Protokoll zum Grundversuch Mechanik

Protokoll zum Grundversuch Mechanik Fabian Schmid-Michels Nils Brüdigam Universität Bielefeld Wintersemester 006/007 Grundpraktikum I Tutor: Sarah Dierk 09.01.007 Inhaltsverzeichnis 1 Ziel Theorie 3 Versuch A: Reversionspendel 3 3.1 Grundlagen.............................. 3 3. Versuchsdurchführung........................ 3 3.3 Auswertung der Messergebnisse................... 5 4 Versuch B: Torsionspendel 6 4.1 Grundlagen.............................. 6 4. Versuchsdurchführung........................ 7 4.3 Auswertung der Messergebnisse................... 7 5 Versuch C: Gekoppelte Pendel 9 5.1 Grundlagen.............................. 9 5. Versuchsdurchführung und -auswertung.............. 1 5.3 Diskussion der Messergebnisse von Versuch C........... 14 6 Quellen 14 1

1 Ziel Untersuchung mechanischer Schwingungen am Beispiel von Torsionspendel, Reversionspendel und gekoppelten Pendeln. Messung der Erdbeschleunigung. Statistische Fehleranalyse. Theorie Prinzipiell gibt es zwei Arten von Pendeln, mathematische und physikalische Pendel. Ein mathematisches Pendel besteht aus einer punktförmigen Masse m, die an einem masselosen Faden aufgehängt ist. Lenkt man das Pendel um einen Winkel α aus, so wirkt die rücktreibende Kraft mg sin α. Für hinreichend kleine Auslenkungen α gilt die Näherung sin α α. Als Lösung der resultierenden Bewegungsgleichung ergibt sich eine harmonische Schwingung g α(t) = α 0 cos(ω 0 t φ) mit ω 0 = l wobei ω 0 die Kreisfrequenz und φ eine Phasenverschiebung ist, die sich aus den Anfangbedingungen ergibt. Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels ist dabei gegeben durch: l T = π (1) g Abbildung 1: Schema eines mathematischen Pendels [Quelle (1)] Ein physikalisches Pendel besteht aus einem starren Körper der Masse m, der drehbar an einer Achse O aufgehängt ist, die nicht durch seinen Schwerpunkt S verläuft. Nach einer Auslenkung führt das Körper unter dem Einuss der Schwerkraft Schwingungen um die Ruhelage aus. Das Verhalten eines Körpers bei Rotationsbewegungen wird im wesentlichen durch sein Trägheitsmoment J um den Aufhängepunkt festgelegt. Die im Schwerpunkt angreifende Schwerkraft mg hat ein der Auslenkung α entgegenwirkendes Drehmoment D = mgs sin α zur Folge, wobei g de Erdbeschleunigung und s der Abstand zwischen Schwerpunkt und Drehachse ist. Als Bewegungsgleichung erhält man D = J d α dt Beschränkt man sich auf hinreichend kleine Winkel, so gilt wieder die Näherung sin α α, und man erhält als Lösung eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer J T = π mitd 0 = mgs () D 0 Das Trägheitsmoment J hängt von der Form und der Massenverteilung des Körpers sowie der Lage der Drehachse ab. Üblicherweise betrachtet man stattdessen das Trägheitsmoment J S um eine zur Drehachse parallele Achse durch den Abbildung : Schema eines physikalischen Pendels [Quelle (1)]

Schwerpunkt (es ist für viele einfache Körper tabelliert) und berechnet hieraus das gesuchte Moment mit Hilfe des Steinerschen Satzes J = J S ms (3) Ein direkter Vergleich von physikalischen und mathematischen Pendel wird mit Hilfe der reduzierten Pendellänge L R möglich. Sie wird so deniert, dass ein mathematisches Pendel der Länge L R genau die gleiche Schwingungsdauer wie das physikalische Pendel hat: L R g = J = J S ms L R = s J S D 0 mgs ms Man erhält das äquivalente mathematische Pendel, wenn man sich die Gesamtmasse des Pendels in einem Punkt (dem Schwingungsmittelpunkt) im Abstand L R zur Drehachse konzentriert vorstellt. (4) 3 Versuch A: Reversionspendel 3.1 Grundlagen Das Reversionspendel besteht im wesentlichen aus einem Metallstab, der wahlweise an zwei parallelen Achsen A oder B aufgehängt werden kann. Wird ein physikalisches Pendel im Schwingungsmittelpunkt M aufgehängt, dann ist die reduzierte Pendellänge für die Schwingung um M durch gegeben, woraus mit (4) L R = (L R s) L R = L R J S m(l R s) folgt; der ursprüngliche Aufhängepunkt wird dabei zum neuen Aufhängepunkt. Auf dieser Gleichheit beruht die Funktion des Reversionspendels: ist die Schwingungsdauer um die Achsen A und B gleich, so ist deren Abstand gerade L R. Die Massenverteilung des Pendels kann durch Verschieben der Gewichte G und G solange verändert werden, bis die Schwingungsdauern T A um A und T B um B übereinstimmen. Dann stimmt die reduzierte Pendellänge gerade mit dem Schneidenabstand l s überein, und die Erdbeschleunigung g kann aus der Schwingungsdauer mittels (1) bestimmt werden. 3. Versuchsdurchführung Zunächst bestimmen wir den Schnittpunkt 1 des Pendels, indem wir für verschieden y jeweils die Schwingungsdauer über mehrere Schwingungen mitteln. Unsere Fehler für y und T A, bzw. T B beruhen auf Ungenauigkeiten bei der Zeitmessung (handgestoppte Zeiten) und einem etwas ungenauen Längenmass (1m Lineal). Es ergibt sich folgende Tabelle jeweils für verschiedene Abstände y, die Schwingungsdauer um A (T A ) und die Schwingungsdauer um B (T B ), jeweils über 10 Schwingungen gemessen: Abbildung 3: Schema des Reversionspendels [Quelle (1)] 1 d.h. den Abstand y des Gewichtes G für den das Pendel um die Aufhängepunkte A und B die gleiche Zeit für eine Schwingung braucht 3

y[cm] 10 T A [s] 10 T B [s] 75 19.19 19.50 80 19.6 19.66 81 19.7 19.75 8 19.6 19.78 83 19.7 19.90 84 19.8 19.91 85 19.97 19.94 y = 0.5 T = 0.s T = 0.s Tabelle 1: Bestimmung des Schnittpunktes beim Reversionspendel Aus den obigen Werten folgern wir, dass der Schnittpunkt unseres Pendels bei ungefähr 81 ± 0.5cm und die Schwingungsdauer bei ungefähr 1.974 ± 0.0s liegt. Jetzt messen wir mit der Stoppuhr 100 Einzelschwingungen des Pendels und bestimmen daraus T und σ T, die Werte im einzelnen sind der handgeschriebenen Versuchsmitschrift im Anhang zu entnehmen. Wir erhalten T =.013 und σ T = 0.1003. Mit diesen Werten kann man nun ein Histogramm der gemessenen Werte auftragen 4

Mit T und l s = l können wir nun nach Formel (1) die Erdbeschleunigung g bestimmen: l T = π g g = 4π l s T = 4π 0.994 m, 013 s 9.68 m s Die mittlere Messunsicherheit g berechnet sich mithilfe folgender Formel ( ) g = 4π ls l T s σ T T Unter Zuhilfenahme dieser Formel erhält man für g einen Wert von 0.48 m s. Der Literaturwert liegt bei ca. 9.81 m s (Quelle () S.30), daher ist unser Wert etwas zu klein, was wahrscheinlich vor allem auf die handgestoppten Zeiten zurückzuführen ist. Allerdings liegt er auf jedem Fall im Rahmen der Fehlertoleranz. 3.3 Auswertung der Messergebnisse Prinzipiell liegen wir mit unserem Wert für die Erdbeschleunigung relativ nah an dem Literaturwert und auf jeden Fall im Rahmen unserer Messungenauigkeit, die einen zwar nicht zu grossen Wert angenommen hat (ca. 5% ), aber auch nicht wirklich klein ist. 5

4 Versuch B: Torsionspendel 4.1 Grundlagen (a) von der Seite (b) von oben Abbildung 4: Schmematische Zeichnung [Quelle (1) S. 15] Ein Torsionspendel besteht im Wesentlichen aus einem Draht der Länge L, dessen oberes Ende fest eingespannt ist und an dessen anderen Ende eine Scheibe mit bestimmtem Radius r hängt. Erzeugt man an der Scheibe ein Drehmoment D, so verdrillt sich der Draht etwas. Im Draht wird ein Richtmoment erzeugt, dass dem Drehmoment entgegenwirkt. D = rf (5) Das Maÿ dieses Richtmoments gibt das Schubmodul G an. Es gilt (R: Radius des Drahtes): D = πr4 L G ϕ = D R ϕ (6) Wenn das angelegte Drehmoment bekannt ist, so kann man direkt aus der Verdrillung um den Winkel ϕ das Schubmodul bestimmen. Diese Art der Bestimmung von G nennt man statische Methode. Man erhält für diese Art der Versuchsdurchführung: G = LrF πr 4 ϕ Lässt man die Scheibe nach dem Auslenken mit einem bestimmten Drehmoment los, so erhält man für kleine Auslenkungen, die den Draht nicht permanent verformen, eine harmonische Schwingung der Scheibe in ihrer Drehrichtung. Für die Dauer einer Schwingung gilt (J: Trägheitsmoment der Scheibe): J LJ T = π = π (8) D R πgr 4 Wenn die Schwingungsdauer der Scheibe bekannt ist, kann G ebenfalls bestimmt werden. Diese Methode nennt man dynamische Methode. Man erhält folgende Gleichung: (7) G = 8πLJ R 4 T (9) 6

mit J = mr (Trägheitmoment der Scheibe) folgt: 4. Versuchsdurchführung G = 4πLmr R 4 T (10) Zuerst bestimmt man mit der statischen Methode das Schubmodul für verschiedene Drehmomente. Dazu legt man eine Kraft tangential an die Scheibe an und misst die Auslenkung der Scheibe. Um das Schubmodul durch die dynamische Mehode zu bestimmen, lenkt man das Torsionspendel mehrmals um den gleichen (kleinen) Winkel aus und misst die Dauer von 10 Perioden der Schwingung um den Messfehler beim Bestimmen der Schwingungsdauer T zu minimieren. 4.3 Auswertung der Messergebnisse Fehlerbetrachtung Der Verdrillungswinkel ϕ kann mit einer Messunsicherheit von ϕ =.5 abgelesen werden. Auch bei der Bestimmung der Kraft F gibt es eine Ungenauigkeit, etwa F = 0.0N. Die Länge des Fadens wurde auf L = (0.103 ± 0.003)m, der Radius auf R = (0.00050 ± 0.00005)m betstimmt. Der Radius des Scheibe beträgt r = (0.030 ± 0.001)m. Nach der Gauÿ'schen Fehlerrechnung ergibt sich: D = ( D F F Auswertung der statischen Methode ) ( ) D r r = (r F ) (F r) (11) F [N] ϕ [ ] ϕ [rad] D [Nm] ϕ D 0.0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0. 10 0.1745 0.0060 0.0436 0.0006 0.3 15 0.618 0.0090 0.0436 0.0007 0.4 3 0.4014 0.010 0.0436 0.0007 0.5 30 0.536 0.0150 0.0436 0.0008 0.6 35 0.6109 0.0180 0.0436 0.0008 0.7 40 0.6981 0.010 0.0436 0.0009 0.8 45 0.7854 0.040 0.0436 0.0010 0.9 50 0.877 0.070 0.0436 0.0011 1.0 58 1.013 0.0300 0.0436 0.001 Tabelle : Messwerte der statischen Methode Mit dem Programm gnuplot wurde mittels least squares t eine Ausgleichsgrade bestimmt (siehe Abbildung 5). Die Ausgleichsgrade hat die Steigung a = (0.0301506 ± 0.0003165) Nm rad. Damit folgt für das Schubmodul: G = LrF πr 4 ϕ = L N a = 3.16 104 πr4 mm Für G gilt (wieder Gauÿ'sche Fehlerrechnung): 7

Abbildung 5: D-ϕ-Graph G = = ( G L L ( a πr 4 L = 1.7 10 4 N mm Somit ergibt sich für G: ) ( G a a ) ( L πr 4 a G stat = (3.16 ± 1.7) 10 4 N mm ) ( ) G R R ) ( 8La πr 5 R ) 8

Auswertung der dynamischen Methode T [s] 0.516 0.51 0.504 0.510 0.506 T [s] 0.5096 ± 0.0048 Masse m der Scheibe laut Quelle (1) 0,47kg (Fehler vernachlässigt) Mit Gleichung (10) folgt: Tabelle 3: Messwerte der dynamischen Methode G = 3.37 10 4 N mm Für G gilt (wieder Gauÿ'sche Fehlerrechnung): G = = ( G L L (4πmr R 4 T L = 1.44 10 4 N mm Damit folgt: ) ( G r r ) ( 8πLmr R 4 T ) ( G ) ( G T T R R ) ( 16πLmr r R 5 T R ) ) ( 8πLmr R 4 T 3 G dyn = (3.37 ± 1.44) 10 4 N mm Vergleich mit der Herstellerangabe Die Herstellerangabe für G beträgt 7 10 4 N mm. G stat weicht um etwa 3σ, G dyn um etwa.5σ von der Herstellerangabe ab. Auällig ist, dass beide Werte und Fehler ungefähr gleich sind. Ein Messfehler könnte zur Erklärung beitragen. In beide Formeln für die unterschiedlichen G-Werte geht der Radius des Fadens mit der 4. Potenz ein. Bereits eine Änderung um 1mm würde zu Ergebnissen führen, die sehr nahe am Hestellerwert liegen. ) T 5 Versuch C: Gekoppelte Pendel 5.1 Grundlagen Die Kopplung mehrerer schwingungsfähiger Systeme spielt in vielen Bereichen von Wissenschaft und Technik eine wichtige Rolle. Sie ist die Vorraussetzung für die moderne Kommuniations- und Informatonstechnik, ndet sich aber in harmlosen akustischen Eekten ebenso wieder wie in der spektakulären Zerstörung von Brücken. Die allgemeine theoretische Beschreibung dieses Phänomens ist leider nicht ganz einfach; einige wesentliche Merkmale können jedoch bereits an einem einfachen mechanischen System werden, das aus zwei gleichen physikalischen Pendeln besteht, die durch eine Schraubenfeder gekoppelt sind. Die gekoppelten Pendel sind so gelagert, dass sie nur in einer Ebene schwingen können. Ohne Kopplung schwingen beide Pendel mit der Eigenfreuquenz D ω 0 = J Abbildung 6: Schema von gekoppelten Pendeln [Quelle (1)] 9

die durch das Richtmoment D und das Trägheitsmoment J gegeben ist (). Ist Pendel 1 um den Winkel ϕ 1 und Pendel um den Winkel ϕ ausglenkt, so wirkt auf Pendel 1 das rücktreibende Drehmoment und auf Pendel das Drehmoment Dϕ 1 D (ϕ ϕ 1 ) Dϕ D (ϕ 1 ϕ ) wobei D das von der Kopplungsfeder ausgeübte Richtmoment ist. Das System wird daher (bei vernachlässigter Reibung) durch die gekoppelten Bewegungsgleichungen J d ϕ 1 dt = Dϕ 1 D (ϕ 1 ϕ ) (1) J d ϕ dt = Dϕ D (ϕ 1 ϕ ) (13) beschrieben. Eine Lösung dieser Bewegungsgleichung wird durch die Substitution φ 1 = ϕ 1 ϕ und φ = ϕ 1 ϕ wesentlich vereinfacht, da die Gleichungen dann zu J d φ 1 dt = Dφ 1 und J d φ dt = (D D )φ entkoppeln. Als Lösung ndet man wieder die harmonische Schwingungen φ 1 = a 1 cos ω 1 t b 1 sin ω 1 t und φ = a cos ω t b sin ω t mit den Eigenfrequenzen ω 1 = D D D J und ω = J (14) Die Rücktransformation auf die Variablen ϕ 1 und ϕ liefert die allgemeine Lösung ϕ 1 (t) = 1 (a 1 cos ω 1 t b 1 sin ω 1 t a cos ω t b sin ω t) (15) ϕ (t) = 1 (a 1 cos ω 1 t b 1 sin ω 1 t a cos ω t b sin ω t) (16) Die Konstanten a 1, a, b 1 und b sind aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen. Eine Charakterisierung des Systems erfolgt am einfachsten anhand von drei Spezialfällen: 1. Gleichsinnige Schwingungen Die beiden Pendel werden zur Zeit t = 0 um de gleichen Winkel α ausgelenkt und dann losgelassen. Beide Pendel schwingen im Gleichtakt mit der Kreisfrequenz ω 1. Im Idealfall ist die Kopplungsfeder dabei stets entspannt und die Schwingung verläuft so, als wäre sie gar nicht vorhanden. Die Anfangsbedingungen sind in diesem Fall ϕ 1 (0) = α, ϕ (0) = α, ϕ 1 (0) = 0 und ϕ (0) = 0 10

und man erhält aus (1) ϕ 1 (t) = ϕ (t) = α cos ω 1 t..gegensinnige Schwingungen Hierbei werden die Pendel zur Zeit t = 0 um die Winkel α und α ausgelenkt und losgelassen. Beide Pendel schwingen dann mit gleicher Amplitude α und gleicher Frequenz ω aber mit einer Phasenverschiebung π. Die Kreisfrequenz ω ist infolge der Wirkung der Kopplungsfeder gröÿer als ω 1. Die Anfangsbedingungen liefern hier ϕ 1 (0) = α, ϕ (0) = α, ϕ 1 (0) = 0 und ϕ (0) = 0 ϕ 1 (t) = α cos ω t und ϕ (t) = α cos ω t. 3. Schwebungsschwingungen Dieser Zustand kann beispielsweise dadurch erreicht werden, dass man Pendel 1 in der Ruhelage festhält, während Pendel um den Winkel α ausgelenkt wird. Zur Zeit t = 0 werden beiden Pendel losgelassen. Das entspricht den Anfangsbedinungen ϕ 1 (0) = 0, ϕ (0) = α, ϕ 1 (0) = 0 und ϕ (0) = 0 woraus man mit (1) die Lösungen ϕ 1 (t) = α ( ) ( ) (cos ω ω ω1 ω ω1 1t cos ω (t)) = α sin t sin t ϕ (t) = α ( ) ( ) (cos ω ω ω1 ω ω1 1t cos ω (t)) = α cos t cos t (17) (18) erhält. Die von den gekoppelten Pendeln ausgeführten Bewegungen sind im allgemeinen relativ kompliziert. Für den Fall einer schwachen Kopplung können die obigen Beziehungen vereinfacht werden. Die Stärke der Kopplung wird durch den Kopplungsgrad K = D (19) D D gemessen. Eine schwache Kopplung ist dadurch gekennzeichnet, dass das Richtmoment der Kopplungsfeder D klein gegen das des Pendels ist. Mit (11) erhält man die Beziehung K = ω ω1 ω (0) ω 1 mit der K aus den gemessenen Eigenfrequenzen bestimmt werden kann. Bei schwacher Kopplung ist ω nur wenig grösser als ω 1. Die durch (14) beschriebene Bewegung erlaubt dann die folgende Interpretation: die beiden Pendel schwingen mit der Kreisfrequenz ω = ω 1 ω. (1) Die Amplituden dieser Schwingung ( α sin ( ω ω 1 t ) und α cos ( ω ω 1 t ) ) ändern sich dabei periodisch. Bei den obigen Anfangsbedingungen kommt Pendel 1 jeweils nach der Zeit T S wieder zur Ruhe, d.h. T S (ω ω1)/ = π. Die zugehörige Kreisfrequenz ist daher ω S = ω ω 1. () 11

Diese Erscheinung wird als Schwebung bezeichnet; T S ist die Schwebungsdauer. Die nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf der Amplituden ϕ 1 und ϕ für den Fall. Es zeigt sich, dass die wesentlichen Eigenschaften des gekoppelten Pendels durch die Eigenfrequenzen ω 1 und ω festgelegt sind. Die zugehörigen Schwingungsformen (gleich- und gegensinnige Schwingung) werden als Normalschwingungen bezeichnet. Das Aunden der Normalschwingungen und der zugehörigen Eigenfrequenzen ist der wesentliche Schritt bei der Analyse eines schwingenden Systems. So werden beispielsweise die Schwingungen des Wassermoleküls durch drei Normalschwingungen charakterisiert. 5. Versuchsdurchführung und -auswertung Zuerst messen wir die Schwingungsdauern der beiden Pendel, mit entfernter Kopplungsfeder. Hierbei sollte im Rahmen der Messungenauigkeit ein übereinstimmender Wert herauskommen. Wir messen T 01 =.066s und T 0 =.078s. Da die Werte handgestoppt und dementsprechen vage sind, liegen die Werte auf jeden Fall innerhalb der Messungenauigkeit. Nun hängen wir die Kopplungsfeder so ein, dass sich ein kleiner Kopplungsgrad ergibt (ergo relativ weit oben) und messen die Schwingungsdauern für die gleichsinnige Fundamentalschwingung T 1, die gegensinnige Fundamentalschwingung T, die Schwebungsdauer T S und die Schwingungsdauer der Schwebeschwingungen T. Hierzu messen wir jeweils die Zeit für 10 Schwingungen und mitteln. Als Fehler von T nehmen wir 0.5s an. Wir haben dies zunächst für eine unserer Meinung nach relativ kleine Kopplung im sechsten Loch von oben gemacht und erhalten für die verschiedenen Schwingungsdauern folgende Werte: Kopplung T 1 [s] 10 Schw. T [s] 10 Schw. T S [s] 1 Schw. T [s] 10 Schw. klein (6. Loch) 0.69 ± 0.5 17.8 ± 0.5 5.43 ± 0.5. ± 0.5 Tabelle 4: Schwingungsdauern bei kleiner Kopplung Aus diesen können wir nun die zugehörigen Schwingungsfrequenzen ω 1, ω, ω S und ω mittels ω = π T, sowie den Kopplungsgrad K mittels (17) berechnen. Es ergeben sich die Werte: ω 1 = 3.037 ± 0.037s 1 ω = 3.56 ± 0.049s 1 ω S = 0.10 ± 0.0006s 1 ω =.88 ± 0.03s 1 K = 0.148 ± 0.018 Zusätzlich zu diesen gemessenen Werten für ω S und ω können wir diese auch aus den Formeln (18) und (19) berechnen. ω = ω 1 ω ω S = ω ω 1 = 3.037 ± 0.037s 1 3.56 ± 0.049s 1 = 3.8s ± 0.031s 1 = 3.56 ± 0.049s 1 3.037 ± 0.037s 1 = 0.489 ± 0.061s 1 Diese errechneten Werte weichen doch relativ stark von den gemessenen ab. Diese Bestimmung der Schwingungsdauern und des Kopplungsgrades, sowie der Winkelgeschwindigkeiten machen wir nun noch für eine mittlere und die maximale Kopplung. 1

Kopplung T 1 [s] 10 Schw. T [s] 10 Schw. T S [s] 1 Schw. T [s] 10 Schw. mittel (14. Loch) 0.7 ± 0.5 18.19 ± 0.5 14.71 ± 0.5 15.0 ± 0.5 Tabelle 5: Schwingungsdauern bei mittlerer Kopplung Aus diesen Werten ergibt sich: ω 1 = 3.03 ± 0.036s 1 ω = 3.454 ± 0.047s 1 ω S = 0.47 ± 0.007s 1 ω = 4.183 ± 0.070 1 K = 0.130 ± 0.018 Wieder können wir ω S und ω auch berechnen. ω = ω 1 ω ω S = ω ω 1 = 3.03 ± 0.036s 1 3.454 ± 0.047s 1 = 3.43 ± 0.30s 1 = 3.454 ± 0.047s 1 3.03 ± 0.036s 1 = 0.4 ± 0.030s 1 Im Gegensatz zu dem Wert für ω S, welcher ziemlich genau mit dem gemessenen übereinstimmt, weicht der Wert für ω extrem ab, dies führen wir darauf zurück, dass wir uns bei ω wohl schlicht und einfach vermessen haben. Kopplung T 1 [s] 10 Schw. T [s] 10 Schw. T S [s] 1 Schw. T [s] Schw. maximal (6. Loch) 0.6 ± 0.5 14.01 ± 0.5 6.15 ± 0.5 3.69 ± 0.5 Tabelle 6: Schwingungsdauern bei maximaler Kopplung Auch bei dieser Kopplung: ω 1 = 3.047 ± 0.037s 1 ω = 4.485 ± 0.080s 1 ω S = 1.0 ± 0.04s 1 ω = 3.406 ± 0.31s 1 K = 0.368 ± 0.019 Wieder berechnen wir ω und ω S : ω = ω 1 ω ω S = ω ω 1 = 3.047 ± 0.037s 1 4.485 ± 0.080s 1 = 3.766 ± 0.044s 1 = 4.485 ± 0.080s 1 3.047 ± 0.037s 1 = 1.438 ± 0.088 1 Das ω ist wiederrum im Rahmen der Messungenauigkeit ziemlich gut, ω S weicht allerdings doch wieder einmal stark ab. Mit unseren ω S und ω können wir nun eine Auftragung gegen K machen, um uns graphisch deutlich zu machen, in wiefern diese Werte vom Grad der Kopplung abhängen. 13

Abbildung 7: Auftragung von ω S und ω gegen K Wie man aus dem Graphen erkennen kann, fällt jeweils der zweite Wert aus dem Rahmen, wir haben uns also wahrscheinlich wirklich vermessen, allerdings erkennt man doch, dass die Winkelgeschwindigkeit der Schwebungsdauer mit steigender Kopplung zunimmt, während die Winkelgeschwindigkeit einer Schwebungsschwingung abnimmt. 5.3 Diskussion der Messergebnisse von Versuch C Wir sind unseren Ergebnissen nicht zufrieden, da wir bei den gemessenen und errechneten Winkelgeschwindigkeiten sehr häug verschiedene Werte erhalten haben und auch die Messung an sich ist uns anscheinend an der einen oder anderen Stelle nicht so gut gelungen. 6 Quellen 1. Udo Werner. Physikalisches Grundpraktikum I S.11-19. Universität Bielefeld Fakultät für Physik, 006.. Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik. Für Wissenschaftler und Ingenieure.. München 004, revidierter Nachdruck 006. 14