Alternatve Bewese Klaus-R. Löffler Inhaltsverzechns Vorbemerkungen De nachfolgend angegebenen Bewese oder Bewesvaranten snd n gewsser Wese der Unterhaltungsmathematk zuzurechnen: Es geht darum, zu engen bekannten und vertrauten Sätzen der Mathematk orgnelle Alternatven zu den geläufgen Bewesen anzugeben, ncht wel se wchtg oder gar nötg snd, sondern enfach nur aus Spaß an der Mathematk. Dabe kann berets ene verkürzende Schrebwese, de zu ener schnelleren Überprüfung der Voraussetzungen führt - we bem Bespel des verallgemenerten Mttelwertsatzes - en Anlass sen, dese Varante her anzugeben. Ich bn dankbar dafür, dass ch durch Anregungen aus der Newsgroup de.sc.math de Zahl der Bespele von anfangs ver wesentlch erhöhen konnte, und würde mch über wetere Anregungen freuen. De Abzählbarket von Q. Bemerkungen zum Satz und senem Standardbewes Bekanntlch wrd ene Menge M als abzählbar bezechnet, wenn es ene bjektve Abbldung der postven ganzen Zahlen n M gbt. Zum Nachwes der Abzählbarket ener unendlchen Menge M genügt es, de Exstenz ener njektven Abbldung von M n N oder ener surjektven Abbldung von N n M zu zegen. We lecht zu zegen st, recht es be desen Überlegungen, sch anstatt auf ganz Q auf de Menge Q + der postven ratonalen Zahlen zu beschränken. Be den elementaren Standardbewesen werden de postven ratonalen Zahlen n enem über n allen hren Darstellungen mt den Gtterpunkten des ersten Quadranten m Koordnatensystem dentfzert - zur Zahl p q gehört der Gtterpunkt mt den Koordnatenpaar (p; q) - ; de Gtterpunkte lassen sch (nach Schrägzelen, mäandrerend oder nach enem anderen Schema) durchnummereren, wobe nur de Zahlen berückschtgt werden, de ncht berets n ener anderen Darstellung ene Nummer erhalten haben. Damt erhält man de gewünschte bjektve Abbldung... Bewesalternatve Man notere jede postve ratonale Zahl m Stellenwertsystem zur Bass ; der Bruch zum Bespel hat also dann de Form 0. Desem Bruch ordne man nun ene postve ganze Zahl zu, ndem man Zähler und Nenner, getrennt durch ene, hnterenanderschrebt. Im Bespel gehört also dann zum Bruch der Wert 0. Offenschtlch hat man damt ene njektve Abbldung von Q + n N defnert.
De Abzählbarket von Q.. Bemerkung Selbstverständlch kann be der obgen Konstrukton de Bass durch jede andere Bass g ersetzt werden, als Trennzffer t (m Bespel de ) st jede Zffer (t g) geegnet, und für de Deutung der erhaltenen ganzen Zahl kann jede Bass b (b > t) zu Grunde gelegt werden... Bewesalternatve Jens Voss wes mch auf ene andere hübsche Bewesmöglchket hn, be der ene Bjekton t zwschen Q + und R + defnert wrd (- her lecht abgewandelt wedergegeben): Zunächst defnere man durch s(n) = ( ) n n + n N ene bjektve Abbldung von N n Z. Weter se (p, p, p,...) de Folge der Prmzahlen n natürlcher Anordnung. Hat nun de postve ganze Zahl n de Prmfaktorzerlegung n = = p e, so defnere man de Funkton t durch t(n) = p s(e ). = Zum Bespel ergbt sch für n = 0 = : und damt e =, e =, e = 0, e =, s(e ) =, s(e ) =, s(e ) = 0, s(e ) =, t(0) = =... Bewesalternatve e = 0, > s(e ) = 0 Ene wetere nteressante Möglchket mt Stern-Brocot-Bäumen wurde von Helmut Rchter n der mathematschen Newsgroup beschreben; sene Darstellung wrd nachfolgend n bs auf Notatonsmargnalen unveränderter Form wedergegegeben: Man fängt dabe mt den Zahlen ( 0 ), 0 und ( 0 ) an, von denen zwe frelch kene ratonalen Zahlen snd und daher m Ergebns der Abzählung weggelassen werden. Bsherge Rehenfolge: 0 0 0 ; bs jetzt abgezählt: 0. In jedem weten Schrtt ersetzt man das zwschen a b und c d > durch a+c b+d, also Neue Rehenfolge: 0 0 0 ; bs jetzt abgezählt: 0,,. Neue Rehenfolge: ( 0 ) 0 ( 0 ); bs jetzt abgezählt: 0,,,,,,.
Neue Rehenfolge: De Irratonaltät von ( 0 ) 0 ( 0 ); bs jetzt abgezählt: 0,,,,,,,,,,,,,,.... Zu dem von hm beschrebenen Verfahren bemerkt Helmut Rchter: Gegenüber der klassschen Abzählung nach Schrägzelen fällt das Weglassen der ungekürzten Brüche weg: alle Brüche snd gekürzt und alle ratonalen Zahlen kommen genau enmal vor. Das zu zegen st allerdngs mühsamer als wenn man de zu übersprngenden Brüche n Kauf nmmt.. Wederholungsfree Abzählung mt enem bnären Baum In ener Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematk aus dem Jahr 6 war ene ratonale Zahl r als Knoten enes bnären Baums mt der Knotenmenge S so zu bestmmen, dass sch für S de Gesamthet der ratonalen Zahlen zwschen 0 und ergbt, wenn de Knder des Knotens a b jewels a a+b und b a+b snd. De gesuchte Wurzel des Baums st r =. Der entstehende Baum (bs zu den verten Nachfolgern) hat folgendes Aussehen: 6 6 0 0 Alle ratonalen Zahlen werden n reduzerter Form erhalten. Am lnken Rand erhält man de Stammbrüche, am rechten de Brüche aus den Nachbarzahlen der Fbonacc-Folge... Bemerkung zu Abzählbarket und bnärem Baum De Abzählbarket der Knoten n enem unendlchen bnären Baum st offenschtlch, zum Bespel durch zelenweses Abzählen. Zu jedem Knoten führt en endeutg bestmmter endlcher Pfad; bespelswese gehört zu der Pfad (00). Dagegen st de Menge der unendlchen Pfade (also der Pfade ohne Endknoten) überabzählbar, da sch - analog zum zweten Abzählverfahren von Cantor - zu jeder unendlchen Folge f n = (e n ) mt e n {0, } ene Folge g = (u ) angeben lässt, de ken Gled der Folge (f n ) st, ndem man für jedes N das -te Folgengled von g als e defnert. De Irratonaltät von. Bemerkungen zum Satz, senem Standardbewes und senen Varanten Der Satz, dass es kene ratonale Zahl mt dem Quadrat gbt, gehört zu den Musterbespelen, an denen Schüler Bewesverfahren erlernen, - her am Bespel des ndrekten Beweses. Zuglech wrd mt desem Ergebns de Zweckmäßgket der Erweterung des Berechs der ratonalen zu den reellen
Der Nullstellensatz für stetge Funktonen Zahlen motvert, da sch de Länge der Dagonale des Enhetsquadrats sonst ncht mt ener Zahl beschreben lässt. Der (ndrekte) Bewes nmmt an, dass es enen Bruch p q mt natürlchen Zahlen p und q gbt, dessen Quadrat st. Durch Kürzen kann man errechen, dass Zähler und Nenner ncht bede gerade Zahlen snd. Anderersets lässt sch auf de bekannte Wese aus der Bedngung p = folgern, dass sowohl p q als auch q gerade Zahlen sen müssen, was den gewünschten Wderspruch lefert. Stefan Krchner hat mch darauf hngewesen, dass sch de Unerfüllbarket der Glechung q = p berets unmttelbar ergbt, wenn man de Endeutgket der Prmfaktorzerlegung voraussetzt: Denn dann st de Anzahl der Faktoren auf der lnken Sete ungerade und auf der rechten Sete gerade. Be allen desen Varanten wrd wesentlch ene Partätsüberlegung verwendet. Dass be jeder Quadratzahl (n jedem Stellenwertsystem mt ener Prmzahl oder enem Prmzahlprodukt als Bass) de Anzahl der abschleßenden Nullen gerade st, legt auch der Argumentaton zugrunde, de mr Wolfgang Mückenhem mtgetelt hat: Da m Bnärsystems (we auch m Dezmalsystem) jede Quadratzahl mt ener geraden Anzahl von Nullen endet und m Bnärsystem Multplkaton mt das Anfügen ener 0 bedeutet, haben wr n der Glechung q = p lnks ene ungerade Anzahl von Nullen, rechts ene gerade.. Zu Idee und Quelle der Bewesalternatve Der alternatve Bewes verwendet enr für das Lösen von Aufgaben n mathematschen Wettbewerben wchtgen Grundprnzp, nmlch das Extremalprnzp; es verwundert daher ncht, dass de Quelle das Buch Problem Solvng Strateges von Arthur Engel st.. Der andere Bewes Angenommen, st ene ratonale Zahl. Dann gbt es ene postve ganze Zahl n, für welche n ganzzahlg st. Nun se deses n mnmal gewählt - her wrd verwendet, dass de natürlchen Zahlen wohlgeordnet snd, also jede hrer ncht leeren Telmengen en klenstes Element hat. Man betrachte nun de natürlche Zahl m mt m = n ( ). Dann hat man m = n ( ) = n n. Nach Defnton von n st n n, also auch m ganzzahlg. Das st aber wegen m = n ( ) < n en Wderspruch zur Mnmaltät von n. Der Nullstellensatz für stetge Funktonen. Bemerkungen zum Satz und senem Standardbewes Der Nullstellensatz st en Spezalfall des Zwschenwertsatzes, der besagt, dass das Bld enes Intervalls be ener stetgen Funkton weder en Intervall st. Umgekehrt folgt deser Zwschenwertsatz sofort aus dem Nullstellensatz, der häufg n der folgenden Wese formulert wrd: Nmmt ene auf enem abgeschlossenen Intervall [a; b] defnerte und dort stetge Funkton f an den Intervallenden Werte mt unterschedlchen Vorzechen an, so hat se m Intervall mndestens ene Nullstelle. Alle Bewese müssen auf Egenschaften der reellen Zahlen zurückgrefen, da der Nullstellensatz n der Menge der ratonalen Zahlen ncht glt, we zum Bespel de durch f(x) = x defnerte Funkton f zegt.
Der verallgemenerte Mttelwertsatz der Dfferentalrechnung Dabe wrd de Vollständgket der reellen Zahlen ausgenutzt, ndem entweder ene Intervallschachtelung um de Nullstelle konstruert wrd oder en geegnetes Supremum gebldet wrd. Der nachfolgende Bewes reduzert de Behauptung auf den Satz, dass jede auf enem Intervall [a; b] defnerte stetge Funkton f mt f(a) f(b) 0 mt f([a; b]) {, } konstant st. Damt st der Bewes zwar noch ncht abgeschlossen, denn deser allenfalls ntutv als rchtg erkannte Satz bedarf natürlch auch noch enes Beweses, der de Egenschaften der reellen Zahlen ausnutzt; scheßlch st z.b. de durch x Q + f(x) = sgn(x ) auf der Menge der postven ratonalen Zahlen defnerte Funkton f stetg mt der Wertmenge { ; }.. Redukton des Nullstellensatzes Vorgegeben se se ene auf [a; b] stetge reelle Funkton f mt f(a) < 0, f(b) > 0. De Annahme, dass f kene Nullstelle hat, wrd zum Wderspruch geführt, ndem man de durch x [a;b] h(x) = f(x) f(x) defnerte Funkton h betrachtet. Dese st nach den entsprechenden Stetgketsregeln stetg und hat de Wertemenge { ; }. Der verallgemenerte Mttelwertsatz der Dfferentalrechnung. Bemerkungen zum Satz und senem Standardbewes Der Mttelwertsatz der Analyss benhaltet de sehr anschaulche Aussage, dass für ene auf enem abgeschlossenen Intervall defnerte, am Rand stetge und m Inneren dfferenzerbare Funkton stets ene Tangente gbt, de zu der Sekante durch de Endpunkte des Graphen parallel verläuft. (Satz von Rolle mt schefem Kopf betrachtet ;-). Der Satz st n verschedenen Rchtungen zu verallgemenern, ene der Verallgemenerungen führt (z.b. über ene Verallgemenerung des Satzes von Rolle) zum Satz von Taylor. In deser Zusammenstellung wrd de - z.b. für de Herletung der Regel von de-l Hosptal verwendete - Verallgemenerung auf zwe Funktonen betrachtet: Snd de Funktonen f und g auf enem Intervall [a; b] stetg, m Inneren dfferenzerbar, und hat g n ]a; b[ kene Nullstelle, so gbt ene Stelle ξ ]a; b[ mt der Egenschaft f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Der Bewes erfolgt durch Konstrukton ener geegneten Hlfsfunkton, welche de Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt. De Anwendung deses Satzes auf de Hlfsfunkton lefert dann de gewünschte Aussage des verallgemenerten Mttelwertsatzes. De nachfolgend angegebene Verson st egentlch nur ene andere Schrebwese des bekannten Beweses; se verkürzt aber de Rechnung und macht den Bewes überschtlcher.. Notatonsvarante zum Bewes des verallgemenerten Mttelwertsatzes Unter den oben angegebenen Voraussetzungen für de Funktonen f und g erfüllt de durch f(x) f(b) f(a) h(x) = g(x) g(b) g(a) x [a;b]
Der bnomsche Satz defnerte Funkton h offenschtlch de Voraussetzungen des Satzes von Rolle. Als Abletung erhält man be Entwcklung der Determnante nach der ersten Spalte h (x) = f (x) (g(b) g(a)) g (x) (f(b) f(a)), so dass für de nach dem Satz von Rolle exsterende Nullstelle ξ von h glt f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Der bnomsche Satz Unter dem bnomschen Satz versteht man de Formel (a + b) n = a b n Dabe snd a und b belebge reelle Zahlen, n st ene natürlche Zahl.. Bemerkung zu zwe Standardbewesen Der nahelegene Standardbewes durch vollständge Indukton verwendet, dass de Aussage für n = 0 offenschtlch rchtg st und der Schluss von n auf n + mt Hlfe des Addtonstheorems der Bnomalkoeffzenten erfolgen kann. En kombnatorscher Bewes ergbt sch unmttelbar durch de folgende Überlegung: Be der Multplkaton der n Faktoren (a + b) entstehen jewels Produkte der Form a b n, wenn aus genau Faktoren der Summand a und somt aus den restlchen n Faktoren der Summand b gewählt wrd. Da es herfür genau ( n ) Möglchketen gbt, trtt der Summand a b n bem Ausmultplzeren genau ( n ) mal auf.. Alternatvbewes mt Hlfe des Taylorpolynoms Ene enfache Folgerung aus dem Satz von Taylor ergbt, dass jedes Polynom n-ten Grades sen egenes Taylorpolynom st, da das Restgled als Faktor de (n+)-te Abletung enthält und daher verschwndet. Betrachtet man nun für ene natürlche Zahl n de durch f(x) = (x + ) n x R defnerte Funkton mt den Abletungen f () (x) = n (n ) (n + ) (x + ) n = {0,,,...,n} x R so erhält man für jedes x {0,,,..., n} : f () (0) = n! (n )! und daher f(x) = x R f () (0) x =! n! (n )!! xn = x n = n n! (n )! xn, x. Setzt man nun x := a b, wobe a, b belebge reelle Zahlen (b 0) snd, so ergbt sch ( a b + )n = ( a b ), also nach Multplkaton mt b n (a + b) n = a b n. 6
Der bnomsche Satz Dabe darf - we Ensetzen zegt - b auch verschwnden, so dass der bnomsche Satz allgemen für belebge reelle Zahlen a, b glt. (Letzte Bearbetung 0-0-0)