Analysis I. Vortragender: Gerald Teschl. Mitschrift von Melita Šuput. a Wintersemester 2013

Anlysis I Vortrgender: Gerld Teschl Mitschrift von Melit Šuput 20272 Wintersemester 203 Quellen: Teschl: Mthemtik für Informtiker, Tylor: Foundtions of Anlysis

0 Logik Definition: Eine Aussge (=) ist ein Stz, von dem mn eindeutig unterscheiden knn ob er whr oder flsch ist. Definition: Die Verneinung (oder Negtion) einer Aussge ist genu dnn whr, wenn die Aussge flsch ist. Symbolisch: ā ( ). ( < 5) = ( 5) Definition: UND-Verknüpfung (Konjunktion) b ist genu dnn whr, wenn und b beide whr sind. ODER-Verknüpfung (Disjunktion) b ist genu dnn whr, wenn mindestens eine der Aussgen oder b whr ist. ENTWEDER/ODER-Verknüpfung XOR b ist genu dnn whr, wenn genu eine der Aussgen und b (ber nicht beide!) whr ist. Whrheitstbelle: ā 0 0 b b b XOR b 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Definition: Ersetzt mn in einer Aussge eine Konstnte durch eine Vrible, so entsteht eine Aussgeform. Beispiel: 2 < 5 und 2 + = 5 Definition: ALL-Aussge Für lle (us einer bestimmten Menge) ist () whr. : () (...All-Quntor) EXISTENZ-Aussge Es gibt mindestens ein (us einer bestimmten Menge), sodss () whr ist. : () (...Eistenz-Quntor) Stz: Verneinung von All- und Eistenz-Aussgen : () = : (); : () = : () Definition: WENN-DANN-Verknüpfung (Subjunktion) b GENAU-DANN-Verknüpfung (Bijunktion) b Impliktion b (us folgt b; ist hinreichend für b; b ist notwendig für ) ā b b ā b b b b ( b) (b ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Mengen und Funktionen. Mengen und Funktionen Sets Menge A A= {,2,3} Element A B = { A : ()} Beispiel: (0, 3) = { R : 0 < < 3}; [0, 3) = { R : 0 < 3}; [0, 3] = { R : 0 3} Teilmenge A B A : B; A B A B A B Leere Menge φ, {} Vereinigung A B = { : A B} Durchschnitt A B = { : A B} Beispiel: A = [, 3], B = (, 5); A B = (, 3], A B = [, 5) A = { A A : A} 2 ; A = { A A : A}; A = {A, A 2, A 3, A 4 }, A = A A 2 A 3 A 4 Beispiel: A = {[s, 2] 0 < s <, s R} Ist A = [, 2]? Beweis: [, 2] [s, 2], 0 < s < ; [, 2] A A A Angenommen A und / [, 2] (i) < (0 < < ); (ii) > 2 (ii) ist nicht möglich, d > 2 nicht mehr in dem Intervll [,2] ist. s 0 = + 2 < : / [s 0, 2] / A 3 A = B A B B A Dmit ist (i) uch nicht möglich. A = (0, 2] wird ähnlich wie beim vorngegngenen Beispiel bewiesen. Komplement A\B = { A / B}; B c = \B A: Element us A, für die gilt 2 A ist eine Kollektion von Mengen; Zusmmenfssung von Mengen 3 Hier wurde der Mittelwert gebildet und s 0 ist so gewählt, dss es größer ls und kleiner ls ist wobei ebenflls kleiner ls ist

Beispiel: = R; [ 2, 2] c = (, 2) (2, ) Funktionen Definition: Eine Funktion f : A B ist eine Vorschrift die jedem Element A ein Element f() B zuordnet. f(e) = {f() E} Bildmenge von E A B Wertebereich Injektiv : y f() f(y) Surjektiv : f(a) = B Bijektiv 4 : Injektiv Surjektiv Beispiel: f : R R, f() = 2 ; 2 = Bild 2 = { 0 R R weder surjektiv noch injektiv R [0, ) surjektiv [0, ) R injektiv [0, ) [0, ) bijektiv Verkettung: g : A B, f : B C (f g)() = f(g()); f g : A C Urbild: f (E) := { A f() E} f() = 2 ; f ({0}) = {0} 5, f ({ }) = φ, f ({}) = {, +} Stz..6.: Sei f eine Funktion mit f : A B und E, F B, dnn gilt: () f (E F ) = f (E) f (F ) (b) f (E F ) = f (E) f (F ) (c) f (E\F ) = f (E)\f (F ) flls F E Beweis: () ((b) und (c) nlog!) f (E F ) f() E F f() E f() F f (E) f (F ) f (E) f (F ) Stz..7.: Sei f eine Funktion mit f : A B und E, F A, dnn gilt: () f(e F ) = f(e) f(f ) (b) f(e F ) f(e) f(f ) 4 Bijektive Abbildungen sind immer umkehrbr! 5 ds soll heruskommen, ds kommt herus

(c) f(e)\f(f ) f(e\f ) flls F E Beweis: (c) (() und (b) nlog!) y f(e)\f(f ) y f(e) y = f() mit E y / f(f ) / F y f(e\f ) Beispiel: f() = 2, f : R R E = (0, ) und F (, 0) E F = φ disjunkt f(e F ) = φ f(e) = f(f ) = (0, ) f(e) f(f ) = (0, ) Krthesisches Produkt A B = {(, b) A, b B}, A B C = {(, b, c) A, b B, c C} f : A B; Γ(f) 6 = {(, f()) A} A B.2 Die ntürlichen Zhlen N: Es gibt ein Element N N2: n N eistiert genu ein Nchfolger s(n) N3: ist kein Nchfolger von irgendeinem Element ( 2 3 ) N4: Zwei Elemente hben genu dnn den gleichen Nchfolger, wenn sie gleich sind: s(n) = s(m) n = m N5: Flls A N mit A und bgeschlossen unter Nchfolgern ist (n A s(n) A, wenn n drinnen ist dnn ist uch der Nchfolger drinnen), dnn gilt A = N, s(), s(s()), s(s(s())),... Stz.2..: Angenommen } {P n } ist eine Folge von Aussgen, für jedes n gibt es eine Aussge P n n N, flls P whr ist 7 P n P Induktion s(n) dnn ist P n für lle n N richtig Induktive Definition: X und f n : X X gegeben s(n) = f n ( n ), f ( ), f 2 ( 2 ) 2 3 Definition.2.4.: Sei m N, dnn ist: m + = s(m) m + s(n) = s(m + n) Beweis durch Induktion Beispiel: Jede Zhl der Form 5 n 2 n mit n N ist durch 3 teilbr Induktionsnfng: n = : 5 2 = 3 n n + : 5 n+ 2 n+ = 5 n+ 5 2 n + 5 2 n 2 n+ = 5 (5 n 2 n ) + 2 n (5 2) = 5 (5 n 2 n ) + } 2 n {{ 3 } durch 3 teilbr durch 3 teilbr Beispiel: Seien = und n+ = n + zu zeigen: < 2 < 3 < 4 <... < 2 P : < 2 < 2, P n : n < n+ < 2 Induktionsnfng P : < 2 < 2 Überprüfung: /2 < 2 < 4 6 Grph von f; Grph der Funktion 7 P n ist richtig, deswegen ist P s(n) richtig

Induktionsschritt: n < n+ < 2 n + < n+ + < 3 P n+ : n+ < n+2 < 3 < 2 Definition: Binomilkoeffizient ) := n! k! (n k)!, 0 k n n, k N 0 ( n k 0! :=,! :=, n! := n (n ) (n 2)... (n + )! = (n + ) (n)! = (n + ) (n) (n )! = (n + ) (n) (n ) (n 2)!. = (n + ) (n) (n )...! Stz.2.2.: Binomilformel ( + y) n = n ) k y n k ( n k Beweis: Induktion nch n N Induktionsnfng n = : + y = Induktionsschritt: n n + : ( + y) n = n ( + y) n+ = ( + y) n = n ( n k) k+ y n k + n z.z.: ( + y) n+ = n+ ( n+ k ( n k ( n ) k k y n k ( n ) k k y n+ k ) k y n+ k ( k) k y k = ( 0 Indeverschieben n+ ) k y n+ k + n ( ) = ( n n k ) k y n+ k 0 y n+ + = n+ :=0 ) 0 y + ( ) y 0 =! } 0! {{! } = ( n ) k k y n k / ( + y) ( n ) k k y n+ k [ ( n ( k ) + n ) ] k k y n+ k Ist ( ) [ n+ ( k = n ( k ) + n k) ]? ) ( = n+ ) z.z.: ( n k ) + ( n k k ( ( n ) n k k y n+ k ) n+ y 0 n + :=0 y +!! 0! 8 = = y +.3 Gnze und rtionle Zhlen Definition.3..: Kommuttiver Ring 9 (mit eins) 0 Menge R Addition R R R; (, b) + b Multipliktion R R R; (, b) b A. (Kommuttivgesetz) + b = b +, b R A2. (Assioztivgesetz) + (b + c) = ( + b) + c, b, c R 8 Hier drf k weder kleiner 0 sein noch größer ls n 9 Ring bedeutet, dss ds inverse Element bezüglich der Multipliktion fehlt 0 siehe M3

A3. (Identität) 0 R : + 0 = R A4. (Inverses Element) R ( ) R : + ( ) = 0 M. (KG) b = b M2. (AG) (b c) = ( b) c M3. (ID) : = D. (Distributivgesetz) (b + c) = b + c Beispiel.3.2.: F ein Ring,, y, z F () + z = y + z = y (b) 0 = 0 (c) ( ) y = ( y) z.z.: () + z = y + z / + ( z) +z + ( z) nch A4 =0 + 0 = y + 0 nch A3 = y +z + ( z) =0 = y (b) 0 + 0 = 0 / nch A3 (0 + 0) = 0 0 + 0 nch D } 0 {{ = 0 } nch () = 0 / 0 Definition.3.3.: Ein Körper is ein kommuttiver Ring in dem zusätzlich M4(INV) 0 : = gilt Beispiel: F = {0, } + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Definition: Rtionle Zhlen Q = { n m n Z, m Z\ {0}} Äquivlenzreltion: n m = n m : n m = n m n m + n m := n m+n m m m n m n m := n n m m Stz: Q ist ein Körper 2 Die Ordnung uf Q p q n n m m p q Q n q m p m q 0 0 Definition.3.6.: Ein geordneter Körper F ist ein Körper F mit einer Ordnung : O. y oder y Ddurch, dss es sonst kein Additives Inverses zu geben würde, muss n der mrkierten Stelle eine 0 stehen. Z 2 2 eng. Field

O2. y und y = y O3. y und y z z (Trnsitiv) O4. y + z y + z O5. y, 0 z z y z Stz.3.9.: Sei k N und Q mit 2 = k. Dnn ist N, wenn 2 = k eine rtionle Lösung ht. Beweis (durch Widerspruch): Angenommen 2 = k mit Q ber / N, k N; = m n n m 2 n 2 = k m 2 = k n 2 p : Primzhl mit p teilt n p teilt n 2 p teilt k n 2 p teilt m 2 p teilt m zu m und n Teilerfremd Annhme Q\N flsch Folgerung: 2 / Q mit m und n Teilerfremd3 und.4 Die reellen Zhlen Dedekind-Schnitte L r = { Q < r} = (, r) Q, r Q L 2 = { Q 2 < 2} { Q < 0} = (, 2) Q Definition.4..: Eine Teilmenge L Q heißt Dedekind-Schnitt, flls folgende Bedingungen erfüllt sind: () L Q und L φ (b) L besitzt kein größtes Element { m L : m L} (c) Flls L y L y mit y < L + L = {r + s r L, s L} Q L L 4 = {r s r L, s L} Ds Vollständigkeits-Aiom Angenommen, F sei ein geordneter Körper, dnn heißt eine Menge A F nch oben beschränkt, flls ein m F eistiert mit m für lle A. Beispiel: A = (0, 2), kleinste obere Schrnke m = 2; A = (0, ) nch oben unbeschränkte Menge; A = (0, 2], m = 2; A = (0, 2) in den reellen Zhlen ist 2 kleinste obere Schrnke, in den rtionlen Zhlen gibt es keine kleinste obere Schrnke Definition.4.3.: Ein geordneter Körper heißt vollständig, flls C. 5 jede nch oben beschränkte Menge eine kleinste obere Schrnke ht. Stz.4.4.: R ist vollständig Beweis 6 : A R nch oben beschränkt (durch m) 3 Keine gemeinsmen nicht trivilen Teiler 4 L und L müssen beide ds gleiche Vorzeichen hben, weil es sonst Probleme gibt mit r s 5 The Completeness Aiom 6 Nicht kompletter Beweis, eher eine Idee

Behuptung: L = AL 7 ist kleinste obere Schrnke von A L ist Dedekind scher Schnitt: L = L y mit y R A : L L y y Angenommen m obere Schrnke und m < y: Widerspruch, d ddurch m in L ist und deswegen kleiner wäre / sein könnte. Drum wählen wir y m Definition.4.7.: Ein geordneter Körper heißt rchimedisch, flls für lle F ein n N eistiert mit < n. Stz.4.8.: Die reellen Zhlen sind rchimedisch Beweis (durch Widerspruch): Angenommen : n N : n < N ist nch oben beschränkt C b : kleinste obere Schrnke von N b ist keine obere Schrnke n N mit b < n / + b < n + Beispiel: > 0 n N : n < Beweis: < n > n.5 SUP und INF Stz.5..: Jede nichtleere nch unten beschränkte Menge besitzt eine größte untere Schrnke. A = { A} A, B R A ± B = { ± b A, b B} Beweis: Betrchte A = { A} Erweiterte reelle Zhlen R {, + } ± + = ± R ± = ± > 0 + =? = 0 R 0 =? 0 =? =? sup(5, + ) = + Definition.5.2.: Sei A R, dnn ist: { sup A = kleinste obere Schrnke flls A nch oben beschränkt ist + sonst { inf A = größte untere Schrnke flls A nch unten beschränkt ist sonst 7 L ist die Vereinigung von L

Bemerkung: inf A = sup ( A) Beispiel: A = (, ] inf A =, sup A = + B = (, 5) inf B =, sup B = +5 C = { n2 n+ n N} Vermutung: inf C = 0, sup C = n 2 n+ = n + n n 2 sup C = n 2 n+ 2 inf C = 2 = min C D = { n n N} n sup D = = m D n > 0 inf D = 0 D besitzt kein Minimum, d 0 nicht in der Menge enthlten ist (mn nähert sich ihr nur symptotisch). Ds Infimum muss nicht ngenommen werden. Stz.5.7.: () inf A sup A (b) sup(a + B) = sup A + sup B (c) sup(a B) = sup A inf B (d) sup( A) = inf (A) und inf( A) = sup (A) (e) A B sup A sup B und infb inf A SUP und INF für Funktionen Erinnerung: Sei f : X R und A X, dnn ist f(a) = {f() A} Definition.5.8.: sup A f = sup f(a) und inf f = inf f(a) A Beispiel: () f() = sin(), I = [ π 2, π 2 ) f(i) = [, ) sup f = ; inf f = I I min I f (b) f() = ; I = (0, ) f(i) = (0, ) inf f = 0; sup f = I I Kein Mimum und Minimum; 0 wird nur symptotisch erreicht. Stz.5.0.: () sup c f = c A sup A f und inf c f A (b) sup ( f) = inf (f) A A (c) sup f+g A sup A f + sup A g (d) sup{f() f(y) :, y A} = sup A f = c inf f A und inf A f + inf A g inf A f c > 0 inf (f+g) A

2 Folgen 2. Grenzwert von Folgen Definition Betrg: { = 0 <0 Abstnd zwischen und ist kleiner ɛ: < ɛ Stz 2...: () y < ɛ ɛ < y < ɛ (b) y < ɛ ɛ < y < + ɛ Stz 2..2. (Dreiecksungleichung): + b + b b b Beweis: () ( + b ) + b + b (b) = b (b ) + b b b 2.2 Using the Definition of Limit Nottion von Folgen: { n } n=; { n }; n ;, 2, 3,... Beispiel: () n = ( ) n n : (b) n = 2 n : 2, 4, 6, 8,..., + 2, 3, + 4,... lternierende Folge (c) = 2, n+ = n+ 2 : 2, 2+ 2 = 3 2, 5 4,... Definition Grenzwert bzw. Konvergenz: Eine Folge reeller Zhlen { n } konvergiert gegen eine Zhl R, flls für jedes (noch so klein) vorgegebenes ɛ > 0 ein zugehöriger Inde N(ɛ) eistiert, sodss n < ɛ für lle n > N(ɛ). (Kurz: ɛ > 0 N : n < ɛ, n > N) heißt der Grenzwert n n =, n 8 A = (0, ), B = (2, 3) A + B = { + y A, y B} = (2, 4) sup A =, sup B = 3 sup(a + B) = 4 B + {} = (2 +, 3 + ) Beispiel Grenzwert: n = n 09 Konvergiert n gegen 0? gegeben: ɛ > 0, z.z.: N(ɛ) mit n < ɛ n > N(ɛ), n < ɛ n > N, n = n 2 n+ = 2+ n 2 gegeben: ɛ > 0 : N : n = n 2 n+ 2 < ɛ n 2 n+ 2 n (2 n+) 2 = 4 n+2 = 2 n 2 n 4 n+2 = 4 n+2 = 4 n+2 < 4 n < n 8 n konvergiert gegen 9 Nullfolge 20... Floor-Funktion rundet uf die nächste gnze Zhl b N = ɛ 20

N = ɛ 2 Stz: Gilt n und n b dnn folgt = b (Grenzwerte sind eindeutig). Beweis durch Widerspruch ( ɛ 2 -Trick): Angenommen: b b := ɛ > 0 n N : n < ɛ 2 n > N n b N 2 : n b < ɛ 2 n > N 2 n m(n, N 2 ) : ɛ = b = ( n ) + ( n b) 22 n + n b < ɛ < ɛ 2 < ɛ 2 Beispiel: n = ( ) n, +,, +,,... ist nicht konvergent! Sie besteht zwr us 2 konvergenten Teilfolgen, jedoch wäre ds Folgenglied nicht mehr im Bereich ( ɛ, + ɛ) enthlten. Beispiel: n = n 2 n 3 = 2 3 n 2 n 2 n 3 2 n 2 n+3 2 = 4 n 6 = 3 4 n 6 < 3 n n > 2 4 n 6 = n + (3 n 6) n > 2 >0 Stz 2.2.3.: Flls n und b < < c, dnn eistiert ein N mit b < n < c n 23 N Korollr 2.2.4.: Konvergente Folgen sind beschränkt. m, M : m n M n N Stz 2.2.7.: n ɛ nur endlich viele n erfüllen n ɛ. 2.3 Grenzwertsätze Stz 2.3..: Seien { n } und {b n } Folgen mit b n 0. Flls R eistiert und ein K mit 0 n b n für lle n > K, dnn ist n. Beweis: ɛ > 0 N : n < ɛ n > N Angenommen: b n 0 N 2 : b n 0 < ɛ n > N 2 b n n b n < ɛ n > N 2, n > K n>n 3=m(K<N ) Wähle N = N 3 2 ɛ, weil der Grenzwert mit n bgeschätzt wurde; Prof.: Zu ɛ > 0 wähle N = ɛ 22 Dreiecksungleichung 23 Lufinde

Stz 2.3.2.: Sei n 0 und b n beschränkt. Dnn n b n 0. Bemerkung: {b n } beschränkt m, M : m b n M n Beweis: z.z.: ɛ > 0 N : n b n < ɛ n > N Vorussetzung: b n < M, δ > 0 : n < δ n > N n b n n b n < δ M ɛ n > N ɛ: Wähle δ ɛ M N = N Stz 2.3.3.: Seien n, b n, c n Folgen mit b n n c n n > K. Flls b n und c n, dnn folgt n. Beweis: z.z.: ɛ > 0 N : n < ɛ n > N ɛ > 0 N : b n < ɛ n > N ɛ 2 > 0 N 2 : c n < ɛ 2 n > N 2 Wähle ɛ = ɛ = ɛ 2, N = m(n, N 2 ) ɛ < b n < + ɛ ɛ < c n < + ɛ ɛ < b n n c n < + ɛ n <ɛ n>n Beispiel: n mit n > 0 und > 0 n n = n n+ < n 0 Beispiel: < n 0 ( + b) n n (n ) = + n b + b 2 +... + b n } 2 {{} Wird nicht benötigt Für b > 0 + n b < ( + b) n25 n 2 <, > = + b mit b > 0 n = n = ( + b) n = (+b) n +n b < n b 0 n = Stz 2.3.6.: n, b n b, c R, k N () c n c (b) n + b n + b (c) n b n b (d) n b n b flls b 0 (und b n 0) (e) k n k (f) /k n /k Beweis: () c n c = c n 0 24 ( ) n +b (c) n b n b = n b n b n + b n b ( n ) b n + (b n b) b n n 0 (e) n M, M k n k = ( n ) ( k n 0 Beispiel: n = n2 +3 n+ 3 n 2 7 n+2 = n2 (+ 3 n + n 2 ) n 2 (3 7 n + 2 n 2 ) 3 + k 2 n +... + k n ) } {{ } k M k Stz 2.3.8.: n, b n b und es gilt n b n n K. Dnn folgt b. Beweis durch Widerspruch: M } {{ } 0 + b n b } 0 {{ } 0 (b) 0 24 Binomische Formel 25 Bernoulli sche Ungleichung

Angenommen: > b, lso b = 2 ɛ > 0 n < ɛ n > N b n b < ɛ n > N 2 N = m(n, N 2 ) n > ɛ = b + ɛ > b n n > N Korollr: n b n c n n, b n b, c n c b c Wrnung: n = n > 0 n = 0; b n = 0 0 b n b = 0; n > b n b 2.4 Monotone Folgen Folge n Nicht-fllend, (monoton) steigend n+ n Nicht-steigend, (monoton) fllend n+ n Stz 2.4..: Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent. Beweis: n+ n und n K ( < n ) A = { n n N} R = sup(a) R d A beschränkt ist Vermutung: n z.z.: ɛ > 0 N : n < ɛ n < + ɛ n d (kleinste) obere Schrnke ist. kleinste obere Schrnke N mit N > ɛ Monotonie n > ɛ n > N Beispiel: n+ = n+ 2, = 0 n+ n (VGL UE) n n } b n = n+ c n = n+ = 2 } Beispiel: n+ = n + =0 n = n Beispiel: n+ = 2 n +2 2 n = 2 26 } b n c n + = = + 2 = 2 = + 0 = z.z.: n+ n n > 0 2 n +2 2 n n 2 n + 2 2 2 n 2 2 n n = 2 +2 2 2 = 2 = 2 26 Knn mn gegen beliebige reelle Zhl ersetzen und diese Zhl konvergiert gegen die Wurzel us dieser Zhl ( )

Definition 2.4.4.: n = wenn M > 0 N : n > M Beispiel: n = n ; n = n r r N Stz 2.4.6.: Jede monotone Folge ht einen Grenzwert { n = n n gerde 0 n ungerde Ht keinen Grenzwert! Stz 2.4.7.: Seien { n } und {b n } Folgen. Dnn gilt: () n = ± ± n 27 > 0 und n = 0 n > N (b) b n nch unten beschränkt und n n + b n (ußer n und b n kompensieren sich) (c) n = : ( n ) = (d) n b n und n b n (e) 0 < k b n und n n b n (ußer n und b n kompensieren sich; b n konvergent und b > 0 ist ok) Beispiel: n = 2 n2 +3 n+ = n (2+ 3 n 2 ) + n 2.5 Cuchy Folgen Verschchtelte Intervlle: I I 2 I 3... 28 I n = [ n, b n ] bgeschlossen und beschränkt I n+ I n n n+ < b n+ b n Stz 2.5..: Sei I n eine verschchtelte Folge von beschränkten, bgeschlossenen Intervllen, dnn ist der Durchschnitt ller I n φ 29 (es gibt mindestens ein mit I n n). Beweis: I n = [ n, b n ], n nicht fllend n, b n nicht steigend b n b, us n < b n b mit b erfüllen I n n n b b n n [, b] I n n Bemerkung: Abgeschlossen ist wichtig! I n = (0, n ) I n = (, + ] I n = φ I n = φ Definition: gegeben n und n k sei eine monotone Folge ntürlicher Zhlen mit n k k =, dnn heißt b k = nk 27 Ab irgendeinem Inde 28 Gleichheit zugelssen 29 n= In Teilfolge

von n. Beispiel: n = n, n k = 2 k b k = nk = 2 k n = ( ) n b n = 2 n = ( ) 2 n = + Stz: Aus n b n für jede Teilfolge b n von n. Stz 2.5.5. (Bolzno-Weierstrß): Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Bemerkung: n = n Beweis: I = [m, { M] { k } [m, m+m I 2 I, I 2 = 2 ] Flls hier Folgenglieder liegen [ m+m 2,M] sonst I 3 =... Mit Induktion I I 2 I 3... mit (i) Länge von I k ist M m 2 (ii) I k enthält unendlich viele Folgenglieder Aus Stz 2.5.. k I k Konstruiere Teilfolge: Für gegebenes K wähle nk I k 2 k = ( 2 )k Behuptung: nk nk M m } 2 k d nk, I k {{} 0 Cuchy-Folge Definition 2.5.7.: Eine Folge n heißt Cuchy-Folge (CF) flls ɛ > 0 N : n m < ɛ n, m > N Stz 2.5.8.: { n } ist konvergent { n } ist eine Cuchy-Folge. Beweis: gegeben: ɛ > 0 (us Konvergenz folgt Cuchy-Folge) z.z.: N : n (r) < ɛ 2 n(r) > N n m = n + m n + m ɛ n, m > N ɛ 2 ɛ 2 (us Cuchy-Folge folgt Konvergenz) (i) Cuchy-Folgen sind beschränkt N : n m < n, m > N n N+ < ɛ n > N N+ < n < N+ + n > N A N + {,..., N, N+, N+ + } m = min(a N ), M = m(a N ) m n M n (ii) n beschränkt eine konvergente Teilfolge nk (iii) Behuptung: n gegeben: ɛ > 0 n m < ɛ 2 n > N ( n us Cuchy-Folge) nk < ɛ 2 n > N 2 ( nk ) n = n nk + nk n nk + nk < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ n, k > m(n, N 2 ) Beispiel: s n = n ( ) k k Klssisches Gegenbeispiel : s 4 k n = n k m s m s n = ( ) k k m k m 30 4 k 4 k 2 k 2 m n obda: m>n n+ 2j = 2 ( n+ 2 )m n = 2 2 ( k=n+ k=n+ j=0 2 n+ 2 ) = m n k=n+

2 ( n 2 m n ) 2 n s m s n 2 min(n, m) 0 s n bilden Cuchy-Folge n= s n eistiert Einschub: Geometrische Summenformel / Reihe n 0 n+ k = n+, < k = 0 =, = k = n k + k+ IV n+ = + n+ = n+ + n+ n+2 = n+2 2.6 LIMINF und LIMSUP Sei eine beschränkte Folge n gegeben und i n = inf{ k : k n}, s n = sup{ k : k n} Stz 2.6..: () i n nicht-fllend (b) s n nicht-steigend (c) i n n s n n Definition 2.6.2.: inf n = i n, sup n = s n n nch unten/oben beschränkt : sup n = + / inf n = Beispiel: n = ( ) n sup n = +, inf n = Stz 2.6.4.: gegeben n und eine konvergente Teilfolge nk inf n n k n k sup n Beweis: i nk nk s nk / i nk nk s nk n Stz 2.6.5.: Sei { n } eine Folge, dnn eistieren Teilfolgen die gegen sup n bzw. inf n konvergieren. Stz 2.6.6.: Sei { n } eine Folge, flls sup n = inf n dnn konvergiert { n }. Beweis: i n n s n Bemerkung: sup( n + b n ) sup( n ) + sup(b n ) inf( n ) = sup( n ) 30 k 4 = k k 2 k 2 ; k k 2k

3 Stetige Funktionen 3. Continuity Definition 3...: Sei f : D R R und D 3. Dnn heißt f bei stetig flls: ɛ > 0 : δ > 0 : f() f() < ɛ flls < δ und D. f heißt stetig, flls f stetig für lle D Beispiel: f() = 2 ist stetig bei = 2 f() f(2) = 2 4 = ( + 2) ( 2)... 2 b 2 =(+b) ( b) Wähle 2 ( 3) + 2 5...5 2 < ɛ flls 2 < δ ɛ > 0 gegeben, wähle δ ɛ 5 δ=min(, ɛ 5 ) und δ Diese Funktion ist bei 0 nicht definiert, weswegen sie stetig über den gnzen Definitionsbereich ist. Stz 3..5.: Sei f : D R R und D, dnn ist f stetig bei ( n f( n ) f()); f( n ) = f( n ) Beweis: (Stetig Folgen): Wir zeigen us nicht stetig nicht Folge, n : f( n ) f() ɛ > 0 : δ > 0 : f() f() ɛ δ = n : n < n : f( n) f() ɛ f( n ) f() obwohl n (Stetig Folgen): n z.z.: f( n ) f() flls f stetig bei gegeben ɛ > 0 f( n ) f() < ɛ δ : n < δ N konvergent { Beispiel: f() = 0 0 >0 Stz 3..8.: Seien f, g stetig bei, c R () c f stetig bei (b) f + g stetig bei (c) f g stetig bei flls g() 0 Beweis (c) 32 : n, z.z. f( n ) g( n ) f() g(). 3 Definitionsbereich 32 Mn knn uch den Grenzwertstz verwenden Logik Einschub: b b ā

Wir dürfen f( n ) f() und g( n ) g() verwenden. f( n ) g( n ) f() g() = f( n ) g( n ) f() g( n ) + f() g( n ) f() g() = (f( n ) f()) g( n ) + f() (g( n ) g()) 0 + 0 = 0 0 beschränkt d konvergent 0 0 0 Stz: Jedes Polynom ist stetig (i) f() = stetig (ii) f() = n stetig Stz 3..0.: Sei g stetig bei und f stetig bei g(). Dnn ist f g stetig bei. Definition (Verkettung): (f g)() = f(g()) f() =, g() = 2 + ; (f g)() = 2 + 33 Beweis: n, y n := g( n ) g() f(y n ) = f(g( n )) f(g()) { Beispiel: f() = + 2 0 { <0 Beispiel: f() = sin( 0 0 =0 D f = R { D f = R g() = sin( 0 0 =0 3.2 Eigenschften stetiger Funktionen Stz 3.2..: Sei f eine stetige Funktion uf einem bgeschlossenem und beschränkten 34 Intervll I, dnn ist f uf I beschränkt und nimmt ein Mimum und Minimum n. Beweis: M = sup sup I f, M = I oder M = sup I 2 Wähle I j mit M = sup I j, konstruiere J = I, J 2 = I j,... Folge von Intervllen mit Länge(J n ) = Länge(J ) 2 n J n+ J n M = sup J n f n J n Wähle ɛ > 0 δ mit f() f() < ɛ flls < δ, n : Länge von J n < δ, f() f() < ɛ J n f() ɛ M f() + ɛ ɛ > 0 f() = M = sup I f = m I f Stz 3.2.3. (Zwischenwertstz): Sei f : [, b] R stetig. Dnn nimmt f lle Werte zwischen f() und f(b) n. Beweis (Bisektionsverfhren): o.b.d.a. y = 0, weil f(c) = y f(c) y = 0, y muss zwischen f() und f(b) liegen. Stz g(c) 3.2.4.: Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist f([, b]) ein kompktes Intervll. Beweis: Nch Stz 3.2.. eistieren M = m I f und m = min I f c, d I mit f(c) = m und f(d) = M f(i) [m, M] us Stz 3.2.3. folgt f(i) = [m, M] Stz: f heißt strikt monoton steigend fllend flls >y <y f()>f(y) f()<f(y) 33 f ist ds Grundgerüst, g ist die Füllung 34 bgeschlossen + beschränkt = kompkt

Stz 3.2.5.: Sei f : I R strikt monoton. Flls f(i) ein Intervll ist, so ist f stetig. Beweis: f strikt monoton steigend, f(i) = [s, t] geg.: c I, ɛ > 0 f(c) ɛ u f(c) v f(c) + ɛ u = m(s, f(c) ɛ), v = min(t, f(c) + ɛ) p : f(p) = u und q : f(q) = v d u, v [s, t] p < c < q, f(p) u Wähle δ = q p < f(c) < f(q) v flls u, v keine Rndpunkte sind Stz 3.2.6.: Sei f : [, b] R strikt monoton und stetig. Dnn ist die Umkehrfunktion ebenflls stetig und monoton. Beweis: f(i) = J ist ein Intervll nch Stz 2.3.4. f : J I ist strikt monoton und erfüllt f (J) = I Stz 3.2.5. = f stetig. 3.3 Gleichmäßige Stetigkeit Sei f : I R stetig uf I. Stetigkeit I, ɛ > 0 δ > 0 : f() f() < ɛ < δ (δ knn von bhängen!) Gleichmäßige Stetigkeit ɛ > 0 δ > 0 I : f() f() < ɛ < δ (δ unbhängig von!) Beispiel: Stz 3.3.4.: Sei f : [, b] R stetig. Dnn ist f sogr gleichmäßig stetig. Beweis: Angenommen f ist nicht gleichmäßig stetig, dnn ɛ > 0, c δ > 0 : f() f(c) ɛ und c < δ n : n, c n I mit n c n < n und f( n) f(c n ) ɛ, us Bolzno-Weierstrß konvergente Teilfolge nk nk I, nk c nk 0 c nk = nk + (c nk nk ) 0 f( nk ) f(c nk ) ɛ f( nk ) und f(c nk ) können nicht gegen die gleiche Zhl konvergieren f nicht stetig bei Stz 3.3.5.: Sei f : D R gleichmäßig stetig. Dnn bildet f eine Cuchy-Folge uf eine Cuchy-Folge b. Stz 3.3.6.: Sei f : I R stetig uf einem beschränkten Intervll. Dnn knn f stetig uf die Rndpunkte fortgesetzt werden, genu dnn, wenn f gleichmäßig stetig ist. 3.4 Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolgen f n () n =, 2, 3,... Beispiel: f n () = n ; f n() n j j! = + + 2 2 + 3 n 6 +... + n! j=0 Definition: Sei f n Folge von Funktionen D R () f n f punktweise flls für lle D : f n () f()

D ɛ > 0 N N : f n () f() < ɛ n > N 35 (b) f n GLM f gleichmäßig ɛ > 0 N N D : f() f n () < ɛ n > N 36 Wenn f n gleichmäßig konvergent ist, dnn ist es sowieso uch punktweise konvergent. f n () = n D = [0, ], f n() GLM 0 f n () = n D = [0, ), f n () 0 f n() n f n () = n D = [0, ], f n () { 0 [0,) = Stz 3.4.4.: Sei {f n } eine Folge stetiger Funktionen D R. Flls f n GLM Beweis: Sei D, z.z. f ist stetig bei. geg. ɛ > 0 + N : f n () f() < ɛ 3 δ : f N+ () f N+ () < ɛ 3 < δ f, dnn ist uch f stetig. f() f() = f() f n ()+f n () f n ()+f n () f() f() f N+ () + f N+ () f N+ () + f N+ () f() < < ɛ 3 < ɛ 3 < ɛ 3 ɛ < δ Stz 3.4.6.: Sei {f n } Folge von Funktionen D R. Flls f n () f() b n D mit einer Nullfolge b n gilt, dnn f n GLM f Bemerkung: f n (GLM) f f n f (GLM) 0 (gilt für gleichmäßig und punktweise). Stz 3.4.7.: Sei {f n } Folge von Funktionen D R. Flls f n GLM 0, dnn gilt f n( n ) 0 für jede Folge von Punkten n. Beispiel: f n () = n +n = n + 0, f n () = +n n r n [0, r] [0, ) n = n f n ( n ) = n n+n = 2 35 N hängt sowohl von ls uch von ɛ b 36 N unbhängig von, ddurch ist es gleichmäßig konvergent

4 Die Ableitung 4. Grenzwert von Funktionen Definition 4...: Sei I ein offenes Intervll, ein Punkt in I und f : D R. Dnn ist der Limes folgendermßen definiert: f() = L flls ɛ > 0 δ > 0 : f() L < ɛ für I und 0 < < δ Bemerkung 4..2.: f stetig bei D f() = f() Beispiel: f() = 3 D = R\{}, f() =? ( 3 ) = ( ) ( 2 + + ) f() = ( ) (2 ++) ( ) = 2 + + f() = 2 + + = 3 Definition 4..6. (einseitiger Grenzwert 37 ): ±38 f() = L flls ɛ > 0 δ > 0 : f() L < ɛ für < < + δ bzw. δ < < Stz 4..7.: f() = L + f() = L und f() = L {, <0 Beispiel: f() = sin(), >0 0+ f() = 0 sin() = 0 0 f() = 0 = Definition: ± f() = L : ɛ > 0 m : f() L < ɛ für >m <m Beispiel: 2 +3 + 2 2 + = 2 (+ 3 + 2 ) 2 (2+ = 2 ) 2 Stz 4..0.: Sei (, b) R und sei u = + oder b, weiters sei f : (, b) R, dnn gilt, dss u f() = L n u f( n ) L für lle Folgen n (, b) Stz 4...: Seien u f() = K und u g() = L, u () u c = c (b) u c f() = c K (c) u (f() + g()) = K + L (d) u (f() g()) = K L (e) u ( f() g() ) = K L flls L 0 Bemerkung: f() = ± f() Beispiel: f() =, ± f() = ± =, +, = 0 und ±f() > 0 in der Nähe von 37 von einer Seite nnähern 38 uch ±, + 0 oder 0+

4.2 Die Ableitung Definition 4.2..: f : D R D heißt differenzierbr bei flls f() f() := f () R Bemerkung: f () = h 0 f(+h) f() h f() = f() + f () ( ) + ( ) R() Definition: Rest R() := f() f() f (), f() f() R() = 0, = f () + R() Beispiel: f() = c f () = 0 f() = c f () = h 0 c (+h) c h = h 0 c h h = c f() = 2 f () = h 0 (+h)2 2 h = h 0 2 +2 h+h 2 2 h = f() = f () = h 0 +h h +h+ +h+ = h 0 +h f (0)? h = h 0 h = h 0+ h = h 0 h (2 +h) h h ( +h+ ) = = h 0 2 + h = 2 2 > 0 f (0)? = h 0 h 0 h = h 0 sign(h)39 divergent, eistiert nicht Stz 4.2.5.: Ist f differenzierbr bei, dnn ist f uch stetig bei. Beweis: f() = f() + f() f() ( ), Stz 4.2.6.: Seien f, g differenzierbr bei () (c f) () = c f () (b) (f + g) () = f () + g () (c) (f g) () = f () g() + f() g () ( ) (d) f g () = f () g() f() g () g() flls g() 0 2 Beweis: (c) f() g() f() g() f() = }{{ f() + } f() = f() g() f() g()+f() g() f() g() = f() f() } {{ } f () g() (f() f()) ( ) = f() 0 + f() (g() g()) g() g() f() = g() f() f() g() + f() g() g() = f () g() + f() g () 39 signum, sign() = +, > 0; 0, = 0;, < 0 = f() f() g() +

(d) o.b.d.a. f = d g() g() = ( ) ( ) ( f g = f g = f g + f g() g() g() g() ( ) = g() g() g() Beispiel: f() = n, f () = n n n N 0 Beweis mit Induktion: IA: n = 0 f() = 0 = f () = 0 = 0 IS: f() = n+ ) g g() g() g () = g () g() 2 f () = ( n ) = c n + ( n ) = n + n n = ( + n) n = (n + ) n Stz 4.2.7. (Kettenregel):{ f differenzierbr bei g() und g differenzierbr bei, (f g) () = f (g()) g () f(y) f(b) Beweis: g() = b h(y) = y b, y b f (b), y=b f differenzierbr bei b h stetig bei b f(g()) f(g()) = f(g()) f(b) g() g() g() b = h(g()) g() g() = f (g()) g () h(g())=h(b)=f (b) h(g()) g () Stz 4.2.9.: f sei strikt monoton uf I und differenzierbr bei mit f () 0, dnn ist die zugehörige inverse Funktion g differenzierbr bei b = f() und g (b) = f () = Beweis: = g(y) f() = y, y b g(y) g(b) y b = y b h(g(y)) = h() = f () f (g(b)) g(y) g(b) y b = f() f() =: h(), h() = f (), (g(y) g(b) y b = h(g(y)) Beispiel: f() = n, g() = n = n > 0; f () = n n, g () = f (g()) = = n ( n ) n n n n Korollr: f() = n m f () = n m n m ; n m = ( m ) n = n n = n n 4.3 Der Mittelwertstz der Differentilrechnung Sei f : [, b] R Rndpunkte,b Definition: Kritische Punkte von f 2 Sttionäre Punkte c (,b) mit f (c)=0 3 Singuläre Punkte c (,b) n denen die Ableitung nicht eistiert Stz 4.3..: Sei f : [, b] R stetig. Dnn werden Minim und Mim nur n kritischen Punkten ngenommen. { Beispiel: f() = = + 0 3 Kritische Punkte: 0, 3, { f () = 0 < + < 3 Differentilquotient n der Stelle : f ()? = ± f() f() = ± nicht differenziebr bei f() =, 2, 0; m bei 2, min bei 0 Beweis: Angenommen: f ht bei c ein m o.b.d.a. 3 Fälle: ) c m Rnd 2) c nicht differenzierbr z.z.: Flls weder ) noch 2) c sttionär, d c m f() f(c), f() f(c) 0 c (, b) und es eistiert f (c) { f() f(c) c = 0 >c 0 <c c + f() f(c) } c 0 c f() f(c) c 0 = f () f (c) = 0 Stz 4.3.2. (Mittelwertstz): Sei f : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b). Dnn eistiert (mindestens) ein c (, b) mit f (c) = f(b) f() b

Die Steigung m Punkt c muss irgendwnn wegen dem Zwischenwertstz mit Steigung c übereinstimmen Beweis: g() = f() + f(b) f() b ( ) s() = f() g() z.z. s (c) = 0 (0 = f (c) g (c)) Fll ) s() 0 (gnze Funktion identisch 0) 40 2) s() ht ein m > 0 oder min < 0 es eistiert ein sttionärer Punkt c Stz 4.3.3.: Sei f : (, b) R differenzierbr. Dnn gilt, flls f () 0 ( (, b)), dss f konstnt ist. Beweis:, y (, b) < y 0 = f (c) = f(y) f() y f(y) = f() Korollr 4.3.4.: Sei f () = g () (, b) f() = g() + c Stz 4.3.5.: Sei f : [, b] R stetig, differenzierbr uf (, b), f () >0 <0 0 0 Beweis:, y [, b] < y; 0 < f (c) = f(y) f() y f(y) > f() { Beispiel: f() = 3, f () = 3 2 0; f (,0) () > 0 (0,+ ) f monoton steigend (, 0] und [0, + ) uf (, b) f (strikt) monoton steigend fllend Stz 4.3.9.: Sei f : (, b) R und es sei f () M uf (, b). Dnn gilt, dss f() f(y) M y insbesondere ist f gleichmäßig stetig uf (,b). Beweis:, y (, b), f() f(y) y o.b.d.a. y, lut Mittelwertstz f() f(y) y = f (c) c (, y) = f (c) = f() f(y) y = f (c) M f() f() < ɛ < δ, δ ɛ M Notiz: d f() f() M < M ɛ M = ɛ uf [,b], y (, b), Eine Funktion die f() f(y) M y mehr ls gleichmäßig stetig), y (, b) erfüllt heißt LIPSCHITZ-STETIG. (Lipschitz-stetig ist Die Menge ller stetigen Funktionen I 4 R bezeichnet mn mit C(I) 42 (C((, b)), C([, b])) f C ((, b)) flls f differenzierbr und f C((, b)) 43 40 Funktion verschwindet n einem Punkt = Funktion = 0 4 Intervll 42 C für continous 43 f stetig

Beispiel für gleichmäßig stetig ber nicht Lipschitz-stetig: f(), f () = 2 0 M 0 > 0 M 4.4 Die Regeln von de l Hôpitl Stz 4.4..: Seien f, g : [, b] R stetig, differenzierbr uf (,b), g () 0 uf (, b). Dnn eistiert ein c (, b) mit f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c). Bemerkung: g() = Mehrwertstz Beweis: Wie Beweis zu Stz 4.3.2. Stz 4.4.3.: Seien f, g : (, b) R differenzierbr. Flls () + f() = 0 = + g() oder (2) + f() = = + g() (= + f () g () ), dnn gilt + f() g() = + f () g () (vorusgesetzt der rechte Grenzwert eistiert). Anlog für b Beweis: + f () g () = L R, y (, b) f() f(y) = (g() g(y)) f (c) f() g() f(y) g() f() g() = f(y) g() g(y) = ( g() ) f (c) g (c) g(y) + ( g() ) f (c) g (c) g (c) / : g() / + f(y) g() / L f() g() L = f(y) g(y) g() + ( g() ) ( f (c) g(y) g (c) L) L g() f() f(y) g() L g() + g(y) g() f (c) g (c) L + L g(y) g() m : (, m) : f () g () L < ɛ 6 Wähle < y < < m c (y, ) c < m und betrchte Fll (). Wähle y so klein, dss min(, f() g() ɛ 3 L ) f(y) L g() + g(y) g() f (c) g (c) L < ɛ 2 3 ɛ 6 Anlog Fll (2) 44 Beispiel: ln() 2 = 2 = 2 = 2 ln () = + L g(y) g() < ɛ ɛ 3 f(y f() < ɛ 3 und g(y) g() < 2 e = 2 e = 2 e = 0 (e ) = e n e = n n e =... = n! n e = 0 44 und y sind vertuscht

5 28 +6 27 +... e = 0 n ( + r n )n =? r 45 = % = 0.0 ln( ) = ln(), e ep() ( + r ) = ep(ln( + r ) ln(+ r ) ln( + r ) = = ln(+ r ) ln(+ r ) = + r ( r 2 ) 2 } {{ } = r + r = r + r = r ep(ln( + r ) ) = e r 45 Zinsstz

5 Integrtion 5. Definition des Integrls Definiton Prtition von [, b]: P = { = 0 < <... < n = b} n f( k ) ( k k ), k [ k, k ] Riemnn-Summe U 46 (f, P ) = L 47 (f, P ) = n n M k ( k k ) sup f() M k = [ k, k ] m k ( k k ) inf f() m k = [ k, k ] m k f( k ) M k L(f, P ) n f( k ) ( k k ) U(f, P ) Stz 5..4.: Seien Q, P Prtitionen von [, b] mit P Q, dnn gilt: L(f, P ) L(f, Q) U(f, Q) U(f, P ) Stz 5..5.: Seien Q, P Prtitionen von [, b], dnn gilt: L(f, P ) U(f, Q) Beweis: P Q P, Q; L(f, P ) L(f, P Q) U(f, P Q) U(f, Q) Definition: b f d = inf{u(f, Q) Q Prtition von [, b]} f d = sup{l(f, Q) Q Prtition von [, b]} Bemerkung: f d b f d Definition 5..6.: Flls Ober- und Unterintegrl übereinstimmen, dnn heißt f (Riemnn-)integrierbr über [, b] und wir schreiben f d = f d = b f d. Stz 5..7.: f ist (Riemnn-)integrierbr genu dnn, wenn für lle ɛ > 0 eine Prtition P [, b] eistiert mit U(f, P ) L(f, P ) < ɛ Beweis: f integrierbr, I = f() d() inf sup Q U(f, Q) = I = P L(f, P ) } Q:0 U(f,Q) I<ɛ 0 U(f,P Q) I<ɛ 0 U(f, P Q) I + I L(f, P Q) < 2 ɛ P :0 I L(f,P )<ɛ 0 I L(f,P Q)<ɛ Flls U(f, P ) L(f, P ) < ɛ, dnn f d b f d < ɛ Stz 5..8.: f ist (Riemnn-)integrierbr genu dnn, wenn eine Folge von Prtitionen {P n } eistiert mit L(f, P n )) 0. In diesem Fll gilt f() d = n S n(f), wobei S n (f) eine beliebige Riemnnsumme zu P n ist. n (U(f, P n) Beweis: f sei integrierbr. Nch Stz 5..7. eistiert zu ɛ = n eine Prtition P n mit U(f, P n ) L(f, P n ) < n Umgekehrt: U(f, P n ) L(f, P n ) = 0 ɛ > 0 N mit U(f, P N ) L(f, P N ) < ɛ Stz 5..7. = f integrierbr 46 upper, Obersumme 47 lower, Untersumme

Beispiel: f() = 2 [0, ] ( 2 d = 3 3 0= 3 3 03 3 = 3 ) 0 P n = {0 < n < 2 n <... < n n = } U(f, P n ) = n n ( k n )2 n = n k 2 3 L(f, P n ) = n ( k n )2 n = n 3 n U(f, P n ) L(f, P n ) = n2 0 2 n 2 = n, n (k ) 2 = n n 3 k 2 =... k 2 = n (n+) (2 n+) 6... = n 3 (n ) (n)]cdot(2 n ) 6 = ( n ) (2 n ) 6 = 2 6 = 3 5.2 Eistenz Sätze und Eigenschften Stz 5.2..: Sei f : [, b] R und monoton, dnn ist f integrierbr. Beweis: P n Zerlegung in n Teilintervlle der Länge n, f monoton steigend, { 0 <... < n } k = + k n (b ) U(f,P n )= n n f( k ) ( k k )= b n f( k ) L(f,P n )= n f( k ) ( k k )= b n U(f, P n ) L(f, P n ) = b n (f(b) f()) 0 n f( k ) Stz 5.2.2.: Sei f : [, b] R stetig, dnn ist f integrierbr. Beweis: Nch Stz 3.3.4. ist f sogr gleichmäßig stetig. ɛ > 0 δ > 0 : f() f(y) < ɛ b P = { = 0 < <... < n = b} mit m k k < δ U(f, P ) L(f, P ) = n (M k m k ) ( k k < n ɛ b ( k k ) = ɛ Stz 5..7. f ist integrierbr Linerität des Integrls Stz 5.2.3.: Sei f, g : [, b] R integrierbr, c R () c f ist integrierbr und (b) f + g ist integrierbr und c f()d = c (f + g)()d = f()d f()d + Beweis: P = { = 0 < <... < n = b}, I k = [ k, k ] für c f: sup I c f() = c sup k I f() c 0 k sup I ( f()) = inf f() k I k U(c f, P ) = c U(f, P ) c 0 L(c f, P ) = c L(f, P ) c 0 U( f, P ) = L(f, P ), L( f, P ) = U(f, P ) c < 0 f integrierbr P n mit U(f, P n ) L(f, P n ) 0 g()d c f : U(c f, P n ) L(c f, P n ) = c (U(f, P n ) L(f, P n )) 0 c 0 c f integrierbr 0 f()d = n U(c f, P n) = n c U(f, P n) = c n U(f, P n) = c f()d c 0 f : U( f, P n ) L( f, P n ) = L(f, P n ) ( U(f, P n )) = U(f, P n ) L(f, P n ) 0 L+U 0 f()d = für f + g: n U( f, P n) = n U(f, P n) = n U(f, P n) = f()d für y < δ. Sei

sup I (f()+g()) sup k I f()+ sup k I g() k inf (f()+g()) I inf f()+ k I inf Stz.5.0. g() k I k inf f + I inf g k I inf (f + g) sup k I k I (f + g) sup k I f + sup k I g k L(f, P ) + L(g, P ) L(f + g, P ) U(f + g, P ) U(f, P ) + U(g, P ) 0 U(f + g, P ) L(f + g, P ) U(f, P ) + U(g, P ) L(f, P ) L(g, P ) = ((U(f, P ) L(f, P )) + (U(g, P ) L(g, P ))) P n U(f,P n ) L(f,P n ) 0 Q n U(f,Q n ) L(f,Q n ) 0 P U(f,R n Q }{{ n n ) L(f,R n ) 0 } U(g,R n ) L(g,R n ) 0 =:R n 0 U(f+g, R n ) L(f+g, R n ) U(f, R n )+U(g, R n ) L(f, R n ) L(g, R n ) = ((U(f, R n ) L(f, R n )) + (U(g, R n ) L(g, R n ))) 0 0 0 f + g integrierbr U(f+g,R n ) n U(f,R n)+ n U(g,R n)= (f() + g())d = n L(f+g,R n ) n L(f,R n)+ n L(g,R n)= f()d+ f()d+ g()d g()d Stz 5.2.4.: Sei f, g : [, b] R integrierbr und f() g() für lle [, b], dnn gilt Beweis: h() 0 h()d 0; h() = g() f() 0 (g() f())d 0 g()d f()d g()d f()d 0 Korollr 5.2.5.: Sei f : [, b] R integrierbr und es sei m = inf sup b [,b] f, M = [,b] f, dnn folgt m (b ) f d M (b ) Beweis: m f M m d m (b ) f()d M d M (b ) Stz 5.2.6.: Sei f : [, b] R integrierbr, dnn ist uch f integrierbr und Beweis: z.z.: f ist integrierbr; f() f(y) f() f(y) sup I f inf sup f I I f inf f, I [, b] I sup sup sup sup,y If() f(y) I f() + y I ( f(y)) = I f inf I f sup,y I f() + f(y) infinf I f + sup I f (f() f(y) sup I f inf I f f() f(y) sup I f inf I f sup sup,y I f() f(y) I f inf I f sup sup I f infi f I f inf I f sup I f inf sup f I I f inf I f U( f, P ) L( f, P ) U(f, P ) L(f, P ) U( f, P n ) L( f, P n ) U(f, P n ) L(f, P n ) 0 U( f, P n ) L( f, P n ) 0 f integrierbr Stz 5.2.7.: Sei b c und f : [, c] R sei beschränkt. c f() d = f() d + f() d Beweis: P mit b P, P = P P mit P = P [, b] und P P [b, c] Prtition [,b] Prtition [b,c] c b f() d f() d und nlog für Oberintegrle.

U L (f, P ) = U L (f, P ) + U L (f, P ) U(f, P ) = inf P U(f, P ) + inf P U(f, P ) = c f() d = inf U(f, P ) infu(f, P ) b = inf P P c f() d + c b f() d Korollr 5.2.8.: Sei f : [, b] R integrierbr uf [, b] und [b, c], dnn ist c f() d = inf P, b P U(f, P ) = P,P U(f, P ) + f() d + c b f() d Bemerkung: Flls f : [, b] stückweise stetig ist, dnn ist f integrierbr, = 0 < <... < n = b mit f : ( k, k ) R gleichmäßig stetig. Stz 5.2.9.: Sei f : [, b] R stetig, dnn c [, b] mit f(c) = b 5.3 The Fundmentl Theories of Clculus f() d Stz 5.3..: Sei f : [, b] stetig und differenzierbr (, b) mit f integrierbr uf [, b] (z.b.: f () = f (b) = 0). Dnn f () d = f(b) f(). Beweis: P = { = 0 < <... < n = b}, f (c k ) ( k k ) = f( k ) f( k ) 48 I k = [ k, k ] n f (c k ) ( k k ) = n f( k ) f( k ) = f(b) f(); L(f, P n ) f(b) f() U(f, P n ) / n f () d f(b) f() 49 b f () d Beispiel: [0, ] f() = { 2 sin( ), 0 0, =0 { (0,] klr f stetig 0{ f()=0 f(0) (0, ] f () = 2 sin( ) cos( ) (0,] 0 =0 Nottion: f() d = 0, f() d = f() d Stz 5.3.3.: f sei integrierbr uf [b, c]. Für, [b, c] definiere F () = jedem Punkt n dem f stetig ist, ist F sogr differenzierbr mit F () = f(). Beweis f integrierbr f(t) M y y F (y) F () = f(t) dt f(t) dt = y y F (y) F () = f(t) dt f(t) dt M y gleichmäßig stetig F () F (y) y 48 Mittelwertstz 49 Teleskopsumme f(y) y 0 flls f stetig bei y b f(t) dt. Dnn gilt F ist stetig uf [b, c] und n

y y f(t) dt f(y) = y y für y < δ y y y Beispiel: y f(t) dt y y f(y) dt = y f(t) dt f(y) y y y f(t) dt = f(y) F (y) = f(y) d d sin() 0 e 2, erf(0) = 0 y (f(t) f(y)) dt f stetig bei y : ɛ > 0 δ > 0 : f() f(y) < ɛ { [,y], y dt < ɛ t y < δ t y < δ [y,], y f(t) f(y) <ɛ e t2 dt = d d erf(sin()) = erf (sin()) c() = e sin()2 cos(), erf := e t2 dt, erf () = Stz 5.3.6. (Substitutionsregel): Sei g : I R differenzierbr mit g integrierbr und J g(i). Sei f : J R stetig, dnn g(b) gilt f(g(t)) g (t) dt = f(u) du für, b I. g() Bemerkung: f(u) du = f(u) u d; u = u(), du = u d, du = du } d d f g stetig Beweis: g (f g) g integrierbr integrierbr v Setze F (v) := f(u) du, es gilt F (v) = f(v) Kettenregel = g() F (g(b)) F (g()) = g(b) g() f(u) du 0 = (F (g()) = f(g()) g () g(b) g() f(g()) g () d f(u) du Stz 5.3.7. (Prtielle Integrtion): Seien f, g : [, b] R stetig und differenzierbr uf (, b) und f, g integrierbr uf [, b]. Dnn sind f g und f g integrierbr und es gilt Beweis: (f g) d = (f g + g f) d, f(b) g(b) f() g() = Beispiel: ln() d = ln() d = ln() d = ln() 2 sin() d = 2 cos() + 2 cos() d =... f() g () d = f(b) g(b) f() g() f g d + f g d 0 f () g() 5.4 LOG, EXP, uneigentliche Integrle Definition 5.4..: ln() := y dy ln() = 0 und ln () = Bemerkung: (ln ) = 0 Stz: Seien, b > 0 : ln( b) = ln() + ln(b). Beweis: ln( ) = ln() + ln(), (ln( )) = (ln() + ln()) (ln( )) = = Stz 5.4.4.: ln() ist monoton steigend mit 0 Beweis: ln () = ln() = und (0, ). ln() = + > 0 streng monoton steigend (ln() > 0 > und ln() < 0 < ) = 2 m ln() = m ln(2) >0 m (0 = ln() = ln( ) = ln() + ln( ) ln( ) = ln()

Eponentilfunktion Definition 5.4.5.: ep : R (0, ) mit ep = ln, ds heißt ep(ln()) = (0, ) und ln(ep(y)) = y y R Stz 5.4.6.: Die Eponentilfunktion ist differenzierbr (insbesondere stetig) und es gilt ep () = ep(). Beweis: ep () = ln (ep()) = ep() nch Stz 4.2.9. Stz 5.4.7.: () ep( + b) = ep() ep(b) (b) ep(r ) = (ep()) r Beweis: = ep(), y = ep(b) > 0, r Q () ep( + b) = ep(ln() + ln(y)) = ep(ln( y)) = y = ep() ep(b) (b) ep(0) =, n N 0 ep(n ) = (ep()) n = ep( ) = ep() ep( ) ep( ) = ep() n Z ep() = ep( 2 + 2 ) = ep( 2 )2, ep( m ) = (ep()) m m N ep( n m ) = (ep()) n m Bemerkung (Stz 5.4.3.): ln( r ) = r ln() Definition 5.4.8.: Sei b R und > 0 b := ep(b ln()) e := ep(), ln(e) =, e = ep() +y = y, y = ( ) y log () = ln() ln(), log() =, > 0 > 0,, y R > 0, r Q Uneigentliche Integrle 0 + 2 d, 0 d, + + 2 d = 0 + + d + 2 0 + d 2 Nenne b singulär flls (i) b b= oder (ii) f unbeschränkt bei b. Definiere f() d = c c b f() d flls dieser Grenzwert eistiert. 50 Beispiel: + d = 2 c + d = 2 c [rctn()]c 0 = c rctn(c) = π 2 0 0 0 + d = 2 c 0 + c 0 d = c ln(c) =, > d = c 0 f() d = c + d = 2 c [ 2 ln( + 2 )] c 0 = c 2 ln( + c2 ) = d = c 0 [2 ] c = c 0 [2 2 c] = 2 + + + + d = 2 f() d Cuchy scher Huptwert + 2 d } {{ } =0 = 0 50 Gilt uch für die untere Grenze, d.h. c geht gegen die untere Grenze d = c c = c (c ) =

6 Unendliche Reihen 6. Convergence of Infinite Series n k = + 2 + 3 +... k := n k Bemerkung: Seien k und b k konvergent. Teilsummen s n ( k + b k ) = k + b k, c R c k = c Stz 6..2.: Flls k konvergent ist, dnn müssen die Glieder k eine Nullfolge bilden. Beweis: n = s n s n n n = n (s n s n ) = n s n n s n = 0 Beispiel: k 2 k+ =? k = k 2 k+ = 2+ 2 0 divergent k k =? k = k 0 trotzdem divergent! r k = + r + r 2 +... Geometrische Reihe Stz 6..6.: Flls 0 und r R, dnn konvergiert die geometrische Reihe gegen r. Beweis: k = r k k 0 genu dnn wenn r < s n = n r k = rn+ r r Stz: Gilt n 0 so konvergiert s n genu dnn, wenn s n beschränkt ist. Beweis: k 0 s n monoton steigend. Stz 6..9. (Vergleichstest): Sei b k eine konvergente Reihe und k M b k Beweis: s n = s m s n = n m k=n+ k, t n = n b k, k m k=n+ n, m N k M m k=n+ Vorussetzung: t n Cuchy ɛ M > 0 M : t m t n < ɛ M b k M (t m t n ) <... m, n > M z.z.: s n Cuchy ɛ > 0 Ñ : s m s n < ɛ m, n > Ñ, wähle Ñ = m( M, N)... < M ɛ M = ɛ Korollr 6..0.: Flls Definition 6...: k konvergiert, so uch k. k heißt bsolut konvergent, flls k konvergiert. Bemerkung: Flls b k divergent und 0 b k m k Beispiel: k = 2 k k 2 k 2 M k 2 k 2 geom. Reihe ( ) k k 2 k bsolut konvergent divergent = k + k 2 k k 2 +, k = 2 k divergent k + k 2 0 M sqrt2 b k = M 2 k 2 r k N gilt, dnn ist k divergent. k k k r k 0 r > (de l Hôpitl) k flls r < ist und divergiert für k N, dnn konvergiert uch k.

6.2 Tests for Convergence Stz 6.2..: Sei f : [0, ) R positiv, monoton fllend mit k = f(k), k N. Dnn gilt k ist konvergent konvergiert. Beweis: k c k, f() = = ln(c) H n 5 = n k s n = H n ln(n + ) k = s k s k = k ln(k + ) + ln(k) = k ln( + ) + ln()) d n( ln( k+ k ) H n ln(n) = γ, Euler-Mscheroni-Konstnte f() d s n n f() d s n Beispiel:, P > 0, f() = (0, ) k P P = c [ ] c P c d = P c p+ p+ = c p ( { ) 0 P >0 c = P =0 P P <0 divergent für P 3 k 3 k k 2 k 2 2 k 2 = 3 k 2 3 k 2 k 2 k 3 2 M 3 k 2 Konvergent d 3 2 > 2 K 2 3 2 beschränkt Konvergent, Mjornten Kriterium Konvergent für P > und Wurzelkriterium Stz 6.2.4.: Es sei k gegeben, dnn gilt ρ = sup k /k = Beweis: sup k /k = t n, t n = sup{ k /k : k > n} ρ > t n > n k /k > k keine Nullfolge divergent ρ < Für ρ < r < N : t n < r für n > N k /k < r k > N k < Konvergenz Beispiel: k ( 9 0 )k = k ( 5 Hrmonische Reihe 52 k k k = 9 0 9 9 0 )k = k ( 0 )k } {{ } beschränkt { < bsolut konvergent =? > divergent r k k > N Mjornten Kriterium = geometrische Reihe ( 9 0 )k ( k ) /k = k k 52 9 0 9 0 < konvergent

Quotientenkriterium Stz 6.2.6.: Es sei k gegeben, dnn gilt, dss flls r = k k+ k eisitert, dss die Reihe konvergiert flls r < und divergiert flls r >. Beweis: r > k+ k > k > N k = k k k k 2 N+ N N > N k keine Nullfolge divergent r < r < t <, N : k+ k < t n N k = k k+ N+ N N < t } k N {{} konv. geom. Reihe N Mjornten Kriterium = konvergent Beispiel: k! k k k = k! k k k+ k = (k+)! (k+) (k+) k! 3 + 2 + 2 3 + 3 2 + 4 3 +... = 5 =, = 3 = 3 2 2 k 4 k 3 2 k 3 2 k 9 k = k k (k+)! k k (k!) (k+) (k+) = (k + ) k k + 3 2 k 2 2 k (k+) (k+) = ( k k+ )k = ( ) k + e < k 6.3 Absolute und bedingte Konvergenz k Absolut konvergent flls k konvergiert Bedingt konvergent flls konvergent ber nicht bsolut konvergent Stz 6.3.2. (Alternierende Reihe): Sei k fllend mit k 0, dnn ist ( ) k+ k konvergent. Beweis: k k+ 0 n ungerde: s n+ s n+2 + n+2 = s n ( n+ n+2 ) s n, lso s n+ s n+2 s n 0 n gerde: s n s n+2 s n+ s 2 s 4 s 6... s 2 n s 2 n+... s 5 s 3 s s 2 n A, s 2 n+ B, A B s n+ s n = n+ A B n+ 0 A = B { Beispiel: ( ) k+ = bsolut konvergent P > k P bedingt konvergent 0<P Gegeben: Bijektive Funktion K : N N Umordnung von N 2,, 4, 3, 6, 5;, 3, 2, 5, 7, 4, 9,, 6; k, Stz 6.3.4.: Sei K(j) j= k bedingt konvergent und L R {± }, dnn eistiert eine Umordnung die gegen L konvergiert. Beweis: (Bemerkung: Die Reihen der positiven bzw. negtiven Glieder divergieren) Gegeben L R, konstruiere Umordnung b j = K(j) b erste positive k flls 0 < L und erste nicht-positive k flls L 0 { Wähle b n+ : Flls s n <L nächstes positives k Flls s n L nächstes nicht positives k b j ist eine Umordnung n n Behuptung: b j L, L < ɛ n > N j= j= b j s n M : k < ɛ k M N so dss,..., M in b N gewählt wurden n j= b j s n L < ɛ gilt

Stz 6.3.5.: Jede Umordnung einer bsolut konvergenten Reihe konvergiert gegen den gleichen Grenzwert. Beweis: s = k, t = k t n t = k=n+ ɛ > 0 N : k k=n+ k < ɛ 2 n > N, s s n < ɛ 2 Sei b j eine Umordnung. Sei J ds größte j für dss K(j) n, 2,..., n in b,..., b j enthlten sind. n b j n s n n n n b j s k + b j k < ɛ j= Stz 6.3.6.: k j= k und Beweis: ( M k ) ( N b j ) = M j=0 j= } {{ } } {{ } < ɛ 2 < ɛ 2 b k seien bsolut konvergent. Dnn ist ( N j=0 k b j = M+N n=0 n k b n k k )( b k ) = n=0 n k b n k. Umordnung von bsolut konvergenten Folgen beide konvergieren gegen den gleichen Grenzwert. 6.4 Potenzreihen Reihen von Funktionen f k () = f () + f 2 () + f 3 () +... Beispiel: f k () = k k Konvergiert f k () = f () + f 2 () + f 3 () +... für jedes I so erhält mn eine Funktion g() = f k () I. Definition 6.4..: Die Funktionenreihe f k () = f () + f 2 () + f 3 () +... konvergiert gleichmäßig, flls die Reihe der Prtilsummen gleichmäßig konvergiert. ɛ > 0 N I : g() n f k () < ɛ flls n > N Stz 6.4.2.: Sei f k : I R stetig. Konvergiert f k () = f () + f 2 () + f 3 () +... gleichmäßig uf I, dnn ist die Grenzfunktion g ebenflls stetig. n Beweis: f k () ist stetig uf I Stz 3.4.4. = g stetig. Stz 6.4.3.: Sei f k : [, b] R stetig und f k () = f () + f 2 () + f 3 () +... konvergiere gleichmäßig uf [, b], dnn g() d = f k () d s n () = n f k (), U(s n, P ) U(g + ɛ, P ) = U(g, P ) + ɛ (b ) Weierstrß scher Mjornten Test Stz 6.4.4.: Sei f k () : I R und es gilt f k () M k mit M k konvergent. Dnn konvergiert f k () = f () + f 2 () + f 3 () +... gleichmäßig uf I. Beweis: g() n f k () = f k () f k () M k k=n+ k=n+ k=n+

Potenzreihen Stz 6.4.6.: Gegeben sei c k ( ) k und es sei R 53 = sup c k /k. Flls R > 0, dnn konvergiert lle mit < R bsolut und divergiert für lle mit > R. c k ( ) k für Beweis: Sei r > 0 und R > 0, dnn gilt sup c k r k /k = r R. Setze = r > 0. Aus dem Wurzelkriterium folgt, dss c k r k konvergiert. Drus folgt c k ( ) k konvergiert bsolut. Anlog Divergenz Beispiel: {}}{ () k (b) ln( ) {}}{ k k g() {}}{ k (c) k 2 c k = c k = k c k = k 2 k k = ( k ) k = ( k 2 ) = =(( k ) k )2 (, ) 54 [, ) [, ] g() = g() = 0 k k 2, ln( t) t g () = dt k k = k k = ln( ) Quotiententest: k k+ (k+)! k! = k k k+ = 0 R = Stz 6.4.0: Es sei f() = c k ( ) k < R. Dnn ist f stetig uf ( R, + R) und es gilt c k k+ ( )k+ < R. R ist uch der Konvergenzrdius dieser Potenzreihe. Beweis: (i) Reihe ist gleichmäßig konvergent uf [ R + ɛ +, + R ɛ] f() stetig uf [ R + ɛ +, + R ɛ] f() stetig uf ( R +, + R) (ii) f(t) dt = c k k+ ( )k+ < R folgt us Stz 6.4.3. f(t) dt = c k (t ) k dt = c k (t )k+ k+ < R k ck sup = sup k + k c k k k+ = sup k c k = R k ck k k + Beispiel: ln( + ) f() = = k, f() = + = ( ) k Stz 6.4.2.: Sei f() = k c k ( ) k < R Beweis: sup k k k c k = sup Integrl eine Stmmfunktion. f(t) dt = c k ( ) k < R. Dnn ist f differenzierbr uf ( R, + R) und f () = k k c k k k k = = R. Gleicher Konvergenzrdius und nch Stz 6.4.0. ist ds gliedweise 53 Konvergenzrdius? 54 Konvergenzintervll

6.5 Tylor sche Formeln f() f() + f () ( ) + f () 2 ( ) 2 +... Stz 6.5.2.: Sei f() = c k ( ) k eine konvergente Potenzreihe. Dnn ist c k = f (k) () k!. Beweis: Behuptung: f (n) () = f () = k=n c k k ( ) k k = k! (k )! f (n+) () = (f (n) ()) = ( k=n k! (k n)!( )k n n = k! (k n)! c k ( ) k n ) = = k! (k n) c k ( ) k (n+) k=n+ (k n)! k! (k (n+))! f (n) () = n! 55 (n n)! c k ( ) 0 (n+)! + (n+ n)! c n+ ( ) +... +... = n! c n k=n k! (k n)! c k (k n) ( ) k n = Stz 6.5.3. (Formel von Tylor): Sei f : offenes Intervll I R, I und f C (n+) (I). Dnn gilt für I f() = f (k) () ( ) k + R n mit R k! n () = f (n+) (c) (n+)! ( ) n+ für ein c zwischen und. Restglied =:T n, Tylorpolynom vom Grd n Beweis: Setze R n () = f() T n () s(t) = f() f(t) f (t) ( t) f (t) 2 ( t) 2... f (n) (t) n! ( t) n R n () } s()=f() T n () R n ()=0 c zwischen und mit s s()=0 (c) = 0 0 = s (c) = 0 f (c) f (c) ( c) + f (c) f (c) 2 ( c) 2 f + (c) 2 2 ( c)... f (n+) (c) n! ( c) n + R n (n + ) ( c)n R n () = f (n+) (c) n! ( c) n ( )n+ ( c) n n+ = f (n+) (c) (n+)! ( ) n+ Beispiel: f() = e, f () = e,..., f (n) = e f(0) =,..., f (n) (0) = Tylorreihe f() = f() = T n () = R n () = Ist n R n() = 0? R n () (n+)! e n+ n n+ (n+)! = 0 f() = f() k k! + e c f (n+) (c) (n+)! n+ n+2 (n+2)! (n )! = n n+2 0 e = k k! f() = e 2 0 0 =0 f () = e 2 2 3 0 0 =0 f() beliebig oft differenzierbr und f (n) (0) = 0 55 0! = k k! R. Ist f() = f()? ( t ) k+ ( ) n+

f() = sin(), f () = cos(), f () = sin(), f () = cos(), f IV () = sin() f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (0) =, f IV (0) = 0 sin() := ( ) k (2 k+)! 2 k+ R n () 2 n+3 (2 n+3)! 0 cos() := sin (), (sin 2 () + cos 2 ()) =... = 0 Stz 6.5.7. (Lgrnge-Form des Restglieds): R n () = n! ( t) n f (n+) (t) dt Beweis: n = 0, f() = f() + f (t) dt Induktionsbeweis: f() = T n () + (R n () =)R n () = n! ( t) n f (n+) (t) dt Prt.Int. = T n () n! ( t)n+ n+ f (n+) (t) + n! ( t) n+ n+ f (n+2) (t) dt = T n () + (n + )! ( )n+ f (n+) () + (n + )! ( t) n+ f (n+2) () dt T n+() R n+() Beispiel: sin() = 3 3! + R 4(), R 2 n+2 () 2 n+3 (2 n+3)! = [ π 4, + π 4 ], R n() ( π 4 )5 5! < 0.003, gilt uch für < π 4

Einschub: Die Kompleen Zhlen Definition: Menge der kompleen Zhlen C = { + i y, y R} Rechenregeln: ( + i y ) + ( 2 + i y 2 ) = ( + 2 ) + i (y + y 2 ) ( + i y ) ( 2 + i y 2 ) = 2 + i ( y 2 + 2 y ) y y 2 = ( 2 y y 2 ) + i ( y 2 + 2 y ) +i y = +i y i y i y = i y 2 +y 2 = 2 +y 2 i y 2 +y 2 z = + i y, z = i y z z 2 = z z 2 z z 2 = z z 2 z = z z Stz: C ist ein Körper. Achtung: C ist nicht geordnet! (Es gibt keine Ungleichungen) Abstnd in C Stz: Seien z, z 2 C z + z 2 z + z 2 56 Dreiecksungleichung z z 2 z z 2 Beweis: z + z 2 2 = z 2 +2 Re(z z 2 ) 57 + z 2 2 z 2 +2 z z 2 + z 2 2 = ( z + z 2 ) 2 Konvergenz Folge kompleer Zhlen { n } { n } konvergiert gegen flls: { ɛ > 0 N : n 58 < ɛ n > N Re(n ) R() Stz: n genu dnn, wenn Im( n ) Im() und Beweis: n } n 0 Re( n ) 0 und Im( n ) 0 Re( n ) Re() Re(n ) Im( n ) Im() 2 + Im( n ) 2 Re() 2 + Im() 2 Definition: n heißt beschränkt flls n beschränkt ist. Eponentilfunktion und trigonometrische Funktionen Definition (Komplee Eponentilfunktion): ep(z) = z k k!, z C. Stz: Die Eponentilfunktion ist nlytisch und es gilt ep (z) = ep(z). Stz: ep(z + z 2 ) = ep(z ) ep(z 2 ) z, z 2 C Beweis: ep(z ) ep(z 2 ) = z k z k 2 k! k! = k j=0 56 ist eine reelle Zhl 57 Re(z) z, Im(z) z, bzw. y 2 + y 2 58 (Re( n )) 2 + (Im( n )) 2 59 k! j! (k j)! z zk j j 2 j! (k j)! = k! k j=0 ( k 59 j) z j zk j 2 = (z +z 2) k k! = ep(z + z 2 )

Notiz: ep( z) = ep(z), ep(z) = Definition (Trigonometrische Funktionen): cos(z) = 2 (ep(i z) + ep( i z)) = z k k! = sin(z) = 2 i (ep(i z) ep( i z)) = ( ) k z 2 k (2 k)! z k k! = ( ) k z 2 k+ (2 k+)! z k k! = ep( z), ep(i y) 2 = ep(i y) ep( i y) = ep(0) = Stz (Formel von Euler): e i y = cos(y) + i sin(y) y R, e z = e +i y = e e i y = e (cos(y) + i sin(y)) Stz: Seien z, z 2 C, dnn gilt: () cos( z) = cos(z) (gerde Funktion!) sin( z) = sin(z) (ungerde Funktion!) (2) sin 2 (z) + cos 2 (z) = ( sin(z), cos(z) ) (3) Additionstheoreme: sin(z ± z 2 ) = sin(z ) cos(z 2 ) ± cos(z ) sin(z 2 ) cos(z ± z 2 ) = cos(z ) cos(z 2 ) sin(z ) sin(z 2 ) (4) sin (z) = cos(z) cos (z) = sin(z) Polrdrstellung z j = r j e i ϕj 60 r = z = { rccos( 2 + y 2 ϕ = r ) y 0 rccos( r ) ϕ ( π, +π] y<0 Stz (Formel von Moivre): z n = r n e i n ϕ = r n (cos(n ϕ) + i sin(n ϕ)) Definition: n z = n r e i ϕ n π < ϕ +π (Huptzweig) Definition: log : C\{0} C z = r e i ϕ log(z) = ln(z) + i ϕ ϕ ( π, +π] Definition: z w = e w log(z) 60 z.b.: z z 2 = r r 2 e i (ϕ +ϕ 2 )

7 Der euklidische Rum Achtung! Ab hier bis Kpitel 7.2 hbe ich den englischen Tet übersetzt, d.h. es gibt sicher noch ein pr Übersetzungsfehler. 7. Eucliden Spce Definition: Der Rum R d ist die Menge ller d-tupel (geordnet in der Form (, 2,..., d )). Bemerkung: Die Reihenfolge ist wichtig! Ds heißt, dss (, 2 ) ( 2, ) flls 2. Bemerkung: R 2 ist eine Ebene. Grphen von Funktionen von R R werden uf solchen Ebenen konstruiert. GR(f) = {(, f()) : D(f)}, wobei (f(), ) dbei eher wenig Sinn mcht. Für die Rechenopertionen Addition und Multipliktion im R d gilt folgendes: Seien = (, 2,..., d ) und y = (y, y 2,...y d ) Vektoren us dem R d und α R ein Sklr, dnn ist + y = ( + y, 2 + y 2,..., d + y d ) und α = (α, α 2,..., α d ). Stz 7...: Seien u, v, w R d und α, β R, dnn gilt:. u + (v + w) = (u + v) + w 2. u + v = v + u 3. 0 + u = u 4. 0 u = 0 5. α (β u) = (α β) u 6. (α + β) u = α u + β u 7. α (u + v) = α u + α v Definition: Eine Menge mit den Rechenopertionen Addition und sklrer Multipliktion (wo die Sklre zu einem Körper F gehören), wo die oben gennnten Eigenschften eingehlten werden, heißt Vektorrum über einen Körper F. Ds heißt, R d ist ein Vektorrum über den Körper R. Um den Abstndsbegriff im R d zu definieren, wird ds innere Produkt (Sklrprodukt) verwendet. Ds innere Produkt ist u, v = d u k v k., ist eine Abbildung vom R d R d R. Stz 7..4.:: Seien u, v, w R d und α R, dnn gilt:. u, v = v, u 2. u + v, w = u, w + v, w 3. α u, v = α u, v 4. u, u 0 und 0, 0 = 0 u = 0 Definition: Eine Funktion, die Vektorpärchen (in R d ) in den R (Sklre) bbildet und die Eigenschften us Stz 7..4. respektiert, heißt inneres Produkt. Dieser Rum wird dnn uch Sklrproduktrum gennnt. Ds innere Produkt u, v = d u k v k heißt uch euklidisches inneres Produkt. Nottion: e k = (0, 0,..., 0,,..., 0), e k, e j = δ kj. Ds heißt, dss {e k } d orthonorml im euklidischen Rum R d ist. k e k, = k wo = (, 2,..., d ) ist, lso = d e k, e k.

Definition 7..7.: Im Sklrproduktrum (X,, ) wird die Norm,, von einem Element X ls =, definiert. Der Abstnd zwischen und y ist definiert ls y. Stz 7..8. (Cuchy-Schwrz Ungleichung): Flls (X,, ) ein Sklrproduktrum ist, dnn, y y. Beweis: Seien, y X und t R. Dnn f(t) := t + y, t + y = t 2 2 +2 t, y + y 2 0. f ist eine Prbel mit miml einer Wurzel genu dnn, wenn, y 2 ( y ) 2 0 Bemerkung: Aus Stz 7..8. folgt die Definition für Winkel: θ(, y) = rccos(,y y ). Im R 2 ist, y = y cos(θ), d cos(θ), y y. Anmerkung: θ = π 2, y = 0 Stz 7..0.: Sei (X,, ) ein Sklrproduktrum, X und α R, dnn gilt:. + y + y 2. α = α 3. = 0 = 0 Beweis: + y 2 = + y, + y = 2 +2, y + y 2 2 +2 y + y 2 = ( + y ) 2 Definition: Eine Norm im Vektorrum X ist eine Funktion X R, dessen Menge θ(, y) = rccos(,y y ) und Eigenschften us Stz 7..0. 2.+3. ls Norm bezeichnet wird. Ein Vektorrum X, die eine Norm enthält wird Normierter Rum gennnt. I R Intervll, C(I) = {f : I R f stetig uf I}. f = I sup f(), f p + g p, α f p = α f p sup sup sup I f() + g() I ( f() + g() ) I } {{ f() } f+g 7.2 Konvergenz f + sup I } {{ g() } g f p= ( I Metrischer Rum: Eine Menge X mit einer Funktion δ : X X [0, ) mit folgenden Eigenschften: (i) δ(, y) = δ(y, ) (ii) δ(, y) = 0 = y (iii) δ(, z) δ(, y) + δ(y, z) Stz 7.2.2.: Jeder normierte Rum mit δ(, y) = y ist ein metrischer Rum. Beweis: (i) δ(, y) = y = y = δ(y, ) (ii) δ(, y) = y = 0 y = 0 = y (iii) δ(, z) = z = y + y z y + y z = δ(, y) + δ(y, z) f() p d) p 6, f + g p Metrischer Rum < Normierter Rum < Rum mit Sklrprodukt, soll heißen: Wenn ein Rum ds Sklrprodukt enthält, dnn ist es utomtisch uch ein normierter Rum usw. Folgen und Konvergenz Definition 7.2.5.: Sei { n } eine Folge von Vektoren us R d und R d. Dnn konvergiert n flls ɛ > 0 N : n < ɛ n > N δ(, n) 6 p

Stz 7.2.8.: Sei { n } R d eine Folge und R d ein Vektor. Dnn gilt für { n }: n n uch n 0. Beispiel: n = (e n sin(n), e n ) R 2, Vermutung: n 0 n 0 = (e n sin(n)) 2 + (e n ) 2 = e 2 n sin 2 (n) + e 2 n = e n + sin 2 (n) 2 e n 0 Stz: 7.2.0.: Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig. Stz 7.2..: Sei { n } R d, R d und n. Dnn n. Beweis: n n 0 Stz 7.2.2.: Seien n, y n y R d und n R, dnn gilt: () n + y n + y (b) n n (c) n y n y (Sklrprodukt!) n. Flls n 0, dnn Beweis: () n + y n ( + y) n + y n y 0 0 0 (b) n n = n + n n n = ( n ) + n ( n ) n ( n ) + ( n ) = n n + n 0 0 Stz 7.2.3.: Sei 62 n 63 e j n e j j =,..., d Beweis: folgt us Stz 7.2.2 (c) n = ( d ( 64 n,j 65 j ) 2 ) /2 0 j= Stz 7.2.4. (Bolzno-Weierstrß für R d ): Jede beschränkte Folge ht eine konvergente Teilfolge. Bemerkung: { n } beschränkt : M : n M Beweis: n,j j =,..., d beschränkte Folge reeller Zhlen Bolzno Weierstrß = Teilfolge, so dss für R d nk, = Teilfolge, so dss nkk2 2, 2 Definition 7.2.5. (Cuchy-Folge): Eine Folge { n } in R d heißt Cuchy-Folge, flls ɛ N : n m < ɛ n, m > N. Ein normierter Rum heißt vollständig, flls jede Cuchy-Folge konvergiert. Stz: R d (und C d ) ist vollständig. 7.3 Offene und bgeschlossene Mengen (Topologie) Definition: B r ( 0 ) = { R d 0 < r} offene Kugel (um 0 mit Rdius r) B r ( 0 ) = { R d 0 r} bgeschlossene Kugel (um 0 mit Rdius r) Definition 7.3..: Eine Teilmenge U R d heißt offen, flls es zu jedem U eine offene Kugel B r ( 0 ) r > 0 mit B r () U gibt. Eine Teilmenge U R d heißt bgeschlossen, flls ihr Komplement R d \U offen ist. Eine Umgebung von R d ist eine Menge die eine offene Kugel um enthält. Stz 7.3.2.: () φ ist offen und bgeschlossen (b) R d ist offen und bgeschlossen (c) Jede offene Kugel ist offen 63 n = (,j,..., d,j ) 63 = (,..., d ) 65 n,j = e j n 65 j = e j

(d) Jede bgeschlossene Kugel ist bgeschlossen Beweis: () (b) (c) B r ( 0 ) Wähle B r ( 0 ) d = r 0 > 0 Behuptung: B d () B r ( 0 ), y B d () y B r ( 0 ) y 0 = y + 0 y + 0 < d + r d = r <d =r d (d) B r ( 0 ) bgeschlossen R d \B r ( 0 ) = { 0 > r} ist offen Stz 7.3.3.: () Die Vereinigung offener Mengen ist offen (b) Der Durchschnitt endlichvieler offener Mengen ist offen (c) Der Durchschnitt bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen (d) Die Vereinigung endlichvieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen Beweis: () (c) und (b) (d) folgt us de Morgn-Regeln Definition 7.3.6.: Sei E R d, dnn gilt: () Ds Innere von E ist die größte offene Teilmenge von E. Schreibweise E. (b) Der Abschluss von E ist die kleinste bgeschlossene Menge die E enthält. Schreibweise E.

(c) Der Rnd von E ist E\E (Differenz von E und E). Schreibweise E. Beispiel: E = {(, y) (, y) <, y 0} {(0, y) y [0, ]} E = {(, y) (, y) <, y > 0} E = {(, y) (, y) =, y 0} {(, 0) [, +]} {(0, y) y [0, ]} Beispiel: Sei Q R, dnn ist: Q = φ Q = R Q = R Stz 7.3.7.: Seien E R d und R d, dnn gilt: () E Es eistiert eine Umgebung von die in E enthlten ist (Topogrfische Definition) Es eistiert ein ɛ > 0 mit B ɛ () E (Metrische Definition) (b) E Jede Umgebung von enthält einen Punkt us E ɛ > 0 enthält B ɛ () einen Punkt us E (c) E Jede Umgebung von enthält Punkte us E und dem Komplement von E ɛ > 0 enthält B ɛ () Punkte us E und dem Komplement von E Stz 7.3.9.: Sei n R d, dnn n für jede Umgebung U von eistiert ein Inde N, so dss n U für n N (Umformulierung der Konvergenz). Stz 7.3.0.: Sei A R d. Dnn ist A die Menge ller Grenzwerte von konvergenten Folgen mit Gliedern us A. Die Menge A ist bgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge us A uch der Grenzwert us A ist. Beweis: A, wähle B () Stz 7.3.7.(b) 2 = n A B 2 () n n A, n ɛ > 0 N : n B ɛ () Stz 7.3.7.(b) = 7.4 Kompktheit A Definition: Offene Überdeckung von E Rd ist eine Fmilie von offenen Mengen deren Vereinigung E enthält. Beispiel: U = {ller offenen Intervlle der mimlen Länge 2 mit rtionlen Rndpunkten} (i) U überdeckt R (ii) U überdeckt [0, ] ( 4, + 4 ) ( 5, 3 5 )... Beispiel: U = {( n, ) n N} überdeckt (0, )