Enführung n de Theoretsche Physk 5. Tel: Mechank starrer Körper Segfred Petry 16. Januar 013
I n h a l t : 1 De Knematk starrer Körper 1.1 Was st en starrer Körper? 1. De Verschebung enes starren Körpers 1.3 De Anzahl der Frehetsgrade enes starren Körpers 1.4 De Eulerschen Wnkel 3 1.5 Ebene Bewegung enes starren Körpers 5 1.6 Bewegung enes starren Körpers um enen festen Punkt 9 1.7 De allgemenste Bewegung enes starren Körpers 11 Kräftesysteme, de an enem starren Körper angrefen 11 3 Rotaton enes starren Körpers um ene feste Achse 15 3.1 Das Träghetsmoment enes starren Körpers 16 3.1.1 Das Träghetsmoment enes homogenen Körpers 16 3.1. Der Satz von Stener 17 3.1.3 Das Träghetsellpsod 17 3. Träghetsmoment und Rotatonsenerge 19 3.3 Bespel: Das Träghetsellpsod für den Mttelpunkt enes Würfels 19 1
1 De Knematk starrer Körper 1.1 Was st en starrer Körper? En starrer Körper st en System von Massenpunkten, deren Entfernungen vonenander konstant snd. Wr sehen also ab von Deformatonen des Körpers und von Schwngungen der Massenpunkte (Atome, Moleküle), we se be realen Körpern stets vorhanden snd. Der starre Körper st also auch ene der so nützlchen Abstraktonen und Idealserungen der Theoretschen Physk. 1. De Verschebung enes starren Körpers De enzg möglche Veränderung enes starren Körpers st demnach de Veränderung sener Lage relatv zu anderen Körpern, z. B. relatv zu enem Bezugssystem, das von enem Beobachter als ruhend betrachtet wrd. Ene solche Lageänderung heßt»verschebung«. Se kann auf dre verschedene Arten geschehen: De Translaton Dese st ene Verschebung aller Massenpunkte des Körpers um denselben Vektor s. Der Ortsvektor r enes belebgen Punktes geht dabe über n r, wobe glt: r ' = r + s. De Rotaton um ene Gerade g Dabe bewegen sch alle Massenpunkte, sowet se ncht auf der Geraden g legen, auf Kresbögen, deren Mttelpunkte auf g legen. De Gerade g heßt Rotatonsachse. De Rotaton um enen Punkt P Dabe bewegen sch alle (übrgen) Punkte des Körpers auf konzentrschen Kugelflächen um das Rotatonszentrum P. We später gezegt wrd, kann ene Rotaton um enen Punkt stets auf ene Rotaton um ene durch desen Punkt gehende Achse zurückgeführt werden. 1.3 De Anzahl der Frehetsgrade enes starren Körpers De Anzahl der Frehetsgrade enes Körpers gbt an, we vele vonenander unabhängge Bewegungen der Körper ausführen kann. En Esenbahnzug hat da er an sene Schenen gebunden st - nur enen Frehetsgrad (vorwärts und rückwärts zählen zusammen als ene Bewegungsmöglchket). Formal st des daran erkennbar, dass de Poston des Zuges durch ene enzge Koordnate beschreben werden kann, we se sch z. B. auf den Klometertafeln fndet. En Auto auf der Erdoberfläche hat dre Frehetsgrade: Sen Ort kann durch sene geografsche Länge und Brete beschreben werden, de Rchtung sener Längsachse z. B. durch den Wnkel zur Nordrchtung. De beden anderen Wnkel de Ausrchtung des Fahrzeugs um de Längsachse und um de horzontale Querachse denen der Anpassung an Abwechungen des Geländes von der horzontalen Ebene und snd durch den Ort und de Rchtung der Längsachse bestmmt. Se snd daher kene Frehetsgrade. De Anschauung zegt, dass en freer Körper we z. B. en kunstflugtauglches Flugzeug dre Frehetsgrade der Translaton bestzt: er kann sch nämlch fre n dre räumlchen Dmensonen
(Länge, Brete, Höhe) bewegen. Dazu kommen dre Frehetsgrade der Rotaton: er kann um dre räumlche Drehachsen roteren. Folglch bestzt der free Körper sechs Frehetsgrade der Bewegung. De Zahl der Frehetsgrade wrd engeschränkt, wenn der Körper ncht völlg fre beweglch st. Ist z. B. ener sener Punkte festgelegt, so fallen de dre Frehetsgrade der Translaton weg, und es bleben nur noch de dre Frehetsgrade der Rotaton übrg. Wrd en weterer Punkt festgehalten, so kann der Körper nur noch um de Verbndungsgerade der beden Punkte roteren, und sene Lage st durch ene enzge Koordnate, nämlch den Drehwnkel, festgelegt. Er bestzt also nur noch enen Frehetsgrad. Legt man nun noch enen drtten Punkt des Körpers fest, so verlert er auch den letzten Frehetsgrad (sofern de dre Punkte ncht auf ener Geraden legen). Nach dem folgenden Exkurs über de Eulerschen Wnkel werden wr enge Bewegungen untersuchen, de be verschedenen Enschränkungen der Frehet enes starren Körpers möglch snd. 1.4 De Eulerschen Wnkel Gegeben se en relatv zum Beobachter festes kartessches XYZ-Koordnatensystem sowe en um den gemensamen Ursprung drehbares X Y Z -Koordnatensystem. De Lage der Enhetsvektoren der dre drehbaren Achsen relatv zu den festen Achsen kann durch de 3 x 3 = 9 Rchtungskosnus der Enhetsvektoren beschreben werden (sehe unten). Da zwschen den neun Rchtungskosnus jedoch sechs Bedngungen bestehen, snd davon nur 3 fre wählbar. (Das entsprcht den 3 Frehetsgraden der Rotaton.) De sechs Bedngungen lauten: ' = cos α + cos β + cos γ = 1, 1 1 1 j ' = cos α + cos β + cos γ = 1, k ' = cos α + cos β + cos γ = 1, 3 3 3 ' j ' = cosα cosα + cos β cos β + cos γ cos γ = 0, 1 1 1 j ' k ' = cosα cosα + cos β cos β + cos γ cos γ = 0, 3 3 3 k ' ' = cosα cosα + cos β cos β + cos γ cos γ = 0. 1 3 1 3 1 3 Daher st es häufg vortelhaft, von Anfang an nur dre unabhängge Wnkel enzuführen. Dazu egnen sch de dre Eulerschen Wnkel ϕ, ψ und ϑ (ph, ps und theta). 3
ϑ st der Wnkel zwschen der Z' -Achse und der Z-Achse. De XY-Ebene (grau) schnedet de X'Y' - Ebene (grün) n ener Geraden, de Knotenlne genannt wrd und auf der der Enhetsvektor n legt. Senkrecht zu n legen wr n der X'Y'-Ebene ene Gerade, auf welcher der Enhetsvektor m' legt. Der Wnkel ψ st der Wnkel zwschen der Knotenlne und der X-Achse und wrd»knotenlänge«genannt (analog zur geografschen Länge). Sen Gegenstück n der X'Y'-Ebene, nämlch der Wnkel zwschen der Knotenlne und der X'-Achse st der Wnkel φ. Snd de Eulerschen Wnkel gegeben, kann man das Koordnatensystem ', j', k' zechnen: Zuerst wrd mt dem Wnkel ψ de Knotenlnen n de XY-Ebene gezechnet. Durch dese Gerade wrd dann ene Ebene gelegt, de mt der XY-Ebene den Wnkel ϑ bldet; des st de X'Y'-Ebene. Das Lot auf deser Ebene n O st de Z'-Achse. De X'-Achse st n der X'Y'-Ebene dann durch den Wnkel φ bestmmt. De Enhetsvektoren des beweglchen Systems seen Dann gelten de folgenden Bezehungen: ' = cosα + cos β j + cos γ k, 1 1 1 j ' = cosα + cos β j + cos γ k, k ' = cosα + cos β j + cos γ k. 1 1 1 3 3 3 cosα = cosϕ cosψ snϕ snψ cos ϑ, cos β = snϕ cosψ cosϕ snψ cos ϑ, cosγ = snψ sn ϑ, cosα = cosϕ snψ + cosϕ cosψ cos ϑ, cos β = sn ϕ snψ + cosϕ cosψ cos ϑ, cos γ = cosψ sn ϑ, cosα = snϕ sn ϑ, 3 cos β = cosϕ sn ϑ, 3 cos λ = cos ϑ. Mt Hlfe deser Bezehungen lassen sch de Verschebungskomponenten und de Geschwndgketskomponenten bezüglch der X-, Y- und Z-Achse sowe de Rotatonsgeschwndgketen um dese Achsen aus den entsprechenden Größen des körperfesten Systems berechnen. Zur Veranschaulchung egnen sch recht gut de Erde und hre Bewegung m Sonnensystem. Als nvarable XY-Ebene betet sch de Eklptk an, also de Ebene der Erdbahn, n der auch de Sonne legt. De Rchtung der X-Achse kann z. B. durch rgendenen n der Eklptk gelegenen Fxstern vorgegeben werden. De Y-Achse steht auf der X-Achse senkrecht, de Z-Achse auf der Eklptk. Der Nullpunkt beder Koordnatensysteme se der Erdmttelpunkt. De X'Y'-Ebene st de Äquatoralebene, wobe de X'-Achse z. B. durch den Nullmerdan (den Merdan von Greenwch) gehen soll. De Z'- Achse st de Rotatonsachse der Erde. 4
Blebe de Rchtung der Erdachse unverändert und roterte de Erde ledglch um de Z'-Achse, dann änderte sch nur der Wnkel φ zwschen Knotenlne und X'-Achse. Tatsächlch aber rotert de Erdachse n etwa 6 000 Jahren enmal um de Z-Achse. De Erdachse führt also ene so genannte Präzessonsbewegung aus und somt ändert sch auch der Wnkel ψ. Schleßlch schwankt aber auch der Wnkel zwschen Z'- und Z-Achse en weng: de Erdachse führt ene Nutatonsbewegung (Nckbewegung) aus. 1.5 Ebene Bewegung enes starren Körpers En Bespel für de ebene Bewegung enes starren Körpers st en Buch, das auf ener Tschplatte bewegt wrd. Dabe bewegen sch alle Punkte des Körpers (des Buches) parallel zu ener Ebene (zur Tschplatte). Alle Punkte des Körpers, de auf demselben Lot zur Ebene legen, bewegen sch dabe auf kongruenten Bahnen. Daher genügt es, den Körper auf ene enzge Ebene her ene Sete des Buches zu reduzeren und ledglch de Bewegung ener Ebene auf ener anderen, festen Ebene zu betrachten. Dese Bewegung hat dre Frehetsgrade: Wr können de beden Koordnaten rgendenes Punktes der beweglchen Ebene belebg wählen und dann de Ebene noch um desen Punkt drehen. Zunächst wll ch zegen, dass man jede belebge ebene Verschebung enes Körpers aus ener Poston (1) n ene Poston () als das Ergebns ener Drehung um enen Punkt auffassen kann. Dabe wrd von den Zwschenstaden der Verschebung völlg abgesehen und es werden nur de Anfangs- und de Endposton betrachtet. Dabe genügt es, zwe n der Bewegungsebene gelegene Punkte A und B des Körpers herauszugrefen, denn durch de Lage deser beden Punkte st auch de Poston aller übrgen Punkte des Körpers festgelegt. Durch de betrachtete Verschebung seen de beden Punkte A 5
und B auf enem belebgen Weg n de Poston A' bzw. B' bewegt worden. Konstruert man de Mttelsenkrechten der Strecken AA' und BB' und schnedet se mtenander, so erhält man das gesuchte Rotatonszentrum P. Während der Drehung wrd das Dreecks PAB n das kongruente Dreeck PA'B' übergeführt und glechzetg alle anderen Punkte des Körpers aus hrer ursprünglchen Lage n ene neue Poston gebracht. Da das Drehzentrum für alle Punkte dasselbe st, würde man denselben Punkt P auch mt zwe belebgen anderen Punkten (statt A und B) fnden. (Zum vollständgen Bewes muss gezegt werden, dass deselbe Drehung, welche de Strecke PA n de Strecke PA' überführt, auch de Strecke PB n de Strecke PB' überführt. Dazu muss bewesen werden, dass der Wnkel APA' glech dem Wnkel BPB' st. Wegen der Kongruenz der Dreecke APB und A'PB' snd de Wnkel APB und A'PB' glech. Ich nenne se α. Nun st aber APA' = α + BPA' und BPB ' = α + BPA'. Also snd de beden fraglchen Wnkel glech. Enfacher st folgende Argumentaton, de später auch noch n enem anderen Zusammenhang benutzt werden kann: Da wr es her mt enem starren Körper zu tun haben, st auch das Dreeck ABP en starres Geblde. Daher können sch be ener Rotaton um P de beden Raden PA und PB mmer nur um gleche Wnkel drehen.) Wenn wr nun de Zwschenstaden der Bewegung ncht gnoreren, sondern de Bahnkurven der Punkte A und B genau verfolgen wollen, so können wr zunächst enge Zwschenstaden der Bewegung betrachten: 6
Für je zwe benachbarte Lagen der Strecke AB können wr - we oben - en temporäres Drehzentrum konstrueren und so de gesamte Ortsveränderung durch ene Anzahl von Drehungen um en jewels anderes temporäres Drehzentrum ( temporärer Pol ) annähern. Verbndet man de benachbarten temporären Drehzentren mtenander, entsteht en Polygonzug. Es lohnt sch, desen Vorgang n senen Phasen n enem Modell zu realseren. Dazu befestgt man en Blatt Paper (de feste Ebene) auf ener geegneten Unterlage (Korkbrett, Wechfaserplatte, Styroportafel...). En zwetes Blatt Paper (das transparent sen sollte) stellt de bewegte Ebene (den bewegten Körper) dar, auf der zwe Punkte A und B und hre Verbndungsgerade markert werden. Anstatt nun aber de enzelnen Phasen der Verschebung deser Ebene vorzugeben und dann Mttelsenkrechten über mehreren klenen Telstrecken zu errchten und dese paarwese mtenander zu schneden (was mühsam und ungenau wäre), st es wetaus bequemer, das Pferd von hnten aufzuzäumen und sch den Polygonzug von temporären Zentren belebg vorzugeben. Dann wrd das transparente Paper auf de feste Ebene gelegt. Mt ener Stecknadel stcht man zunächst n den Punkten A und B durch de beden Papere hndurch und markert so deren Ausgangslage auf der festen Ebene. Dann stcht man m ersten Drehzentrum P 1 durch bede Ebenen und dreht de das obere Paper um enen belebgen Wnkel (etwa 0 bs 30 ), wobe de Stecknadel de Drehachse bldet. Dann stcht man de Nadel durch das zwete Drehzentrum und dreht wederum de obere Ebene um enen belebgen Wnkel usw. Nach der letzten Drehung markert man durch Durchstechen de Lage der Punkte Π auf der festen Ebene und ebenso de Endlage der Punkte A und B, de mt A' und B' bezechnet snd. Dadurch erhält man auf der festen Ebene ene Fgur, de etwa so ausseht: 7
Dese Abbldung lässt sch auch als Ausschnedebogen zur Demonstraton verwenden. Dazu schnedet man den lnken Tel am blauen Polygonzug entlang aus. Dann legt man de Punkte Π 6 und P 6 weder aufenander und dreht den ausgeschnttenen lnken Tel um Π 6, bs Π 5 auf P 5 zu legen kommt usw. So kann man den ganzen Vorgang rückwärts verfolgen, bs man am Anfang angekommen st. Von dort kann man den ursprünglchen Ablauf nachvollzehen. Man kann also de wrklche Bewegung der Ebene (oder des Körpers) annähern, ndem man das körperfeste (blaue) Polygon um das raumfeste (rote) Polygon kantet. Wenn wr nun de Anzahl der betrachteten Bewegungsphasen unbegrenzt wachsen lassen, so nähert sch der Bewegungsablauf unbeschränkt dem tatsächlchen Vorgang und de beden Polygone werden zu glatten Kurven, von denen de blaue auf der roten abrollt. So ergbt sch folgender Satz: Jede belebge Bewegung enes starren Körpers n ener Ebene kann dadurch erzeugt werden, dass ene bestmmte, m Körper feste Kurve auf ener bestmmten, m Raume festen Kurve abrollt. De erste Kurve heßt Gangpolkurve oder Körperzentrode, de zwete Rastpolkurve oder Raumzentrode. Handelt es sch um de ebene Bewegung enes Körpers, so können wr n den Punkten der Rast und Gangpolkurve Lote auf der festen Ebene errchten. Dese blden je ene gerade Zylnderfläche, de Gangpolfläche (blau) und de Rastpolfläche (rot), de aufenander abrollen. 8
1.6 Bewegung enes starren Körpers um enen festen Punkt Ene solche Bewegung heßt auch sphärsche Bewegung, wel sch dabe alle Punkte des Körpers auf Kugelschalen ( Sphären ) bewegen, deren Mttelpunkt der feste Punkt O st. Wr betrachten weder zwe Punkte A und B des starren Körpers. Durch ene belebge Bewegung um den festen Punkt O mögen de beden Punkte n de Endlage A' und B' überführt werden. Wenn wr weder von dem tatsächlchen Verlauf der Bewegung absehen und nur de Ausgangs- und de Endlage betrachten, so kann der gleche Effekt stets durch ene Rotaton um ene durch den festen Punkt gehende Achse erzelt werden. Es glt also der Satz: Ene belebge Bewegung enes starren Körpers um enen festen Punkt st äquvalent (d. h. hnschtlch des Ergebnsses glechwertg) ener Rotaton um ene bestmmte, durch desen Punkt gehende Achse (Eulersches Theorem). Der Bewes verläuft analog zu dem für de ebene Bewegung. 9
De beden Dreecke OAA' und OBB' snd glechschenklg. Wr errchten de mttelsenkrechte Ebene e auf AA' und f auf BB'. Jeder Punkt der Ebene e st von A und A' glech wet entfernt, und jeder Punkt der Ebene f st von B und A'B' glech wet entfernt. Bede Ebenen gehen durch O und schneden enander n ener Geraden OC. Alle Punkte deser Geraden haben de Egenschaften der Punkte beder Ebenen gemensam: se snd sowohl von A und A' als auch von B und B' glech wet entfernt. Außerdem st der Wnkel AOC glech dem Wnkel A OC und der Wnkel BOC glech dem Wnkel B'OC. Jede durch O gehende und n der Ebene e legende Gerade kann als Drehachse denen, um A n A' überzuführen. Dasselbe glt für jede n der Ebene f legende und durch O gehende Gerade bezüglch der Punkte B und B'. Da de Gerade OC zusammen mt der Strecke AB als starrer Körper aufgefasst werden kann, führt ene Drehung um OC, welche A n A' überführt, auch B n B' über. Analog zu unserem Vorgehen be der ebenen Bewegung betrachten wr nun mehrere Zwschenstaden der tatsächlchen Bewegung und nähern jede der Bewegungsphasen durch ene Rotaton um enen bestmmte Achse an, de we oben gefunden werden kann. De verschedenen Achsen und de von hnen bestmmten Ebenen blden dann enersets ene m Raum feste Pyramdenfläche (Rastpolpyramde) mt der Sptze n O und anderersets ene m Körper feste (und somt m Raum beweglche) Pyramdenfläche, de Gangpolpyramde. Bede Pyramden rollen über de Kanten anenander ab. Wenn de Anzahl der betrachteten Bewegungsphasen unbeschränkt zunmmt, gehen de beden Pyramdenflächen n Kegelflächen über, de aufenander abrollen und deren Mantellnen de (raumfesten und körperfesten) momentanen Drehachsen snd. Im Hnblck auf de später zu behandelnde Kreselbewegung st nsbesondere der Fall nteressant, n dem de beden Kegelflächen kresförmg snd. Dabe snd zwe Fälle zu unterscheden: Der 10
Gangpolkegel (blau) kann auf dem Rastpolkegel (rot) außen oder nnen abrollen. Des zegt de folgende Abbldung. 1.7 De allgemenste Bewegung enes starren Körpers De allgemenste Bewegung enes Körpers st ene Bewegung, de kenen Enschränkungen unterlegt. En solcher fre beweglcher Körper hat sechs Frehetsgrade, nämlch dre Frehetsgrade der Translaton und dre der Rotaton. Sene Lage st festgelegt durch Angabe von dre sener Punkte. De Anfangslage deser Punkte se A, B, C, hre Endlage se A', B', C'. Es kann gezegt werden, dass jede solche Bewegung äquvalent ener Schraubenbewegung st. Das heßt: Zu jeder Bewegung enes starren Körpers lässt sch ene Schraubenlne angeben, welche (ohne Berückschtgung der Zwschenpostonen) de Punkte A, B, C n de Punkte A', B', C' überführt (Theorem von CHASLES). Auch her kann der tatsächlche Bewegungsablauf durch ene Anzahl n von enzelnen Schraubenbewegungen angenähert werden. Für n gegen unendlch ergbt sch ene kontnuerlche Folge von unendlch velen, verschwndend klenen Schraubenbewegungen, welche den tatsächlchen Bewegungsablauf exakt wedergbt. Ene solche Bewegungsfolge heßt Schrotung. Kräftesysteme, de an enem starren Körper angrefen En enzelner Massenpunkt erfährt kene Beschleungung, wenn de Resulterende aller an hm angrefenden Kräfte null st. Man sagt dann, de angrefenden Kräfte seen m Glechgewcht (oder auch wenger präzse der Massenpunkt se m Glechgewcht).Analog glt für en System von Massenpunkten, dass sen Schwerpunkt kene Beschleungung erfährt, wenn de Resulterende aller Kräfte, de an dem Punktsystem angrefen, null st. 11
Es se F de Resulterende aller Kräfte, de am -ten Massenpunkten angrefen. Dann lautet de Bedngung für de Kräftefrehet senes Schwerpunkts also: F = 0. Das bedeutet jedoch ncht unbedngt, dass dann auch alle Massenpunkte des Systems unbeschleungt snd, denn es könnte ja noch Rotatonsbeschleungungen um den (unbeschleungten) Schwerpunkt geben. De notwendge und hnrechende Bedngung für das Fehlen von Rotatonsbeschleungungen st, dass de Summe aller an dem System angrefenden Drehmomente null st: M = r F = 0. Bewes: We ch n Mechank realer Körper m Kaptel Drehmpuls und Drehmoment gezegt habe, st ganz allgemen be enem System von Massenpunkten dl d t 0 = r F = M 0 Das bedeutet: De Änderungsgeschwndgket dl O /dt des Drehmpulses L O des Systems st glech der Summe der auf das System enwrkenden Drehmomente. Wenn das Drehmoment M O null st, st auch de Summe der Änderungen der Drehmpulse m Zetelement dt glech null. Das damals betrachtete System bestand allerdngs aus unabhänggen Massenpunkten. In enem solchen System st es denkbar, dass verschedene Massenpunkte postve bzw. negatve Drehmpulsänderungen erfahren, de enander kompenseren können. Da wr aber nun en starres System von Massenpunkten betrachten, müssen eventuelle Änderungen des Drehmpulses der enzelnen Massenpunkte stets dasselbe Vorzechen haben. Ihre Summe kann daher nur dann null sen, wenn se alle enzeln null snd. Also fnden für M O = 0 m System kene Rotatonsbeschleungungen statt. Folglch glt: Notwendge und hnrechende Bedngung für das Fehlen von Translatons- und Rotatonsbeschleungung be enem starren Körpers st, dass sowohl de Resultere F der Kräfte als auch de Resulterende M der Drehmomente, de an dem Körper angrefen, null st: F = F = 0 und M = r F = 0. Für de Wrkung des an enem starren Körper angrefenden Kräftesystems kommt es also nur auf de beden Resulterenden F und M an. Des glt we später gezegt werden wrd ncht nur für den (statschen) Fall, dass kene Beschleungungen stattfnden. Auch n den Glechungen der Dynamk treten nur dese beden Summenvektoren auf, sodass man sagen kann: Alle Systeme von Kräften, de n den Resulterenden F und M überenstmmen, snd n hrer Wrkung glechwertg (äquvalent). In desem Zusammenhang begegnet uns en weterer Typ von Vektoren: Im Gegensatz zu den freen Vektoren (se snd belebg verschebbar) und den gebundenen Vektoren (se snd an enen Punkt gebunden; z. B. Feldvektoren und Ortsvektoren), dürfen Kraftvektoren nur n hrer Wrkungslne verschoben werden, da sch be ener Parallelverschebung außerhalb hrer Wrkungslne das von hnen ausgeübte Drehmoment ändert. Solche Vektoren heßen lnenflüchtg. Dass Kraftvektoren nur n hrer Wrkungslne verschoben werden dürfen, hat Konsequenzen für de graphsche Addton paralleler und antparalleler Kräfte.. 1
1. Fall: Parallele Kräfte: Um de Resulterende zweer paralleler Kräfte F 1 und F zu fnden, verscheben wr zunächst ene der beden Kräfte (her F 1 ) n hrer Wrkungslne, sodass de Verbndungslne der Angrffspunkte der beden Kräfte auf hren Wrkungslnen senkrecht steht. Dann adderen wr zu beden Kräften ene Hlfskraft F x bzw. F x. Da sowohl de Summe we das Drehmoment der beden Kräfte null st, ändert hr Hnzufügen nchts an dem gegebenen Kräftesystem. Nun werden de beden resulterenden Kräfte (grün) ermttelt und bede n hren Wrkungslnen bs zum Schntt verschoben. Durch Addton ergbt sch de resulterende Kraft F R. Se st parallel zu F 1 und F. Ihr Betrag st glech der Summe F 1 + F. De Resulterende kann nach Beleben n hrer Wrkungslne verschoben werden. Gescheht das so, we n der Abbldung gezegt, erkennt man, dass hre Abstände von den beden Telkräften nach dem Hebelgesetz berechnet werden können.. Fall: Antparallele Kräfte: De größere der beden Kräfte (her F ) wrd n zwe Telkräfte F 1 und F 3 zerlegt. F 1 und F 1 blden zusammen en Kräftepaar (das snd zwe entgegengesetzt gleche Kräfte, de ncht am selben Punkt angrefen). Also glt: Antparallele Kräfte snd äquvalent ener Enzelkraft und enem Kräftepaar. 13
Ist F = F 1, so st de Enzelkraft null. Des st en enfaches Bespel dafür, dass zwar F = 0, aber M' unglech null sen kann. Das Drehmoment des Kräftepaares st ( ) ( ) M = r F + r F = r r F = a F 1 1 1 1 1 1. Das Drehmoment enes Kräftepaares st also von der Lage des Bezugspunktes O unabhängg. Im Allgemenen jedoch hängt der Betrag enes Drehmoments vom Bezugspunkt O ab, da sch be ener Verlagerung des Bezugspunktes de "Kraftarme" ändern und sogar belebg groß werden können. Das Drehmoment st jedoch mmer dann vom Bezugspunkt unabhängg, wenn de Resulterende F der Kräfte null st. Bewes: Verschebt man den Bezugspunkt O um den Vektor s nach O' und bezechnet de neuen Ortsvektoren mt r', so st r ' = r s und r' F = r F s F = r F s F. Für F = 0 verschwndet der letzte Term und es blebt übrg r' F = r F. We oben gesagt wurde, kommt es be enem Kräftesystem, das an enem starren Körper angreft, nur auf de Resulterenden F und M an. De Resulterende F st ene enzelne Kraft, und das resulterende Moment M kann durch en geegnetes Kräftepaar aufgebracht werden. Also glt: Jedes an enem starren Körper angrefende Kräftesystem kann ersetzt werden durch ene Enzelkraft und en Kräftepaar. 14
3 Rotaton enes starren Körpers um ene feste Achse Wenn en starrer Körper n zwe Punkten O und O' fxert wrd, st sene Frehet auf de Rotaton um de Achse OO' engeschränkt. Er hat nur noch enen Frehetsgrad, und sene Lage st durch den Drehwnkel φ endeutg beschreben. Von den an hm angrefenden Drehmomenten wrken ledglch hre n der Drehachse legenden Komponenten; de übrgen Komponenten werden durch Zwangskräfte n den Lagern kompensert. Wr legen nun den Ursprung des Koordnatensystems n den Punkt O und de Z-Achse n de Drehachse. De Glechung für de Änderung des Gesamt-Drehmpulses des Körpers verenfacht sch daher auf de Berückschtgung der Z-Komponenten des Drehmpulses und der Resulterenden der (auf den Punkt O bezogenen) Drehmomente: d Lz = M z. d t Für den Drehmpuls L glt: und mt ( ) L = m r v, v = ω k r ( ω ) L = m r k r wobe ωk der Vektor der Wnkelgeschwndgket st. Für en zwefaches Vektorprodukt glt:, Also st und u ( v w) = v ( u w) w ( v u ). ( ω ) ω ( ) ( ω ) r k r = k r r r k r 15
( ) L = ω k m r ω m r k r = ω k m r ω m r z. De Z-Komponente von L st glech der Z-Komponente der rechten Sete der Glechung: r ( ) L = ω m ω m z z = ω m x + y + z ω m z z und schleßlch De Größe z ( ) L = ω m x + y ( ). m x + y = m ρ = J : z z heßt Träghetsmoment des Körpers bezüglch der Z-Achse und wrd aus enem erst später erkennbaren Grund J z z genannt. Damt ergbt sch de (enzge) Bewegungsglechung des Körpers: dω d ϕ J = J = M. z z dt z z dt z En Verglech mt der Bewegungsglechung der endmensonalen Translatonsbewegung d x m = F dt zegt de formale Identtät der beden Glechungen, wobe das Träghetsmoment J zz entsprcht der Masse m, de Wnkelbeschleungung d φ/dt entsprcht der Bahnbeschleungung d x /dt, de axale Komponente des Drehmoments entsprcht der Bahnkomponente der Kraft. x De knetsche Energe des roterenden Körpers st 1 1 1 1 dϕ Ekn = m ( ω k r ) = m ρ ω = J z zω = J z z, d t n völlger Analoge zur knetschen Energe der Translatonsbewegung E kn 1 1 d x = mv = m. d t 3.1 Das Träghetsmoment enes starren Körper 3.1.1 Das Träghetsmoment enes homogenen Körpers Aus der Defnton des Träghetsmoments folgt für enen homogenen Körper (das st en Körper mt kontnuerlcher Massenvertelung und konstanter Dchte ρ) d ρ d ρ d d d, J = r m = r V = r x y z M V V 16
wobe r den Abstand des Massen- bzw. Volumenelements von der Drehachse bedeutet, M de Masse des Körpers und V sen Volumen st. 3.1. Der Satz von Stener Kennt man das Träghetsmoment enes Körpers bezüglch ener durch den Schwerpunkt gehenden Achse, so lässt sch ohne neuerlche Integraton sen Träghetsmoment bezüglch jeder dazu parallelen Achse berechnen (und umgekehrt). En Körper rotere um ene durch A gehende, auf der Zechenebene senkrecht stehende Achse. Durch senen m Abstand s legenden Schwerpunkt S legen wr ene dazu parallele Achse. Der Körper se mt der Drehachse durch A starr verbunden. Dann dreht er sch, während er enmal um A rotert, glechzetg genau enmal um sene Schwerpunktachse. Sen Träghetsmoment bezüglch der Schwerpunktachse se J S, sen Träghetsmoment bezüglch der Achse durch A se J A. De Wnkelgeschwndgket der beden Rotatonen se ω. Wr betrachten nun de knetsche Energe des roterenden Körpers. Se setzt sch zusammen aus der Rotatonsenerge bezüglch der Schwerpunktachse und der knetschen Energe der Kresbewegung um A: ( ) E = J ω + m v = J ω + m s ω = J + m s ω 1 1 1 1 1 S S S. Anderersets st de knetsche Energe aus dem Träghetsmoment bezüglch der Achse durch A Durch Verglech erhält man E = J A ω 1. J = J + m s A S Satz von Stener 3.1.3 Das Träghetsellpsod Durch enen Punkt O enes Körpers gehe ene Drehachse A, deren (belebge) Rchtung durch enen Enhetsvektor a beschreben werde. Den Punkt O machen wr zum Ursprung der Ortsvektoren r. De Rchtungskosnus des Vektors a seen cos α, cos β, cos γ. Das Träghetsmoment des betrachteten Körpers bezüglch der Achse st dann 17
J m ( r a) m y z z x x y m ( y z ) m ( z x ) m ( x y ) m y z m x z m x y = ( cosγ cos β ) ( cosα cosγ ) ( cos β cosα ) = + + = + cos α + + cos β + + cos λ cos β cosγ cosα cosγ cosα cos β. Das Träghetsmoment st demnach ene quadratsche Funkton der Rchtungskosnus der Achse. De Koeffzenten deser Funkton snd zum enen de Träghetsmomente des Körpers bezüglch der Koordnatenachsen, nämlch ( ) ( ) ( ) m y + z : = J, m x + z : = J, m x + y : = J, zum anderen de folgenden Größen, welche Devatonsmomente genannt werden: Damt lautet de obge Glechung xy yz xz xx yy m x y : = J, m y z : = J, m x z : = J. J = J + J + J J J J xx cos α y cos β zz cos γ xy cosα cos β yz cos β cosγ xz cosα cos γ. Führt man nun statt der Rchtungskosnus der Drehachse de Koordnaten enes auf der Achse gelegenen Punktes P(x, y, z) und den Betrag r senes Ortsvektors en, setzt also cos α = x, cos β = y, cos γ = z, r r r so wrd x y z xy yz xz xx yy zz xy yz xz J = J r + J r + J r J r J r J r, wobe r = x + y + z st. De Glechung verenfacht sch erheblch, wenn man P so wählt, dass r = 1/J st. Se lautet dann: J x + J y + J z J x y J yz J xz = 1. xx yy zz xy yz xz Des st de Glechung ener Fläche zweter Ordnung, also enes Ellpsods, enes Parabolods oder enes Hyperbolods, das wegen der oben getroffenen Verabredung folgende Egenschaft hat: Der Abstand r enes jeden Punktes P der Fläche vom Punkt O st glech dem Kehrwert aus der Wurzel des Träghetsmoments J, das der betrachtete Körper bezüglch der Achse OP hat. Da das Träghetsmoment enes realen Körpers nemals null sen kann, wrd r nemals unendlch. Folglch muss de Fläche en Ellpsod sen (n Spezalfällen en Rotatonsellpsod oder ene Kugel). Das Ellpsod st durch de sechs Koeffzenten sener Glechung endeutg bestmmt. Be Kenntns deser Größen kann man den Abstand r enes jeden Punktes P der Fläche von O berechnen, woraus zz 18
sch dann das Träghetsmoment des betrachteten Körpers bezüglch der Achse OP ergbt: J = 1/r. Das Ellpsod heßt daher Träghetsellpsod des Körpers für den Punkt O. Aus der Analytschen Geometre st bekannt, dass es für jede Fläche. Ordnung en ausgezechnetes Koordnatensystem (X', Y', Z') gbt (und zwar das Koordnatensystem, dessen Achsen n Rchtung der Hauptachsen des Ellpsods legen), n welchem de Flächenglechung ene besonders enfache Form annmmt, nämlch de Form J x ' + J y ' + J z ' = 1, I II III wobe J I, J II und J III' zunächst rgendwelche Koeffzenten snd. In unserem Fall heßen dese dre Größen de Hauptträghetsmomente des Körpers (bezüglch O). Snd de Achsen der Hauptträghetsmomente und deren Beträge bekannt, so kann daraus das Träghetsmoment des Körpers für jede belebge Achse durch O ermttelt werden. Ist O zuglech der Schwerpunkt S des Körpers, so kann man aus den Hauptträghetsmomenten zunächst das Träghetsmoment für jede andere Achse durch S berechnen und daraus nach dem Satz von Stener das Träghetsmoment für jede dazu parallele Achse. En Verglech der beden Glechungen des Träghetsellpsods zegt, dass bem Übergang auf de Hauptträghetsachsen Folgendes gescheht: 3. Träghetsmoment und Rotatonsenerge Für de Rotatonsenerge des Körpers glt a r ( ω ) E = m v = m = Jω 1 1 1, wobe ω der Betrag der Wnkelgeschwndgket und a der Enhetsvektor n der Drehachse st. In dem Koordnatensystem, dessen Achsen mt den Hauptträghetsachsen des Körpers zusammenfallen, st wobe und somt st. ( I II III ) E = ω J α + J β + J γ 1 cos ' cos ' cos ', ω ω ωz ' α = β = γ = ω ω ω x' y ' cos ', cos ', cos ' ( I ω ' II ω ' III ω ' ) E = J + J + J 1 x y z 3.3 Bespel: Das Träghetsellpsod für den Mttelpunkt enes homogenen Würfels und sen Träghetsmoment bezüglch ener durch den Mttelpunkt gehenden Achse. De Hauptachsen enes Ellpsods haben enge besondere Egenschaften: 1. De Hauptachsen (und damt auch de von hnen aufgespannten Ebenen) stehen aufenander senkrecht. 19
. De Hauptachsen und hre Ebenen snd Symmetreachsen bzw. Symmetreebenen des Ellpsods. 3. De auf den Hauptachsen gelegenen Punkte des Ellpsods haben vom Mttelpunkt extreme Abstände. Dese snd entweder größer oder klener als de Abstände der Nachbarpunkte vom Mttelpunkt. 4. De Egenschaften. und 3. snd hnrechende Bedngungen dafür, dass dre aufenander senkrechte Achsen Hauptachsen des Ellpsods snd. Betrachten wr nun en Koordnatensystem mt dem Ursprung m Mttelpunkt des Würfels, dessen Achsen parallel zu den Kanten des Würfels snd. De Symmetre des Würfels bezüglch deser Achsen überträgt sch natürlch auch auf sen Träghetsellpsod. Folglch (gemäß 4.) snd de Koordnatenachsen Hauptachsen des Würfels. Aus der Symmetre folgt weter, dass de Hauptachsen glech lang sen müssen, also st das Träghetsellpsod des Würfels ene Kugel. Daraus folgt, dass das Träghetsmoment des Würfels für jede Achse durch den Mttelpunkt glech st. Für das Träghetsmoment bezüglch der Z-Achse glt dann: a a a a a a a a a a a a ( ) ( ) J = ρ x + y dx dy d z. a 3 3 x a x + y d x = + y x = + a y, 3 1 a a 3 3 3 4 a a y a + a y d y = y + a =, 1 1 3 6 a 4 4 5 a a a d z = z =, 6 6 6 a 5 a a J = ρ = M. 6 6 a = Kantenlänge, M = Masse des Würfels. Deses Ergebns glt für alle durch den Mttelpunkt des Würfels gehende Achsen. a 0