11 Glechgewcht und Elastztät 1
Objekte m Glechgewcht Studenobjekt snd Körper, be denen sowohl de resulterende Kraft als auch das resulterende Drehmoment Null snd ( I ) 0 ( II) τ 0 Geschwndgket des Massenschwerpunkts muss ncht notwendgerwese Null sen Warum snd solche Bedngungen für de Physk trotzdem nteressant? Man fndet kaum Stuatonen, n denen auf enen Körper kene Kräfte wrken. Telwese können de angrefenden Kräfte so groß werden, dass sch de Objekte stark verformen. Ene Kenntns der statschen Gegebenheten kann solche dynamschen Prozesse verhndern nwendung Statsche Berechnungen Technk: Gebäude, Brücken, Maschnen, ahrzeuge Medzn: Muskeln und Gelenke 2
Zahnspange Nahe dem Glechgewcht 80 80 Zugkraft 3 N ( 3N cos80 ) 0.35 N 2 3
Statsches Glechgewcht Erste Bedngung De Summe aller angrefenden Kräfte st NULL y z 0 0 0 Mestens reduzert sch de Rechnung auf en zwedmensonales Problem 4
Statsches Glechgewcht Erste Bedngung: Summe aller angrefenden Kräfte st NULL Komponenten von D,W entlang der Koordnatenachsen berechnen Deckenbefestgung D Dy D D cos 45 sn 45 y 45 45 g D Wandbefestgung W Wy 0 W W y-komponente 0 y D sn 45 g 50kg 9.81m/s² D 694 N sn 45 0 W D cos 45 694N cos 45 490 N W -Komponente 50 kg Der Draht, der den Kronleuchter hält, muss also wengstens en Gewcht von 694N/g71kg tragen können. g Gewchtskraft 50 kg 9.81m/s² 490.5N 5
Statsches Glechgewcht Zwete Bedngung De Summe aller angrefenden Drehmomente an jedem Punkt enes Körpers st NULL Summe der angrefenden Kräfte st NULL, aber de Summe der Drehmomente st unglech NULL. τ Iα 0 In zwedmensonalen Problemen und das snd praktsch alle, reduzert sch de nzahl der Glechungen auf dre. Dabe st das Koordnatensystems (,y) für de angrefenden Kräfte fre wählbar τ z y 0 0 0 m Glechgewcht der Drehmomente Verlagerung des uflagepunkts, d.h. Reduzerung von r erhöht das Drehmoment durch M enorm. R ändert sch dabe kaum r mgr r R M M mg R R M 6
Massenschwerpunkt De Gravtatonskraft auf enen Körper wrkt effektv auf enen ausgezechneten Punkt des Objektes, den Schwerpunkt (center of gravty, CG). Da heßt, dass wenn man de angrefenden Kräfte statt an Volumenelement an den Schwerpunkt anrefen lässt, ändert sch weder de resulterenden Kraft noch das resulterende Drehmoment. Wenn an alle Elemente des Körpers deselbe Gravtatonskraft angrefen, dann stmmt der Schwerpunkt mt dem Massenschwerpunkt (center of mass, CM) überen. Her vellecht ncht! Normalerwese kann man desen Untersched vernachlässgen. Es schadet aber nchts, dass enmal zu überprüfen 7
Bewes Im Gravtatonsfeld stmmen Schwerpunkt und Massenschwerpunkt überen y O SP SP g Betrachte Enzelelemente m m m τ g g Defnton des Schwerpunkts CM m g g τ res Betrachte Gesamtsystem τ g Zusammenhang haben wr schon SP CM qed M τ nnahme Desen enmal benutzt SP SP SP SP τ m g g M m g m M SP const g m m m g g 8
Muskelbelastung 0 r Bzep Bzep Bzep r r rm rm rm rm + r r Bzep r buch buch buch buch Bzep m + s² 0.04m 470 N ( 0.16m)( 2.5kg) 9.81 ( 0.38m)( 4.0kg) B m 9.81 s² Bzep rm + buch Kräfteverglech 470 N 9.81 ( 2.5kg + 4.0kg) m s² 7.37 9
Belastung der Wrbelsäule ünfter Lendenwrbel Muskel 12 cm Hebelarm 36 cm 12 cm Θ40 Muskel w Kopf ϕ12 w rm w Wrbel lv ünfter Lendenwrbel 10
Belastung der Wrbelsäule Es wrken kene resulterenden Drehmomente y 12 cm τ τ τ τ τ τ M M K W K + τ + τ + τ l k M l l l + τ K snϕ W sn Θw sn Θw sn Θw + τ W K M K W 0 0.174w τ 0 ( 0.48m)( sn12 ) M 0.01m ( 0.72m)( sn 40 )( 0.069w) ( 0.48m)( sn 40 )( 0.125w) ( 0.36m)( sn 40 )( 0.215w) M 0,044m w 0.080m w 0.050m w 36 cm 12 lv 12 cm Muskel 28 w Wrbel w rm w Kopf 40 40 12 28 Gewchtsantele m menschlchen Körpers Kopf 6.9 % rme 12.5 % Oberkörper 21.5 % Unterkörper 9.6 % üße 3.4 % Damt kann de Kraft, de der Muskel beretstellen muss, berechnet werden τ K + τ + τw 0.174m w M 1. 74w l snϕ 0.01m M 11
Belastung der Wrbelsäule τ K + τ + τw M 1. 74w l snϕ M Heben enes zusätzlchen Gewchtes z.b. Paket von 30 kg (Körpergewcht 70kg) Drehmoment des rms neu berechnen τ τ τ l sn Θ( w + wp ) ( 0.48m)( sn 40 )( 0.069 + 0.43) 0.154m w M 2. 52w w y 36 cm 12 lv 12 cm 12 cm Muskel 28 w rm w Wrbel w Kopf 40 40 12 28 0 V M cos 28 2.23w Vy -Komponente y-komponente 0 y Vy Vy M sn 28 w 0.88w K w w W 2 2 V V + Vy 2. 40w Kraft auf den Lendenwrbel also mehr als das doppelte Körpergewcht 12
Elastztät V ΔV (II) Hydraulscher Druck (I) Dehnung oder Kompresson L + ΔL (III) Scherung Δ L 13
(I) Dehnung Zugspannung Dehnung Neben der Längenänderung erfolgt auch ene bnahme des Querschntts. ür ene quadratsche Probe ergbt sch be gerngen Änderungen näherungswese 2 ΔV ΔV ΔV Kraft pro läche σ Δl ε l Spannung Modul Dehnung ΔL E L Elastztätsmodul oder Youngscher Modul Enhet 1 N/m² 1Pa gebräuchlch GPa bzw MPa ( d Δd ) ( l Δl) d ² l 2 d ² l 2dlΔd + ( Δd ) l + d ² Δl 2dΔlΔd + ( Δd ) d ² Δl 2dlΔd σ Eε Hooksches Gesetz grüne Terme werden vernachlässgt klene Änderung mal klene Änderung! 2 Δl d ² l Längenänderung durch Orgnallänge Thomas Young 1773-1829 Δd Querkontrakton ε q d ε q Querkontraktonzahl μ ε Possonzahl μ; (alt) μ 1/ μ (neu) ΔV V d² Δl 2dlΔl d² l Δl l Δd 1 2 d Δ l l 1 ΔV V ( 1 ) ε 2μ 14
Messung des Elastztätsmoduls Messfühler wrd an Untersuchungsobjekt angeheftet Dehnung des Messfühlers bewrkt ene Änderung des elektrschen Wderstandes R. ΔR R const E Grosse Empfndlchket für gernge bmessungen und en klenes Elastztätsmodul 15
Elasttzätsmodul E: Elastztätsmodul μ: Querkontraktonszahl R m : Zugfestgket : Bruchdehnung De Werte für das Elastztätsmodul überdecken vele Größenordnungen Werte zum Tel nur gültg nahe Raumtemperatur sowe gernger, langsamer Beanspruchung Zum Tel auch ncht genau defnert 16
(II) Kompresson V llsetger Druck (Gas, lüssgket) bewrkt ene Volumenänderung Δp K ΔV V Hooksches Gesetz für de Kompresson ΔV K nennt man man das Kompressonsmodul Enhet [N/m²] üblcherwese n GPa oder MPa angegeben Spezalfälle μ1/3: KE (z.b. lumnum, Es) μ>1/3: K>E μ<1/3: K<E Zusammenhang zum Elastztätsmodul E Δp ε 3 E ΔV 3Δp V E VΔp E K ΔV 3 ( 1 2μ) ( 1 2μ) aktor 3: Druck wrkt von allen Seten auf den Körper en ΔV V ( 1 ) ε 2μ 17
(III) Scherung Tantentalspannungen γ ε γ Schubspannung τ Gγ Scherung des Körpers Im Gegensatz zum Elastztätsmodul E, dem Kontraktonsmodul K und der Querkontraktonszahl μ lässt sch das Schermodul G ncht aus bekannten E, μ oder E, K oder K, μ herleten Torson wrd ebenfalls durch ene Schubspannung verursacht. In der Lteratur wrd das zugehörge Schubmodul deshalb auch als Torsonsmodul bezechnet. E μ K G Zusammenhang zwschen den elastschen Konstanten 18
Elastsche Modul Materal Elastztätsmodul Schermodul Kompressonsmodul GPa GPa GPa estkörper Esen 100 40 90 Stahl Blech lumnum Beton Sten Marmor Grant Holz Nylon Knochen 200 80 140 100 35 80 70 25 70 21 14 50 70 45 45 1 5 15 80 lüssgketen Wasser 2 lkohol Queckslber 1 2 Gase Luft, H 2, 10-4 Helum, CO 2 19
Spannungs-Dehnungsdagramm ncht-lneares Verhalten permanenter Verformung des Materals lneare Verformung des Materals ΔL L 20
Knochenbrüche jensets der Elastztätsgrenze Bem Torsonsbruch legt der Bruchpunkt am nedrgsten. Erfahrungswert 120 Nm führen zum Bruch des Oberschenkelknochen z.b. Kraftenwrkung von 100 N auf de Sksptze be fertem uß 21
Statk von Gebäuden 22
Entwcklungsgeschchte 23
Statk von Gebäuden ntke, Grechenland Brete des zu überspannenden Raumes lmtert durch de Größe der Stene. Durch das Gewcht ergbt sch ene zusätzlche Beanspruchung durch Kompresson, de es verhndert, dass größere bstände der Pfeler realsert werden können. Das Baumateral Sten hat aber nur en gernges Modul bezüglch Spannung und Scherung. Parthenon, then Erste Innovaton: ntke, Rom Halbkresförmger Torbogen Panthenon, Rom Im Halbkresbogen wrd m Wesentlchen en Kompressonsdruck erzeugt. Dadurch werden vertkale Kräfte n horzontale Kräfte transformert. llerdngs stmmt de Rchtung der enwrkenden Gewchtskraft ncht mehr mt der Rchtung des Druck überen. Das hat zur olge, das de Seten nach außen gedrückt werden und das Zentrum de Tendenz zegt enzustürzen. 24
Sptzbogen Zwete Innovaton ca. 1100 n. Chr. Jede Sete des Bogens st en usschntts enes Kressegments. Dadurch wrd der Bogen schmaler. Zusätzlch stmmt de Rchtung der Krompressonsdrucks besser mt der enwrkenden Gewchtskraft überen. Gotsche Kathedrale, mens, erbaut 1220 n. Chr. 25
Sptzbogen Rechnung für jewels de ene Hälfte enes Bogens Gesucht: Kraft nach außen am uß des Bogens g g g g 0 0 R V H 2R 2R R R V g H R / 2 Statsches Glechgewcht R Summe der Drehmomente ergbt NULL g RH 0 R V 2 R g RH 0 R g 2 1 horzontale Belastung g halbert sch 2 H 2R R / 2 V R g 2 2R R g 2 2R 1 g 4 H H H 26
Kuppeln Kuppeldurchmesser 23 m Kathedrale von lorenz, 1296 n. Chr. Problem der Baumester: De Konstrukton st nur unter Druck stabl, d.h. erst wenn der letzte Sten engesetzt st. Lösung durch schchtweses aufbauen der Kuppel. Innerer Rng stablsert de Konstrukton 27
lachkuppeln bmessungen Stahlbetonkuppel Durchmesser 60 m Höhe 21 m Gewcht der Kuppel 10 6 kg nzahl der Y-förmgen Stützpfeler 36 Wnkel 38 Palazzetto dello Sport, Rom, 1956/57 vertkale Belastung 6 ( 10 kg) 1 V 9.81 36 horzontale Belastung m s² 2.73 10 6 N H H 6 V 2.73 10 N tan Θ 0.781 6 3.5 10 N Ncht schtbarer vorgespannter Rng rund um den Bau stablsert den Bau 28