3.2 Hlddierer (HA) 137 3.2 Hlddierer (HA) Ein Hlddierer it eine Schltung, die zwei Eingng-Bit und zu einem Summen- Bit i und einem Üerluf-Bit (c wie crry = Üerluf) ddiert. Eingng Eingng Summe i Üerluf (crry) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Die Summe i entpricht einer XOR-Verknüpfung von und, der Üerluf der UND- Verknüpfung von und. Dmit lät ich ein Hlddierer wie folgt implementieren: HA i i Bei der Addition zweier Zhlen müen nicht nur die einzelnen Stellen und der eiden Summnden ddiert werden, ondern uch noch ein evtl. uftretender Üertrg u der vorngehenden Stelle i 1. Beipiel x = 01101101 2, y = 00110110 2 : 0 1 1 0 1 1 0 1 + 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 E müen lo drei Summnden-Bit (,, 1 ) zu einem Summen-Bit i und einem Üertrgit ddiert werden. Dmit it ein einzelner Hlddierer zur Addition zweier Binärzhlen x = x n 1 2 n 1 + + 2 i + + x 0 2 0 und y = y n 1 2 n 1 + + 2 i + + y 0 2 0 nicht ureichend. Ein Hlddierer knn die Addition einer Binärtelle nur hl ewerktelligen.
138 3 Arithmetiche Schltungen 3.3 Vollddierer () Ein Vollddierer ddiert drei Summnden (, und 1 ) zu einer Summe und einem Üertrg und knn dmit die Addition einer Binärtelle vollumfänglich ewerktelligen. ) Vervolltändigen Sie nchfolgende Wertetelle eine Vollddierer. 1 i 0 0 0 0 0 wie HA 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 801 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 qq.in#hi:ii.e ) Trgen Sie in nchfolgende Aildung (link) eine Implementierung einer Vollddierer-Schltung ein. c yieg.im#oic?n i-1-1 HAn.hr#(/HAe:::I4YI*.f.fn.rxilyini)o ) y i i
3.4 Ripple-Crry-Addierer/Sutrhierer 139 c) Wieviele Gtterlufzeiten enötigt der Vollddierer, i n einen Augängen jeweil d korrekte Signl nliegt? : Ci Si 1T : C i. 1 in 2T c ; Xilyi Xilgi S ; : 2T ci : 3T 3.4 Ripple-Crry-Addierer/Sutrhierer Beim Ripple-Crry-Addierer werden mehrere Vollddierer o verchltet, d ich dmit die Summe zweier Summnden erechnen lät. ) Skizzieren Sie, wie n Vollddierer zummengechltet werden müen, dmit u den zwei n Bit lngen Summnden x und y die n Bit lnge Summe erechnet wird. längterpfd : 1.3in Wortnite x n-1 x 2 x 1 x.tl#.2o+e.erttit::.htthtti 0 y n-1 y 2 y 1 y 0-1 -1-1 -1 i i i i n-1 2 1 0 Die Ripple-Crry-Schltung wendet unhängig von der verwendeten Zhlencodierung tet die elen Opertionen uf die ngelegten Bit n. D ei vorzeichenloer Codierung inärer Fetkommzhlen und ei der Zhlencodierung im Zweier-
SUB.. c : - c SUB. : c- 140 3 Arithmetiche Schltungen Komplement identiche Bewegungen uf dem Zhlenring identiche Wertänderungen zur Folge hen, liefert die Ripple-Crry-Schltung nicht nur ei vorzeichenloe Fetkommzhlen korrekte Ergenie, ondern uch ei vorzeichenehfteten Zhlen im Zweier-Komplement. (D gilt jedoch nur, wenn keine Üerläufe uftreten.) Die Ripple-Crry-Schltung knn lo nicht nur ddieren, ondern uch utrhieren. Dzu mu der zu utrhierenden Wert zunächt negiert (Vorzeichen ändern) und Pegel = 1 utrction nchließend ddiert werden: x y = x +( y). = 0 ) Trgen Sie in nchtehende Schltung Verindunglinien Pegel Addition µ und Schltungelemente ein, o d die Ripple-Crry-Schltung nicht nur ddieren ondern uch utrhieren knn. nciinieiii.ee???d x n-1 x 2 x 1 x 0 y n-1 y 2 y 1 y ejggki.lt#ihye4y..ynei 0-1 -1-1 -1 i i i i n-1 2 1 0 c) Zeichnen Sie in oige Ripple-Crry-Schltung den kritichen Pfd ein. Wieviele Gtterlufzeiten enötigt die Ripple-Crry-Schltung zur Sutrktion zweier n Bit reiter Fetkommzhlen? Wieviel im Fll n = 64? = 129T
3.5 Crry-Look-Ahed 141 3.5 Crry-Look-Ahed Bei der Crry-Look-Ahed-Technik werden die Üerträge der einzelnen Vollddierer durch zuätzliche Logik im Voru (engl. to look hed = voruchuen) erechnet. Ddurch verringert ich die Auführungzeit, d d durchrippeln de Üertrg von der niederwertigten i zur höchtwertigten Stelle vermieden wird. Die Grundidee it folgende: Ein Vollddierer i liefert n einem Augng genu dnn einen Üertrg, wenn der Vollddierer i den Üertrg u den Eingngwerten und elt generiert (engl. generte, g i =1), oder der Vollddierer i den Üertrg nicht elt u und generiert, er ufgrund der Werte von und einen m Eingng 1 nliegenden Üerluf n den Augng weiterleitet (engl. propgte, p i =1) und gleichzeitig Vollddierer i 1 einen Üerluf generiert (g i 1 =1), oder i und i 1 einen Üertrg weiterleiten (p i =1, p i 1 = 1) und i 2 einen Üerluf generiert (g i 2 =1), oder i, i 1 und i 2 einen Üertrg weiterleiten (p i =1, p i 1 =1, p i 2 =1) und i 3 einen Üerluf generiert (g i 3 =1), oder... Der Üerluf eine Volldierer lät ich dmit wie folgt etimmen: = g i _ (p i ^ g i 1 ) _ (p i ^ p i 1 ^ g i 2 ) _ (p i ^ p i 1 ^ p i 2 ^ g i 3 ) _... Nchfolgende Aildung iggg zeigt ein Modell de generte/propgte-schem. =1 entpricht einer leuchtenden Lmpe, im Fll =0leuchtet die Lmpe nicht. g i g i 1 g i 2 g i 3 p i p i 1 p i 2 p i 3 E gilt: g i =1: i generiert u den Eingngignlen und einen Üerluf. g i =0: Die Werte der n i nliegenden Eingngignle und generieren nicht u ich heru einen Üerluf. Ein Üerluf wird er trotzdem noch generiert, wenn ei i durch und ein Üerluf weitergeleitet wird (d.h. ei i gilt p i =1) und ei i gleichzeitig gilt 1 =1.
142 3 Arithmetiche Schltungen p i =1: i leitet den m Eingng weiter. 1 nliegenden Wert n den Augng p i =0: i der m Eingng uf den Augng von i. 1 von i nliegende Wert ht keinen Einflu Betrchten Sie nchfolgende Implementierung eine Vollddierer. -1 i ) Wnn generiert der Vollddierer einen Üerluf, d.h. ei welchen Werten von und gilt =1? gi = xinyi ) Wnn leitet der Vollddierer einen Üerluf weiter, d.h. ei welchen Werten von und gilt für einen Vollddierer = 1? pi = Xixoyi
3.5 Crry-Look-Ahed 143 Eintufige Crry-Look-Ahed-Schltung Nchfolgende Aildung zeigt den Aufu eine 4 Bit Crry-Look-Ahed-Addierer. t.fi : x 2 y 2 x 2 x 1 x 0 y 2 y 1 y 0 c 3 0 1 0 1 0 1 0 1 u/ dd qe ulädd g 3 p 3 g 2 p 2 g 1 p 1 g 0 p 0 x 3 y 3 c 2 x 2 y 2 c 1 x 1 y 1 c 0 x 0 y 0 c -1 c 3 3 c 2 2 c 1 1 c 0 0 3 2 1 0 Die von den Vollddierern erechneten Üerträge werden nicht verwendet. Stttdeen werden die Eingänge 1 der Vollddierer i u den Generte- und Propgte- Signlen, welche wiederum u und etimmt werden, geleitet. Mit teigender Wortreite n teigt die Komplexität der zur Betimmung der Eingngignle 1 notwendigen Schltungen jedoch trk n: Mit zunehmender Stellenzhl n teigt die Anzhl der Gtter, die für einen Vollddierer zur Betimmung der Üerträge enötigt werden, die Anzhl der pro Gtter enötigten Eingänge (Limitierung durch Fn-In), die Anzhl der n p i und g i ngechloenen Gtter (Limitierung durch Fn-Out). Limitierungen durch Fn-In/Out können durch eine umrtige Verzweigung der Signle mit zuätzlichen Gttern/Treiern ufgehoen werden. Der hohen Anzhl n Gttern knn durch eine Kkdierung entgegengewirkt werden.
144 3 Arithmetiche Schltungen Bei der gezeigten Crry-Look-Ahed-Schltung mu d Signl p 0 uf n Gtter verteilt werden. Nehmen Sie n, d n einen Gtterugng mximl vier Gttereingänge ngechloen werden dürfen, d.h. Fn-Out = 4. ) Skizzieren Sie die für n = 64 notwendige Bumtruktur, üer die p 0 verteilt wird. Zeichnen Sie den kritichen Pfd ein. Wieviele zuätzliche Gtterlufzeiten ergeen ich durch die Bumtruktur uf dem kritichen Pfd? nif 16 64 Bei der gezeigten Crry-Look-Ahed-Schltung wird d Signl c 3 durch die ODER- Verknüpfung von fünf Signlen etimmt. Im Fll n = 64 wird c 63 (Üerluf-Bit Crry-Out) u der ODER-Verknüpfung von 65 Signlen etimmt. Nehmen Sie n, d Gtter mit > 4 Eingängen in Bumtruktur u Gttern mit 1, 2, 3 oder 4 Eingängen ufgeut werden. 4n: ) Skizzieren Sie für n = 64 eine umrtige Reliierung der ODER-Verknüpfung zur Erzeugung de Signl c 63. Wieviele Gtterlufzeiten werden uf dem längten Pfd für die ODER-Verknüpfung enötigt? : Ito IEEENEE - 6 4
3.5 Crry-Look-Ahed 145 Kkdierung von Crry-Look-Ahed-Schltungen Mit einer Kkdierung knn der mit großer Wortreite einhergehenden großen Anzhl n Gttern entgegengewirkt werden. Dzu werden Crry-Look-Ahed-Schltungen hoher Wortreite u mehreren Crry-Look-Ahed-Schltungen niedrigerer Wortreite zummengeetzt. Nchfolgende Aildung zeigt eine Erweiterung der eknnten 4 Bit Crry-Look-Ahed-Schltung zur Auge von Generte- und Propgte-Signlen. x y 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 G inv g 3 p 3 g 2 p 2 g 1 p 1 g 0 p 0 x 3 y 3 c 2 x 2 y 2 c 1 x 1 y 1 c 0 x 0 y 0 c -1 P c 3 3 c 2 2 c 1 1 c 0 0 C 3 2 1 0 Zur Zummenfung mehrerer Crry-Look-Ahed-Schltungen werden die Generte- /Propgte-Signle mit einer og. Crry-Look-Ahed-Einheit verunden. 4 4 4 4 4 4 4 4 1 x y inv. CLA CLA CLA CLA 4 4 4 4 G 3 P 3 G 0 C 3 G 2 P 2 C 2 G 1 P 1 C 1 P 0 C 0 Crry-Look-Ahed-Einheit GG 0 PP 0 CC 0
146 3 Arithmetiche Schltungen Die Crry-Look-Ahed-Einheit erechnet u den Eingngignlen CC 0, P 0, P 1, P 2, P 3, G 0, G 1, G 2 und G 3 die Üerträge C 0, C 1, C 2 und C 3 und leitet diee n die jeweiligen Crry-Look-Ahed-Schltungen weiter. D Generte-/Propgte-Signle uf zwei unterchiedlichen Hierrchie-Eenen erechnet werden, pricht mn von einer zweitufigen Crry-Look-Ahed-Schltung. Üer die Ein-/Augänge CC 0, PP 0 und GG 0 können mehrere 16 Bit Crry-Look-Ahed-Schltungen zu einer Crry-Look-Ahed-Schltung mit noch größerer Wortreite, z.b. 64 Bit, zummengeetzt werden. ) Wie mu die zweitufigen Crry-Look-Ahed-Schltung zur Sutrktion echltet werden? ) Hängen die Signle G und P von Crry-In-Signl C? Wrum? c) Betimmen Sie die Anzhl der Gtterlufzeiten für die eintufige 4 Bit Crry- Look-Ahed-Schltung ei einer Sutrktion für den Fll Fn-In = 4.
3.5 Crry-Look-Ahed 147 d) Betimmen Sie die Anzhl der Gtterlufzeiten fll Fn-In = 2.
148 3 Arithmetiche Schltungen Im Folgenden wird die Crry-Look-Ahed-Einheit etrchtet. 4 4 4 4 4 4 4 4 1 x y inv. CLA CLA CLA CLA 4 4 4 4 G 3 P 3 G 0 C 3 G 2 P 2 C 2 G 1 P 1 C 1 P 0 C 0 Crry-Look-Ahed-Einheit GG 0 PP 0 CC 0 e) Betimmen Sie die Signle C 0, C 1, C 2 und C 3 in Ahängigkeit der Signle CC 0, P 0, P 1, P 2, P 3, G 0, G 1, G 2 und G 3. f) Betimmen Sie die Signle GG 0 und PP 0 in Ahängigkeit der Signle P 0, P 1, P 2, P 3, G 0, G 1, G 2 und G 3.
3.5 Crry-Look-Ahed 149 g) Betimmen Sie für Fn-In = 4 die Anzhl der Gtterlufzeiten der Crry-Look- Ahed-Einheit von den Eingängen zu den Augängen C 3, GG 0 und PP 0. h) Skizzieren Sie für Fn-In = 2 eine Gtterchltung zur Betimmung von PP 0. Betimmen Sie die mximle Anzhl n Gtterlufzeiten. i) Skizzieren Sie für Fn-In = 2 eine Gtterchltung zur Betimmung von GG 0. Zeichnen Sie den kritichen Pfd ein und etimmen Sie die mximle Anzhl n Gtterlufzeiten.
150 3 Arithmetiche Schltungen T j) Skizzieren Sie für Fn-In = 2 eine Gtterchltung zur Betimmung von C 3. Zeichnen Sie den kritichen Pfd ein und etimmen Sie die mximle Anzhl n Gtterlufzeiten. Nehmen Sie die für Fn-In = 4 etimmten Gtterlufzeiten n, vgl. c), f), g). k) Betimmen Sie die mximle Gtterlufzeit der zweitufigen 16 Bit Crry-Look- Ahed-Schltung zur korrekten Betimmung von. l) Betimmen Sie die mximle Gtterlufzeit der zweitufigen 16 Bit Crry-Look- Ahed-Schltung zur korrekten Betimmung von PP 0.
3.5 Crry-Look-Ahed 151 m) Betimmen Sie die mximle Gtterlufzeit der zweitufigen 16 Bit Crry-Look- Ahed-Schltung zur korrekten Betimmung von GG 0. Nchfolgende Aildung zeigt eine dreitufige Crry-Look-Ahed-Schltung zur Verreitung von 64 Bit reiten Zhlen. x y 64 64 dd/u CLA-Einheit d CLA-Einheit c CLA-Einheit CLA-Einheit GG 3 PP 3 CC 3 GG 2 PP 2 CC 2 GG 1 PP 1 CC 1 GG 0 PP 0 CC 0 CLA-Einheit e CC 4 Üerluf- Erkennung 64 n) Betimmen Sie die mx. Gtterlufzeit zur Berechnung von CC 3 für Fn-In = 4.
152 3 Arithmetiche Schltungen o) Betimmen Sie die mximle Gtterlufzeit zur korrekten Betimmung von für Fn-In = 4. p) Betimmen Sie die mximle Gtterlufzeit zur korrekten Betimmung de Crry- Out CC 4 für Fn-In = 4.
3.7 Komintoricher Multiplizierer 153 3.6 Addition und Sutrktion von Gleitkommzhlen Zur Addition von Gleitkommzhlen wird uf Fetkomm-Addierer und -Sutrhierer zurückgegriffen. Zwei poitive Gleitkommzhlen können wie folgt ddiert werden: Al Exponent de Ergenie wird der größere Exponent verwendet Bilden der Differenz der eiden Exponenten Mntie der Zhl mit dem kleineren Exponenten zummen mit der führenden 1, um die zuvor erechnete Differenz nch recht chieen Beide Mntien ddieren Fll Ergeni nicht in Form 1,... it, Mntie um 1 Stelle nch recht chieen und 1 zum Ergeni-Exponenten ddieren (= Re-Normliieren) Um Gleitkommzhlen zu utrhieren, knn wie oen vorgegngen werden, wenn der Sutrhend negiert wird. D gleiche gilt für die Addition von Zhlen unterchiedlichen Vorzeichen. 3.7 Komintoricher Multiplizierer Bei der Multipliktion gilt llgemein: Multipliktor Multipliknd = Produkt Mit Multipliktor x und Multipliknd y erechnet ich ei vorzeichenloen Zhlen d Produkt z zu: 0 1 0 x 3 x 2 x 1 x 0 y 3 O.O 0 y 2 1 y 1 1 y 0 x 0 y 3 x 0 y 2 x 0 y 1 x 0 y 0 + x 1 y 3 x 1 y 2 x 1 y 1 x 1 y 0 + x 2 y 3 x 2 y 2 x 2 y 1 x 2 y 0 + x 3 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 3 y 0 = z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0 Die Multipliktion zweier n Ziffern reiter Zhlen ergit ein 2n reite Produkt. D Produkt erechnet ich l Summe von n Teilprodukten. Die Multipliktion der Einzel-Terme y j entpricht einer logichen UND-Verknüpfung. Die Addition der Teilprodukte y j werden. knn mit Hl- und Vollddierern durchgeführt
154 3 Arithmetiche Schltungen ) Trgen Sie in nchfolgende Aildung Verindungen zur Reliierung der vorzeichenloen Multipliktion ein. Eigene Löung: 4 + x 1 y 3 x 1 y 2 x 1 y 1 x 1 y 0 + x 2 y 3 x 2 y 2 x 2 y 1 x 2 y 0 + x 3 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 3 y wr 0 = z 7 z 6 z 5 ;D z 4 :* z 3 z 2 z 1 z 0 hitter.. ded mll I HA HA x 3 x 2 x 1 x 0 y 3 y 2 y 1 y 0 ' :., x 3 x 2 x 1 x 0 y 3 y 2 y 1 y 0 x 0 y 3 x 0 y 2 x 0 y 1 x 0 y 0 of e I 0 HA HA z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0
3.7 Komintoricher Multiplizierer 155 Zur Mitchrift: x 3 x 2 x 1 x 0 y 3 y 2 y 1 y 0 x 0 y 3 x 0 y 2 x 0 y 1 x 0 y 0 + x 1 y 3 x 1 y 2 x 1 y 1 x 1 y 0 + x 2 y 3 x 2 y 2 x 2 y 1 x 2 y 0 + x 3 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 3 y 0 = z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0 x 3 x 2 x 1 x 0 y 3 y 2 y 1 y 0 HA HA HA HA z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0
156 3 Arithmetiche Schltungen ) Trgen Sie in die Multiplizierer-Schltung den längten Pfd ein. Wie lnge (in Gtterlufzeiten ) duert die Auführung? Der Hrdwreufwnd der gezeigten Schltung it ehr hoch: Mit teigender Wortreite n teigt der notwendige Hrdwreufwnd mit c. n 2.
3.8 Sequentieller Multiplizierer 157 3.8 Sequentieller Multiplizierer Mit einer equentiellen Schltung knn der Hrdwreufwnd reduziert werden. Die nächte Aildung kizziert eine equentielle Schltung, die zur Multipliktion vorzeichenloer Zhlen der Wortreite n =4verwendet werden knn. MR y 3 y 2 y 1 y 0-4 -4 Multiplicnd PR 0 Add -5 0 0 0 0 PR 0 x 3 x 2 x 1 x 0 Multipliktor D Multipliknd-Regiter MR it n =4Bit reit, d Produkt-Regiter PR it 2n +1=9 Bit reit. PR 0 it d niederwertigte Bit de im Produktregiter gepeicherten Wert. Der equentielle Aluf it wie folgt: Zunächt wird der Multipliknd im Multipliknd-Regiter MR und der Multipliktor in den unteren n Bit de Produkt-Regiter gelegt. Die retlichen Bit de Produktregiter werden mit 0 initiliiert. Anchließend wird itertiv n =4ml folgende ugeführt: Wenn PR 0 =1, dnn wird der in MR tehende Wert zu den Bit PR 7... PR 4 de Produktregiter ddiert; ein ggf. uftretender Üerluf wird in PR 8 gelegt; nchließend wird d gemte Produktregiter um eine Stelle nch recht gechoen; dei wird von link mit Nullen ufgefüllt. Wenn PR 0 =0, dnn wird keine Addition durchgeführt, ondern lediglich d gemte Produktregiter um eine Stelle nch recht gechoen; dei wird wieder von link mit Nullen ufgefüllt. Nch n =4Itertionen (=Runden) teht im Produktregiter d Ergeni.
158 3 Arithmetiche Schltungen ) Trgen Sie in folgende Aildung für n =4die Regiterinhlte ein, die ich für die Multipliktion 13 5 = 65 ergeen. Nch Addition: Nch Schieen: Nch Addition: Nch Schieen: 0 101 1102 Add 8 7 6 5 4 3 z 1 o uicht ddierm Initiliierung 0 0 000 µ V 101 1101 # outhoue iotöotiötiiit. 1 Addieren Erte Runde Erte Runde Zweite Runde Zweite Runde Nch Addition: Nch Schieen: Nch Addition: Nch Schieen: 001 k 0 U 111 Oto 1 00011U Ul 00011 iüuiööuüoööi Dritte Runde Dritte Runde Vierte Runde Vierte Runde
3.8 Sequentieller Multiplizierer 159 Nchfolgende Aildung zeigt den (unvolltändigen) Aufu einer Schltung zur Implementierung de gezeigten Multipliktionverfhren. ) Vervolltändigen Sie die Schltung o, d ie vorzeichenloe Binärzhlen multipliziert. NTIT / 771 Steuerung Inititiven ugewählt ugewählt ei 0 - ei Pegel 1- Pegel Multipliktor n Sühnen = z.tn#hih;ieg 71454g *i ß.ci#.Eiem :L :# " Init/>>1 0..n-1 0..n-1 PR iii. ± n..2n n..2n-1 Produkt 2n Addierer MR Multipliknd n Zunächt wird der Multipliknd im Multipliknd-Regiter MR und der Multipliktor in den unteren n Bit de Produkt-Regiter gelegt. Die retlichen Bit de Produktregiter werden mit 0 initiliiert. Anchließend wird itertiv n =4ml folgende ugeführt: Wenn PR 0 =1, dnn wird der in MR tehende Wert zu den Bit PR 7... PR 4 de Produktregiter ddiert; ein ggf. uftretender Üerluf wird in PR 8 gelegt; nchließend wird d gemte Produktregiter um eine Stelle nch recht gechoen; dei wird von link mit Nullen ufgefüllt. Wenn PR 0 =0, dnn wird keine Addition durchgeführt, ondern lediglich d gemte Produktregiter um eine Stelle nch recht gechoen; dei wird wieder von link mit Nullen ufgefüllt. Nch n =4Itertionen (=Runden) teht im Produktregiter d Ergeni.