3. Erste Eigenschaften der reellen Zahlen

Transkript

1 4 Adreas Gathma 3. Erste Eigeschafte der reelle Zahle I Notatio 1.15 habe wir bereits die reelle Zahle R als Mege der Pukte auf eier Gerade eigeführt. Ma ka aber atürlich och viel mehr Dige mit de reelle Zahle tu als sie als eie eifache Puktmege zu betrachte: Ma ka sie addiere, multipliziere, die Größe vo zwei Zahle miteiader vergleiche, ud och eiiges mehr. Wir wolle die Eigeschafte der reelle Zahle i diesem ud dem ächste Kapitel exakt formalisiere, damit wir daach geau wisse, welche Eigeschafte vo R wir i dieser Vorlesug axiomatisch voraussetze. I der Tat werde diese Eigeschafte letztlich sogar ausreiche, um die reelle Zahle eideutig zu charakterisiere. Wir begie i diesem Kapitel aber zuächst eimal ur mit de Grudrechearte, also mit der Additio ud der Multiplikatio sowie ihre Umkehruge, der Subtraktio ud Divisio. 3.A Gruppe ud Körper Die Eigeschafte vo Verküpfuge wie der Additio oder Multiplikatio reeller Zahle werde mathematisch durch die Begriffe eier Gruppe bzw. eies Körpers beschriebe, die wir jetzt eiführe wolle. Defiitio 3.1 (Gruppe). Eie Gruppe ist eie Mege G zusamme mit eier Verküpfug, d. h. eier Abbildug : G G G, (x,y) x y, so dass die folgede Eigeschafte (auch Gruppeaxiome geat) gelte: (a) (Assoziativität) Für alle x, y, z G gilt (x y) z = x (y z). Ma schreibt diese Ausdruck da i der Regel auch eifach als x y z, weil die Reihefolge der Klammerug ja egal ist. (b) (Existez eies eutrale Elemets) Es gibt ei e G, für das e x = x e = x für alle x G gilt. Ma et e ei eutrales Elemet. (c) (Existez vo iverse Elemete) Für alle x G gibt es ei x G mit x x = x x = e. Ma et x da ei iverses Elemet zu x. Wir bezeiche eie solche Gruppe mit (G, ). We aus dem Zusammehag klar ist, welche Verküpfug gemeit ist, schreibe wir oft auch eifach ur G für die Gruppe. Gilt zusätzlich zu de obige Eigeschafte och (d) (Kommutativität) x y = y x für alle x,y G, so heißt (G, ) eie kommutative oder abelsche Gruppe. Bemerkug 3.. Machmal wird i der Defiitio eier Gruppe i Teil (b) lediglich e x = x ud i Teil (c) lediglich x x = e gefordert (ma spricht da auch vo eiem likseutrale bzw. liksiverse Elemet). Ma ka jedoch uter Verwedug der übrige Gruppeaxiome zeige, dass i diesem Fall automatisch auch x e = x ud x x = e gelte muss, also dass likseutrale Elemete immer eutral ud liksiverse Elemet bereits immer iverse Elemete sid [G, Satz 1.7]. Die beide Variate der Defiitio eier Gruppe stimme also letztlich überei. Beispiel 3.3. (a) (R, +) ist eie abelsche Gruppe, de die Additio ist (wie wir axiomatisch voraussetze werde) eie Verküpfug auf R mit de Eigeschafte: (x + y) + z = x + (y + z) für alle x,y,z R; 0 R ist ei eutrales Elemet, de 0 + x = x + 0 = x für alle x R; zu jedem x R ist x R ei iverses Elemet, de ( x) + x = x + ( x) = 0;

2 3. Erste Eigeschafte der reelle Zahle 5 x + y = y + x für alle x,y R. Auf die gleiche Art sid auch (Q,+) ud (Z,+) abelsche Gruppe, jedoch icht (N,+): Hier existiert zwar och ei eutrales Elemet 0, aber die Zahl 1 N hat kei Iverses mehr, de es gibt kei x N mit x + 1 = 0. (b) (R, ) ist keie Gruppe: Die Multiplikatio ist zwar assoziativ ud kommutativ ud hat das eutrale Elemet 1, aber die Zahl 0 hat kei Iverses de dies müsste ja eie Zahl x R sei mit x 0 = 1. Nimmt ma jedoch die 0 aus R heraus, so erhält ma mit (R\{0}, ) wieder eie abelsche Gruppe, bei der das eutrale Elemet 1 ud das zu eiem x iverse Elemet 1 x ist. Geauso fuktioiert dies für (Q\{0}, ), aber z. B. icht für (Z\{0}, ): Hier gibt es zwar och ei eutrales Elemet 1, aber die Zahl Z\{0} hat kei Iverses mehr, de es gibt kei x Z\{0} mit x = 1. (c) Hier ist och ei Beispiel vo eiem gaz adere Typ: Es sei M eie beliebige Mege ud G = { f : M M bijektiv} die Mege aller bijektive Abbilduge vo M ach M. Da die Verkettug bijektiver Abbilduge ach Aufgabe. wieder bijektiv ist, defiiert sie eie Verküpfug auf G. I der Tat wird G damit zu eier Gruppe, de die Verkettug ist assoziativ ach Lemma.18, die Idetität id M ist ei eutrales Elemet, ud zu eiem f G ist die Umkehrabbildug f 1 aus Lemma.19 (c) ei iverses Elemet: Sie ist ach Aufgabe. selbst wieder bijektiv (also i G) ud erfüllt f 1 f = f f 1 = id M ach Lemma.19 (c). Im Allgemeie ist diese Gruppe jedoch icht kommutativ. Wir wolle u ei paar eifache Eigeschafte vo Gruppe beweise, u. a. dass die i Defiitio 3.1 geforderte eutrale ud iverse Elemete eideutig sid ud wir daher i Zukuft auch vo dem eutrale ud dem zu eiem gegebee Elemet iverse Elemet spreche köe. Lemma 3.4 (Eigeschafte vo Gruppe). Es seie (G, ) eie Gruppe ud x,y G. (a) Es gibt geau ei eutrales Elemet (wie i Defiitio 3.1 (b)). (b) Es gibt geau ei iverses Elemet zu x (wie i Defiitio 3.1 (c)). (c) Sid x ud y die iverse Elemete zu x bzw. y, so ist y x das iverse Elemet zu x y. (d) Ist x das iverse Elemet zu x, so ist x das iverse Elemet zu x ( das Iverse des Iverse ist wieder das Ausgagselemet ). Beweis. (a) Sid e ud ẽ eutrale Elemete, so folgt e = ẽ e (b) Sid x ud x iverse Elemete zu x, so gilt (de ẽ ist ei eutrales Elemet) = ẽ (de e ist ei eutrales Elemet). x = e x (e eutrales Elemet) = ( x x) x ( x ist ei iverses Elemet zu x) = x (x x ) (Assoziativität) = x e (x ist ei iverses Elemet zu x) = x (e eutrales Elemet). (c) Es gilt (y x ) (x y) = y (x x) y = y e y = y y = e ud aalog auch (x y) (y x ) = e. Damit ist y x das iverse Elemet zu x y. (d) Die Gleichug x x = x x = e besagt direkt, dass x das iverse Elemet zu x ist.

3 6 Adreas Gathma Wie wir i Beispiel 3.3 (a) ud (b) gesehe habe, erlaube die reelle Zahle zwei grudlegede Gruppestrukture: die Additio ud (ach Herausahme der 0) die Multiplikatio. Diese beide Strukture sid jedoch icht uabhägig voeiader, da sie durch das Distributivgesetz (x+y) z = xz+yz für alle x,y,z R miteiader verbude sid. Eie derartige Kombiatio zweier Gruppestrukture bezeichet ma als eie Körper. Defiitio 3.5 (Körper). Ei Körper ist eie Mege K zusamme mit zwei Verküpfuge +: K K K (geat Additio) ud : K K K (geat Multiplikatio), so dass die folgede Eigeschafte (auch Körperaxiome geat) gelte: (a) (K,+) ist eie abelsche Gruppe. Wir bezeiche ihr eutrales Elemet mit 0 ud das zu eiem x K iverse Elemet mit x. (b) (K\{0}, ) ist ebefalls eie abelsche Gruppe. Wir bezeiche ihr eutrales Elemet mit 1 ud das zu eiem x K\{0} iverse Elemet mit x 1. (c) (Distributivität) Für alle x,y,z K gilt (x + y) z = (x z) + (y z). Mit dieser Defiitio wolle wir u also axiomatisch voraussetze: R ist ei Körper. Um Verwirruge zu vermeide, werde wir die beide Verküpfuge i eiem Körper immer mit de Symbole + ud bezeiche. Ebeso werde wir (wie ihr es atürlich gewoht seid) vereibare, dass ma de Pukt bei der Multiplikatio auch weglasse darf ud bei ugeklammerte Ausdrücke zuerst die Multiplikatioe ud da die Additioe ausgeführt werde, so dass ma also z. B. die Distributivität aus Defiitio 3.5 (c) auch als (x + y)z = xz + yz schreibe ka. Es ist jedoch wichtig zu verstehe, dass wir ab jetzt icht mehr voraussetze werde, dass Additio ud Multiplikatio i eiem Körper wie z. B. R geau die Verküpfuge sid, a die ma als Erstes deke würde was auch immer das heiße mag. Stattdesse sid es eifach irgedwelche zwei Verküpfuge, die die Eigeschafte aus Defiitio 3.5 habe. Usere zuküftige Beweise über Körper wie z. B. R müsse wir also ausschließlich auf diese Eigeschafte aufbaue. Dieser axiomatische Zugag hat zwei Vorteile: Zum eie wisse wir dadurch geau, welche Eigeschafte der Grudrechearte auf de reelle Zahle wir eigetlich voraussetze. Es sollte schließlich klar sei, dass wir eie exakte Mathematik icht auf eier aschauliche Vorstellug vo R aufbaue köe. Solltet ihr euch also z. B. später eimal dafür iteressiere, wie ma die Existez der reelle Zahle beweise ka, so wüsstet ihr da geau, was eigetlich zu beweise ist: ämlich die Existez eier Mege mit geau de Eigeschafte, die wir jetzt axiomatisch voraussetze. Zum adere werdet ihr im Laufe eures Studiums och viele weitere Körper keelere, z. B. i Kapitel 6 de sehr wichtige Körper der komplexe Zahle. Alle Resultate, die ur auf de Körperaxiome aufbaue, übertrage sich da also sofort auf diese eue Fälle, ohe dass ma sich darüber och eimal eu Gedake mache muss. Beispiel 3.6. (a) Nebe R ist auch Q (mit de gleiche Verküpfuge wie auf R) ei Körper. Die gaze Zahle Z bilde mit diese Verküpfuge jedoch keie Körper, da (Z\{0}, ) ach Beispiel 3.3 (b) keie Gruppe ist. Ebeso ist N mit diese Verküpfuge kei Körper, da hier ach Beispiel 3.3 (a) bereits die Additio keie Gruppestruktur liefert. (b) Hier ist ei Beispiel für eie Körper, der sich gaz aders verhält als R ud Q. Wir defiiere auf der Mege K = {g,u} zwei Verküpfuge durch die folgede Tabelle. + g u g g u u u g ud g u g g g u g u

4 3. Erste Eigeschafte der reelle Zahle 7 Die Idee dieser Verküpfuge ist, dass g für gerade ud u für ugerade gaze Zahle steht. So habe wir i der Tabelle z. B. g + u als u defiiert, weil die Additio eier gerade ud eier ugerade Zahl eie ugerade Zahl ergibt. Ma ka zeige, dass K mit diese beide Verküpfuge eie Körper bildet. Er wird i der Literatur mit Z bezeichet, da seie Elemete die Reste gazer Zahle bei Divisio durch beschreibe. Um zu beweise, dass Z ei Körper ist, köte ma z. B. eifach die geforderte Eigeschafte für alle Elemete es gibt ja ur zwei explizit achprüfe. I der Vorlesug Algebraische Strukture zeigt ma allerdigs, dass ma die Körperaxiome hier auch viel elegater direkt aus de Eigeschafte vo Z folger ka [G, Satz 7.10]. Wir wolle us hier damit begüge, die eutrale ud iverse Elemete azugebe: Das additive eutrale Elemet ist g, wie ma leicht aus der Tabelle abliest. Im Sie der Notatioe vo Defiitio 3.5 ist also 0 = g. Wege g + g = u + u = g = 0 sid die additive iverse Elemete g = g ud u = u. Dies stimmt atürlich auch mit der Iterpretatio als gerade ud ugerade Zahle überei, da das Negative vo eier gerade bzw. ugerade Zahl ebefalls wieder gerade bzw. ugerade ist. Das multiplikative eutrale Elemet i Z \{0} ist u i der Tat ist es ja auch das eizige Elemet i Z \{0}. Gemäß der Notatio vo Defiitio 3.5 ist also 1 = u. Beachte, dass i diesem Körper Z die Gleichug = u + u = g = 0 gilt. Die Körperaxiome lasse es also zu, dass ma bei fortgesetzter Additio der 1 irgedwa wieder zur 0 zurück kommt. Wir werde i dieser Vorlesug icht viel mit dem Körper Z zu tu habe wir habe ih hier ur als Beispiel dafür agegebe, dass die Körperaxiome och weit davo etfert sid, die ratioale oder reelle Zahle eideutig zu charakterisiere. Aschaulich ka ma die Körperaxiome so iterpretiere, dass ei Körper eie Mege ist, auf der die vier Grudrechearte existiere ud die erwartete Eigeschafte habe. Wir wolle u och ei paar weitere dieser erwartete Eigeschafte zeige, die bereits aus de Körperaxiome folge ud die wir da beim Reche z. B. i R atürlich städig beutze werde. Bemerkug 3.7. Es seie K ei Körper ud x,y K. (a) Wede wir Lemma 3.4 (c) ud (d) auf die (kommutative) Additio ud Multiplikatio a, so sehe wir sofort, dass sowie für x,y 0 (x + y) = ( x) + ( y) ud ( x) = x (xy) 1 = x 1 y 1 ud (x 1 ) 1 = x. (b) Etwas versteckt i Defiitio 3.5 steht i Teil (b) u. a. die Aussage, dass die Multiplikatio überhaupt eie Verküpfug auf K\{0} ist, also dass für x, y K\{0} auch xy K\{0} gilt. Äquivalet dazu bedeutet das: Ist xy = 0, so gilt x = 0 oder y = 0. Lemma 3.8 (Eigeschafte vo Körper). I jedem Körper K gilt für alle x,y K: (a) 0 x = 0. (b) x ( y) = (xy). (c) Für x 0 ist (x 1 ) = ( x) 1. Beweis. (a) Es gilt 0 x = (0 + 0) x (0 ist additives eutrales Elemet) = 0 x + 0 x, (Distributivität) woraus durch Additio des additive Iverse vo 0 x auf beide Seite die gewüschte Gleichug 0 = 0 x folgt.

5 8 Adreas Gathma (b) Es ist x ( y) + xy = x ( y + y) (Distributivität) = x 0 ( y ist additives Iverses zu y) = 0 (ach (a)), daher ist x ( y) das additive Iverse zu xy, d. h. es gilt x ( y) = (xy). (c) Doppeltes Awede vo (b), eimal für de like ud eimal für de rechte Faktor, ergibt ( (x 1 )) ( x) = (x 1 ( x)) = ( (x 1 x)) = ( 1) 3.7(a) = 1. Also ist (x 1 ) das multiplikative Iverse zu x, d. h. es ist (x 1 ) = ( x) 1. Notatio 3.9. I eiem Körper K verwedet ma üblicherweise die folgede Notatioe, vo dee euch die meiste sicher bekat sei werde: (a) Für x,y K setzt ma x y := x + ( y). Ist y 0, so setzt ma x y := x y 1. (b) Für x K ud N defiiert ma die -te Potez vo x als x := } x {{ } x, -mal wobei dieser Ausdruck für = 0 als x 0 := 1 zu verstehe ist. Isbesodere lege wir also auch 0 0 := 1 fest. Beachte, dass aus dieser Defiitio (ud der Kommutativität der Multiplikatio) umittelbar die Potezrecheregel x m x = x m+ ud (xy) = x y für alle x, y K folge. Ist x 0, so defiiert ma zusätzlich Poteze mit egative gazzahlige Expoete durch x := (x 1 ). Beachte, dass auch i eiem beliebige Körper K die Expoete eier Potez stets gaze Zahle sid ud keie Elemete aus K. Eie Potez x y für x,y K lässt sich im Allgemeie icht defiiere (auch we dies für K = R i viele Fälle möglich ist, siehe Defiitio 9.6). (c) Machmal möchte ma mehrere Elemete x m,x m+1,x m+,...,x i eiem Körper (oder allgemeier i eier additiv geschriebee abelsche Gruppe) aufsummiere, die durch eie gazzahlige Laufvariable idiziert werde, die vo eiem m Z bis zu eiem Z (mit m) läuft. Ma schreibt dies da als x i := x m + x m+1 + x m+ + + x i=m (also mit eiem große griechische Sigma, das a das Wort Summe erier soll). So steht z. B. i = ( ) i=1 für die Summe aller Quadratzahle bis. Natürlich ist der Name der Laufvariable dabei egal. Außerdem ka ma die Laufvariable verschiebe, ohe de eigetliche Ausdruck zu äder: Setzt ma z. B. i = j +1, also j = i 1, i der obige Summe ( ), so läuft j dort vo 0 bis 1, we i vo 1 bis läuft, ud wir köe dieselbe Summe auch schreibe als 1 j=0 ( j + 1) = Natürlich ka ma diese Ausdruck u auch wieder geauso gut mit dem Buchstabe i statt j als 1 i=0 (i + 1) schreibe, oder de Idex um mehr als 1 i die eie oder adere Richtug verschiebe. Also:

6 3. Erste Eigeschafte der reelle Zahle 9 Der Wert eier Summe ädert sich icht, we ma zur Laufvariable im zu summierede Ausdruck eie Kostate addiert, ud dafür vo der Ober- ud Utergreze der Summe diese Kostate abzieht. Wir sage i diesem Fall, dass die eue Darstellug der Summe durch eie Idexverschiebug (im Beispiel obe i i + 1) aus der alte hervorgeht. Aalog schreibt ma i=m x i := x m x m+1 x m+ x (mit eiem große griechische Pi für das Produkt), we ma die Körperelemete multipliziere statt addiere möchte. Ist schließlich die Obergreze eier Summe oder eies Produkts kleier als die Utergreze (ma spricht da vo der leere Summe bzw. dem leere Produkt), so defiiert ma dies als x i := 0 i=m ud i=m also als das additive bzw. multiplikative eutrale Elemet. x i := 1 für < m, (d) Ist eie atürliche Zahl, so fasst ma diese oft auch als das Elemet i=1 1 = }{{} -mal vo K auf. Im Fall K = R ist dies da eifach die atürliche Zahl N R ud liefert somit keie eue Notatio, aber z. B. i K = Z aus Beispiel 3.6 (b) ist = = 0. Aufgabe Zeige, dass i jedem Körper K die übliche Recheregel x y + z xw + yz = w yw für Brüche gelte, wobei x,y,z,w K mit y,w 0. Aufgabe Zu eier gegebee Mege M sei ud x y z w = xz yw V = { f : f ist eie Abbildug vo M ach R} die Mege aller reellwertige Fuktioe auf M. Für f,g V defiiere wir die Additio f + g ud Multiplikatio f g dieser Fuktioe puktweise durch f + g: M R, x f (x) + g(x) ud f g: M R, x f (x) g(x). (a) Ist V mit dieser Additio eie Gruppe? (b) Ist V mit dieser Additio ud Multiplikatio ei Körper? Hägt die Atwort auf diese Frage vo M ab? 04 3.B Vollstädige Iduktio Häufig möchte ma i der Mathematik Aussage beweise, die vo eier atürliche Zahl abhäge z. B. bei Formel, die Summe oder Produkte wie i Notatio 3.9 mit variable Uter- oder Obergreze beihalte. Die eifachste ud bekateste solcher Aussage ist vermutlich die folgede Formel für die Summe aller atürliche Zahle bis zu eier gegebee Obergreze. Satz 3.1 (Summeformel vo Gauß). Für alle N gilt k = ( + 1).

7 30 Adreas Gathma Beispiel Für = 5 ist z. B. 5 k = = 15 = 5 6. Um derartige Aussage zu beweise, ist oft das Beweisverfahre der (vollstädige) Iduktio ützlich, das wir jetzt eiführe wolle. Ageomme, wir wolle (wie z. B. i Satz 3.1) eie Aussage A() für alle N beweise. Da köe wir dies tu, idem wir die folgede beide Dige zeige: (a) (Iduktiosafag) Die Aussage A(0) ist wahr. (b) (Iduktiosschritt) Für alle N gilt A() A( + 1), d. h. we die Aussage A() für ei gegebees N gilt (die Iduktiosaahme bzw. Iduktiosvoraussetzug ), da gilt auch die Aussage A( + 1) (der Iduktiosschluss ). Habe wir diese beide Dige gezeigt, so folgt daraus ämlich die Gültigkeit vo A() für alle N: Die Aussage A(0) habe wir mit dem Iduktiosafag gezeigt, ud durch fortgesetztes Awede des Iduktiosschritts A() A( + 1) für = 0, 1,,... erhalte wir da auch A(0) A(1) A() A(3), also die Gültigkeit vo A() für alle N = {0,1,,3,...}. Derartige Iduktiosbeweise sid immer da sivoll, we die Aussage A() ud A( + 1) ählich geug sid, so dass es beim Beweis vo A( + 1) hilft, die Gültigkeit vo A() voraussetze zu dürfe. Mit diesem Verfahre köe wir u die Summeformel aus Satz 3.1 beweise: Beweis vo Satz 3.1. Wir zeige die Formel mit Iduktio über. Iduktiosafag ( = 0): Für = 0 stimme die beide Seite der zu zeigede Gleichug überei, de es ist 0 0 (0 + 1) k = 0 =. Iduktiosschritt ( + 1): Als Iduktiosvoraussetzug ehme wir a, dass die zu beweisede Formel für ei gegebees N richtig ist, d. h. dass ( + 1) k = gilt. Wir müsse zeige, dass die etsprechede Gleichug da auch für + 1 gilt, also dass +1 ( + 1)( + ) k =. Dies ergibt sich u leicht aus der folgede Rechug: +1 k = = k + ( + 1) (Abspalte des letzte Summade für k = + 1) ( + 1) + ( + 1) (ach Iduktiosvoraussetzug) = ( + 1)( + ) =. Damit ist der Satz mit vollstädiger Iduktio bewiese. Bemerkug Offesichtlich erlaubt das Beweisverfahre der vollstädige Iduktio die folgede Abwadluge:

8 3. Erste Eigeschafte der reelle Zahle 31 (a) Im Iduktiosschritt ka ma, we es hilfreich ist, beim Beweis der Aussage A( + 1) icht ur die direkt voragegagee Aussage A(), soder alle bereits gezeigte Aussage A(0),A(1),...,A() voraussetze. (b) Möchte ma die Aussage A() icht für alle N, soder für alle Z ab eiem gewisse Startwert 0 Z zeige, so ka ma als Iduktiosafag die Aussage A( 0 ) zeige, ud im Iduktiosschritt da die Folgerug A() A( + 1) für alle 0. Aufgabe Zeige für alle N: (a) 1 k(k + 1) = + 1, (b) ( ) = 1 + k C Polyomfuktioe Als erste Awedug der Körpereigeschafte wolle wir zum Abschluss dieses Kapitels die euch sicher scho aus der Schule bekate Polyomfuktioe behadel also die Fuktioe, die sich aus de grudlegede Körperoperatioe Additio ud Multiplikatio bilde lasse. Defiitio 3.16 (Polyomfuktioe ud Nullstelle). Es seie D eie Teilmege eies Körpers K ud f : D K eie Fuktio. (a) Ist f vo der Form f (x) = k=0 a k x k = a x + + a 1 x 1 + a 0 für gewisse a 0,...,a K, so sagt ma, dass f eie Polyomfuktio ist. Ist dabei so gewählt, dass der erste Koeffiziet a ugleich Null ist, so heißt f eie Polyomfuktio vom Grad ud mit Leitkoeffiziet a. Ist der Leitkoeffiziet 1, so heißt f eie ormierte Polyomfuktio. Sid i der obige Darstellug alle Koeffiziete a 0,...,a gleich 0 (ud ist f damit die Nullfuktio), so ee wir f formal eie Polyomfuktio vom Grad. I diesem Fall hat f keie Leitkoeffiziete. (b) Ist x 0 D mit f (x 0 ) = 0, so et ma x 0 eie Nullstelle vo f. Das Besodere a Nullstelle vo Polyomfuktioe ist, dass ma sie wie im folgede Satz als Liearfaktore abspalte ka. Satz 3.17 (Abspalte vo Nullstelle i Polyomfuktioe). Es seie K ei Körper, D K ud f : D K eie Polyomfuktio vom Grad N. (a) Ist x 0 D eie Nullstelle vo f, so gibt es eie Polyomfuktio g: D K vom Grad 1 mit f (x) = (x x 0 )g(x) für alle x D (d. h. ma ka de Liearfaktor x x 0 abspalte ). (b) Die Fuktio f hat höchstes Nullstelle. Beweis. Wir zeige die beide Aussage mit Iduktio über. Der Beweis vo (a) ist dabei kostruktiv, d. h. er gibt auch ei Verfahre a, wie g berechet werde ka (siehe Beispiel 3.18). Der Iduktiosafag für = 0 ist trivial, de f ist da eie Kostate ugleich 0 ud hat somit keie Nullstelle. Für de Iduktiosschluss ehme wir a, dass die Aussage des Satzes für ei gegebees gelte, ud betrachte eie Polyomfuktio f : D K, x a +1 x a 1 x+a 0 vom Grad + 1, also mit a (a) Wir defiiere eie Polyomfuktio f : D K durch f (x) := f (x) a +1 x (x x 0 ) = a +1 x 0 x + a x + a 1 x a 1 x + a 0

9 3 Adreas Gathma für alle x. Ist f die Nullfuktio, so sid wir fertig, da da ja f (x) = a +1 x (x x 0 ) für alle x D gilt. Aderfalls ist f ach Kostruktio eie Polyomfuktio vo eiem Grad kleier als +1 (der x +1 -Term hebt sich ja gerade heraus), die immer och die Nullstelle x 0 hat. Nach Iduktiosvoraussetzug gibt es da also eie Polyomfuktio g: D K vom Grad kleier als mit f (x) = (x x 0 ) g(x) für alle x D, ud somit ist f (x) = a +1 x (x x 0 ) + f (x) = (x x 0 ) (a +1 x + g(x) ) }{{} =:g(x) für alle x D, wobei g offesichtlich vom Grad ist. (b) Hat f keie Nullstelle, so sid wir fertig. Aderfalls wähle wir eie Nullstelle x 0 vo f ud schreibe f (x) = (x x 0 )g(x) für alle x D wie i (a) mit eier Polyomfuktio g vom Grad. Nach Iduktiosvoraussetzug hat g höchstes Nullstelle, ud ach Bemerkug 3.7 (b) sid die Nullstelle vo f geau x 0 zusamme mit de Nullstelle vo g. Also hat f höchstes + 1 Nullstelle. Damit ist die Behauptug mit Iduktio bewiese. Beispiel 3.18 (Polyomdivisio). Das Verfahre aus dem Beweis vo Satz 3.17 (a) wird als Polyomdivisio [G, Satz 10.14] bezeichet: Ma subtrahiert fortlaufed geeigete Vielfache vo x x 0 vo f, um de Grad vo f zu reduziere, ud sammelt die dabei verwedete Faktore i g. Das folgede Schema, das geauso aussieht wie eie ormale schriftliche Divisio, verdeutlicht dieses Verfahre am Beispiel der Fuktio f : R R, x x + 3x 4 mit Nullstelle x 0 = 1, die wir als f (x) = (x 1)g(x) für alle x R schreibe wolle. Das Ergebis ist i diesem Fall g: R R, x x + 4. f f (x +3x 4) : (x 1) = x + 4 (x x) x 4x 4 4 (4x 4) 0 g Bemerkug Satz 3.17 liefert us zwar die eue Fuktio ach dem Abspalte des Liearfaktors, er sagt us higege icht, wie wir überhaupt erst eimal eie Nullstelle vo f fide köe, oder ob es überhaupt Nullstelle gibt (die reelle Polyomfuktio f (x) = x + 1 hat ja z. B. keie Nullstelle). I der Tat gibt es im Allgemeie kei Verfahre, wie ma Nullstelle vo Polyomfuktioe exakt bereche ka! Geauer gesagt gilt: Für Polyomfuktioe vom Grad höchstes 4 gibt es explizite Verfahre zur exakte Bestimmug der Nullstelle (für Grad 1 ist das klar, für Grad gibt es die bekate p-q- Formel bzw. die quadratische Ergäzug, ud für Grad 3 bzw. 4 sid die Formel so lag, dass ma im Allgemeie icht mehr mit ihe arbeite möchte). Für Polyomfuktioe vom Grad größer als 4 ka ma beweise(!), dass es keie derartige Verfahre zur exakte Bestimmug der Nullstelle gebe ka (das beweist ma z. B. i der Vorlesug Eiführug i die Algebra, die ihr im ächste Studiejahr höre köt). Aber: Für reelle Polyomfuktioe beliebige Grades gibt es zumidest umerische Verfahre, die die Nullstelle (mit beliebiger Geauigkeit) äherugsweise bestimme köe. Zum Schluss wolle wir u och zwei wichtige Kozepte für Polyomfuktioe utersuche, die ihr beide im reelle Fall vielleicht scho aus der Schule ket: de sogeate Koeffizietevergleich (also dass eie Polyomfuktio eideutig ihre Koeffiziete bestimmt) ud die Vielfachheit vo Nullstelle. Es stellt sich jedoch heraus, dass ma hierfür im allgemeie Fall die Voraussetzug beötigt, dass die Defiitiosmege der betrachtete Fuktioe uedlich viele Elemete besitzt.

10 3. Erste Eigeschafte der reelle Zahle 33 Lemma 3.0 (Koeffizietevergleich). Es seie K ei Körper, D K mit D =, ud f : D K eie Polyomfuktio mit zwei Darstelluge f (x) = a x + + a 1 x + a 0 = b x + + b 1 x + b 0 für alle x D für gewisse a 0,...,a,b 0,...,b K. Da gilt bereits a i = b i für alle i = 0,...,. Es ist also icht möglich, eie Polyomfuktio auf zwei verschiedee Arte hizuschreibe. Beweis. Ageomme, die Behauptug des Lemmas wäre falsch. Da würde sich i der Differezfuktio f g: D K, x (a b )x + + (a 1 b 1 )x + (a 0 b 0 ) icht alle Terme weghebe, d. h. f g wäre eie Polyomfuktio vo eiem gewisse Grad r 0. Nach Satz 3.17 (b) köte diese Fuktio f g da höchstes r Nullstelle besitze. Dies ist aber ei Widerspruch zur Voraussetzug, de es gilt ja f (x) g(x) = 0 für alle uedlich viele Elemete vo D. Bemerkug ud Notatio 3.1 (Polyome). Die Voraussetzug D = i Lemma 3.0 ist wirklich otwedig: So sid für D = K = Z wie i Beispiel 3.6 (b) z. B. x x ud x x dieselbe Fuktio, da sie beide 0 auf 0 ud 1 auf 1 abbilde ud i Z keie weitere Elemete existiere. I der Literatur bezeichet ma eie formale Ausdruck der Form a x + + a 1 x + a 0 mit a 0,...,a K als ei Polyom über K [G, Kapitel 9]. Jedes solche Polyom bestimmt atürlich eie Polyomfuktio vo jeder Teilmege D vo K ach K, allerdigs köe verschiedee Polyome wie im ebe agegebee Beispiel durchaus dieselbe Polyomfuktio defiiere: Über Z sid x ud x verschiedee Polyome, sie bestimme aber dieselbe Polyomfuktio. Mit dieser Notatio ist die Aussage vo Lemma 3.0 also, dass Polyome ud Polyomfuktioe im Fall vo uedliche Defiitiosmege dasselbe sid. Da wir Polyomfuktioe im Folgede i der Regel ur i diesem Fall uedlicher Defiitiosmege beötige, werde wir die Begriffe Polyom ud Polyomfuktio oft syoym verwede. Wege der Eideutigkeit der Koeffiziete sid da auch der Grad ud der Leitkoeffiziet eier Polyomfuktio (wie i Defiitio 3.16 (a)) eideutig bestimmt. Satz ud Defiitio 3. (Vielfachheit vo Nullstelle). Es seie K ei Körper, D K mit D = ud f : D K eie Polyomfuktio, die icht die Nullfuktio ist. Da lässt sich f (bis auf die Reihefolge der Faktore) eideutig als f (x) = g(x) (x x 1 ) a1 (x x k ) a k für alle x D schreibe, wobei x 1,...,x k D die verschiedee Nullstelle vo f sid, a 1,...,a k N >0 gilt, ud g eie Polyomfuktio ohe Nullstelle i D ist. I dieser Darstellug et ma a i für i = 1,...,k die Vielfachheit der Nullstelle x i (i der Literatur sid auch die Bezeichuge Ordug ud Multiplizität der Nullstelle üblich). Beweis. Die Existez eier solche Darstellug ergibt sich sofort durch fortgesetztes Abspalte vo Nullstelle gemäß Satz 3.17 (a). Wir zeige u die Eideutigkeit mit Iduktio über de Grad vo f. Dabei ist der Iduktiosafag für Grad 0 trivial, de da hat f keie Nullstelle, ud es ist zwagsläufig k = 0 ud g = f. Für de Iduktiosschritt ehme wir u a, dass die Aussage des Satzes für Polyome vo kleierem Grad als f gilt, ud dass wir zwei Darstelluge f (x) = g(x) (x x 1 ) a1 (x x k ) a k = h(x) (x x 1 ) b1 (x x k ) b k wie i der Behauptug des Satzes habe. Im ullstellefreie Fall k = 0 sid wir atürlich bereits fertig. Aderfalls liefert Divisio durch x x 1 für alle x D mit x x 1 g(x) (x x 1 ) a 1 1 (x x ) a (x x k ) a k = h(x) (x x 1 ) b 1 1 (x x ) b (x x k ) b k. ( )

11 34 Adreas Gathma 05 Die Differez der beide Seite dieser Gleichug ist also eie Polyomfuktio mit uedlich viele Nullstelle (ämlich alle x D mit x x 1 ). Nach Satz 3.17 (b) ist dies ist ur da möglich, we sie bereits die Nullfuktio ist. Daher gilt die Gleichheit ( ) sogar für alle x D, d. h. wir habe wieder zwei Darstelluge derselbe Polyomfuktio auf D, dere Grad u allerdigs um 1 kleier ist als der vo f. Nach Iduktiosvoraussetzug müsse diese beide Darstelluge ( ) also übereistimme, d. h. es gilt g = h, a 1 1 = b 1 1, a = b,..., a k = b k. Damit stimme aber auch die beide ursprügliche Darstelluge vo f überei. Aufgabe 3.3. (a) Bestimme die Nullstelle des reelle Polyoms x x 4 + 3x 3 4x ud ihre Vielfachheite. (b) Es sei N. Zeige, dass das reelle Polyom x x + x x + 1 geau da eie Nullstelle besitzt, we ugerade ist. Was ist i diesem Fall ihre Vielfachheit?