2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8 8) ) A(1 7), B(3 3) und C(9 4) Aufge 2 Zeige nhnd der neenstehenden Skizze, dss die Summe der Innenwinkel in einem Dreiek immer 180 ist: + + = 180 Aufge 3 Bestimme die Längen und Winkel in den folgenden Dreieken und vergleihe: Aufge 4 Konstruiere: ) ein gleihshenkliges Dreiek mit Bsis = 6 m und Shenkel = 5 m. Hinweis: Benutze einen Zirkel und zeihne zwei Kreise mit Rdius 5 m um die Ekpunkte der Bsis. ) ein gleihshenkliges Dreiek mit Bsis = 8 m und Bsiswinkel = 40 ) ein gleihshenkliges Dreiek mit Shenkel = 5 m und Shenkelwinkel = 40 d) ein gleihshenkliges Dreiek mit Bsis = 6 m und Shenkelwinkel = 50 e) ein gleihseitiges Dreiek mit den Seiten = 4 m. f) ein rehtwinkliges Dreiek mit den Ktheten = 3 m und = 4 m. g) ein rehtwinkliges Dreiek mit der Hypotenuse = 6 m und = 30 h) ein rehtwinkliges Dreiek mit der Hypotenuse = 7 m und der Kthete = 4 m. Hinweis: Benutze eine Tngente. Aufge 5 Zeihne ds Vierek ABCD in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel,, und δ und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(0 0), B(6 0), C(5 5), D(2 6) ) A(1 4), B(5 4), C(7 0), D(7 7) ) A(0 1), B(10 1), C(6 5), D(5 2) Aufge 6 δ Zeige nhnd der neenstehenden Skizze und mit Hilfe von Aufge 2, dss die Summe der Innenwinkel in einem Vierek immer 360 ist: + + + ε = 180 Aufge 7 Zeihne eventuelle Symmetriezentren und Symmetriehsen in die folgenden Viereke ein. Umkreise jeweils lle Viereke, Drhen, Ruten, Trpeze, Prllelogrmme, Rehteke und Qudrte, die du findest. (!) Drhen Rute Vierek Qudrt Trpez Prllelogrmm Rehtek 1
Aufge 8 Konstruiere die folgenden Viereke (Bezeihnungen siehe rehts): ) ein Trpez mit = 6 m, = 4 m, = 80, = 120 ) ein Prllelogrmm mit = 8 m, = 2 m, und = 60 ) ein Prllelogrmm mit = 4 m, = 5 m, und e = 7 m d) einen Drhen mit = 6 m, = 60 und = 4 m. e) einen Drhen mit = 5 m, = 2 m und e = 6 m f) einen Drhen mit e = 10 m, f = 5 m und = 40 g) eine Rute mit e = 10 m und f = 5 m h) eine Rute mit = 4 m und = 60 d f e δ Aufge 9 Rehne in die ngegeene Einheit um: ) 5 m 2 in dm 2, 13 dm 2 in m 2, 33 km 2 in h, 24 h in ) 2 km 2 3 h in h, 7 m 2 15 mm 2 in mm 2, 20 h 15 in ) 4 h 9m 2 in m 2, 4 km 2 19 in, 3 dm 2 78 m 2 in m 2. d) 730 dm 2 in m 2 und dm 2, 1250 mm 2 in m 2 und mm 2, 14360 m 2 in m 2, dm 2 und m 2, 54300 dm 2 in, m 2 und dm 2, 89771 m 2 in h, und m 2, 70060 h in km 2 und h Aufge 10 Wndle jeweils in die kleinere Einheit um: 3 m 2 + 41 dm 2, 17 m 2 + 1 dm 2, 8 dm 2 + 2 m 2, 9 dm 2 + 31 m 2, 5 m 2 + 5 m 2, 1 m 2 + 2 dm 2 + 5 m 2 Aufge 11 Bestimme den Fläheninhlt der rehts oen geildeten Figuren, wenn ein qudrtishes Kästhen 5 mm reit ist. zu Aufge 11 Aufge 12 Gi den Fläheninhlt der rehts oen geildeten Rehteke n, wenn ein qudrtishes Kästhen 1 mm zw. 1 m zw. 1 dm reit ist. Welhen Fläheninhlt ht ein Rehtek, ds 60 m reit und 50 m hoh ist? Aufge 13 Vervollständige die Telle: ) ) ) d) e) 4 m 5 m 23 mm 300 m 3 dm 30 m A 200 m 2 60 m 2 184 m 2 15 km 2 zu Aufge 12 Aufge 14 ) Fru Mier will die sehs Türen ihrer Wohnung nstreihen, die lle 2 m hoh und 82 m reit sind. Leider erhält sie nur Dosen, deren Inhlt für 12 m 2 reiht. Wie viele Dosen muss Fru Brun kufen, wenn sie die Türen uf eiden Seiten jeweils zweiml streihen will? ) Eine 3 m reite und 4 m lnge Vernd soll mit rehtekigen Pltten gepflstert werden. Die Pltten sind 25 m lng und 12 m reit. Eine Pkung mit 16 Stük kostet 8,90. Wie viel kosten die Pltten insgesmt? ) Die Fensterfront eines Bunglows soll neu verglst werden. Sie esteht us ht gleih großen Sheien, die 1500 mm reit und 2400 mm hoh sind. Für die Erneuerung der Sheien sind 78 pro m 2 zu ezhlen. Wie viel kostet die gesmte Fensterfront? d) Ein Lndwirt ut uf einem 3 m reiten Streifen um seine Felder nihts n, dmit Igel, Rehühner und seltene Pflnzen hier leen können. Wie viel Flähe verliert der Lndwirt ddurh von einem qudrtishen, ursprünglih 4 h großen Feld? Wie viel Flähe verliert er ei einem rehtekigen Feld von 500 x 80 m? Woher kommt der Untershied? 2
Aufge 15 Bestimme durh Azählen der Kästhen die Fläheninhlte der unten geildeten Figuren, wenn ein qudrtishes Kästhen 5 mm reit ist: Aufge 16 Berehne die Flähe der Dreieke us Aufge 4 Aufge 17 Zeige mit Hilfe der Skizze, dss ein Trpez mit den Seitenlängen und sowie der Höhe h den Fläheninhlt A = 1 ( + ) h ht. 2 h Aufge 18 Bestimme mit Hilfe der Skizzen den Fläheninhlt ) eines Prllelogrmms mit der Seitenlänge und der Höhe h uf ) eines Drhen mit den Digonlen e und f. Aufge 19 Berehne den Fläheninhlt der Viereke us Aufge 8 e f h Aufge 20 Zeihne ) ein konvexes Hexgon ) ein konkves Hexgon ) ein konvexes Heptgon d) ein konkves Heptgon Aufge 21 ) Bestimme die Summe der Innenwinkel in den folgenden regelmäßigen Polygonen. Hinweis: Wenn mn die Regelmäßigkeit (Symmetrie) der Figuren und Neenwinkel geshikt nutzt, muss mn jeweils nur einen einzigen Winkel messen! ) Fsse Deine Ergenisse in der folgenden Telle zusmmen und stelle eine Formel uf, mit der mn die Winkelsumme us der Zhl n der Eken erehnen knn: Ekenzhl 3 4 5 6 7 n Winkelsumme 3
Aufge 22 Beweise den Winkelsummenstz für ds unten geildete Sieenek nh der folgenden Anleitung 1. Durhwndert mn ds Polygon einml vollständig, so ht mn sih insgesmt genu einml um sih selst gedreht. 4 2. Wenn mn sih n der 1. Eke um 1, n der 2. Eke um 2, 4 n der 3. Eke um 3 usw. nh links gedreht ht, muss die 5 Summe der Außenwinkel lso ergeen: 5 3 1 + 2 + 3 + 7 = 3 3. Die Innenwinkel 1, 2, 3, sind die der Winkel 1, 2, 3,, d.h., 6 1 = 1, 2 = 2 usw. 6 4. Durh Einsetzen in die Summe der Außenwinkel erhält mn 2 2 1 + 2 + + 7 =. 5. Durh Auflösenerhält mn 1 + 2 + + 7 = 7 7 1 1 4
Aufge 1 ) = 60,0, = 46,8 und = 73,2 ) = 43,3, = 62,7 und = 70,0 ) = 42,9, = 107,1 und = 30,0 Aufgen 2 und 3 2.2. Lösungen zu den Aufgen zu Figuren Aufge 4 ) Höhe h = 4 m, Bsiswinkel = 26,9, Shenkelwinkel = 53,1 ) Höhe h = 3,35 m, Shenkel = 5,2 m, Shenkelwinkel = 100 ) Höhe h = 4,7 m, Bsis = 3,4 m, Bsiswinkel = 70. d) Höhe h = 3,57 m, Shenkel = 4,66 m, Bsiswinkel = 65 e) Höhe h = 4,47 m f) Hypotenuse = 5 m, = 26,9, = 53,1 g) Ktheten = 3 m und = 5,2 m, = 60 h) = 5,74 m, = 34,8, = 55,2 Aufge 5 ) = 71,6, = 55,5, = 119,7 und δ = 113,1 ) = 26,6, = 116,5, = 26,6 und δ = 190,3 ) = 11,3, = 135,0, = 63,4 und δ = 150,3 Aufgen 6 und 7 Aufge 8 ) ) ) d) 5
e) f) g) h) Aufge 9 ) 50 dm 2, 1300 m 2, 2200 h, 2400 ) 2030 h, 715 mm 2, 2015 ) 4 009 m 2, 4 019, 378 m 2 d) 7 m 2 30 dm 2, 12 m 2 50 mm 2, 1 m 2 43 dm 2 60 m 2, 5 43 m 2, 8 h, 97 71 m 2, 700 km 2 60 h Aufge 10 341 dm 2, 1701 dm 2, 802 m 2, 931 m 2, 50 005 m 2, 10 205 m 2. Aufge 11 1. Splte: lle 7 m 2 und 2. Splte: lle 5 m 2! Aufge 12 10, 20, 30, 50 und 8 17 = 136 mm 2 zw. m 2 zw. dm 2. Rehtek: A = 30 m 60 m = 1800 m 2 = 12 dm 2. Aufge 13 ) ) ) d) e) 4 m 5 m 200 m 23 mm 300 m 3 dm 40 m 30 m 80 m 50 km (!) A 120 m 2 200 m 2 60 m 2 184 m 2 15 km 2 Aufge 14 ) Die Türen hen eine Gesmtflähe von 6 200 m 82 m = 6 16400 m 2 = 6 164 dm 2 = 984 dm 2. Vorder- und Rükseite je zweiml streihen erfordert Fre für 4 984 dm 2 = 3936 dm 2, d.h. 4 Eimer für jeweils 12 m 2 = 1200 dm 2. ) Mn knn die Terrsse ohne Vershnitt mit 16 25 = 400 Pltten uslegen, ds mht dnn 25 8,90 = 222,50. ) Die Sheien hen eine Gesmtflähe von 8 15 dm 24 dm = 2880 dm 2 = 28,8 m 2 ds mht dnn 78 28,8 = 2246,40. d) Ds qudrtishe Feld ht eine Seitenlänge von 200 m. der Streifen ist dnn 200 m + 194 m + 200 m + 194 m = 788 m lng mit einer Flähe von3 m 788 m = 2364 m 2. Bei dem rehtekigen Feld ist der Streifen 500 m + 74 m + 500 m + 74 m = 1148 m lng und enötigt eine Flähe von 3 m 1148 m = 3444 m 2. Von llen Rehteken mit der Flähe 4 h ht ds Qudrt den kleinsten Umfng. Aufge 15: Ein Kästhen ht einnen Inhlt von 25 mm 2 ; vier Kästhen einen Inhlt von 100 m 2 = 1 m 2. Links: Oen: Sehsek: 375 mm 2, Fünfek: 175 mm 2, Sehsek: 375 mm 2, Sehsek links unten: 875 mm 2, Trpez rehts Mitte 300 mm 2, kleines Dreiek: 50 mm 2, großes Dreiek: 150 mm 2. Rehts: Oen: eide Dreieke 200 mm 2, Mitte: lle Dreieke 200 mm 2, Fünfek: 450 mm 2, Ahtek: 1050 mm 2. 6
Aufge 16 ) 12 m 2 ) 13,4 m 2 ) 16 m 2 d) 10,71 m 2 e) 8,94 m 2 f) 6 m 2 g) 7,8 m 2 h) 11,48 m 2 Aufgen 17 und 18 Aufge 19 ) 17,3 m 2 ) 13,84 m 2 ) 19,6 m 2 d) 23,52 m 2 e) 9,36 m 2 f) 25 m 2 g) 25 m 2 h) 13,86 m 2 Aufge 20 ) ) ) d) Aufgen 21 und 22 7