Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Lösungen Aufgabenblatt 6 Übungen E Mechanik WS 07/08 Dozent: Prof. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. Res Jöhr Verständnisfragen i.) Bei einem inelastischen Stoß wird kinetische Energie durch plastische Verformung oder Reibungswärme in innere Energie umgewandelt und ist somit in der Energiebilanz nicht mehr sichtbar. Bei einem elastischen Stoß dagegen findet eine solche Umwandlung nicht statt. Es sind folglich sowohl Energie als auch Impuls erhalten, bei einem inelastischen Stoß dagegen nur der Impuls. ii.) Die Größe ds (ct) x ist Lorentz-invariant. Das bedeutet, dass sie bei Wechsel des Bezugssystems unverändert bleibt. iii.) v 0.5c + 0.5c + 0.5c 0.5c c 4 5 c 0.8c v 0.5c + c + 0.5c c c Man sieht, dass sich Licht in allen Inertialsystemen mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt. Nebenbemerkung: Allerdings wird sich das Licht für die beiden Beobachter in der Wellenlänge unterscheiden. Aufgabe (PSR B99+) a) Wechseln wir ins System des Pulsars, dann können wir das Ergebnis aus a) verwenden, allerdings ist die Relativgeschwindigkeit nun v P c/ statt v E : b) i.) t x/c t c t c + v P c c,337 30 s 0,89 53 s c + c/ ii.) Wir verwenden die Lorentz-Transformation für die Zeitkoorinate aus dem System des Pulsars ins System der Erde. t t vx/c v /c wo v v P c/ ist.
Übungen E Mechanik iii.) t t t t vx/(tc ) v /c v/c ( v/c) v /c v/c ( v/c)( + v/c) + v/c wobei wir im dritten Schritt x/t c verwendet haben. Also ist t v P /c 0,5 t,337 30 s + v P /c + 0,5 0,77 s Dies ist die relativistische Version des Doppler-Effekts. Aufgabe (Pendel als Target) Die potentielle Energie beim Maximalausschlag ist: E pot M gh M gl( cos φ) LM g sin φ () Dabei ist M je nach Fallbetrachtung verschieden. Außerdem gilt nach Energiesatz: mv E pot + E kin a) Impulserhaltung (m + M)v p mv v p m m+m v mit v p als Geschwindigkeit des Pendelkörpers. Damit folgt für die kinetische Energie des Pendelkörpers: E p m + M Mit M m + M folgt aus E pot E p in (): m vp m + M v m + M v L(M + m)g sin φ sin φ m m + M v 0.57 Lg φ 8,0 m b) Mit v aus Aufgabenstellung lautet die Impulserhaltung: Mv p mv mv v p m M (v + v ). Damit folgt: E p M v p m M (v + v ) Mit M M und E pot E p in () ergibt sich: c) Dies ist ein Spezialfall von b) mit v 0: m M (v + v ) LMg sin φ sin φ m M (v + v ) 0.74 Lg φ 0,03 sin φ m M v Lg 0.60 φ 8,9
Übungen E Mechanik Aufgabe 3 (Streuwinkel) a) Schreiben wir die Impulserhaltung für den Stoß: p,vor p,nach + p,nach oder ( ) m v 0 0 ( ) ( ) m v cos ϕ m v + cos ϑ m v sin ϕ m v sin ϑ wobei m die Masse des anfangs bewegten Teilchens und m die Masse des anfangs ruhenden Teilchens ist. Bringen wir den ersten Summanden der rechten Seite auf die linke Seite: ( ) ( ) m v 0 m v cos ϕ m v cos ϑ m v sin ϕ m v sin ϑ Nun können wir die Gleichung in der zweiten Komponente durch die Gleichung in der ersten Komponente teilen, sodass die unbekannten Größen m und v gerade herausfallen: oder tan ϑ m v sin ϑ m v cos ϑ tan ϑ m v sin ϕ m v 0 m v cos ϕ v sin ϕ v 0 v cos ϕ v sin ϕ v 0 v cos ϕ b) Nun, da der Stoß als elastisch angenommen wird, gilt zusätzlich die Energieerhaltung: m v 0 m v + m v Außerdem gilt m m. Wir können die Gleichungen der Impuls- und Energieerhaltung also vereinfachen: v 0 v cos ϕ + v cos ϑ aus der ersten Komponente der Impulserhaltung () 0 v sin ϕ v sin ϑ aus der zweiten Komponente der Impulserhaltung (3) v 0 v + v aus der Energieerhaltung (4) Eliminieren wir die Geschwindigkeiten v, v 0 und v, um eine Beziehung zwischen den Winkeln zu erhalten. Beginnen wir mit v. Aus (3) ist Eingesetzt in () und (4): v v sin ϕ sin ϑ ( v 0 v cos ϕ + sin ϕ cos ϑ ) sin ϑ ( ) v0 v + sin ϕ sin ϑ (5) (6) Setzen wir v 0 aus (5) in (6) ein, dann fallen alle Geschwindigkeiten heraus und wir erhalten: Multiplizieren mit sin ϑ gibt ( cos ϕ + sin ϕ cos ϑ ) + sin ϕ sin ϑ sin ϑ (sin ϑ cos ϕ + sin ϕ cos ϑ) sin ϑ + sin ϕ 3
Übungen E Mechanik Daraus ist 0 (sin ϑ cos ϕ + sin ϕ cos ϑ) sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ + sin ϕ cos ϑ + sin ϑ cos ϕ sin ϕ cos ϑ sin ϑ sin ϕ sin ϑ(cos ϕ ) + sin ϕ(cos ϑ ) + sin ϑ cos ϕ sin ϕ cos ϑ sin ϑ sin ϕ sin ϕ sin ϑ + sin ϑ cos ϕ sin ϕ cos ϑ sin ϑ sin ϕ(sin ϑ sin ϕ cos ϕ cos ϑ) sin ϑ sin ϕ cos(ϑ + ϕ) Falls weder ϑ noch ϕ Null sind, ist cos(ϑ + ϕ) 0 und daraus ϑ + ϕ π/. Aufgabe 4 (Zentraler Stoß ungleicher Massen) Nach einem zentralen elastischen Stoß ergeben sich die Geschwindigkeiten v, v der Massen m, m aus Impuls- und Energieerhaltung gemäß: (i) : m v + m v m v + m v (ii) : m v + m v m v + m v (i) (iii) : m (v v ) m (v v ) (ii) (iv) : m (v v ) m (v v) (iv)/(iii) (v) : v + v v + v m (v) + (iii) : m v ( )v + (m m )v m (v) (iii) : (m m )v + ( )v m v a) In diesem Fall ist v 0, da m in Ruhe Damit ist die Energie der zweiten Kugel: v m m v + m v v m v + m m v v m m v ; v m v E m v E m v 4m m ( ) 4x ( + x) ; x : m m. Beim Stoß zwischen m und m 3 ist v 3 0, damit folgt mit y : m 3 /m analog: E 3 E Zusammengefasst gilt also mit z : xy m 3 /m : E 3 E E E E3 E 4y ( + y). 6xy ( + x) ( + y) 6z ( + x) ( + z x ). 4
Übungen E Mechanik Maximiere E 3 /E in Abhängigkeit von x, also m Minimiere den Nenner des Ausdrucks: 0! d [ ( ( + x) + z ) ] (x + )(x + z) ( z ) dx x x x Für x > 0 liefert nur der letzte Faktor eine Nullstelle, weil alle anderen Faktoren positiv sind. Diese liegt bei: x max z. Damit folgt: m x max m z m m m 3 3 kg,73 kg Alternativer Lösungsansatz: Aus v m m +m v folgt für den Stoß zwischen Kugel und 3 die Geschwindigkeit v 3 m m + m 3 v m m + m 3 m v nach dem Stoß. Die Energie von Kugel 3 ist proportional zu v 3, d.h. es genügt, das Maximum von v 3 bezüglich m zu bestimmen, was zum gleichen Resultat m m m 3 führt. b) Es gilt, mit E 0,5 JJ: E 3 6z ( + z) ( + z) E c) Beim direkten Stoß der ersten mit der dritten Kugel ist: E 3 6z ( + z) 4 E 0.863E 0,43 J. 4z ( + z) E 0.75E 0,37 J. Energieübertrag von m auf m 3 ist größer, wenn m m m 3 dazwischen geschaltet ist! 5