Scriptum zur Vorlesung Spezielle Aspekte der Analysis

Scriptum zur Vorlesung Spezielle Aspekte der Anlysis Prof. W. Hoffmnn SS 2008 1 Häufungspunkte Im Folgenden betrchten wir unendliche Zhlenfolgen x 1, x 2, x 3,... Häufig bezeichnen wir ds llgemeine Glied mit x n und sprechen von der Folge x n. Definition 1 Eine reelle Zhl heißt Häufungspunkt der Folge x n reeller Zhlen, wenn es für jede positive Zhl ε unendlich viele ntürliche Zhlen n gibt, so dss x n < ε. Beispiel (). Die Folge 0, 0, 0,...ht nur den Häufungspunkt 0. Beispiel (b). Die Folge 1, 1, 1,..., 1,... ht den Häufungspunkt 0, denn 2 3 n ist ε > 0 beliebig, so gilt 1 0 < ε für lle n mit n > 1. Eine Zhl 0 n ε ist kein Häufungspunkt, denn ist 0 < ε <, so gibt es nur endlich viele n mit 1 < ε. Nch der Dreiecksungleichung gilt dnn nämlich n 0 1 n + 1 0 n, lso < ε + 1 n, n > 1 ε. Beispiel (c). Die Folge 1, 1, 1, 1,... ht die Häufungspunkte 1 und 1. Beispiel (d). Die Folge der ntürlichen Zhlen ht keinen Häufungspunkt. Beispiel (e). Für jede reelle Zhl x bezeichnen wir mit [x], die größte gnze Zhl, die kleiner oder gleich x ist, und setzen {x} = x [x]. (Aus dem Zusmmenhng ergibt sich, dss nicht die Einermenge mit dem Element x gemeint ist.) Wir hlten eine irrtionle Zhl c fest und setzen x n = {nc}. Wir zeigen in einer Reihe von Schritten, dss jede Zhl des Intervlls [0, 1] ein Häufungspunkt der Folge ist. 1

Wäre x m = x n für m n, so wäre nc mc = k Z, lso c = k n m im Widerspruch zur Irrtionlität von c. Also sind sämtliche Folgeglieder verschieden. Die ersten N 1 Glieder der Folge teilen ds Intervll [0, 1] in N Teilintervlle, deren Längen sich zu 1 summieren. Also muss wenigstens eines von ihnen eine Länge kleiner oder gleich 1 hben, ds heißt, es gibt m und n, so N dss x m x n 1 N. Wir bezeichnen die linke Seite mit h und setzen p = m n. Aus der Definition von x n folgt, dss h = pc k für ein k Z. Für lle ntürlichen Zhlen l mit 1 l 1 ist nun l(pc k) 1, lso h { l(pc k) = lh, flls pc k > 0, x lp = l(pc k) + 1 = 1 lh, flls pc k < 0. Diese Folgeglieder teilen ds Intervll [0, 1] in Intervlle der Länge höchstens 1 N. Sind [0, 1] und 0 < ε < 1 beliebig, so ht ds Intervll ( ε, +ε) [0, 1] mindestens die Länge ε. Die Anzhl der Glieder x lp mit 1 l 1 h, die in diesem Intervll liegen, ist lso nicht kleiner ls Nε. D wir N unbhängig von und ε wählen können, ist die Anzhl der n mit der Eigenschft x n ( ε, + ε) größer ls jede Zhl der Form Nε, ds heißt unendlich. Somit ist ein Häufungspunkt. Definition 2 Eine Intervllschchtelung ist eine Folge von bgeschlossenen Intervllen [ 0, b 0 ] [ 1, b 1 ] [ 2, b 2 ]... mit der Eigenschft, dss es zu jeder positiven Zhl ε eine ntürliche Zhl k gibt, so dss b k k < ε. Irrtionlzhlen knn mn durch Intevllschchtelungen chrkterisieren. Ein unendlicher Dezimlbruch liefert uns z. B. eine Intervllschchtelung, in der die Länge eines Intervlls jeweils ein Zehntel der Länge des vorigen Intervlls ist. Stz 0 Für jede Intervllschchtelung gibt es eine genu reelle Zhl, die in llen ihren Intervllen enthlten ist. Dieser Stz wird im Rhmen der Konstruktion der reellen Zhlen us den rtionlen Zhlen bewiesen. In gewisser Weise werden die reellen Zhlen gerde so konstruiert, dss dieser Stz gilt. Wir werden ihn hier nicht beweisen. 2

Zumindest ist klr, dss es keine verschiedenen Zhlen x < y geben knn, die in llen Intervllen enthlten sind, denn nch Definition gibt es ein Intervll [ k, b k ], dessen Länge b k k kleiner ls die positive Zhl y x ist. Stz 1 (Bolzno-Weierstrß) Eine beschränkte Folge reeller Zhlen ht mindestens einen Häufungspunkt. Beweis. Die Vorussetzung, dss unsere Folge x n beschränkt ist, besgt dss es Zhlen 0 und b 0 gibt, so dss für lle n gilt x n [ 0, b 0 ]. Der Mittelpunkt m 0 = 0+b 0 2 des Intervlls teilt es in zwei Teilintervlle [ 0, m 0 ] und [m 0, b 0 ] von der hlben Länge. Wenigstens eines von ihnen muss unendlich viele Glieder der Folge enthlten (in dem Sinne, dss es die Zhlen x n für unendlich viele n enthält). Wir wählen ein solches Teilintervll us und bezeichnen es mit [ 1, b 1 ]. Wir folgern mit dem gleichen Argument, dss ds linke oder ds rechte Hlbintervll von [ 1, b 1 ] unendlich viele Folgeglieder enthlten muss. So fortfhrend erhlten wir eine Folge von Intervllen [ k, b k ] der Länge b 0 0, die jeweils unendlich viele Glieder x 2 k n enthlten. Für jedes ε > 0 gibt es ein k, so dss 2 k > b 0 0, ds heißt b ε k k < ε. Also hben wir eine Intervllschchtelung, und nch Stz 0 gibt es eine Zhl c, die für jedes k in [ k, b k ] enthlten ist. Ist ε > 0 gegeben, so wählen wir ein k derrt, dss b k k < ε. Zwei beliebige Elemente des Intervlls [ k, b k ] hben dnn höchstens den Abstnd ε. Nch Konstruktion gilt x n [ k, b k ] für unendlich viele n, und für diese folgt x n c < ε. In Beispiel (e) liegen lle Glieder der Folge in dem bgeschlossenen Intervll [0, 1]. Folgt drus, dss uch lle Häufungspunkte in diesem Intervll liegen müssen? Definition 3 Eine Menge A reeller Zhlen heißt bgeschlossen, wenn für jede Folge in A uch jeder Häufungspunkt der Folge in A liegt. Einen Menge U reeller Zhlen heißt offen, wenn es für jedes Element u von U ein ε gibt, so dss jede Zhl x mit der Eigenschft x u < ε in U liegt. Stz 2 Eine Menge A ist genu dnn bgeschlossen, wenn die Menge U = R \ A (gennnt die Komplementärmenge von A) offen ist. Mn knn sich leicht überzeugen, dss die Komplementärmenge eines bgeschlossenen Intervlls eine offene Menge ist. Nch dem Stz ist ein bgeschlossenes Intervll lso eine bgeschlossene Menge, und die Antwort uf die obige Frge lutet J. 3

Beweis. Ist U offen, so knn ein Element u von U kein Häufungspunkt einer Folge x n von Elementen von A sein, denn ist ε wie in der Definition der offenen Menge, so gibt es kein n mit der Eigenschft x n u < ε. Also liegen lle Häufungspunkte in A. Umgekehrt sei A bgeschlossen und u ein beliebiger Punkt von U. Wir nehmen ds Gegenteil der gewünschten Eigenschft von u n, dss es lso kein ε > 0 gibt, so dss lle Zhlen x mit der Eigenschft x u < ε in U liegen. Mit nderen Worten, gnz gleich, welches ε > 0 wir wählen, es soll immer ein x mit der Eigenschft x u < ε geben, ds nicht in U, sondern in A liegt. Insbesondere gibt es dnn für jedes n ein x n A mit der Eigenschft x n u < 1 n. Dnn ist ber u ein Häufungspunkt der Folge x n im Widerspruch zur Abgeschlossenheit von A. Unsere Annhme wr lso flsch. 4

2 Grenzwerte Die intuitive Vorstellung, dss eine Folge gegen einen Grenzwert strebt, wenn ihre Glieder dem Grenzwert beliebig nhe kommen und letztendlich uch beliebig nhe bleiben, wird wie folgt präzisiert. Definition 4 Die Zhl heißt Grenzwert der Folge x n, wenn es für jede positive Zhl ε eine ntürliche Zhl n 0 gibt, so dss für lle ntürlichen Zhlen n, die größer oder gleich n 0 sind, die Ungleichung x n < ε gilt. Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, nennt mn konvergent. Ntürlich ist jeder Grenzwert ein Häufungspunkt. Eine Folge knn nicht zwei verschiedene Grenzwerte 1 und 2 hben, denn setzen wir ε = 1 2, so 2 muss es nch Definition ein n 1 geben, so dss x n 1 < ε für n n 1, und es muss ein n 2 geben, so dss x n 2 < ε für n n 2. Ist nun n 0 die größere der beiden Zhlen n 1 und n 2, so gilt für n n 0 1 2 1 x n + x n 2 < 2ε im Widerspruch zur Whl von ε. Der Grenzwert einer konvergenten Folge x n ist lso eindeutig bestimmt, und mn bezeichnet ihn mit lim n x n. Lssen wir us einer Folge x 1, x 2, x 3,..., x n,... eine beliebige Anzhl von Gliedern weg, so verbleibt eine Teilfolge, z. B. x 2, x 7, x 24,... Die hier vorkommenden Indices (in unserem Beispiel sind ds 2, 7, 24,...) bilden eine monoton wchsende Folge n 1, n 2, n 3,..., n k,... von ntürlichen Zhlen. Direkt us der Definition folgt: Ist eine Zhl Grenzwert einer Folge, so ist sie uch Grenzwert einer jeden Teilfolge dieser Folge. Stz 3 Eine Zhl ist genu dnn Häufungspunkt einer Folge, wenn sie Grenzwert einer Teilfolge ist. Beweis. Ist Grenzwert (lso uch Häufungspunkt) einer Teilfolge von x n, so gibt es für jedes ε > 0 unendlich viele Glieder der Teilfolge, die in der ε-umgebung von liegen. Diese sind uch Glieder der Folge x n, lso ist Häufungspunkt dieser Folge. Umgekehrt sei ein Häufungspunkt der Folge x n. Dnn gibt es unendlich viele ntürliche Zhlen n, so dss x n < 1, und von diesen n wählen wir ein n 1. Weiter gibt es unendlich viele n, so dss x n < 1, und von 2 diesen wählen wir ein n 2, ds größer ist ls n 1. So fortfhrend finden wir eine monoton wchsende Folge n 1, n 2, n 3,..., so dss x nk < 1 k. 5

Mn prüft n Hnd der Definition nch, dss Grenzwert der Teilfolge x nk ist. Um n Hnd der Definition zu prüfen, ob eine Folge konvergent ist, müsste mn für jede reelle Zhl feststellen, ob sie Grenzwert ist. Konvergenzkriterien erspren ds Durchprüfen dieser unendlich vielen Möglichkeiten. Ds universellste Kriterium geht uf Cuchy zurück. Definition 5 Eine Folge x n heißt Cuchy-Folge, wenn es für jede positive Zhl ε eine ntürliche Zhl n 0 gibt, so dss für lle ntürlichen Zhlen m und n, die beide größer oder gleich n 0 sind, die Ungleichung x m x n < ε gilt. Stz 4 Eine Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchy-Folge ist. Beweis. Angenommen, die Folge x n ist konvergent. Ist ε > 0 gegeben, dnn gibt es ein n 0, so dss x n < ε 2 für n n 0. Ist nun m n 0 und n n 0, so folgt x m x n x m + x n < ε 2 + ε 2 = ε, lso ist die Folge eine Cuchy-Folge. Umgekehrt sei x n eine Cuchy-Folge. Dnn gibt es ein n 1, so dss für n n 1 gilt x n x n1 < 1. Die Folge ist lso von oben durch x n1 +1 und von unten durch x n1 1 beschränkt. Außerdem gibt es für jedes ε > 0 ein n 0, so dss für lle m n 0 und n n 0 gilt x m x n < ε. 2 Nch Stz 1 ht die Folge einen Häufungspunkt. Drus folgt, dss es für jedes ε > 0 unendlich viele m gibt, so dss x m < ε. Wählen wir ein 2 solches m, ds größer ls n 0 ist, so folgt für n n 0, dss Also ist die Folge konvergent. x n x n x m + x m < ε 2 + ε 2 = ε. Bemerkung. Für die Konvergenz genügt es nicht, zu verlngen, dss für jedes ε > 0 ein n 0 existiert, so dss x n+1 x n < ε für n n 0, wie ds Beispiel x n = n lehrt: Obwohl n + 1 n = ( n + 1 + n)( n + 1 n) n + 1 + n = (n + 1) n 1 n + 1 + n 2 n, ist die Folge divergent (d. h. nicht konvergent). Wir beweisen nun, dss jede Kontrktion eines bgeschlossenen Intervlls genu einen Fixpunkt ht. Der Beweis liefert gleichzeitig eine Näherungsmethode für die Berechnung des Fixpunktes. 6

Stz 5 Es sei 0 C < 1 und f eine Abbildung des Intervlls [, b] in sich selbst mit der Eigenschft, dss f(x) f(y) C x y (1) für lle x, y [, b]. Dnn gibt es genu ein c [, b], so dss f(c) = c. Beweis. Es sei x 0 [, b] beliebig. Wir definieren eine Folge x n rekursiv durch x n+1 = f(x n ). Wiederholte Anwendung von (1) ergibt x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) C x n x n 1 C 2 x n 1 x n 2 C n x 1 x 0. Ist nun m > n, so folgt mit der Dreiecksungleichung x m x n x m x m 1 + x m 1 x m 2 + + x n+1 x n (C m 1 + C m 2 + + C n ) x 1 x 0. Nch der Summenformel für geometrische Folgen ist C m 1 + C m 2 + + C n = Cm C n C 1 Cn 1 C, wobei wir benutzt hben, dss C m > 0 und 1 C > 0. Ist nun ε > 0 gegeben, so gibt es wegen 0 < C < 1 ein n 0, so dss für n n 0 gilt C n < ε(1 C) x 1 x 0. Somit ist x m x n < ε für lle m und n mit m n n 0. Dsselbe gilt bei Vertuschung von m und n, lso ist die Folge x n eine Cuchy-Folge und ht nch Stz 4 einen Grenzwert c. D ds Intervll [, b] bgeschlossen ist, liegt c in [, b]. Um zu zeigen, dss c ein Fixpunkt ist, bemerken wir, dss f(c) c f(c) f(x n ) + f(x n ) x n + x n c (C + 1) x n c + C n x 1 x 0 für lle n. Ist ε > 0 gegeben, dnn finden wir ein n 0, so dss für lle n n 0 gilt ε x n c < 2(C + 1), ε Cn < 2 x 1 x 0, so dss f(c) c < ε + ε = ε. D ε eine beliebige positive Zhl wr, folgt 2 2 f(c) c = 0, lso f(c) = c. 7

Sind c 1 und c 2 Fixpunkte von f, so ist c 1 c 2 = f(c 1 ) f(c 2 ) C c 1 c 2, lso (1 C) c 1 c 2 = 0. Wegen 1 C > 0 folgt c 1 c 2 = 0, lso c 1 = c 2. Bemerkung. Ist die Funktion f uf dem Intervll (, b) differenzierbr und gilt f (x) C für lle x (, b), so erfüllt f die Kontrktionsbedingung (1) in Stz 5 mit dieser Konstnten C. Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gibt es nämlich für beliebige x < y im Intervll [, b] ein z (x, y), so dss f(x) f(y) = f (z)(x y). Nehmen wir uf beiden Seiten den bsoluten Betrg, so folgt (1). 8

3 Stetigkeit Wir erinnern zunächst n die Definition dieses wichtigen Begriffs. Definition 6 Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich X R heißt stetig n der Stelle c, wenn es für jede positive Zhl ε eine positive Zhl δ gibt, so dss für lle x X mit der Eigenschft x c < δ gilt f(x) f(c) < ε. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie n llen Stellen ihres Definitionsbereiches stetig ist. Stz 6 Die Summe, ds Produkt und die Verkettung von stetigen Funktionen sind stetig. Der Quotient von stetigen Funktionen ist stetig, wenn die Funktion im Nenner keine Nullstelle ht. Dieser Stz ist us der Vorlesung Funktionen beknnt und wird hier nicht bewiesen. Bei der Berechnung von Grenzwerten vertuscht mn mitunter die Reihenfolge von Grenzübergng und Berechnung des Funktionswertes, z. B. lim n cos 1 n 1 = cos lim n n = cos 0 = 1. Ersetzt mn hier die Funktion cos durch die Funktion sgn, so erhält mn ein flsches Ergebnis, weil die Vorzeichenfunktion sgn n der Stelle 0 nicht stetig ist. Genuer gilt Stz 7 Eine Funktion f ist genu dnn stetig n der Stelle, wenn für jede Folge x n im Definitionsbereich, die gegen konvergiert, die Folge der Funktionswerte f(x n ) gegen f() konvergiert. Beweis. Angenommen, f ist stetig n der Stelle, und es sei eine Folge x n in X gegeben, die gegen konvergiert. Ist ε > 0, so gehört dzu nch der Definition der Stetigkeit ein δ > 0. Zu diesem gibt es nch Definition der Konvergenz von Folgen wiederum ein n 0, so dss für lle n n 0 gilt x n < δ. Für diese n ist dnn f(x n ) f() < ε, ds heißt, die Folge f(x n ) konvergiert gegen f(). Ist hingegen f n der Stelle nicht stetig, dnn gibt es ein ε > 0, so dss für jedes δ > 0 ein x X exitiert, für ds zwr x < δ, ber nicht f(x) f() < ε gilt. Insbesondere finden wir für jede ntürliche Zhl n ein x n X, so dss x n < 1 und f(x n n) f() ε. Somit konvergiert die Folge x n gegen, ber die Folge f(x n ) konvergiert nicht gegen f(). Die im Stz ngegebene Eigenschft gilt dnn lso nicht für lle Folgen, wie zu beweisen wr. 9

Ein wichtiges Ergebnis über stetige Funktionen ist der Zwischenwertstz. Für seinen Beweis bruchen wir den Begriff der kleinsten oberen Schrnke. Eine obere Schrnke einer Menge reeller Zhlen ist eine reelle Zhl, die größer oder gleich ls lle ihre Elemente ist. Im Bereich der rtionlen Zhlen brucht es unter llen oberen Schrnken einer Menge keine kleinste zu geben, wie ds Beispiel der Menge {x Q x 2 < 2} zeigt. Stz 8 Jede von oben beschränkte nichtleere Menge reeller Zhlen ht eine kleinste obere Schrnke in R. Beweis. Es sei 0 ein Element und b 0 eine obere Schrnke der gegebenen Menge M. Von den beiden Hlbintervllen [ 0, m 0 ] und [m 0, b 0 ] wählen wir ds erstere, flls m 0 eine obere Schrnke ist, ndernflls ds letztere, und bezeichnen es mit [ 1, b 1 ]. So fortfhrend, erhlten wir eine Intervllschchtelung [ n, b n ], wobei jedes dieser Intervlle ein Element von M enthält und jedes b n eine obere Schrnke ist. Nch Stz 0 gibt es eine Zhl s, die in llen diesen Intervllen enthlten ist. Ist x > s, dnn gibt es ein n, so dss b n n < x s und somit b n < x. D b n eine obere Schrnke von M ist, knn x kein Element von M sein. Somit ist s eine obere Schrnke von M. Ist x < s, dnn gibt es ein n, so dss b n n < s x und somit n > x. D ds Intervll [ n, b n ] ein Element von M enthält, ist x keine obere Schrnke von M. Somit ist s die kleinste obere Schrnke. Die kleinste obere Schrnke einer Menge M bezeichnet mn uch ls ds Supremum, die größte untere Schrnke ls ds Infimum von M, bgekürzt sup M und inf M. Stz 9 (Zwischenwertstz) Ist die Funktion f stetig uf [, b] und gilt f() d f(b), so gibt es eine Zhl c [, b], so dss f(c) = d. Der Beweis wurde nicht vorgetrgen, sei ber der Vollständigkeit hlber hier ngeführt. Beweis. Es sei M = {x [, b] f(x) d} und c = supm. Wegen M gilt c, und d b eine obere Schrnke von M ist, gilt c b. Angenommen, f(c) < d. Dnn gibt es ein δ > 0, so dss für lle x [, b] mit x c < δ gilt f(x) f(c) < d f(c), lso f(x) < d. Es folgt, dss lle Elemente der δ-umgebung von c zu M gehören, so dss jede obere Schrnke größer oder gleich c + δ ist. Dies steht im Widerspruch zur Definition von c, lso wr unsere Annhme flsch. Angenommen, f(c) > d. Dnn gibt es ein δ > 0, so dss für lle x [, b] mit x c < δ gilt f(x) f(c) < f(c) d, lso f(x) > d. Es folgt, dss die δ-umgebung von c keine Elemente von M enthält, so dss c δ eine obere Schrnke von M ist. Dies steht im Widerspruch zur Definition von c, lso wr uch die zweite Annhme flsch. 10

Stz 10 Jede stetige Funktion uf einer nichtleeren beschränkten bgeschlossenen Teilmenge von R ist beschränkt, und sie ht einen größten sowie einen kleinsten Wert. Beweis. Angenommen, die Funktion f ist nicht von oben beschränkt. Dnn gibt es für jede ntürliche Zhl n ein x n im Definitionsbereich X von f, so dss f(x) > n. D X beschränkt ist, ht nch Stz 1 die Folge x n einen Häufungspunkt, und d X bgeschlossen ist, gilt X. Wegen der Stetigkeit der Funktion gibt es ein δ > 0, so dss für lle x X mit der Eigenschft x < δ gilt f(x) f() < 1, lso f(x) < f()+1. Für ntürliche Zhlen n f() + 1 knn lso x n nicht in der δ-umgebung von liegen. D ber ein Häufungspunkt ist, hben wir einen Widerspruch, und unsere Annhme wr flsch. Die Funktion ist lso von oben beschränkt, und nlog zeigt mn ihre Beschränktheit von unten. Es sei s die kleinste obere Schrnke von f. Für jedes n N ist s 1 n keine obere Schrnke, lso gibt es ein x n X, so dss f(x n ) > s 1. n Wie oben sehen wir, dss die Folge x n einen Häufungspunkt X besitzt. Angenommen, f() < s. Dnn ist ε = s f() > 0. Wegen der Stetigkeit von 2 f gibt es ein δ > 0, so dss für lle x X mit der Eigenschft x < δ gilt f(x) f() < ε, und wegen s f(x) + f(x) f() s f() = 2ε folgt dnn s f(x) > ε. Somit knn kein x n mit 1 < ε in der δ-umgebung n von liegen. D ber ein Häufungspunkt ist, hben wir einen Widerspruch, und unsere Annhme wr flsch. Es gilt lso f() = s, und s ist der größte Wert von f. Anlog zeigt mn die Existenz eines kleinsten Wertes. 11

4 Gleichmäßige Konvergenz Wir betrchten Folgen von Funktionen f n, die lle den selben Definitionsbereich X hben. Wenn n jeder Stelle x X die Zhlenfolge f n (x) konvergiert, so können wir den Grenzwert, der j von x bhängt, mit f(x) bezeichnen und erhlten so eine Funktion f uf X. Wir sgen dnn, dss die Folge der Funktionen f n gegen die Funktion f konvergiert. Mn knn z. B. beweisen, dss für lle reellen Zhlen gilt lim n ( 1 + x n) n = e x. Die Folge der Funktionen f n (x) = ( 1 + x n) n konvergiert lso gegen die Exponentilfunktion mit der Eulerschen Zhl e ls Bsis. Wenn eine Folge stetiger Funktionen f n gegen eine Funktion f konvergiert, so brucht f nicht stetig zu sein. Betrchten wir z. B. die Funktionen f n (x) = nx 1 + n x. Zähler und Nenner sind stetige Funktionen, und der Nenner ht keine Nullstellen, lso ist f n nch Stz 6 eine stetige Funktion. Für x > 0 gilt für x < 0 gilt und für x = 0 gilt lim f n(x) = lim n n lim f n(x) = lim n n x 1 + x = 1, n x 1 x = 1, n lim f n(x) = lim 0 = 0. n n Die Grenzwertfunktion ist lso sgn x, und sie ist n der Stelle 0 nicht stetig. Es gibt ber eine Art der Konvergenz, bei der sich die Stetigkeit uf die Grenzwertfunktion überträgt. Definition 7 Eine Folge von Funktionen f n uf dem Definitionsbereich X konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion f, wenn es für jede positive Zhl ε eine ntürliche Zhl n 0 gibt, so dss für lle n, die größer ls n 0 sind, und für lle x X gilt f n (x) f(x) < ε. Zur Unterscheidung bezeichnet mn die vorher betrchtete Art der Konvergenz von Funktionenfolgen uch ls punktweise Konvergenz. Jede gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen ist selbstverständlich uch punktweise 12

konvergent, ber nicht umgekehrt. So ist beispielsweise die Folge f n (x) = ( 1 + x n) n nicht gleichmäßig konvergent, denn für jedes n findet mn ein x, so dss f n (x) e x 1. Wählt mn z. B. x = 3n, so ist f n (x) = ( 2) n, ber e x < 1. Stz 11 Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen f n gegen eine Funktion f, so ist f ebenflls stetig. Beweis. Wir beweisen die Stetigkeit von f n einer Stelle des Definitionsbereiches X. Ist ε > 0 gegeben, so gibt es wegen der gleichmäßigen Konvergenz ein n, so dss für lle x X gilt f n (x) f(x) < ε 3, und wegen der Stetigkeit von f n gibt es ein δ > 0, so dss für lle x X mit der Eigenschft x < δ gilt Für diese x gilt dnn uch f n (x) f n () < ε 3. f(x) f() f(x) f n (x) + f n (x) f n () + f n () f() < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, und die Stetigkeit von f n der Stelle folgt. Für beschränkte Funktionen lässt sich die gleichmäßige Konvergenz bequem durch die Norm von Funktionen usdrücken. Wir erinnern drn, dss mn ds Supremum der Menge der Werte einer Funktion f uch ls Supremum der Funktion f bezeichnet, bgekürzt sup f. Definition 8 Die Norm einer beschränkten Funktion f ist die kleinste obere Schrnke der Absolutbeträge ihrer Werte, bgekürzt f = sup f. Mn nennt dies uch die Supremumsnorm zur Unterscheidung von nderen Normen, die llerdings in dieser Vorlesung nicht vorkommen werden. Sie erfüllt die Dreiecksungleichung f + g f + g für lle Funktionen f und g uf einer Menge X, denn für lle x X gilt nch der Dreiecksungleichung für Zhlen f(x) + g(x) f(x) + g(x), und hier ist die rechte Seite beschränkt durch f + g. 13

Es ist leicht zu sehen, dss eine Folge von beschränkten Funktionen f n genu dnn gleichmäßig gegen eine beschränkte Funktion f konvergiert, wenn es für jede positive Zhl ε eine ntürliche Zhl n 0 gibt, so dss für lle n n 0 gilt f n f < ε. Auch für die gleichmäßige Konvergenz gibt es ein Cuchy-Kriterium. Stz 12 Eine Folge von beschränkten Funktionen ist genu dnn gleichmäßig konvergent, wenn sie eine Cuchy-Folge bezüglich der Norm ist. Beweis. Die Behuptung, dss jede gleichmäßig konvergente Folge eine Cuchy-Folge bezüglich der Norm ist, beweist mn genu wie die nloge Behuptung von Stz 4, wobei mn den Absolutbetrg von Zhlen durch die Norm von Funktionen ersetzt. Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir lso n, es sei eine Folge von Funktionen f n uf X gegeben, die eine Cuchyfolge bezüglich der Norm ist. Dnn ist für jedes x X die Zhlenfolge f n (x) eine Cuchy-Folge bezüglich des Absolutbetrges, lso nch Stz 4 konvergent. Wir bezeichnen ihren Grenzwert mit f(x). Auf diese Weise erhlten wir eine Funktion f uf X. Die Vorussetzung, dss die Folge f n eine Cuchy-Folge ist, bedeutet, dss es für jedes ε > 0 ein n 0 N gibt, so dss für lle ntürlichen Zhlen m n 0 und n n 0 gilt f m f n < ε. Nch Definition der Norm bedeutet diese Ungleichung, dss für lle x X gilt f m (x) f n (x) < ε. Hlten wir nun ε, n 0 und n fest, so hben wir eine Zhlenfolge f m (x) f n (x), die für m n 0 n im Intervll [ ε, ε]. D dieses Intervll bgeschlossen ist, liegt uch der Grenzwert f(x) f n (x) in diesem Intervll. Wir hben gezeigt, dss es für jedes ε > 0 ein n 0 gibt, so dss für lle n n 0 und lle x X gilt f(x) f n (x) ε. Dies ist gleichbedeutend mit der gleichmäßigen Konvergenz der Folge f n gegen f. 14

5 Integrtion Intuitiv gesprochen ist ds Integrl einer nichtnegtiven Funktion der Inhlt der Fläche, die vom Grphen der Funktion und der x-achse begrenzt wird. D sich Rechteckflächen m einfchsten berechnen lssen, betrchten wir zunächst sogennnte Treppenfunktionen. Definition 9 Eine Funktion u uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] heißt Treppenfunktion, wenn es eine ntürliche Zhl k und reelle Zhlen x 0,..., x k gibt, so dss = x 0 x 1 x 2 x k = b gilt und die Einschränkung von u uf jedes Teilintervll (x i 1, x i ) konstnt ist. Die Werte von u n den Stellen x i sind uns hier gleichgültig. Ist die Funktion u n einem Teilungspunkt x i stetig, so stimmen die Werte uf den nliegenden Intervllen (x i 1, x i ) und (x i, x i+1 ) überein, und wir können den Teilungspunkt x i weglssen. Nch endlich vielen Schritten bleiben nur die Unstetigkeitsstellen zurück. Umgekehrt können wir beliebig Teilungspunkte hinzufügen. Will mn z. B. zeigen, dss die Summe von zwei Treppenfunktionen wieder eine Treppenfunktion ist, brucht mn nur die Gesmtheit der Teilungspunkte beider Funktionen in ufsteigender Reihenfolge zu ordnen, und uf den entstehenden Teilintervllen sind beide Funktionen konstnt. Definition 10 Es sei u eine Treppenfunktion uf [, b], und es seien x 1, x 2,..., x k 1 die Unstetigkeitsstellen von u in (, b), nummeriert in ufsteigender Reihenfolge. Ds Integrl von u über ds Intervll [, b] ist definiert ls u(x) dx = k u i (x i x i 1 ), i=1 wobei u i den Wert von u uf dem Intervll (x i 1, x i ) bezeichnet und wir x 0 =, x k = b gesetzt hben. Wenn wir zusätzliche Teilungspunkte einfügen und lle Teilungspunkte wieder in ufsteigender Reihenfolge nummerieren, so bleibt diese Formel gültig. Ist u konstnt mit dem Wert c, so ist ds Integrl offensichtlich gleich c(b ). Wir wollen ein gehltvolleres Beispiel betrchten. Beispiel. In dem Intervll [1, ], wobei > 1, betrchten wir die Teilungspunkte x i = q i, wobei q = k. Die Treppenfunktion u hbe uf dem Teilintervll [x i 1, x i ) den Wert u i = x m i 1, wobei m eine feste ntürliche Zhl ist. In diesem Fll werden die Formeln kürzer, wenn wir den Index i durch j + 1 ersetzen, so dss 1 k 1 k 1 k 1 u(x) dx = u j+1 (x j+1 x j ) = q jm (q j+1 q j ) = (q 1) q j(m+1). j=0 j=0 15 j=0

Mit der Summenformel für die geometrische Progression erhlten wir 1 u(x) dx = (q 1) qk(m+1) 1 q m+1 1. Ersetzen wir q k durch und wenden die Summenformel ein zweites Ml n, so erhlten wir m+1 1 u(x) dx = 1 + q + + q m. 1 Lemm 1 Sind u und v Treppenfunktionen uf [, b] und ist c eine reelle Zhl, so gilt cu(x) dx = c u(x) dx, Gilt u(x) v(x) für lle x [, b], so ist (u(x)+v(x)) dx = u(x) dx v(x) dx. u(x) dx+ v(x) dx. Beweis. Die erste Eigenschft folgt unmittelbr us der Definition. Für die zweite vereinigen wir die Menge der Unstetigkeitsstellen von u mit der von v und nummerieren sie wie = x 0 < x 1 < < x k = b. Dnn ist sowohl u ls uch v uf jedem der Intervlle (x i 1, x i ) konstnt, und bezeichnen wir die Werte mit u i bzw. v i, so gilt k (u i + v i )(x i x i 1 ) = i=1 k u i (x i x i 1 ) + i=1 k v i (x i x i 1 ). Dies ist genu die zweite behuptete Gleichheit, d wir, wie oben bemerkt, zusätzliche Teilungspunkte einfügen können. Die dritte Behuptung folgt unmittelbr us der Definition, weil in diesem Fll u i v i für lle i gilt. Definition 11 Eine Funktion f uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] heißt Regelfunktion, wenn es für jedes ε > 0 eine Treppenfunktion u uf [, b] gibt, so dss f u < ε. Insbesondere gibt es dnn lso für jedes n N eine Treppenfunktion u n, so dss f u n < 1, und ds bedeutet, dss die Folge der Funktionen n u n gleichmäßig gegen f konvergiert. Es folgt z. B. us den Rechenregeln für Grenzwerte, dss die Summe zweier Regelfunktionen wie uch ds sklre Vielfche einer Regelfunktion wieder eine Regelfunktion ist. 16 i=1

Lemm 2 Konvergiert eine Folge von Treppenfunktionen u n gleichmäßig gegen Null, so ist lim n u n (x) dx = 0. Beweis. Wegen der gleichmäßigen Konvergenz gibt es für jedes ε > 0 ein n 0, so dss für lle n n 0 gilt u n < ε b, lso ε b < u(x) < ε b für lle x [, b]. Nch der Ungleichung im Lemm 1 folgt dnn für n n 0. ε u(x) dx ε Definition 12 Ist f eine Regelfunktion uf [, b], so definieren wir ds Integrl von f, indem wir eine Folge von Treppenfunktionen u n wählen, die gleichmäßig gegen f konvergiert, und setzen f(x) dx = lim n u n (x) dx. Nch Stz 12 ist u n eine Cuchy-Folge bezüglich der Norm, und nch dem Spezilfll des unten folgenden Stzes 14 für Treppenfunktionen (den mn schon hier beweisen sollte) gilt u m (x) dx u n (x) dx u m (x) u n (x) dx u m u n (b ), lso ist die Folge der Integrle u n(x) dx eine Cuchy-Folge im gewöhnlichen Sinne. Somit ist sie nch Stz 4 konvergent. Beispiel. Wir wollen feststellen, wie gut die Funktion f(x) = x m durch die Treppenfunktion u us dem obigen Beispiel pproximiert wird. Auf dem Intervll [x i 1, x i ) gilt, d u dort konstnt und f monoton wchsend ist, 0 f(x) u(x) f(x i ) u i = x m i x m i 1 = (q 1)qi 1. Die größte dieser Zhlen, lso die mit i = k, ist eine obere Schrnke der Differenz, d. h. f u q 1. q 17

Wir können die Zhl k der Teilintervlle beliebig groß wählen, wobei ntürlich die Funktion u wie uch die Zhl q = k von k bhängt, und wegen k = 1 wird f u beliebig klein. Also ist f eine Regelfunktion, lim k und 1 f(x) dx = lim k m+1 1 1 + 1/k + + m/k = m+1 1 m + 1. Die Definition des Integrls einer Regelfunktion f ist korrekt, denn wenn wir eine ndere Folge von Treppenfunktionen v n wählen, die ebenflls gleichmäßig gegen f konvergiert, so konvergiert u n v n gleichmäßig gegen Null, und nch Lemm 2 ist lim n u n (x) dx = lim n v n (x) dx. Ist f selbst eine Treppenfunktion, so ergibt sich kein Widerspruch zur vorherigen Definition, denn wir können u n = f für lle n wählen. Stz 13 Sind f und g Regelfunktionen uf [, b] und ist c eine reelle Zhl, so gilt cf(x) dx = c f(x) dx, Gilt f(x) g(x) für lle x [, b], so ist (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx. f(x) dx+ g(x) dx. Beweis. Konvergiert die Folge von Treppenfunktionen u n gleichmäßig gegen f, so gilt nch Lemm 1 für lle n cu n (x) dx = c u n (x) dx. D die Folge cu n gleichmäßig gegen cf konvergiert, folgt die erste Behuptung mit Hilfe der Produktregel für Grenzwerte. Anlog beweist mn die zweite Behuptung mit Hilfe der Summenregel. Zum Beweis der dritten Behuptung können wir uns durch Betrchtung der Differenz uf den Fll beschränken, dss f = 0 ist, lso g(x) 0 für lle x. Drus folgt zwr nicht, dss uch die pproximierenden Treppenfunktionen nichtnegtiv sein müssen. Ist ber v eine Treppenfunktion, so ist durch w(x) = mx(v(x), 0) eine Treppenfunktion w gegeben, und wegen der Nichtnegtivität von g gilt g w g v. Wir können g lso ls Grenzwert 18

einer gleichmäßig konvergenten Folge w n nichtnegtiver Treppenfunktionen schreiben. Deren Integrle sind nch Lemm 1 ebenflls nichtnegtiv, und dsselbe gilt für den Grenzwert. Die Ungleichung im Stz knn mn benutzen, um ds Integrl einer Funktion bzuschätzen, die mn nur näherungsweise kennt, wobei ber die Näherungsfunktion nur nch oben oder nur nch unten bweicht. Bei Abweichungen in beiden Richtungen ist ds folgende Resultt nützlich, in dem f die Rolle der Abweichung spielen knn. Stz 14 Ist f eine Regelfunktion uf [, b], so ist uch f eine Regelfunktion, und b f(x) dx f(x) dx. Beweis. Für eine Treppenfunktion u ist dies eine Folgerung der Dreiecksungleichung, denn in den Bezeichnungen us der Definition des Integrls solcher Funktionen gilt k k u i (x i x i 1 ) u i (x i x i 1 ) i=1 (wobei wir benutzt hben, dss x i x i 1 0), und dies ist gleichbedeutend mit der Behuptung des Stzes für u sttt f. Nun zum llgemeinen Fll. Aus Aufgbe 10 wissen wir, dss für jede Treppenfunktion u uf [, b] gilt f u f u. Ist f eine Regelfunktion, dnn können wir u so wählen, dss die rechte Seite kleiner ls ein vorgegebenes positives ε ist. Die Treppenfunktion u pproximiert lso die Funktion f mindestens mit der selben Genuigkeit, lso ist uch f eine Regelfunktion. Für lle x [, b] gilt i=1 f(x) f(x) f(x), und mit der Ungleichung us Stz 13 folgt f(x) dx f(x) dx f(x) dx. Bisher stimmte der Definitionsbereich der zu integrierenden Funktion immer mit dem Integrtionsintervll überein. Wir lssen nun uch den Fll zu, dss eine Regelfunktion uf einer Menge gegeben ist, welche ds Intervll [, b] ls Teilmenge enthält, und definieren in diesem Fll f(x) dx ls ds Integrl der Einschränkung von f uf [, b]. 19

Stz 15 Ist b c und ist [, c] im Definitionsbereich von f enthlten, so gilt f(x) dx + c b f(x) dx = c f(x) dx. Beweis. Es sei u n eine Folge von Treppenfunktionen uf dem Intervll [, c], die dort gleichmäßig gegen die Einschränkung von f konvergiert. Ds gleiche gilt dnn für die Einschränkungen dieser Funktionen uf [, b] und [b, c]. Direkt us der Definition des Integrls für Treppenfunktionen folgt, dss u n (x) dx + c b u n (x) dx = Durch Grenzübergng folgt die Behuptung. c u n (x) dx. Wir wollen ds Integrl f(x) dx ohne die Vorussetzung b definieren, so dss die Identität im Stz gültig bleibt. Setzen wir dort c =, so ergibt sich, dss wir b f(x) dx = f(x) dx setzen müssen. Mn prüft leicht nch, dss mit dieser Festsetzung der Stz für beliebige Anordnungen von, b und c gültig bleibt, wenn die Funktion f zumindest uf einem Intervll definiert ist, welches, b und c enthält. 20

6 Integrtion stetiger Funktionen Im Rhmen unserer Definition sind nur Regelfunktionen integrierbr. Als Beispiele von Regelfunktionen kennen wir bisher die Treppenfunktion sowie die Potenzfunktion mit ntürlichem Exponenten. Aus Stz 13 folgt, dss lle Polynome Regelfunktionen sind. Ntürlich bezieht sich ds immer uf die Einschränkung der jeweiligen Funktion uf ein beschränktes bgeschlossenes Intervll. D jede Treppenfunktion beschränkt ist, muss uch jede Regelfunktion beschränkt sein. Stz 16 Jede stetige Funktion uf einem beschränkten bgeschlossenen Intervll ist eine Regelfunktion. Beweis. Wir hlten ein beliebiges ε > 0 fest und bezeichnen mit M die Menge ller Zhlen c us [, b] mit der Eigenschft, dss es eine Treppenfunktion u uf [, c] gibt, so dss für lle x [, c] gilt f(x) u(x) < ε. Die Menge M ist nicht leer, weil sie enthält, und b ist eine obere Schrnke von M. Es sei d die kleinste obere Schrnke von M, die nch Stz 8 existiert. Wegen der Stetigkeit n der Stelle d gibt es ein δ > 0, so dss für lle x [, b] mit der Eigenschft x d < δ gilt f(x) f(d) < ε. Weil d die kleinste obere Schrnke von M ist, gibt es ein c > d δ, ds zu M gehört, und eine zugehörige Treppenfunktion u uf [, c] lut Definition von M. Es sei e [, b] derrt, dss d e < d + δ. Wir definieren eine Funktion v uf [, e] durch die Festlegung { u(x), flls x c, v(x) = f(d), flls c < x e. Dnn ist v eine Treppenfunktion, und es gilt f(x) v(x) < ε für lle x [, e]. Somit gehört e zu M. Wäre d < b, so könnten wir e > d wählen, ws der Ttsche widerspricht, dss d eine obere Schrnke von M ist. Also gilt d = b. Die einzige mögliche Whl ist lso e = d = b, und es folgt, dss b M. Nun erinnern wir uns n die Definition von M. D ε eine beliebige positive Zhl wr, ist f eine Regelfunktion. Für stetige Funktionen gilt eine Verschärfung der letzten Behuptung von Stz 13. Stz 17 Es sei f eine nichtnegtive stetige Funktion uf einem beschränkten bgeschlossenen Intervll [, b], die ber nicht konstnt gleich Null sei. Dnn gilt f(x) dx > 0. 21

Mn bechte, dss dieser Stz ohne die Vorussetzung der Stetigkeit flsch wäre, wie ds Beispiel einer nichtnegtiven Funktion zeigt, die nur n einer einzigen Stelle einen positiven Wert nnimmt. Beweis. Nch Vorussetzung gibt es ein c [, b], so dss f(c) > 0. Wir wählen eine positive Zhl ε < f(c). Wegen der Stetigkeit von f n der Stelle c gibt es ein δ > 0, so dss für lle x [, b] mit x c < δ gilt f(x) f(c) < ε. Insbesondere gibt es Zhlen d < e in [, b], so dss für lle x [d, e] gilt f(x) > f(c) ε. Mit Stz 15 folgt f(x) dx = und hierus mit Stz 13 d f(x) dx + e d f(x) dx + e f(x) dx f(x) dx 0 + (f(c) ε)(e d) + 0. Der Mittelwert von endlich vielen Größen ist ds rithmetische Mittel. Ws ber ist der Mittelwert einer Funktion f uf einem Intervll [, b], zum Beispiel ds Tgesmittel der Tempertur? Misst mn die Werte in regelmäßigen Abständen, so bildet ds rithmetische Mittel offensichtlich nur einen Näherungswert. Als Mittelwert der Funktion f bezeichnet mn die Zhl 1 b f(x) dx. Stz 18 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Es sei f eine stetige Funktion uf einem beschränkten bgeschlossenen Intervll [, b]. Dnn gibt es ein c (, b), so dss f(x) dx = f(c)(b ). Der Mittelwert wird lso im Inneren des Intervlls ls Funktionswert ngenommen. Beweis. Nch Stz 10 ht f einen kleinsten Wert s und einen größten Wert t. Mit Stz 13 folgt s(b ) = s dx f(x) dx 22 t dx = t(b ).

Der Mittelwert liegt lso zwischen s und t, und nch Stz 9 ist sie von der Form f(c) für ein c [, b]. Um zu zeigen, dss mn sogr c (, b) wählen knn, können wir vorussetzen, dss s < t, denn sonst wäre f konstnt und mn könnte jedes c (, b) nehmen. Die Werte s und t werden lso in zwei verschiedenen Punkten < b von [, b] ngenommen. Es sei z. B. f( ) = s und f(b ) = t. Der Zwischenwertstz liefert sogr c [, b ]. Wäre c =, so hätten wir (f(x) s)dx = (f(c) s)(b ) = 0, ber ds würde Stz 17 widersprechen, denn f(x) s ist nichtnegtiv und n der Stelle b positiv. Also ist c, und nlog zeigt mn, dss c b. 23

7 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung In der von Newton und Leibniz entwickelten Form wr die Infinitesimlrechnung (von lt. infinitesimlis, d. h. unendlich klein) noch logisch widersprüchlich. Seit Cuchy kommt mn ohne unendlich kleine Größen us, und heute spricht mn sttt dessen von Differentil- und Integrlrechnung. Wir werden die Differentilrechnung hier nicht usführlich behndeln, sondern erinnern nur kurz n die Definitionen. Definition 13 Die Zhl g heißt Grenzwert der Funktion f n der Stelle, wenn es für jede positive Zhl ε eine positive Zhl δ gibt, so dss für lle x im Definitionsbereich von f mit den Eigenschften x und x < δ gilt f(x) g < δ. Wie im Fll von Folgen zeigt mn, dss es nur einen Grenzwert einer Funktion n einer Stelle geben knn, und mn bezeichnet ihn mit lim f(x). x Dss g Grenzwert der Funktion f n der Stelle ist, knn mn uch so usdrücken: Ändert oder ergänzt mn die Definition der Funktion f durch die Festlegung f() = g, so ist die entstehende Funktion n der Stelle stetig. Definition 14 Die Funktion f sei in einer Umgebung der Stelle definiert. Sie heißt n der Stelle differenzierbr, wenn der Grenzwert f(x) f() lim x x existiert, den mn dnn die Ableitung von f n der Stelle nennt und mit f () bezeichnet. Es genügt uch, wenn f in einer einseitigen Umgebung von definiert ist. Mn spricht dnn uch von einseitigen Ableitungen. Wir untersuchen nun Integrle mit veränderlicher (oberer) Grenze. Wir stellen uns ds Integrl einer positiven Funktion ls Flächeninhlt unter dem Grphen der Funktion vor. Bewegt mn die obere Integrtionsgrenze ein wenig nch rechts, so kommt der Flächeninhlt eines Streifens hinzu, dessen Oberknte im Allgemeinen nicht gerdlinig ist. Um die Änderungsgeschwindigkeit des Integrls zu ermitteln, muss mn durch die Breite des Streifens dividieren (so dss mn den Mittelwert der Funktion in dem Streifen erhält) und die Streifenbreite gegen Null gehen lssen. Mn wird lso direkt uf folgendes Ergebnis geführt: 24

Stz 19 Es sei f eine Regelfunktion uf einem Intervll I und c ein beliebiger Punkt von I. Wir definieren eine Funktion F uf I durch Dnn gilt F(x) = x c f(t) dt. F(x) F(y) f x y. Ist f stetig n einer Stelle I, so ist F n dieser Stelle differenzierbr, und es gilt F () = f(). Beweis. Nch Stz 15 ist und mit Stz 14 folgt flls x < y, bzw. F(x) F(y) = F(y) F(x) F(x) F(y) y x y x x y f(t) dt, (2) f(t) dt, f(t) dt, flls x > y. Für lle t zwischen x und y gilt f(t) f, und die erste Behuptung folgt us Stz 13. Nun sei f n der Stelle I stetig. Wir geben uns ein beliebiges ε > 0 vor. Dnn gibt es ein δ > 0, so dss für lle t I mit der Eigenschft t < δ gilt f() ε < f(t) < f() + ε. Mit Stz 17 folgt für < x < + δ, dss (f() ε)(x ) < F(x) F() < (f() + ε)(x ), und für δ < x < folgt (f() ε)( x) < F() F(x) < (f() + ε)( x). Dividieren wir durch x bzw. x, je nchdem, welche Zhl positiv ist, so erhlten in beiden Fällen f() ε < F(x) F() x 25 < f() + ε.

Wir hben bewiesen, dss es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dss für lle x I mit den Eigenschften x und x < δ gilt F(x) F() f() x < ε. Dies besgt genu, dss F(x) F() lim x x = f(x), dss lso F () = f(). Für eine gegebene Funktion frgen wir uns, von welcher Funktion sie bgeleitet ist, von welcher Funktion sie lso in diesem Sinne bstmmt. Definition 15 Auf einem Intervll I sei eine Funktion f gegeben. Eine Funktion F uf I heißt Stmmfunktion von f, wenn sie differenzierbr ist und ihre Ableitung gleich f ist, lso F = f uf dem Intervll I. Ist F eine Stmmfunktion der Nullfunktion, so ist F konstnt. Für beliebige x < y in I gibt es nämlich nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung ein z (x, y), so dss F(y) F(x) = F (z)(y x), lso F(x) = F(y). Umgekehrt ist ntürlich jede konstnte Funktion eine Stmmfunktion der Nullfunktion. Sind F 1 und F 2 zwei Stmmfunktionen der selben Funktion f, so ist F 1 F 2 eine Stmmfunktion der Nullfunktion, lso konstnt, und umgekehrt. Zwei beliebige Stmmfunktionen einer Funktion unterscheiden sich lso durch eine Konstnte. Kennt mn eine Stmmfunktion F von f, so ist jede ndere von der Form F + C für eine Konstnte C. Die Metpher der Abstmmung ist lso nicht besonders glücklich gewählt, d eine stetige Funktion unendlich viele Stmmfunktionen besitzt. Stz 20 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Ist f eine stetige Funktion uf [, b] und F eine Stmmfunktion von f, so gilt f(x) dx = F(b) F(). Beweis. Die rechte Seite ändert sich nicht, wenn wir F durch eine ndere Stmmfunktion ersetzen, denn (F(b) + C) (F() + C) = F(b) F(). 26

Wir können lso nnehmen, dss F die in Stz 19 konstruierte Stmmfunktion ist, wobei c [, b]. In diesem Fll tuchte die Behuptung (mit nderen Bezeichnungen) bereits ls Gleichung (2) im Beweis von Stz 19 uf. Der Huptstz ht vielfältige Anwendungen in der Physik. Kennt mn z. B. die Geschwindigkeit v einer gerdlinigen Bewegung ls Funktion der Zeit, so errechnet sich die vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t 2 zurückgelegte Strecke ls s = t2 t 1 v(t) dt. Anstelle des Weges s knn mn die Änderungsgeschwindigkeit einer beliebigen physiklischen Größe ls Funktion der Zeit betrchten. So ist beispielsweise die elektrische Stromstärke I n einem Leiterquerschnitt definiert ls zeitliche Ableitung der hindurchgeflossenen elektrischen Ldung (mit der Einheit 1 Ampère = 1 Coulomb/Sekunde), und mn erhält die vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t 2 insgesmt hindurchgeflossene Ldung ls Q = t2 t 1 I(t) dt. Mnche physiklische Größen lssen sich überhupt nur ls Integrl definieren. So ist z. B. die von einer veränderlichen Krft F durch Verschiebung längs eines Weges von s 1 bis s 2 verrichtete Arbeit definiert ls W = s2 s 1 F(s) ds. (Dbei wirke die Krft in Richtung des gerdlinigen Weges.) Nur im Flle konstnter Krft ergibt sich W = F (s 2 s 1 ). Es soll noch der lte Begriff des unbestimmten Integrls f(x) dx erwähnt werden. Drunter versteht mn eine beliebige Stmmfunktion von f. Kennt mn eine Stmmfunktion F, so schreibt mn f(x) dx = F(x) + C, wobei C eine beliebige Konstnte ist. Diese Mehrdeutigkeit entspricht ber nicht mehr heutigen Vorstellungen von logischer Strenge. 27

8 Elementre Integrle Um die Stmmfunktion einer gegebenen Funktion zu finden, sieht mn nturgemäß nch, ob sie unter den bereits beknnten Ableitungen vorkommt. Zunächst betrchtet mn die Ableitungen der elementren Funktionen. Die Nützlichsten scheinen zunächst die Folgenden zu sein: (x n ) = nx n 1, (e x ) = e x, (lnx) = 1 x, (sin x) = cos x, (cosx) = sin x. So ist z. B. die Exponentilfunktion eine Stmmfunktion von sich selbst, und die Sinusfunktion ist eine Stmmfunktion der Cosinusfunktion. Um nicht für jede hier vorkommende Funktion eine Vrible ls Funktionsnmen vergeben zu müssen, verwenden wir Rechenusdrücke synonym zu den durch sie gegebenen Funktionen. 1 Wir erinnern drn, dss der ntürliche Logrithmus nur für x > 0 definiert ist. Gleiches gilt für die Potenz, flls der Exponent n nicht gnzzhlig ist. Des Weiteren ist klr, dss mn us einer Stmmfunktion F von f eine Stmmfunktion für ein Vielfches cf von f gewinnen knn, nämlich cf, denn (cf) = cf = cf. So ist z. B. cos eine Stmmfunktion von sin, und xn n ist eine Stmmfunktion von x n 1, flls n 0. Bezeichnen wir n 1 mit m, so finden wir, dss xm+1 m+1 eine Stmmfunktion von xm ist. Wir erhlten lso 1 x m dx = m+1 m + 1 1m+1 m + 1 = m+1 1 m + 1, ws wir schon früher (etws mühsm) gefunden hben. Unter diesen Funktionen fehlt x 1, ber uch für sie knn eine Stmmfunktion in der obigen Liste bgelesen werden, nämlich ln. Mn könnte frgen, ob uch der Logrithmus zu einer beliebigen Bsis > 0, 1, hier von Nutzen ist. Nch Definition ist gleichbedeutend mit y = log x y = x. 1 Sogr bei Funktionen, die in Formeln durch Abkürzungen wiedergegeben werden, hben sich ltmodische Schreibweisen wie (sin x) sttt sin x und sin 2 x sttt (sin x) 2 erhlten. 28

Ist nun z = ln = log e, so folgt lso ln x = zy, d. h. 1 e zy = (e z ) y = x, log x = lnx ln. Dies ist ein Vielfches der Funktion ln und liefert keine wesentlich neue Stmmfunktion. Aus der Summenregel der Differentition folgt, dss mn us einer Stmfunktion F von f und einer Stmmfunktion G von g die Stmmfunktion F + G für die Funktion f + g finden knn. Dmit kennt mn insbesondere Stmmfunktionen für sämtliche Polynome, z. B. 2 ( ) ( ) 2 (10x 4 2x 3 5 +x+5) dx = 2 + 24 2 22 1 5 2 + 5 2 2 + 14 2 12 2 + 5 1. Dmit mn umfngreiche Rechenusdrücke nicht zweiml schreiben muss, ht mn die Abkürzungen F(b) F() = F(x) b = [ F(x) ] b eingeführt, so dss mn ds obige Zwischenergebnis ls schreiben knn. Aus der Produktregel [ x 5 2 + x4 2 x2 2 + 5x ] 2 1 (fg) = f g + fg, der Quotientenregel und der Kettenregel ( ) f = f g fg g g 2 (g f) (x) = (g (f(x))f (x) lssen sich keine Regeln für ds Auffinden einer Stmmfunktion für f g, f g und f g bleiten, weil die rechte Seite nicht von der gleichen Struktur ist. Drum gibt es keinen Algorithmus zur Bestimmung einer Stmmfunktion für eine beliebige elementre Funktion. Mn knn sogr beweisen, dss mnche 29

elementren Funktionen keine elementre Stmmfunktion besitzen, wie z. B. die in der Whrscheinlichkeitsrechnung wichtige Funktion e x2. So muss mn für jede weitere beknnte Ableitung dnkbr sein, wie z. B. (tnx) = cos2 x + sin 2 x cos 2 x (cot x) = sin2 x cos 2 x sin 2 x = 1 cos 2 x, = 1 sin 2 x. Nch Definition muss eine Stmmfunktion uf einem Intervll definiert sein. 1 Wir hben z. B. eine Stmmfunktion von nur uf solchen Intervllen, cos 2 x die keine Nullstelle der Cosinusfunktion enthlten, und die Rechnung π 0 dx cos 2 x = tnx π 0 = 0 0 ist flsch. Auch die Umkehrfunktionen von mnchen elementren Funktionen zählen zu den elementren Funktionen, z. B. die der Winkelfunktionen. Aus der Kettenregel folgt für die Umkehrfunktion g einer Funktion f, dss 1 = g (f(x))f (x), und ist y = f(x), lso x = g(y), so folgt g (y) = 1 f (x). Die Einschränkung der Sinusfunktion uf [ π, π] ist monoton wchsend und ht die Umkehrfunktion rcus sinus. Wir erhlten lso für y = sin x (rcsin y) = 1 cos x. Wegen der Vorussetzung x [ π, π] ist cosx 0, lso cosx = 1 sin 2 x, und es folgt (rcsin y) 1 =. 1 y 2 Anlog definiert mn die Funktion rcus cosinus ls Umkehrfunktion der Cosinusfunktion uf dem Intervll [0, π] und findet (rccosy) 1 =. 1 y 2 30

Etws detillierter gehen wir uf die Umkehrfunktion rcus tngentis der Tngensfunktion uf dem Intervll [ π, π ] ein. Ist x in diesem Intervll und 2 2 y = tnx, so ist x = rctny und (rctny) = cos 2 x = cos 2 x cos 2 x + sin 2 x = 1 1 + tn 2 x, lso (rctn y) = 1 1 + y 2. Anlog definiert mn rcus cotngentis ls Umkehrfunktion der Cotngensfunktion uf [0, π] und findet (rccot y) = 1 1 + y 2. Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen, uch zyklometrische Funktionen gennnt, bereichern lso ds Repertoire um die Stmmfunktion rcsin x 1 von 1 x 2 und die Stmmfunktion rctnx von 1. 1+x 2 Mn knn noch die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen betrchten, die sich zwr durch Exponentil- und Logrithmusfunktion usdrücken lssen, lso insofern nichts prinzipiell Neues liefern, ber mnche Formeln übersichtlicher werden lssen. Mn definiert den sinus hyperbolicus und den cosinus hyperbolicus durch sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x. 2 2 Während lle Punkte mit Koordinten (cos x, sin x) uf dem Einheitskreis liegen, zeigt die leicht nchzurechnende Formel cosh 2 x sinh 2 x = 1, dss lle Punkte mit Koordinten (coshx, sinh x) uf einer Hyperbel mit dem Scheitelpunkt (1, 0) liegen, ws den Nmen dieser Funktionen erklärt. Auch die Ableitungen (sinh x) = cosh x, (cosh x) = sinh x erinnern strk n die entsprechenden Formeln für die Winkelfunktionen und liefern uns die Stmmfunktionen von sinh und cosh. Mn betrchtet uch die Funktionen tngens hyperbolicus und cotngens hyperbolicus, gegeben durch tnhx = sinh x cosh x, 31 cosh x cothx = sinh x.

Ihre Ableitungen (tnhx) = 1 cosh 2 x, (coth x) = 1 sinh 2 x, liefern uns zwei weitere Stmmfunktionen, die mn nicht ohne Weiteres errten hätte. Der hyperbolische Sinus ist streng monoton und nimme jeden reellen Wert n. Seine Umkehrfunktion heißt re sinus hyperbolici. (Auf den Nmen werden wir später eingehen.) Ist y = sinh x, lso 2y = e x e x, so erhlten wir nch Multipliktion beider Seiten mit e x die Gleichung Schreiben wir e x = z, so ist 2ye x = (e x ) 2 1. z 2 2yz 1 = 0, und nch der Lösungsformel für qudrtische Gleichungen folgt z = y ± y 2 + 1. D e x positiv ist, kommt nur ds Vorzeichen + in Frge, und wir können nch x = rsinh uflösen: e x = y + y 2 + 1, rsinh y = ln ( y + y 2 + 1 ). Zur Berechnung der Ableitung sollte mn m besten nlog zum rcus cosinus vorgehen: (rsinh y) = 1 cosh x = 1 1 + sinh 2 x, lso (rsinh y) = 1 1 + y 2. Der hyperbolische Cosinus ist uf [0, ) streng monoton wchsend und ht den Wertebereich [1, ). Die Umkehrfunktion re cosinus hyperbolici ist lso uf dem Intervll [1, ) definiert, und wie oben findet mn rcosh y = ln ( y y 2 1 ). Die Funktion rcosh ist nur für y > 1 differenzierbr, und die nloge Rechnung liefert (rcosh y) 1 = y2 1. 32

Die Funktionen tnh und coth sind eineindeutig. Die erstere ht den Wertebereich ( 1, 1), die letztere (, 1) (1, ). Diese Mengen sind dnn die Definitionsbereiche ihrer Umkehrfunktionen re tngentis hyperbolici und re cotngentis hyperbolici. Beide knn mn wieder durch beknnte Funktionen usdrücken. Ist z. B. y = tnh x, lso (e x + e x )y = e x e x, so erhält mn durch Multipliktion mit e x und schließlich so dss (e 2x + 1)y = e 2x 1, 1 + y = e 2x (1 y) e 2x = 1 + y 1 y, rtnhy = 1 2 ln 1 + y 1 y. Die Ableitungen berechnen wir wie bei rctn nch der llgemeinen Formel für Umkehrfunktionen: lso Anlog findet mn und die Ableitung (rtnh y) = cosh 2 x = cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x = 1 1 tnh 2 x, (rtnh y) = 1 1 y 2. rcoth y = 1 2 ln y + 1 y 1 (rcothy) = 1 1 y 2. Auf den ersten Blick ht es den Anschein, dss die Funktion 1 1 y 2 zwei wesentlich verschiedene Stmmfunktionen rtnh und rcoth besitzt. Nch unserer Herleitung ist ber rtnh nur eine Stmmfunktion uf dem Intervll ( 1, 1), während rcoth eine Stmmfunktion uf jedem der beiden Intervlle (, 1) und (1, ) ist. 33

9 Prtielle Integrtion Wie bereits bemerkt, folgt us der Produktregel der Differentition leider keine einfche Regel zur Bestimmung einer Stmmfunktion eines Produktes von zwei Funktionen. Trotzdem ist sie oft von Nutzen. Durch Umstellen folgt us der Produktregel für stetig differenzierbre Funktionen f und g uf einem Intervll [, b], dss f g = (fg) fg. Integrieren wir beide Seiten über ds Intervll, so folgt mit dem Huptstz f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b f(x)g (x) dx. Es gibt uch eine Version, in der einfch die Stmmfunktionen verglichen werden: f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. Bei der Anwendung dieser Regel, die mn prtielle Integrtion nennt, wird ds Problem ntürlich nur verlgert. Die Kunst besteht in der geschickten Whl der Fktoren f und g, dmit ds Integrl uf der rechten Seite einfcher zu bestimmen ist ls ds uf der linken Seite. Mn muss lso den Integrnden so in zwei Fktoren zerlegen, dss mn von einem Fktor bereits eine Stmmfunktion kennt. Der ndere Fktor sollte im Allgemeinen eine einfche Ableitung hben. Beispiel. Wir wollen eine Stmmfunktion für die Funktion xe x finden. Es liegt nhe, f(x) = e x und g(x) = x zu setzen, denn dnn ist f (x) = e x, g (x) = 1, und wir erhlten xe x dx = xe x e x dx. D wir bereits eine Stmmfunktion von e x kennen, ist xe x dx = xe x e x + C die gesuchte Stmmfunktion, ws mn durch Ableiten nchprüfen sollte. Beispiel. Mnchml ist die Whl der Fktoren nicht offensichtlich, z. B. wenn wir eine Stmmfunktion von ln x suchen. Hier hilft der Trick weiter, f (x) = 1 und g(x) = ln x zu setzen. Wählen wir f(x) = x, so erhlten wir ln xdx = x ln x x 1 dx = x ln x x + C. x 34