c = a c + b c für alle a, b, c K. Ei Schiefkörper mit kommutativer Multiplikatio, d.h. mit a b = b a für alle a, b K, ist ei Körper. Isbesodere ist jeder Körper auch ei Schiefkörper. Da die Mege R ud C beide sowohl Körper als auch R-Vektorräume sid, stellt sich die Frage, ob es och weitere Schiefkörper gibt, die sich als Vektorräume über de reelle Zahle auffasse lasse ud so isomorph zu R mit >2 sid. Dabei sollte die kompoeteweise Additio zwecks Idetifizierug mit R erhalte bleibe. Es soll lediglich eie multiplikative Verküpfug defiiert werde, die (R, +, ) zu eiem Schiefkörper macht. Die Atwort auf diese Frage gab Sir Wiliam Rowa Hamilto im Jahr 1843, idem er zeigte, dass es eie Schiefkörper H = R 4 gibt. Die Elemete vo H heiße Quaterioe. Defiitio 2. Die Mege H = {(a, b, c, d) a, b, c, d R} ist die Mege der Quaterioe. Für ei Quaterio q =(a, b, c, d) schreibe wir auch q = a + bi + cj + dk, ageleht a die Notatio z = a + bi für komplexe Zahle. Zwische de Eiheitsquaterioe 1, i, j ud k gelte per Defiitio die folgede Relatioe. (i) e 1=1 e = e für e {1, i, j, k} (ii) i 2 = j 2 = k 2 = 1 (iii) a) ij = k, jk = i, ki = j b) ji = k, kj = i, ik = j Da H mit der Multiplikatio ei Schiefkörper sei soll, müsse die Distributivgesetze erfüllt sei. Außerdem soll H isomorph zu R 4 sei, was erfordert, dass für alle reelle Zahle λ R ud alle Quaterioe q H die Gleichug λ q = q λ gilt. Aus diese beide Forderuge ud aus de defiierede Relatioe der vier Eiheitsquaterioe 1, i, j ud k ergibt sich die folgede Formel für das Produkt zweier beliebiger Quaterioe. 3

Quaterioe ud Matrizegruppe (a + bi+cj + dk) (w + xi + yj + zk) =(aw bx cy dz)+(ax + bw + cz dy)i (1) +(ay bz + cw + dx)j +(az + by cx + dw)k Wege H = R 4 sid die reelle Zahle als R = {(a, 0, 0, 0) a R} R 4 auf atürliche Weise i H ethalte. Ebeso verhalte sich die komplexe Zahle C = {(a, b, 0, 0) a, b R} R 4. Das lässt sich auch a der obige Multiplikatiosregel für Quaterioe erkee, die eie Erweiteruge der Multiplikatio komplexer Zahle ist. Bevor wir u zeige köe, dass die Quaterioe eie Schiefkörper bilde, defiiere wir och Kojugatio ud Betrag eies Quaterios. Defiitio 3. Sei q = a + bi + cj + dk ei Quaterio, (a, b, c, d) R 4.Daistdas Kojugierte vo q defiiert als q := a bi cj dk. Der Betrag vo q ist die Euklidische Norm i R 4 : q := a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Dass diese Defiitio Si macht, ist schell ersichtlich. Der Zusammehag zwische Betrag, Kojugatio ud Iversebildug verhält sich damit i H ämlich geauso wie i C. Lemma 1. Sei q = a + bi + cj + dk H ei Quaterio mit (a, b, c, d) R 4.Esgilt qq = qq = q 2 ud für q = 0ist das zu q iverse Quaterio. q q 2 Beweis. Zum Beweis des Lemmas reche wir die Produkte qq ud qq mit de bekate Regel aus: qq =(a + bi + cj + dk) (a bi cj dk) = a 2 (bi + cj + dk) 2 = a 2 (b 2 i 2 + c 2 j 2 + d 2 k 2 + bcij + bcji + bdik + bdki + cdjk + cdkj) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = q 2 Sei u q := r. Dagiltr r = r 2, ach dem ebe Gesagte. Wege r = q = q folgt q q = q 2 = q 2.Istq = 0,soistauch q 2 =0ach Defiitio des Betrags. Wie q behauptet gilt also q = q q = q 2 =1ud das Quaterio q ist damit ivers q 2 q 2 q 2 q 2 zu q für q = 0. 4

Quaterioe ud Matrizegruppe Nu ka gezeigt werde, dass H tatsächlich ei Schiefkörper ist. Satz 1. Die Quaterioe H bilde mit kompoeteweiser Additio ud der obe defiierte Multiplikatio eie Schiefkörper. Beweis. Da die Additio auf H kompoeteweise defiiert ist, ist (H, +) isomorph zu (R 4, +) ud damit eie abelsche Gruppe. Die Abgeschlosseheit vo H \{0} bezüglich der Multiplikatio zeige wir zum Ede dieses Beweises uter Verwedug der Assoziativität. Die Assoziativität rechet ma mit der Formel 1 ebeso leicht ach, wie die Tatsache, dass 1 H multiplikativ eutral ist. Die Ivertierbarkeit eies jede vo 0 verschiedee Quaterios wurde i Lemma 1 gezeigt. Demach ist (H \{0}, ) eie (icht-kommutative) Gruppe. Die Abgeschlosseheit vo H\0 sieht ma wie folgt. Seie q 1,q 2 H\{0} Quaterioe, die beide vo 0 verschiede sid. Da gibt es ach Lemma 1 ei q1 1 mit q 1 q1 1 = q1 1 q 1 =1.Wäreuq 1 q 2 =0, so erhielte wir ach Multiplikatio vo q1 1 vo liks die Gleichug q1 1 (q 1 q 2 )=(q1 1 q 1) q 2 =0ud damit q 2 =0. Dieser Widerspruch zeigt, dass q 1 q 2 ebefalls i H \{0} liegt, die Multiplikatio i H \ 0 ist also abgeschlosse. Die Distributivgesetze gelte ach Voraussetzug. Damit sid alle Axiome eies Schiefkörpers erfüllt. Aus de Relatioe zwische i, j ud k ist auch sofort klar, dass die Multiplikatio i H icht kommutativ ist, die Quaterioe demach also keie Körper bilde. Deoch kommutiere alle relle Zahle mit Quaterioe. Außer der reelle Zahle gibt es jedoch keie weitere Elemete aus H, die mit alle Quaterioe kommutiere. Satz 2. Sei q H ei Quaterio. Falls für alle q H gilt, dass qq = q q ist, so gilt bereits q R. Beweis. Idetifiziere q = a + bi + cj + dk, wobeia, b, c, d alle reell sid. Wir prüfe u über Satz 2 hiaus, welche Quaterioe icht mit i, j oder k kommutiere köe. Aus de folgede Rechuge wird dabei außerdem klar, welche Quaterioe mit i, j beziehugsweise mit k kommutiere. Gilt b = 0, so kommutiert q weder mit j och mit k, de qj = c di + aj + bk = c + di + aj bk = jq qk = d + ci bj + ak = d ci + bj + ak = kq Ist c = 0, so kommutiert q aalog weder mit i och mit k. Istd = 0, so kommutiert q icht mit i ud icht mit j. 5

Quaterioe ud Matrizegruppe Kommutiert q also mit sämtliche Quaterioe, so gilt b = c = d =0ud es folgt q = a +0i +0j +0k = a R. Aus dem Beweis vo Satz 2 ist außerdem ersichtlich, dass ur komplexe Quaterioe mit i kommutiere. Satz 3. Sei q H ei Quaterio. Es gilt qi = iq q C. Beweis. Sei wiederum q = a + bi + cj + dk mit a, b, c, d R. Wie im Beweis vo Satz 2kaq icht mit i kommutiere, falls c = 0oder d = 0gilt. Aus qi = iq folgt also c = d =0ud damit q = a + bi +0j +0k = a + bi C. Da die Multiplikatio i H eie Erweiterug der Multiplikatio i C ist, kommutiere umgekehrt alle komplexe Quaterioe mit i. 2 Quaterioische Matrize Eiige der Grudkozepte der lieare Algebra lasse sich ohe große Aufwad vo allgemeie Körper K bzw. isbesodere vo de beide Körper R ud C auf de Schiefkörper der Quaterioe übertrage. Aufgrud der fehlede Kommutativität der Multiplikatio i H ist dabei jedoch ei weig Vorsicht gebote. Im Folgede reformuliere wir deshalb eiige wichtige Begriffe der lieare Algebra uter Berücksichtigug der Quaterioe. Dabei sei mit K stets eier der (Schief-)Körper R, C, H bezeichet. Da die Kommutativität vo Quaterioe icht allgemei erfüllt ist, müsse wir Rechtsud Liks-Vektorräume uterscheide. Defiitio 4. Ei Liks-Vektorraum über H ist eie abelsche Gruppe (V,+) mit eier Liksmultiplikatio : H V V so dass für alle Quaterioe α, β H ud alle Vektore v, w V gilt: (i) α (β v) =(α β) v (ii) α (v + w) =α v + α w (iii) (α + β) v = α v + β v (iv) 1 v = v 6

Quaterioe ud Matrizegruppe Der Begriff des Rechts-Vektorraums ist aalog. Über R oder C sid beide Begriffe idetisch, weshalb wir i diese Fälle ur vo Vektorräume spreche. Die weitere Betrachtuge beschräke sich auf Liks-Vektorräume. Der Eifachheit ud Eiheitlichkeit halber werde dabei sowohl R- ud C-Vektorräume als auch Liks- Vektorräume über H allgemei als K-Vektorräume bezeichet. K {R, C, H} gibt dabei a, welcher Schiefkörper gemeit ist. Defiitio 5. Eie K-lieare Abbildug φ zwische zwei K-Vektorräume V ud W ist eie Abbildug vo V ach W, die folgede Bediguge erfüllt. (i) φ(v 0 + v 1 )=φ(v 0 )+φ(v 1 ) v 0,v 1 V (ii) α φ(v) =φ(α v) v V,α K K-lieare Abbilduge heiße auch Vektorraumhomomorphisme oder kurz Homomorphisme. Bijektive K-lieare Abbilduge werde auch Vektorraumisomorphisme oder kurz Isomorphisme geat. Lieare Uabhägigkeit, Erzeugedesysteme, Basis ud Dimesio eies K-Vektorraums sid für K = H geauso defiiert wie aus de Fälle K {R, C} bekat. Alle Resultate der lieare Algebra, i dere Beweise das Körperaxiom der Kommutativität icht verwedet wird, lasse sich umittelbar auf die Quaterioe ud auf allgemeie Schiefkörper übertrage. Die Stadardbasis des H ist mit {e 1,...,e } dieselbe wie die des R. Auch ist jeder -dimesioale H-Vektorraum isomorph zu dem Vektorraum H mit H := {(q 1,...,q ) q i H i =1,...,} De ist V ei beliebiger edlich-dimesioaler Vektorraum ud v 1,...,v eie Basis vo V,soistdieAbbildugφ: V K mit φ( i=0 α i v i ):= i=0 α i e i ei K-liearer Isomorphismus. Das rechtfertigt, dass im folgede ur die Vektorräume K mit K {R, C, H} behadelt werde. Die Stadardbasis aller dieser Vektorräume ist die Basis {e i i =1,...,} wobei e i der bekate i-te Eiheitsvektor ist. Defiitio 6. Die Mege der m -Matrize mit Eiträge aus K wird mit M m, (K) bezeichet. Für die Mege M, (K) der quadratische -Matrize schreibe wir auch kurz M (K). Das Produkt ud die Summe zweier quaterioischer Matrize sid geauso defiiert wie das Produkt ud die Summe reeller oder komplexer Matrize. Auch die zu eier Matrix A traspoierte Matrix A T ist im Fall K = H ebeso defiiert wie im Fall K {R, C}. Zu beachte ist dabei jedoch, dass die Gleichug (A B) T = B T A T für Matrize A M m, (K),B M,k (K) ur gilt, falls K ei Körper ist. Für K = H ist A = i I,B = j I ei eifaches Gegebeispiel. 7

Quaterioe ud Matrizegruppe Wird die Liks-Multiplikatio eier Matrix A M m, (K) mit eiem Skalar λ K mittels (λ A) ij := λ A ij eitragsweise defiiert, so wird M m, (K) damit zu eiem Liks-Vektorraum. Im Folgede sei der Vektorraum K stets mit M 1, (K) idetifizert, das heißt alle Vektore werde als Zeilevektore geschriebe. Eie Matrix A M,m (K) iduziert für K {R, C} zwei lieare Abbilduge R A : K K m ud L A : K m K die durch R A (v) :=v A ud L A (v) :=(A v T ) T gegebe sid. Die so defiierte Abbilduge existiere zwar auch für K = H, jedoch ist L A i diesem Fall im Allgemeie keie lieare Abbildug mehr. Für alle K {R, C, H} etspricht aber jede Matrix A M,m (K) geau eier lieare Abbildug R A : K K m. Satz 4. Sei K {R, C, H}. Dagilt: 1. Für alle A M,m (K) ist die Abbildug R A : v v A eie K-lieare Abbildug. 2. Zu jeder lieare Abbildug φ: K K m existiert eie Matrix A M,m (K) so dass R A (v) =φ(v) für alle v K erfüllt ist. Beweis. 1. Sei A M,m (K) eie Matrix. Da gilt (v + w) A = v A + w A ud (λ v) A = λ (v A) für alle Vektore v, w K ud alle Skalare λ K ach Defiito der Matrixmultiplikatio. Also ist R A für alle A M,m (K) eie K-lieare Abbildug. 2. Sei φ: K K m eie lieare Abbildug. Defiiere φ(e 1 ) φ(e 2 ) A :=. M m,(k). φ(e ) Da ist R A (e i )=e i A = φ(e i ) für die Basisvektore {e 1,...,e } der Stadardbasis des K. Wege der Liearität vo R A ud φ folgt da auch R A i=0 α i e i = = α i R A (e i ) i=0 α i φ(e i ) i=0 = φ α i e i. i=0 Also gilt φ(v) =R A (v) für alle v K wie behauptet. 8

Quaterioe ud Matrizegruppe Ist K {R, C}, soistauchl A mit L A (v) =(A v T ) T eie lieare Abbildug. Satz 5. Sei K {R, C}. Dagilt: 1. Für alle A M,m (K) ist die Abbildug L A : v (A v T ) T eie K-lieare Abbildug. 2. Zu jeder lieare Abbildug φ: K m K existiert eie Matrix A M,m (K) so dass L A (v) =φ(v) für alle v K erfüllt ist. Beweis. Sei A M,m (K). Da gilt für alle Vektore v K dass L A (v) =(A v T ) T = (v T ) T A T = R A T (v). DamitistL A = R A T eie K-lieare Abbildug ach Satz 4 ud für jede K-lieare Abbildug φ: K m K existiert eie Matrix B M m, (K) mit φ = R B = L B T =: L A. Dabei ist A = B T M,m (K). 3 Allgemeie lieare Gruppe Satz 6. Sei K {R, C, H}. DieMegeM (K) ist ei Mooid (das heißt eie Halbgruppe mit eutralem Elemet) uter der Matrixmultiplikatio. Beweis. Sid A, B M (K) quadratische Matrize, so ist auch das Produkt A B ei Elemet vo M (K). Die Assoziativität der Matrixmultiplikatio rechet ma mit Hilfe der Defiitio leicht ach. Desweitere ist leicht zu überprüfe, dass I M (K) mit 1 0 0 0 1 0 I := diag(1,...,1) =..... 0 0 1 eutrales Elemet vo M (K) bezüglich der Matrixmultiplikatio ist. Offesichtlich gibt es icht-ivertierbare Matrize, weshalb M (K) keie Gruppe ist. Deoch existiere atürlich Gruppe vo Matrize, das heißt Gruppe (G, ) mit G M (K). (Eifachstes Beispiel ist G = {I }.) Defiitio 7. Die allgemeie lieare Gruppe GL (K) mit Grad über dem Schiefkörper K ist die Mege aller ivertierbare -Matrize mit Eiträge aus K. GL (K) :={A M (K) A ist ivertierbar} Satz 7. Mit der Matrixmultiplikatio bildet GL (K) eie Gruppe. 9

Quaterioe ud Matrizegruppe Beweis. Die Abgeschlosseheit vo GL (K) zeige wir wieder mit Hilfe der Defiitio am Ede dieses Beweises. Die Assoziativität folgt wege GL (K) M (K) umittelbar aus Satz 6. Die multiplikativ eutrale Matrix I ist ei Elemet vo GL (K) da I 2 = I gilt. Ist A GL (K), so gibt es ach der Defiitio der allgemeie lieare Gruppe eie Matrix B M (K) mit A B = B A = I. Daraus folgt auch die Ivertierbarkeit vo B, das heißt B ist ei Elemet vo GL (K). Seie u A, B GL (K). Da gibt es Elemete A 1 ud B 1 vo GL (K) mit Es folgt sowie A A 1 = A 1 A = I = B B 1 = B 1 B (A B) (B 1 A 1 )=A (B B 1 ) A 1 = A I A 1 = I (B 1 A 1 ) (A B) =B 1 (A 1 A) B = B 1 I B = I Demach ist auch A B ivertierbar, das heißt A B GL (K). Damit ist die Abgeschlosseheit vo GL (K) bezüglich der Matrixmultiplikatio gezeigt. Alle Gruppeaxiome sid also erfüllt, was de Beweis beedet. Dass die Bezeichug allgemei sivoll ist, zeigt der folgede Satz, ach dem GL (K) gewissermaße die größte Gruppe vo Matrize aus M (K) (bezüglich der Teilmege- Relatio über K ist. Satz 8. Sei K {R, C, H}. IstG M (K) eie Gruppe uter der Matrix-Multiplikatio, so gilt G GL (K). Beweis. Ist G M (K) mit G GL (K), so gibt es eie Matrix A G mit A GL (K), das heißt G ethält eie icht-ivertierbare Matrix. Also ka (G, ) keie Gruppe sei. Uter Beachtug des Zusammehags zwische quadratische Matrize ud Edomorphisme edlicher K-Vektorräume lässt sich die allgemeie lieare Gruppe auch als GL (K) ={A M (K) R A ist ei Isomorphismus} 10

Quaterioe ud Matrizegruppe schreibe. De wege R I =idud R A R B = R B A für alle A, B M (K) folgt aus der Ivertierbarkeit vo A, dassauchr A ivertierbar ud damit ei Isomorphismus ist. Ist umgekehrt R A : K K ei liearer Isomorphismus, so ist (R A ) 1 Ed(K ).Also gibt es ei B M (K) so dass (R A ) 1 = R B gilt. Es folgt R A B = R B R A = R I = R A R B = R B A ud damit B A = I = A B. Im Fall K {R, C} ist eie Matrix A M (K) geau da ivertierbar, we det(a) = 0 ist. Es gilt also GL (K) ={A M (K) det(a) = 0}, falls K = R oder K = C ist. 4 Komplexe ud quaterioische Matrize als reelle Matrize Aus dem letzte Abschitt ist bekat, dass die allgemeie lieare Gruppe über eiem Körper oder Schiefkörper K die größte Gruppe vo Matrize mit Eiträge aus K ist. Beschäftige wir us also mit Matrize-Gruppe über eiem Körper oder Schiefkörper K, so hadelt es sich dabei stets um Utergruppe der allgemeie lieare Gruppe GL (K). Der folgede Satz zeigt dass wir Matrize-Gruppe über H oder C als Matrize-Gruppe über R auffasse köe. Satz 9. (1) GL (C) ist isomorph zu eier Utergruppe vo GL 2 (R). (2) GL (H) ist isomorph zu eier Utergruppe vo GL 2 (C). (3) GL (H) ist isomorph zu eier Utergruppe vo GL 4 (R). Wie geau die drei Gruppe zusammehäge wird durch de kostruktive Beweis des Satzes 9 klar werde. Scho jetzt erkebar ist, dass die Aussage (3) umittelbar aus de Aussage (1) ud (2) folgt. Der Beweis der Aussage (1) ud (2) geschieht im Folgede durch die Kostruktio zweier ijektiver Homomorphisme ρ ud ψ mit ρ :GL (C) GL 2 (R) ud ψ :GL (H) GL 2 (C) Eie Vermutug über ρ gewie wir durch die geometrische Iterpretatio liearer Edomorphisme des R 2. Bekatermaße etspricht die Abbildug φ: R 2 R 2,die durch v1 v1 cos θ si θ v1 φ: R θ = si θ cos θ v 2 v 2 v 2 11

Quaterioe ud Matrizegruppe defiiert wird, eier Rotatio um de Wikel θ gege de Uhrzeigersi. Zu beachte ist dabei, dass v := (v 1,v 2 ) T R 2 hier ei Spaltevektor ist! Mit der Kovetio, Vektore i R stets als Zeilevektore zu schreibe etspricht φ der Abbildug R B mit B = Rθ T cos θ si θ =. si θ cos θ Idetifiziert ma R 2 = C mittels i: C R 2,a+ bi (a, b), so etspricht die Matrix B M 2 (R) der Matrix A = e iθ M 1 (C), die ebefalls eie Drehug um θ gege de Uhrzeigersi darstellt, diesmal i der komplexe Ebee. Präziser gilt R A = i 1 R B i beziehugsweise i R A = R B i, das heißt das Diagramm C i R 2 R A R B C i R 2 kommutiert. Bei der Kostruktio des Homomorphismus ρ :M (C) M 2 (R) wird dieses Kozept u verallgemeiert. Komplexe ud relle Matrize A M (C) ud B M 2 (R) werde idetifiziert, we die Abbilduge R A : C C ud R B : R 2 R 2 eiader etsprechede Trasformatioe i C beziehugsweise R 2 sid. Was mit Etsprechug gemeit ist, bestimmt dabei der Isomorphismus f : C R 2, defiiert durch f :(a 1 + b 1 i,...,a + b i) (a 1,b 1,...,a,b ). Gesucht ist also ρ :M (C) M 2 (R) so dass das folgede Diagramm für alle komplexe Matrize A M (C) kommutiert. C f R 2 (2) R A R ρ(a) C f R 2 Aus de vorhergehede Überleguge ud wege e iθ = cos θ + i si θ ergibt sich die Vermutug a b ρ 1 (a + bi) =. (3) b a Satz 10. Mit der Defiitio i (3) kommutiert das Diagramm (2) für =1. 12

Quaterioe ud Matrizegruppe Beweis. Sei A := a + bi M 1 (C) beliebig mit a, b R ud sei x + yi C mit x, y R. Da gilt (f 1 R A )(x + yi) =f 1 ((x + yi) a + bi ) a Weiter ist ρ 1 (A) = b = f 1 (ax by +(ay + bx)i) =(ax by, ay + bx). b,esgiltalso a a (R ρ1 (A) f 1 )(x + yi) =(x, y) b b a =(ax by, ay + bx) =(f 1 R A )(x + yi). Also ist f 1 R A = R ρ1 (A) f 1 ud damit kommutiert das Diagramm (2) im Fall =1 wie behauptet. Allgemei ist ρ :M (C) M 2 (R) wie folgt defiiert. z 11... z 1 ρ 1 (z 11 )... ρ 1 (z 1 ) ρ (.. ) :=.. z 1... z ρ 1 (z 1 )... ρ 1 (z ) Satz 11. Das Diagramm (2) kommutiert mit dieser Defiitio vo ρ für alle N. Beweis. Sei z =(z 1,z 2,...,z ) C.Esgiltda (R ρ(a) f )(z) =(R ρ(a) f )(z 1,z 2,...,z ) ρ 1 (a 11 )... ρ 1 (a 1 ) =(f 1 (z 1 ),f 1 (z 2 ),...,f 1 (z )).. ρ 1 (a 1 )... ρ 1 (a ) = f 1 (z k ) ρ 1 (a k1 ), f 1 (z k ) ρ 1 (a k2 ),..., f 1 (z k ) ρ 1 (a k ) k=1 k=1 = (R ρ1 (a kj ) f 1 )(z k ) k=1 j=1,..., k=1 13

Quaterioe ud Matrizegruppe Wege R ρ1 (a ij ) f 1 = f 1 R aij für alle a ij M 1 (C) folgt (R ρ(a) f )(z) = (f 1 R akj )(z k ) k=1 = f 1 (z k a kj ) = k=1 f 1 k=1 = f k=1 z k a kj z k a kj j=1,..., j=1,..., j=1,..., j=1,..., Dabei etspricht der Vektor ( k=1 z k a kj ) j=1,..., per Defiitio geau dem Produkt z A. Demach gilt (R ρ(a) f )(z) =f (z A) =(f R A )(z). Also ist R ρ(a) f = f R A ud das Diagramm (2) kommutiert. Zwei wichtige Eigeschafte vo ρ werde aus der Defiitio schell klar: (1) ρ (λ A) =λ ρ (A) λ R,A M (C) (2) ρ (A + B) =ρ (A)+ρ (B) A, B M (C) Die Kostruktio vo ρ erfolgte, um zu zeige, dass GL (C) zu eier Utergruppe vo GL 2 (R) isomorph ist. Geauer ist ρ GL(C) ei Isomorphismus zwische GL (C) ud eier Utergruppe vo GL 2 (R). Dafür otwedig ist, dass ρ GL(C) ei ijektiver Homomorphismus ist ud dass ρ (GL (C)) GL 2 (R) gilt. Die Ijektivität vo ρ erket ma leicht a der Defiitio. Dass ρ GL(C) ei Homomorphismus ist beweist der folgede Satz. Satz 12. Für alle A, B M (C) gilt ρ (A) ρ (B) =ρ (A B). Beweis. Wir betrachte das folgede Diagramm. C f R 2 R A B R A C f R ρ(a) R 2 R ρ(a) ρ(b) R B R ρ(b) C f R 2 14

Quaterioe ud Matrizegruppe Daraus ist ersichtlich, dass R ρ(a) ρ (B) ρ (A) ρ (B) =ρ (A B). = f R A B f 1 = R ρ(a B) gilt. Es folgt Defiitio 8. Die Mege Bild(ρ )=ρ (M (C)) M 2 (R) ist die Mege der reelle komplex-lieare Matrize. Dass die Defiitio vo ρ icht willkürlich ist, soder eie sehr atürliche, zeigt die folgede Charakterisierug der komplex-lieare Matrize. Satz 13. Eie Matrix B M 2 (R) ist geau da komplex-liear, we F := f 1 R B f : C C eie C-lieare Abbildug ist. Beweis. Bei dem Beweis ist das folgede kommutative Diagramm hilfreich. C f R 2 (4) F f 1 C f R 2 R B Ist B M 2 (R) komplex-liear, so gibt es eie Matrix A M (C) mit ρ (A) =B so dass das Diagramm (4) mit R A a der Stelle vo F kommutativ ist. Aus der Ivertierbarkeit vo f folgt damit bereits F = R A ud wege der C-Liearität vo R A ist da auch F eie C-lieare Abbildug. Ist umgekehrt F = f 1 R B f eie C-lieare Abbildug, so gibt es ei A M (C) mit F = R A ud aus der Kommutativität des Diagramms (4) folgt mit der Ivertierbarkeit vo f die Idetität R B = R ρ(a), alsoistb = ρ (A) eie komplex-lieare Matrix. Sofort klar ist, dass die Abbildug F = f 1 R B f als Kompositio R-liearer Abbilduge immer R-liear ist. F ist also geau da C-liear, we für alle v C die Gleichug F (i v) =i F (v) erfüllt ist. Um die Struktur der komplexe Zahle i M (C) auch i der Mege ρ (M (C)) der komplex-lieare Matrize sichtbar zu mache, betrachte wir das Bild der Matrix i I M (C) uter ρ etwas äher. Bemerkug 1. Multiplikatio eies Vektors v R 2 mit der Matrix J 2, defiiert als 0 1 1 0 0 1 J 2 = ρ (i I )= 1 0,... 0 1 1 0 15

Quaterioe ud Matrizegruppe etspricht der Multiplikatio des Vektors f 1 (v) C mit i. Das folgede Diagramm kommutiert. C f R 2 R i I R J2 C f R 2 Die Awedug vo R i I auf eie Vektor aus C ist dabei offebar geau die skalare Multiplikatio mit i, de es gilt R i I (v) =i v für alle v C. Dass die Matrix J 2 M 2 (R) der Matrix i I M (C) auf atürliche Weise etspricht, zeigt sich auch i der Gleichug J 2 2 = J 2 J 2 = 1 I 2, dere Gültigkeit aus der Defiitio vo J 2 als ρ (i I ) folgt. Eie weitere Charakterisierug der komplex-lieare Matrize ergibt sich aus dem folgede Satz. Satz 14. Eie Matrix B M 2 (R) ist geau da komplex-liear, we B J 2 = J 2 B gilt. Beweis. Aus dem kommutative Diagramm C R i I C F C f f f R 2 R 2 R 2 R J2 R B R i I R J2 C f R 2 ist leicht erkebar, dass die folgede Gleichuge gelte. (1) R i I F = f 1 (2) F R i I = f 1 R B R J2 f R J2 R B f 16

Quaterioe ud Matrizegruppe Es ergibt sich demach B M 2 (R) ist komplex-liear F ist C liear F (i x) =i F (x) x C R B R J2 = R J2 R B R J2 B = R B J2 J 2 B = B J 2. Komplex-lieare Matrize sid also geau die Matrize, die mit J 2 kommutiere. Die wichtigste Resultate über ρ ud die Idee zur Kostruktio lasse sich auch auf ψ übertrage, da die Kommutativität komplexer Zahle weder zur Kostruktio vo ρ och i de Beweise der Sätze 10 ud 11 beötigt wurde. Die Idee zur Kostruktio vo ψ :M (H) M 2 (C) ist die gleiche wie die zur Kostruktio vo ρ :EieMatrixA M (H) soll auf die Matrix B M 2 (C) abgebildet werde, die derselbe Trasformatio vo C 2 = H etspricht. Die Art der Etsprechug wird dabei vo dem Isomorphismus g : H C 2 mit bestimmt. g :(z 1 + w 1 j,...,z + w j) (z 1,w 1,...,z,w ) Präziser soll ψ ei ijektiver Homomorphismus sei, der das folgede Diagramm kommutiere lässt. H g C 2 (5) R A R ψ(a) H g C 2 Ist ψ 1 gefude, so folgt geau wie i Satz 11, dass das Diagramm (5) für die folgede Defiitio vo ψ kommutiert. q 11... q 1 ψ 1 (q 11 )... ψ 1 (q 1 ) ψ (.. ) :=.. q 1... q ψ 1 (q 1 )... ψ 1 (q ) Da hier jedoch eie geometrische Iterpretatio fehlt, die eie Vermutug für ρ 1 lieferte, muss bei der Suche ach ψ 1 aders vorgegage werde als zuvor bei ρ 1. Mithilfe des folgede Lemmas geligt es, die richtige Wahl für ψ 1 aus dem Diagramm (5) per Diagrammjagd zu ermittel. 17

Quaterioe ud Matrizegruppe Lemma 2. Für alle komplexe Zahle z C gilt z j = j z. Beweis. Sei z = a + bi mit a, b R. Da gilt die folgede Gleichugskette. z j =(a + bi) j = aj + bij = aj + bk = aj bji = ja jbi = j (a bi) =j z Es ist also z j = j z wie behauptet. Damit Diagramm (5) für =1kommutiert, muss die Gleichug (g 1 R A )(q) =(R ψ1 (A) g 1 )(q) für alle A M 1 (H) ud alle q H erfüllt sei. Setze wir A =: z + wj ud q =: x + yj mit z,w,x,y C, soist (g 1 R A )(q) =g 1 (R A (x + yj)) = g 1 ((x + yj) z + wj ) = g 1 (xz + yjwj + xwj + yjz) = g 1 (xz + ywj 2 + xwj + yzj = g 1 (xz yw +(xw + yz)j) =(xz yw, xw + yz). Adererseits gelte die folgede Gleichuge. (R ψ1 (A) g 1 )(q) =R ψ1 (A)(g 1 (x + yj)) = R ψ1 (A)((x, y)) =(x, y) ψ 1 (A) Es folgt die Bedigug (x, y) ψ 1 (A) =(xz yw, xw + yz) für ψ 1 ud damit z w ψ 1 (z + wj) =. w z Wie für ρ gelte auch für ψ die folgede Eigeschafte, dere Gültigkeit aus der Defiitio leicht zu erkee ist. (1) ψ (λ A) =λ ψ (A) λ R,A M (H) (2) ψ (A + B) =ψ (A)+ψ (B) A, B M (H) Auch die Ijektivität vo ψ ist aus der Defiitio leicht zu erkee. Ebeso gilt der folgede Satz, der garatiert, dass ψ GL(H) ei Gruppehomomorphismus ist. Satz 15. Für alle A, B M (H) gilt ψ (A) ψ (B) =ψ (A B). 18

Quaterioe ud Matrizegruppe Der Beweis ist aalog zum Beweis vo Satz 12 ud erfolgt mit Hilfe des achstehede Diagramms. H g H 2 R A B R A H g R ψ(a) C 2 R ψ(a) ψ(b) R B R ψ(b) H g C 2 Defiitio 9. Die Mege Bild(ψ )=ψ (M (H)) M 2 (C) ist die Mege der komplexe quaterioisch-lieare Matrize. Satz 16. Eie Matrix B M 2 (C) ist geau da quaterioisch-liear, we F := R B g : H H eie H-lieare Abbildug ist. g 1 Der Beweis erfolgt geauso wie der des etsprechede Satzes 4 für ρ mit dem folgede kommutative Diagramm. H g C 2 (6) F g 1 H g C 2 R B Verküpft ma die beide ijektive Homomorphisme ρ :M (C) M 2 (R) ud ψ :M (H) M 2 (C) so ergibt sich das folgede Diagramm. H g C 2 f 2 R 4 R(ρ2 ψ)(a) R A H. g R ψ(a) C 2 f 2 R 4 Um u eie quaterioische Matrix A M (H) als reelle Matrix darzustelle, müsse ψ ud ρ 2 hitereiader agewadt werde. Da beide Abbilduge ijektive Homomorphisme sid, ist auch ρ 2 ψ :M (H) M 4 (R) ei ijektiver Homomorphismus, auf de sich eiige Resultate über ρ ud ψ übertrage lasse. Defiitio 10. Die Mege Bild(ρ 2 ψ )=(ρ 2 ψ )(M (H)) M 4 (R) ist die Mege der reelle quaterioisch-lieare Matrize. 19

Quaterioe ud Matrizegruppe Satz 17. Sei B M 4 (R) eie reelle Matrix. Da sid die folgede Aussage äquivalet. (1) B ist quaterioisch-liear. (2) B kommutiert mit I 4 ud J 4. (3) Die Abbildug G := g 1 f 1 2 R B f 2 g : H H ist H-liear. Eie Aschauug zu Aussage (3) liefert das folgede Diagramm. H g C 2 f 2 R 4 H g 1 C 2 f 1 2 R 4 R B I Satz 17 sid I 4 ud J 4 geau die Matrize, für die die folgede Diagramme kommutativ sid. H (f 2 g ) R 4 H (f 2 g ) R 4 x i x H (f 2 g ) R 4 I 4 x j x H (f 2 g ) R 4 J 4 Da die Liks-Multiplikatio mit i beziehugsweise j i H vo R i I beziehugsweise R j I verschiede ist, sid I 4 ud J 4 icht die Bilder vo i I ud j I uter ρ 2 ψ. Leicht achzureche ist, dass 0 1 0 0 0 0 1 0 I 4 = 1 0 0 0 0 0 0 1 ud J 4 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 die gewüschte Bediguge erfülle. Die Matrize I 4 ud J 4 setze sich wiederum aus 4 4-Blöcke vo J 4 beziehugsweise I 4 auf der Diagoale zusamme. Es gilt I 4 = I 4... 4 ud J 4 = J.... I 4 J 4 Bemerkeswerterweise ist I 4 = J 4 das Bild vo i I uter ρ 2. Mithilfe der Abbildug ψ :M (H) M 2 (C) ka u außerdem die Determiate quaterioischer Matrize defiiert werde. 20

Quaterioe ud Matrizegruppe Defiitio 11. Sei A M (H) eie quaterioische Matrix. Da ist die Determiate vo A defiiert als det(a) :=(det ψ )(A) =det(ψ (A)). Offebar ist det(i )=det(ψ (I )) = det(i 2 )=1ud es gilt det(a B) =det(a) det(b) für alle A, B M (H). Außerdem ist eie Matrix A M (H) mit dieser Defiitio geau da ivertierbar, we ihre Determiate vo 0 verschiede ist. Satz 18. Es gilt GL (H) ={A M (H) det(a) = 0}. Beweis. Sei A M (H) eie beliebige Matrix. Es gelte die folgede Äquivaleze. A GL (H) R A : H H ist bijektiv R ψ(a) : C C ist bijektiv ψ (A) GL 2 (C) det(ψ (A)) = 0 det(a) = 0 Die Abbilduge ρ ud ψ wurde kostruiert, um zu beweise, dass die allgemeie lieare Gruppe vom Grad über C isomorph zu eier Utergruppe vo GL 2 (R) ist ud dass die allgemeie lieare Gruppe vom Grad über H isomorph zu eier Utergruppe vo GL 2 (C) ist. Bereits gezeigt ist, dass ρ ud ψ ijektive Homomorphisme sid. Noch zu zeige ist, dass ρ ei Isomorphismus zwische GL (C) ud eier Utergruppe vo GL 2 (R) ist ud dass ψ ei Isomorphismus zwische GL (H) ud eier Utergruppe vo GL 2 (C) ist. Dies ist mit Hilfe der Sätze 12 ud 15 leicht eizusehe. De als Bilder der ijektive Homomorphisme ρ GL(C) ud ψ GL(H) sid ρ (GL (C)) ud ψ (GL (H)) Gruppe. Aus Satz 8 folgt damit ρ (GL (C)) GL 2 (R) ud ψ (GL (H)) GL 2 (C). Die beide ijektive Homomorphisme lasse sich also auf Abbilduge zwische de allgemeie lieare Gruppe eischräke. Wir erhalte die folgede ijektive Gruppehomomorphisme. ρ :GL (C) GL 2 (R) ud ψ :GL (H) GL 2 (H) Die Existez ud Ijektivität dieser Homomorphisme beweist de Satz 9. 21