Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder, falls erforderlich! a : a 4 6 b : 0;;;3;4;... c : ; 4; 6; ; 4;... d : d d ; d e : e e e ; e f : f a() 8 7 6 5 4 3 3 4 5 - () Bestimme Sie die allgemeie Bildugsvorschrift der arithmetische Folge! a : 5; 3; ;;3;... b : 0;;;3;4;... c : ; 4; 6; 8; 0;... d : d d ; d 3 e : e e ; e a() 9 8 7 6 5 4 3 f : f 3 4 5 (3) Bestimme Sie die allgemeie Bildugsvorschrift der arithmetische Folge! a) Die Summe des dritte ud siebte Gliedes ergibt 5, die Summe des dritte ud eute Gliedes ergibt 6. b) Die Summe der erste drei Glieder eier steigede arithmetische Folge beträgt 5, die Summe ihrer Kehrwerte 59/45. c) Vo eier arithmetische Folge ist die Summe aus dem 5. ud. Glied 58, die Summe aus dem 6. ud 4. Glied beträgt 80. d) Vo eier fallede arithmetische Folge ist die Summe aus dem 3. ud 5. Glied gleich Null, die Summe aus dem 3. ud 4. Glied ist gleich der Nummer des dritte. e) Die Summe der erste 5 Glieder eier steigede arithmetische Folge beträgt 35, die Summe des erste ud füfte Gliedes ist 4. f) Das achte Glied der Folge hat de Wert 0, das zwölfte Folgeglied ist 3.
(4) Bereche Sie jeweils die erste füf Teilsumme der Summefolge! Addiere Sie dazu die ötige Azahl der erste Folgeglieder! a : a b : b c : c ;;3;;;3;... e : e d : d d ; d (5) Bestimme Sie die Summeformel ud bereche Sie jeweils die 00. Partialsumme! Lese Sie die beötigte Parameter a ud d ab ud bereche Sie s 00 mit der allgemeie Summeformel für arithmetische Reihe! a : a b : b 3 4 5 c : c ; ; ; ; ;... 0 0 0 0 0 d : d d ; d 0 e : e 5 (6) och ei paar Textaufgabe a) Eie mit 5 begiede arithmetische Folge hat die Partialsumme s 5 = 85. Gebe Sie eie Bildugsvorschrift für diese Folge a! b) Die dritte Partialsumme eier arithmetische Folge beträgt s 3 = 48, die sechste Teilsumme hat de Wert 05. Bereche Sie die siebte Partialsumme! c) Für jede gute Note i Mathematik wird die kleie Ai aus der 4. Klasse fiaziell stimuliert: sie erhält eie Euro für die erste gute Note, zwei Euro für die zweite, drei Euro ud so weiter. Welche Betrag ka sich Ai auf diese Weise durch 0 gute Note zusammespare? Wie viele gute Note (vielleicht auch i adere Fächer) wäre otwedig, um 00 zusammezuspare? d) Bereche Sie die Summe der gerade Zahle vo 900 bis 000! e) Bereche Sie die Summe der erste 00 Vielfache vo 00 (begied ab 00)!
Lösuge zum Arbeitsblatt ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bei arithmetische Folge ist die Differez d zwische beachbarte Folgeglieder immer gleich. Im Diagramm liege die Pukte eier solche Folge auf eier Gerade. Arithmetische Folge sid mit lieare Fuktioe verwadt. Arithmetisch sid somit die Folge (a ), (b ) ud (e ) sowie beide im Koordiatesystem dargestellte Folge. Hiweis: d ;3;5;9;7;... ; e = ;;0; ; ;... () Bestimme Sie die allgemeie Bildugsvorschrift der arithmetische Folge! Die allgemeie Bildugsvorschrift, welche für jede arithmetische Folge gilt, ist a a d. Es muss also das erste Folgeglied a abgelese ud die Differez d bestimmt werde, um die Bildugsvorschrift zu ermittel (falls ma sie icht ablese ka). a 5 ; d a 5 7 b 0 ; d b 0 c ; d c d ; d a 3 3 3 e ; d a 3 3 f blau rot 0,5 0,5
(3) Bestimme Sie die allgemeie Bildugsvorschrift der arithmetische Folge! a) Die Summe des dritte ud siebte Gliedes ergibt 5, die Summe des dritte ud eute Gliedes ergibt 6. Der Uterschied zwische dem siebte ud dem eute Folgeglied macht i der Summe eie Vergrößerug um de Wert 0 aus. Daraus ka ma ableite: d = 5 Nu wede wir die Formel für arithmetische Folge (siehe.) a: a a 5 a d a 6d a 8d 5 a 6 a 5 d 5 3 7 b) Die Summe der erste drei Glieder eier steigede arithmetische Folge beträgt 5, die Summe ihrer Kehrwerte 59/45. Zuächst die Summe der erste drei Folgeglieder: a a a 5 3a 3d 5 a 5 d a a d ; a 3 a d umstelle 3 Wir bilde u die Summe der Kehrwerte ud ersetze a durch 5-d (das fuktioiert wie beim Eisetzugsverfahre für Gleichugssysteme): 59 a a a 45 3 59 5d 5dd 5 dd 45 59 5d 5 5 d 45 0 5 d 5 d 9 Nu muss ur och die uageehme Bruchgleichug gelöst werde. Wir mache gleichamig ud lese da ab: 0 5d 5 d 9 5 d 5 d 0 5 d 5 d 9 0 0 5 d 9 d 4 Aus a = ud d = 4 erhält ma die Bildugsvorschrift a = 4 3. c) Vo eier arithmetische Folge ist die Summe aus dem 5. ud. Glied 58, die Summe aus dem 6. ud 4. Glied beträgt 80. a5 a 58 a 4d a 0d 58 a 4d 58 a a 80 a 5d a 3d 80 a 8d 80 6 4 Subtrahiert ma i userem Gleichugssystem die obere vo der utere Gleichug, ergibt sich die Differez 4d = also d = 5,5. Daraufhi bestimme wir a = -9,5. Die Bildugsvorschrift lautet also: a = 5,5-5
(3) Fortsetzug d) Vo eier fallede arithmetische Folge ist die Summe aus dem 3. ud 5. Glied gleich Null, die Summe aus dem 3. ud 4. Glied ist gleich der Nummer des dritte. a3 a5 0 a d a 4d 0 a 6d 0 a a 3 a d a 3d 3 a 5d 3 3 4 Das Subtraktiosverfahre (wie ebe) liefert jetzt d = -3, daach erhalte wir a = 9. Die Bildugsvorschrift lautet also: a = -3 + e) Die Summe der erste 5 Glieder eier steigede arithmetische Folge beträgt 35, die Summe des erste ud füfte Gliedes ist 4. a a... a5 35 5a 0d 35 :5 a d 7 : a a 4 a 4d 4 a d 7 5 Ups! Beide Gleichuge useres Systems sid idetisch. Es gibt also keie eideutige Lösug, soder uedlich viele Möglichkeite (ist ja fies ). Wählt ma d = 3, müsste a = sei. Es geht aber auch d = ud a = 5 usw. Im erste Fall lautet die Bildugsvorschrift übriges a = 3 ; die zweite Variate liefert die abv a = + 4. Weitere Lösuge sid freiwillig Zum Schluss och etwas eifaches: f) Das achte Glied der Folge hat de Wert 0, das zwölfte Folgeglied ist 3. a8 0 a 7d 0 d 3 a 3 4 a 3 a d 3 a
(4) Bereche Sie jeweils die erste füf Teilsumme der Summefolge! Für die Summe der erste Glieder eier beliebige arithmetische Folge gibt es eie ette Formel, welche auch Summeformel geat wird. Sie lautet: s a d Wer die eizele Folgeglieder icht ausreche will, ka diese Formel awede. Nur bei icht-arithmetische Folge müsse wir die ötige Azahl der erste Folgeglieder addiere, weil es für sie (och) keie Summeformel gibt. a : a 3 ; d s 3;7;;8;5;... b : b ; d s ;4;9;6;5;... c : c ;;3;;;3;... s ;3;6;7;9;... d : d ; differez s ;3;3;;0;... e : e ; d s ; 3; 6; 0; 5;... (5) Bestimme Sie die Summeformel ud bereche Sie jeweils die 00. Partialsumme! Lese Sie die beötigte Parameter a ud d ab ud bereche Sie s 00 mit der allgemeie Summeformel für arithmetische Reihe! Für die Summe der erste Glieder eier beliebige arithmetische lautet die Summeformel wie wir scho wisse: s a d Daraus folgt: s 00a 00 99 d 00 00 a : a 3 ; d s 003 00 99 550 b : b ; d s 00 00 99 0000 00 c : c ; d s00 00 00 99 505 0 0 0 0 d : d 0 ; differez s 00 0 00 99 9900 00 e : e 4 ; d s 00 4 00 00 99 4550
(6) och ei paar Textaufgabe a) Eie mit 5 begiede arithmetische Folge hat die Partialsumme s 5 = 85. Gebe Sie eie Bildugsvorschrift für diese Folge a! s a d s 55 5 4d 85 750d 85 d a 4 a 5;d 5 (Nebe der Summeformel wede wir auch die allgemeie Bildugsvorschrift für arithmetische Folge siehe obe a.) b) Die dritte Partialsumme eier arithmetische Folge beträgt s 3 = 48, die sechste Teilsumme hat de Wert 05. Bereche Sie die siebte Partialsumme! s3 3a 3d 48 3a 3d 48 a 6 d s 6a 65d 05 6a 5d 05 6a 5d 05 6 d 66 d 5d 05 s7 75 76 6 a 6 d 5 (Auch hier wurde die rote Summeformel agewedet. Ma beachte, dass durch die Agabe s 3 = 48 gleich zwei Werte auf eimal gegebe sid, die eigesetzt werde: s 3 = 48 ud = 3!) c) Für jede gute Note i Mathematik wird die kleie Ai aus der 4. Klasse fiaziell stimuliert: sie erhält eie Euro für die erste gute Note, zwei Euro für die zweite, drei Euro ud so weiter. Welche Betrag ka sich Ai auf diese Weise durch 0 gute Note zusammespare? Wie viele gute Note (vielleicht auch i adere Fächer) wäre otwedig, um 00 zusammezuspare? Die zugrude liegede arithmetische Folge ist: a = {;;3; } (die Folge der atürliche Zahle mit a = ud d = ). Dere Bildugsvorschrift war a =. Beim Spare wird die Summe berechet. Die Sparbeträge (= Summefolge) ergebe mit jeder gute Note: s = {;3;6;0; }. Für de gewüschte Sparbetrag fehlt us die Azahl der gute Note: s 00 00 00 0 4,65, 4 00 3,65 4 Also schafft Ai mit ur 3 gute Note och icht gaz 00 Euro, aber bei 4 gute Note ergibt die Summe da sogar mehr als de gewüschte Betrag (05 ).
(6) Fortsetzug d) Bereche Sie die Summe der gerade Zahle vo 900 bis 000! Die gerade Zahle bilde bekatlich eie arithmetische Folge mit d =. I userem Beispiel soll sei: a = 900 ud a = 000. Leider kee wir die Azahl (die Nummer des Folgegliedes mit dem Wert 000) icht. Hier hilft us och eimal die allgemeie Bildugsvorschrift außer ma dekt selbst: a a d 000 900 5 Zur Abwechslug wede wir mal eie adere Summeformel a, damit es icht lagweilig wird so hätte es auch der kleie Gauß gemacht: 5 s a a s5 900 000 99450 e) Bereche Sie die Summe der erste 00 Vielfache vo 00 (begied ab 00)! Die hier beschriebee Folge lautet: a : 00;00;300;400;...;00;... Das 00ste Vielfache vo 00 (das 00ste Folgeglied) ist damit 0000. Ud weil der Recheweg ebe so schö eifach war: 00 s a a s00 00 0000 505000